bai tap xac suat thong ke co loi giai

BÀI GIẢI
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 7.0, 2.0, 5 = 0, 07;
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 3.0, 8.0, 5 = 0,12;
P(A1A 2A 3) = P(A 1 )P(A 32)P(A 3 ) = 0, 3.0, 2.0, 5 = 0, 03.
Suy ra P(A) = 0,22.
b) Gọi B là biến cố có 2 khẩu trúng. Ta có

CHƯƠNG 1

B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3

NHỮNG
ĐỊ
NH
LÝ
CƠ
BẢ
N
TR
ON
G
LÝ
TH
UY
ẾT
XÁ
C
SU
ẤT

Tính toán tương tự câu a) ta
được P(B) = 0,47.
c) Gọi C là biến cố có 3
khẩu trúng. Ta có

Tính toán tương tự câu a) ta
được P(C) = 0,28.
d) Gọi D là biến cố có ít
nhất 1 khẩu trúng. Ta có

C=
A1A2A3.

D =A+
B + C.
Chú ý rằng do A, B, C xung
khắc từng đôi, nên theo
công thức Cộng xác suất ta
có:
P(D) = P(A) +
P(B) + P(C) =
0,22 + 0,47 + 0,28
= 0,97.
e) Gỉa sử có 2 khẩu trúng. Khi
đó biến cố B đã xảy ra. Do đó
xác suất để khẩu thứ 2 trúng
trong trường hợp này chính là
xác suất có điều kiện P(A2/B).
Theo công thức Nhân

xác suất ta có:

Bài 1.1: Có ba khẩu súng I, II
và III bắn độc lập vào một
mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên.
Xác suất bắn trúng mục tiêu
cuả ba khẩu I, II và III lần lượt
là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác
suất để
a) có 1 khẩu bắn trúng.
b) có 2 khẩu bắn trúng.
c) có 3 khẩu bắn trúng.
d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
e) khẩu thứ 2 bắn trúng biết
rằng có 2 khẩu trúng.
Lời
giải


P(A
T
ó

P(A
P(
A
2
Khẩu súng B
)
Xác suất trúng

.
P
(B
)
Gọ
i Aj
(j =
1,
2,
3)
là
biế
n
cố
khẩ
u
thứ
j
bắn
trú
ng.
Kh
i
đó
A1,
A2,
A3
độc
lập
và

giả
thi
ết
cho
ta:

I
0,7

M
à

A
B
=
A
A
A
+
A
A
A
nê
n
lý
lu
ận
tư
ơn
g

tự
nh
ư
trê
n
ta
đư
ợc
P
(
A
2

B
)
=
0
,
4
a)
Gọ
iA
là
biế
n
cố

có 1
khẩu
trúng.

II Ta có III
0,8
0,5

Vì các
biến cố

A
3

A
3

A
3

khắc
từng
đôi, nên
theo
công
thức
Cộng
xác
ta

P
P
2

A
2

A
)
= P(A
+ P(A
+ P(A
Vì các
biến cố
A
A
lập nên
theo
công
thức
Nhân
xác suất
ta có

Suy ra
P(A2/B
)
=0,851
.
Bài
1.2: Có
hai hộp
I và II
mỗi

hộp
chứa
10 bi,
trong
đó hộp
I gồm
9 bi đỏ,
1
bi
trắng;
hộp II
gồm 6
bi đỏ,
4
bi
trắng.
Lấy
ngẫu
nhiên
từ mỗi
hộp 2
bi.
a) Tín
h
xác
suất
để
đượ
c 4
bi

đỏ.
b) Tín
h
xác
suất
để
đượ
c 2
bi
đỏ
và
2 bi
trắn
g.
c) Tín
h
xác
suất
để

được 3 bi đỏ và 1 bi
trắng.

d) Giả sử đã lấy được 3 bi

đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm
xác suất để bi trắng có
được của hộp I.
1
2

Lời giải
Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi đỏ và (2 - i) bi trắng có
trong 2 bi được chọn ra từ hộp I, hộp II.
Khi đó
- A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có:

P(A0) = 0;
1

CC
C

1

B = A0B2 + A1B1 + A2B0
Do tính xung khắc từng đôi của các biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng
xác suất cho ta:
P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0)
Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: P(B) =
P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133.
c) Gọi C là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Ta có:

9

P(A1) = 9

1

2

45
10

C 2C 0

P(A2) =

2

C

=

36

9

4
5
- B0, B1, B2 10
xung khắc
từng đôi và
ta có:

0

CC

P(B0) =

2

6

=
;
45

4
2

6

;

C = A1B2 + A2
Lý luận
tương tự
như trên ta
được
P(C)
=
P(A1)
P(B2 )
+
P(A2)
P(B1)
=

0,493
3.
d) Giả sử đã chọn được 3
bi đỏ và 1 bi trắng. Khi
đó biến cố C đã xảy ra.
Do đó xác suất để bi
trắng có được thuộc
hộp I trong trường hợp
này chính là xác suất
có điều kiện P(A1/C).
Theo Công thức nhân
xác
s
u
ấ
t
,
t
a
c
ó

P(A C) =
P(C)P(A /
C) .


C1C1

C

24

1

Suy ra

P(B1) = 6

P(A1/C) =

2
4

C 2C 0

1

P(A C)

C

1

P(C)

15

.

M
à
A
1

C

=

=

;
4
5

A

10

1

B
2

n
ê
n

P(B2) = 6
2

C

=
.
45
4

P(
A
C)
=
P(
A
B)
=
P(
A)
P(
B)
=
9
.
15

1
0

=
0,

06
67.
- Ai và Bj độc lập.
- Tổng số bi đỏ có trong 4 bi
chọn ra phụ thuộc vào các
biến cố Ai và Bj theo bảng
sau:

1

1

1

2

Do
đó xác
suất
cần
tìm là:
P(A1/
C) =
0,135
2.


45 45

B0

A0 0
A1 1
A2 2

B1
1
2
3

B2
2
3
4

a) Gọi A là biến cố chọn được 4 bi đỏ. Ta có:
A = A 2 B2 .
Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:


Bài 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3
sản phẩm tốt thì dừng lại.
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3.
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4.
b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm
tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu.
Lời giải

P(A) =

36 15
=
.

Gọi Ti, Xi lần lượt là
các biến cố chọn
được sản phẩm tốt,
xấu ở lần kiểm tra
thứ i.
a) Gọi A là biến cố khách hàng dừng lại
ở lần kiểm tra thứ 3. Ta có:
b) Gọi B là biến cố chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. Ta có:

P(A2
)P(B = 0,
2)
2667.
45 45

3
4


A = T1T2T3.

Lời giải

Suy ra P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2)
= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.

Gọi Di, Ti, Xi lần lượt là các biến cố chọn được bi đỏ, bi trắng, bi xanh ở lần rút thứ i.
a) Gọi A là biến cố rút được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. Ta có:

b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Ta có:

⎢

B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 .

⎡T - T - X - D

A xảy ra Rút được T - X - T - D

Suy ra
P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 )
= P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3)
+ P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3)
+ P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.

⎢
⎣⎢X - T - T - D

Suy ra
A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4
Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có: P(A) =
P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 )
Theo Công thức Nhân xác suất, ta có
P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3)

= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó
xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu trong trường hợp này
chính là xác suất có điều kiện P(X3/B).
Theo Công thức nhân xác suất , ta có

P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
P(X1T2T3D4) =
P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2
)P(D4/X1T2T3)
= (3/12)
(4/11)
(3/10)
(5/9) =
1/66.

P(
X3
B)
=
P(
B)
P(
X3/
B) .

Suy ra

Mà
X3B
=
T1T2
X3T

P(X P(
3 /B) X
3
=
B)

Suy ra P(A) = 3/66 =
1/22 = 0,0455.
b) Gọi B là biến cố
không có bi trắng
nào được rút ra.
Ta có:

.

P(B
)

4

nên
P(X3B) = P(T1T2X3T4
) = P(T1) P(T2/T1)
P(X3/ T1T2) P(T4/

T1T2 X3)
= (6/10)(5/9)
(4/8)(4/7) =
0,0952.
Suy ra P(X3/B) = 0,3333.
Bài 1.4: Một hộp bi gồm 5
bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh
có cùng cỡ. Từ hộp ta rút
ngẫu nhiên không hòan lại

từng
một
đến
được
đỏ
dừng
Tính
suất
a)

b) không có bi
trắng
nào
được rút ra.


⎢
X

Suy ra

B

-

x
ả
y

X
-

r
a
R
ú
t
đ
ư
ợ
c

⎢

D
⎢
X-X-X-D

B = D1 + X1D2 +
X1X2D3+ X1X2X3 D4

Từ đây, do tính xung khắc
từng đôi của các biến cố
thành phần, ta có:

P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4)
Theo Công thức Nhân xác
suất, ta có
5
6

⎣


P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2)

Suy ra P(B) = 0,66 = 66%. Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất
là 66%.

+ P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3)
= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)

b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm
loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?

= 5/9

Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó, để biết sản
phẩm loại A đó có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất ta cần so sánh
các xác suất có điều kiện P(A 1/B), P(A2/B) và P(A3/B). Nếu P(Ai/B) là lớn nhất thì
sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng thứ i sản xuất ra là nhiều nhất. Theo công

thức Bayes ta có:

Bài 1.5: Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và
III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân
xưởng III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần
lượt là 70%, 50% và 90%.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất.
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua

1) T
ín
h
x
á
c
s
u
ất
đ
ể
c
ó
8
0
s
ả
n
p
h
ẩ

m
lo
ại
A
.

được sản phẩm loại
A. Theo bạn, sản
phẩm ấy có khả năng
do phân xưởng nào
sản xuất ra nhiều
nhất?
c) Chọn mua ngẫu
nhiên 121 sản phẩm X
(trong rất nhiều sản
phẩm X) ở thị trường.

2) Tín
h
xác
suất
để
có
từ
80
đến
85
sản
phẩ
m

loại
A.

P(AP(A1)P(B/A1) = 0,

3.0, 7 21
=
;
P(A
P(B)
0,
66
66
P(A2)P(B/A2) 0,
=
45.0, 5 22, 5
=
;
P(B)
0, 66
66
P(A )
P(B/
A)
0,
25.0,
9
22, 5

P(A3/B

) =

3

3

=

.

=


Tóm tắt:

P(B)
Lời
giải

0,
66
Phân xưởng
Tỉ lệ sản lượng
Tỉ lệ loại A

a) Để tính tỉ lệ sản
phẩm loại A nói chung do
nhà máy sản xuất ta chọn
mua ngẫu nhiên một sản
phẩm ở thị trường. Khi đó tỉ

lệ sản phẩm loại A chính là
xác suất để sản phẩm đó
thuộc loại A.
Gọi B là biến cố sản phẩm
chọn mua thuộc loại A.
A1, A2, A3 lần lượt là các
biến cố sản phẩm do phân
xưởng I, II, III sản xuất. Khi
đó A1, A2, A3 là một hệ đầy
đủ, xung khắc từng đôi và
P(A1) = 30%
= 0,3; P(A2)
= 45% =
0,45; P(A3) =
25% = 0,25.
Theo công thức xác suất đầy
đủ, ta có:
P(B) =
P(A1)P(B/A1)
+
P(A2)P(B/A2)
+
P(A3)P(B/A3)

I
II
III
30% 45% 25%
70% 50% 90%

Theo giả thiết,
P(B/A1) = 70% =
0,7; P(B/A2) =
50% = 0,5;
P(B/A3) = 90% =
0,9.

Vì P(A2/B) =
P(A3/B) >
P(A1/B) nên sản
phẩm loại A ấy
có khả năng do
phân xưởng II
hoặc III sản xuất
ra là nhiều nhất.

1) Xác suất để có 80 sản
phẩm loại A là
80

80 41

80

P121(80) = C p q = C
80
41
(0, 66) (0, 34) = 0, 076.

121

2) Xác suất để có từ 80
đến 85 sản phẩm loại A
là
85

k=80

k=80

k= 80

7
8

c) Chọn mua ngẫu
nhiên 121 sản
phẩm X (trong rất
nhiều sản phẩm
X) ở thị trường.
1) Tính xác suất để có
80 sản phẩm loại A.
2) Tính xác suất để có từ
80 đến 85 sản phẩm
loại A.
Ap dụng công thức Bernoulli
với n = 121, p = 0,66, ta có:

85
85

P121
(0, 66)

121

12


Bài 1.6: Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm loại
A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và
50%. Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm

P(A2/B) và P(A3/B). Nếu P(Ai/B) là lớn nhất thì cửa hàng thứ i có nhiều khả năng được
chọn nhất.
Theo công thức Bayes ta có:
a) Tính xác suất để khách
P(A1/B) = P(A1)P(B/
A 1)
hàng mua được sản phẩm
(1
/=
3).0,
70 7
loại A.
=
;
P(B)
P(A
/B)

=
b) Giả sử đã mua được sản
2
phẩm loại A. Theo bạn,
0, 65
khả năng người khách
hàng ấy đã chọn cửa
195
hàng nào là nhiều nhất?
P(A )P(B/A
2

Lời giải

) (1 / 2
=75 75
3).0,
=
P(B) ;
0, 65

P(A3/B) =
T
ó
m

Cửa hàng
Tỉ lệ loại A
Chọn nhẫu nhiên một cửa
hàng và từ đó mua một sản

phẩm.

suất để khách
hàng mua
được sản phẩm
loại A. Gọi B
là biến cố sản
phẩm chọn
mua thuộc loại
A.

=

.

=

(1 /
50

A1, A2, A3 lần lượt là các biến
cố chọn cửa hàng I, II, III.
Khi đó A1, A2, A3 là một hệ
đầy đủ, xung khắc từng đôi
và

t
ắ
t
:

a) Tính xác

195
P(A )P(B/A
)
3).0, 35
3

P(A
1) =
P(A
2) =
P(A
3) =
1/3.
Theo công thức xác suất đầy
đủ, ta có:
P(B) =
P(A1)P(B/A1)
+ P(A2)P(B/
A2)+
P(A3)P(B/A3)
Theo giả thiết,
P(
B/
A1)
=
70
%

=
0,7;
P(
B/
A2)
=
75
%
=


P(B) 112

0,
7
5;

0,
195
Vì P(A2/B) > P(A1/B) >
P(A3/B) nên cửa hàng II có
nhiều khả năng được chọn
nhất.
Bài 1.7: Có hai hộp I và II
mỗi hộp chứa 12 bi, trong
đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi
trắng; hộp II gồm 5 bi đỏ, 7
bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ
hộp I ba bi rồi bỏ sang hộp
II; sau đó lấy ngẫu nhiên từ

hộp II bốn bi.
a) Tính xác suất để lấy được
ba bi đỏ và một bi trắng từ
hộp II.
b) Giả sử đã lấy được ba bi
đỏ và một bi trắng từ
hộp II. Tìm xác suất để
trong ba bi lấy được từ
hộp I có hai bi đỏ và một
bi trắng.
Lời giải
Gọi A là biến cố chọn được 3
bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II.
Ai (i = 0, 1, 2, 3) là biến cố
có i bi đỏ và (3-i) bi trắng
có trong 3 bi chọn ra từ hộp
I. Khi đó A0, A1, A2, A3 là
một hệ đầy đủ, xung khắc
từng đôi và ta có:
P(B/A3
= 50%
= 0,5.
Suy ra P(B) = 0,65
= 65%. Vậy xác
suất để khách hàng
mua được sản phẩm
loại A là 65%.

8

=
4
;
2
42
0
3

C

0

P(A3
)=

8

4
12

=

220

.

CC

9
10

C

4
8

2

8

;

56

C
C

3

12

P(A1) =

220

a) Tính xác s
được 3 bi
trắng từ hộ

8

C
C

=

3

3

1

4
12

0

P(A
0) =

4
12

b) Giả sử đã
mua được
sản phẩm
loại A. Theo

k
há

ch
hà
n
g
ấy
đã
ch
ọ
n
c
ử
a
hà
n
g
nà
o
là
n
hi
ều
nh
ất
?
Giả sử đã mua
được sản phẩm
loại A. Khi đó
biến cố B đã xảy
ra. Do đó,
để biết sản phẩm

loại A đó có khả
năng khách hàng ấy
đã chọn cửa hàng
nào là nhiều nhất ta
cần so sánh các xác
suất có điều kiện
P(A1/B),

3

= 220 ;
2

CC

C

1

3

C


Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3)
Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có

Lời giải
a) Gọi Aj (j = 1, 2, 3) là biến cố lấy được bi trắng từ hộp thứ j. Khi đó A1,

3
1
A

CC

1
0
0

2

,

A
3

đ
ộ
c
l
ậ
p
v
à

P(A / A0) =
4

5

P(A ) =

10

C

=
;
1365

; P(A ) =
4
1 ;
5

15

1

3

1

CC
P(A / A1) =
4

C

6
9

=
;
1365
15

1

5

180
2
3
P(A2) =
5

; P(A2) =

5

;


3

CC

1

P(A / A2) =

7

5

8

=
;

Suy ra xác suất cần tìm là
P(A) = 0,2076.

5
1) G
ọ
i

4

15

2)

P(A ) =
2
.

28
0

C

136
5

3

S
u
y
r
a
P
(
B
)
=
0
,
4
6
4
.

b) Giả sử đã lấy được 3 bi
đỏ và 1 bi trắng từ hộp II.
Tìm xác suất để

A
l
à
b
i
ế
n
c
ố

trong 3 bi lấy được từ hộp I
có 2 bi đỏ và 1 bi trắng.

l
ấ
y

c
ả

0

3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có
đúng 1 bi trắng. Khi đó biến
cố B đã xảy ra. Do đó xác
suất để bi trắng đó là của
hộp thứ nhất trong trường
hợp này chính là xác suất có
điều kiện P(A1/B). Theo

công thức Nhân xác suất ta
có:

Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ
và 1 bi trắng từ hộp II. Khi đó
biến cố A đã xảy ra. Do dó
xác suất để trong 3 bi lấy
được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1
bi trắng trong trường hợp này
chính là xác suất có điều kiện
P(A2/A). Ap dụng công thức
Bayes, ta có:

đ
ư
ợ
c

B = A1A2A3 + A1A2A3
+ A1A2A3

P
(
A

112 280

3

1

B
)
=

b
i
t
r
ắ
n
g
.

P
(
B
)
P
(
A

T
a
c
ó
3

1

CC
P(A / A3) =

1

/
B
)

A = A1

3
9
2

Suy ra

8

7

=
.
15

4

13
65

C

Suy ra P(A) =
P(A1) P(A2)
P(A3) =
0,048.

P(A /A) =

P(A2)P(
A/A2)
=
22

.

1365 = 0, 5030.

P(A /B) =


P(A1B)

P(B)
.

2

P(A)

1
V
ậ
y
x
á
c
s
u
ấ
t
c
ầ
n
tì
m

b) Chọn ngẫu nhiên một
hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu
nhiên ra 3 bi. Tính xác suất
được cả 3 bi đen.

0, 2076
Mà A1B =
A1A2A3 nên lý
luận tương tự
như trên ta
được P(A1B) =
0,048.

trắng, 4 bi đen; hộp thứ
hai có 2 bi trắng, 3 bi
đen; hộp thứ ba có 3 bi
trắng, 2 bi đen.
a) Lấy ngẫu nhiên từ
mỗi hộp một bi.
1)
Tính xác suất để
được cả 3 bi trắng.
2) Tính xác suất
được 2 bi đen, 1
bi trắng.
3)
Giả sử trong 3
viên lấy ra có đúng 1 bi
trắng.Tính xác suất để bi
trắng đó là của hộp thứ
nhất.
b) Chọn ngẫu nhiên
một hộp rồi từ hộp đó
lấy ngẫu nhiên ra 3 bi.

Gọi A là biến cố lấy được cả 3
bi đen.
A1, A2, A3 lần lượt là các
biến cố chọn được hộp I, II,
III. Khi đó A1, A2, A3 là một
hệ đầy đủ, xung khắc từng
đôi và
P(A1) =

P(A2) =

11
12

l
à
P
(
A
2/
A
)
=
0
,
5
0
3
0
.
Bài 1.8: Có ba hộp mỗi
hộp đựng 5 viên bi trong
đó hộp thứ nhất có 1 bi

P(A3) =
1/3.
Theo công thức xác suất đầy
đủ, ta có:
P(A) =

P(A1)P(A/
A1) +
P(A2)P(A/
A2)+
P(A3)P(A/
A3)
Theo công thức xác suất lựa
chọn, ta có:

Suy ra
P(A1/B)
=0,1034 .
Tính xác suất được cả 3
bi đen.


P(A/A ) =
=0.

C C

0 3

=

4

; P(A/A ) =

C C

0 3

=

1

; P(A/A )

1

3 4

C1

10

Ap dụng2 Công
thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có
3
2

3

C

(10/
20).
0,37
5

10
3

5

1

5

P(A1/A) =

1

= 0, 4630.

=

Suy ra P(A) = 0,1667.

P
(
A
)

Bài 1.9: Có 20 hộp sản phẩm cùng

lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản
phẩm, trong đó có 10 hộp của xí
nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và

4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ sản
phẩm tốt của các xí nghiệp lần
lượt là 50%, 65% và 75%. Lấy
ngẫu nhiên ra một hộp và chọn
ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp
đó.
a) Tính xác suất để trong 3 sản
phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm
tốt.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra
có đúng 2 sản phẩm tốt. Tính xác
suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí
nghiệp I.

0
,
4
0
5
0
Bài 1.10: Có 10 sinh viên đi thi,
trong đó có 3 thuộc loại giỏi, 4 khá
và 3 trung bình. Trong số 20 câu
hỏi thi qui định thì sinh viên lọai
giỏi trả lời được tất cả, sinh viên
khá trả lời được 16 câu còn sinh
viên trung bình được 10 câu. Gọi
ngẫu nhiên một sinh viên và phát
một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì
anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi.

Tính xác suất để sinh viên đó thuộc
loại khá.

L
ờ
i
g
i
ả
i

Lời giải
Tóm tắt:
Xếp loại sinh viên
Số lượng
Số câu trả lời được/20

Gọi A là biến cố trong 3 sản
phẩm chọn ra có đúng 2 sản
phẩm tốt. Aj (j = 1, 2, 3) là biến
cố chọn được hộp của xí
nghiệp thứ j.
Khi đó A1, A2, A3 là một đầy đủ,
xung khắc từng đôi và ta có:

C1

P(A1) =

C

=

;

10

T
ru
n
g
b
ìn
h
.
10
1
20

6
1

C

Giỏi
3
20

Gọi A là biến cố sinh viên trả lời
được cả 3 câu hỏi.

A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố
sinh viên thuộc loại Giỏi, Khá;

20

C1
P(A2) =

P(A
)
P(A/
A)

=

20

20

6

Yêu cầu của bài toán là
tính xác suất có điều kiện
P(A2/A).

Khá
4
16

Tru

C1

Các biến cố A
A
đầy đủ, xung
khắc từng đôi,

và ta
có:

4
P(A3) =

C

=

P(A2
Theo
công
/A)
thức
=
Bayes
,

4
1

20

Mặt
khác, từ
giả thiết,
theo công
thức
Bernoulli
, ta có P(A
2
2
C (0,/ A
5)1)(1=

20

P(A
3/10; P(A
= 4/10;
P(A
3/10.

P
(
A
)
P
(
A
/

A
2

)

.
P
(
A
)
3

P(A /
A2) =
2
C (0,
2
65)
(1 - 0,
65) =
0,
44362
5
P(A /
A3) =
2
C (0,
2
75)
(1 - 0,

25) =
0,

42
18
75

3

3

Theo công thức xác
suất đầy đủ, ta có
P(A) =
P(A1)P(A/A1) +
P(A2)P(A/A2) +
P(A3)P(A/A3)
=
(10/20).0,375
+ (6/20).
0,443625 +
(4/20).
0,421875 =
0,4050.

1

P(A / A ) =

C

4
20
4
20

C

4 0

=

1820

;

C
P(A / A ) =
= 1;
C
16 4

C

2

0, 5) = 0, 375

Mặt khác, theo công thức xác
suất đầy đủ, ta có

P(A) = P(A1)P(A/A1) +
P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
Theo công thức tính xác suất
lựa chọn, ta có:


2

b) Giả

sử
trong 3 sản
phẩm chọn ra
có đúng 2 sản
phẩm tốt. Khi

4
8
P(A
4 4
0
1 5
4
2
0

0

đó, biến cố A
đã xảy ra. Do

đó, xác suất để

1
0
4
2
0

2 sản phẩm
tốt
đó
của xí nghiệp
I chính là xác
suất có điều
kiện P(A1/A).
13
14

=
2
1
0
.
4
8
4
5

CC
C

- Bi và Cj độc lập.

Suy ra P(A2/A) = 0,3243.
Bài 1.11: Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen; hộp II chứa 8
bi trắng và 6 bi đen. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi, sau đó bỏ tất cả các bi còn
lại của hai hộp vào hộp III (rỗng). Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III. Tính xác suất để
trong 2 bi lấy từ hộp III có 1 trắng, 1 đen.

Lời giải

- Tổng số bi trắng có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố Bi và Cj theo bảng
C0 C1 C2
sau:
B0 0
1
2
B1 1
2
3
B2 2
3
4
Gọi A là biến cố bi lấy được 1
A0 = B0C0
Þ
trắng, 1 đen.
P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663.
Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) là

A1 = B0C1 + B1C0
biến cố có j bi trắng và (4-j) bi
đen có trong 4 bi bỏ đi (từ cả
Þ P(A1) = P(B0)P(C1 ) +
P(B1)P(C0) = 848/4641. A2 =
hai hộp I và II). Khi đó A0,
B0C2 + B1C1 + B2C0 Þ P(A2)
A1, A2 , A3, A4 là một hệ đầy
=
đủ, xung khắc từng đôi.
P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B
Theo công thức xác
2)P(C0)
=757/198
suất đầy đủ, ta có
9.
P(A) = P(A0)P(A/A0)
A3 = B1C2 + B2C1
+ P(A1)P(A/A1) +
P(A2)P(A/A2)+
Þ P(A3) =
P(A3)P(A/A3) +
P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) =
P(A4)P(A/A4).
4400/13923. A4 = B2C2
trong đó C 8C
10
P(A/A ) = 1 1 =
(Vì
khi A đã xảy ra thì trong hộp

III có 28 bi gồm
Þ P(A4) = P(B2)P(C2) =
20/221.
1
0
28

17
12

11

16

1
8
t
r
ắ
n
g
,
1
0
đ
e
n
)
.

Từ đó suy ra P(A) = 0,5080.

10
2

C

21

Tương
=
tự,

P(A/A ) =
C C

1 1

0

=

32

;


Bài
1.1
2:

1

C

2

3
7
8

Có
thứhai
nhất chứa 4 bi
hộp
trắng
cùng
6 bi
thứHộp
hai chứa 5 bi
2 cỡ.
C

trắng và 7 bi xanh.
Chọn ngẫu nhiên một
hộp rồi
từ hộp đó lấy ra 2
bi thì được 2 bi
trắng. Tính xác
suất để viên bi
tiếp

2

63

28

P
( =
A 1
/ 4
A
)
=
C

n

2

15 13
14

14

b
i

theo cũng lấy từ hộp
trên ra lại là bi trắng.

.

;
P
(
A
/
A

b
i

t
r
ắ
n
g
.

C
C

2

28

Bây giờ ta tính P(A0); P(A1);
P(A2); P(A3); P(A4).
Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) lần

lượt là các biến cố có i bi
trắng và (2 - i) bi đen có
trong 2 bi được chọn ra từ
hộp I, hộp II. Khi đó
- B0, B1, B2 xung khắc và ta
có:

t
r
ắ
n
g
.
Bài tóan yêu cầu tính
P(A2/A1).
Theo công thức nhân xác suất,
ta có P(A1A2) = P(A1)
P(A2/A1). Suy ra

27

A

28

C

l
à

b
i

1
1

s
a
u

l
à

)
=
C

4

l
ầ
n

t
i
ê
n

=
6

5

1
2
6

l
ấ
y

đ
ầ
u

1

2

b
i

l
ấ
y

C

C

c

ố

28

1

3

b
i
ế
n

c
ố

Lời giải

2

Gọi

l
à

A
1

l
à

0

CC

2
8

2

C 80 C C
5
C

P(A
A)

0

1
1

P(B0) =
b
i
ế

2

10

8
2

153

=

P(

)=
18

;

B1

10

8
2

=

153
P(B2) =
18

;

10

18

2

17

8

P(A1 )

1 2
P(A
.
=

=

.

C

C

- C0,
C1,
C2
xung

khắc
và
ta
có:

C 0C 2
P(C0) =

C
1
C
1

15

8

6

4
8

8

=

6

=

Bây giờ ta tính
các xác suất
P(A1) và
P(A1A2).
Gọi B1, B2
lần lượt là
các biến cố
chọn được
hộp I, hộp
II. Khi đó
B1, B2 là
một hệ đầy
đủ, xung
khắc từng
đôi và ta có:
P(B1) =
P(B2) =
0,5.
Theo
công
thức xác suất
đầy đủ, ta có

C
2
C
0
2
8

P(A
= ) )/
P(B
P(A
B ) +)/ P(B
P(A
B

8
6

; P(C )
=2

C

14

; P(C )
=2

91

91

1

2

C C

14

15

14

=
2
.
91

1

1

1

1

16

2

1

2


Mà
2

CC
C
2

0

6

P(A / A) =

a a-1
a + .b a + b - 1

a-1
=

P(A1 / B1) =

4
6

=
4
5

;
10

1

a+b1


C 2C 0

Bài
1.14:
Có 315
hộp
phấn,
trong
đó hộp
I chứa
viên
tốt và
5
viên
xấu,

hộp II chứa 10 viên
tốt và 4 viên xấu,
61
hộp III chứa 20 viên
=2
tốt và 10 viên
gieo một con xúc xắc
cân đối. Nếu thấy
xuất hiện mặt 1
chấm thì

Theo công thức ta chọn hộp
xác suất đầy
nếu xuất hiện
đủ, ta có
mặt 2 hoặc
chấm thì chọn
P(A1A
hộp II, còn
P(B2) P(A
xuất hiện các
Mà
mặt còn lại thì
P(A A / B ) = P(Achọn
/ B )P(A
A
hộp /III.
B)=
Từ hộp được
chọn lấy ngẫu
nhiên ra 4 viên
phấn. Tìm xác
suất để
được ít nhất
viên tốt.

nênP(A
5
P(A
/ 6B

1
1
1
1
2
1

4

8
3
0
a

a-1

b

b

P(A A1 /B ) = P(A /B )
=
. 2
P(A / A B
)=
1
2
1
2
2

1

6
6
1
0
2
2

C

nên
P(A
2)
13/330
.
ra
suất
cần
tìm
P(A
A1
=13/4
7=
0,2766
.
Bài
1.13
Một
hàng

gồm
sản
phẩm
loạia b
và
sản
phẩm
loại
được
đóng
gới để
gửi
cho
khách
hàng.
Nơi
nhận
kiểm
tra lại
thấy
thất
lạc
sản
phẩm.
Chọn
ngẫu
nhiên
ra
1
sản

Gọi A là biến cố
chọn được ít
nhất 2 viên phấn
tốt.

phẩm
thì
thấy
đó là
sản
phẩm
loại
I. Tính
xác
suất
để sản
phẩm
thất
lạc
cũng
thuộc
loại I.

Gọi A
là biến
cố sản
phẩm
được
chọn

ra
thuộc
lọai I.

a

b-1

/A
A
ú
(j
c
P(A
=1,2,
x
P(A
Từ
3) là
ắ
C C
C C c, C C
giả
biến
P(A / A ) =
+
+
=
thi
cố

x
4690
;
chọn
u
A1, A2 lần
được
ất
lượt là
hộp
hi
các biến
thứ j.
ệ
cố sản
Khi
n
phẩm
đó
m
thất lạc
A1,
ặt
thuộc
A2,
1
loại I,
A3 là
c
loại II.

hệ
h
Yêu cầu
đầy
ấ
của bài
đủ,
m
toán là
xung
,
tính xác
khắc
d
suất có
từng
o
điều kiện
đôi
đ
P(A1/A).
Ta
thấylà
và ta
ó
A
1, A
2
một
hệ

đầy
đủ,
có:
P
xung
khắc
từng
và đôi
- A1
(
x
A
ả
1)
a )=
P(A
y
=
C
r
1/
2
2
3
1
4
a
6.
0
.

+
+
=
k
1 a + 2a
h
Tương
b
C
i
tự,
1
C
v
a+b
à
P(A2) =
a+b
c
2/6;
Theo công thức
h
Bayes, ta có
P(A3) =
P(A
ỉ
P(A / A) =
P(A / A1 )
3/6.
k

=
P(A1 )P(A / A1 )
h
1
P(A)
Theo
i
công
Mà P(A 1)P(A /
t
A1) + P(A 2 )
thức xác
h
P(A / A2 )
suất đầy
đủ, ta có
ả
P(A)
y
=
c
C / A )A
P(A
=
P(A
o
a0
- 1=

ết

ta
có
:

j

n
x

)P(A

;
P(A /

1

2

2

15

5

P(A 4
CC C4
8
2
0
4

++C 5
C C4
2

3 1
4 0
15 5
15 5

=

9
C C
0 6
2
C
C0
4

;1
0
0
1

10
10
10

444

14
14
14

C C
C C
C C
24795
2
0
1
4 04

2
0
1
0

2
0

1
4 0

CC

2
7
4
0

5
Bài 1.15:
Có hai kiện
hàng I và
II. Kiện
thứ nhất
chứa 10 sản
phẩm,

=

a
.


trongthứ
đóhai
có 8chứa
sản 20
phẩmsản
loại
phẩm,
A. Kiện
trong đó
1

có 4 sản phẩm loại A.
Lấy từ mỗi kiện 2 sản
phẩm. Sau đó, trong 4
sản

nê a+
n b-

phẩm thu được
chọn ngẫu nhiên 2
sản phẩm. Tính xác
suất để trong 2 sản
phẩm chọn ra sau
cùng có đúng 1 sản
phẩm loại A.

a +2 ab
C1 - +
b
1

1

a
+
b
1

Lời giải
18

1
7

0

CC
2

C

CC
C
2

C

2

120
Gọi C là biến cố
trong 2 sản phẩm
chọn ra sau cùng có
đúng 1 sản phẩm loại
A.
Aj (j = 0, 1, 2, 3,
4 ) là biến cố có j sản
phẩm lọai A và (4-j)
sản phẩm lọai B có
trong 4 sản phẩm lấy
từ hai kiện I và II.
Khi đó A0, A1, A
A3, A4 là một hệ đầy

đủ, xung khắc từng
đôi. Theo công thức
xác suất đầy đủ, ta có
P(C) =
P(A0)P(
C/A0) +
P(A1)P(
C/A1) +
P(A2)P(
C/A2) +
P(A3)P(
C/A3)
+
P(A4)P(C
/A4).

P(C/A0) = 0;

1
3

C

B0
B1
B2

C0
0
1

2

C1
1
2
3

Ta
C
2 P(C/A ) =
có:
C C
2
1 1
3
4

6

3 1

16

=
;
2
0

190

=
6
4
;
1
9
0
C
2
6

C
0

- BP(C 16
=
;
4

2
0

190

- Tổng số sp A
trong 4 sp chọ
phụ thuộc vào
biến cố Bi và
theo bảng sau
1

2
4

P(C/A ) =
4
=

2
2

C

4

6

2
2
4

P(C/A )
=
C C
1 13
=

C