SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 60 trang )
SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
--------------------------
TÊN SÁNG KIẾN: SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TÍCH 11
TÁC GIẢ: NGUYỄN THÀNH HƯNG
CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
BÌNH ĐỊNH, THÁNG 03 NĂM 2018
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
TÊN SÁNG KIẾN: SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TÍCH 11
TÁC GIẢ: NGUYỄN THÀNH HƯNG
CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN
LĨNH VỰC CHỌN NGHIÊN CỨU: TOÁN
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT NGUYỄN HÒNG ĐẠO
BÌNH ĐỊNH, THÁNG 03 NĂM 2018
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 2
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
MỤC LỤC
1. ĐẶT VẤN ĐỀ...............................................................................4
1.1. Lý do chọn đề tài.......................................................................................................................................4
1.2. Xác định mục đích nghiên cứu................................................................................................................4
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................................................................5
1.4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm....................................................................................................5
1.5. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................................................5
1.6. Thời gian nghiên cứu........................................................................................................................5
2. NỘI DUNG...................................................................................6
2.1. Nội dung lý luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề cần nghiên cứu..................................................6
2.2. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu..................................................................................................6
2.3. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới..........................................................................................7
2.4. Mô tả, phân tích các giải pháp................................................................................................................8
I. LƯỢNG GIÁC......................................................................................................................................8
1.Hàm số lượng giác một góc..............................................................................................................................8
2.Phương trình lượng giác................................................................................................................................13
II.BÀI TOÁN ĐẾM................................................................................................................................21
1.1.Hoán vị n! (qu)..........................................................................................................................................22
1.2.Chỉnh hợp
1.3.Tổ hợp
Cnk
Ank
(qO)....................................................................................................................................22
(qP)...........................................................................................................................................23
1.4.Giải phương trình........................................................................................................................................23
III.DÃY SỐ..............................................................................................................................................24
1.Tìm các số hạng của dãy số............................................................................................................................25
2.Tìm số hạng tổng quát của dãy số.................................................................................................................31
IV.GIỚI HẠN..........................................................................................................................................35
1.Giới hạn của dãy số........................................................................................................................................35
2.Hàm số liên tục................................................................................................................................................47
V.ĐẠO HÀM...........................................................................................................................................48
x
1.Đạo của hàm số f ( x ) tại một điểm 0 .........................................................................................................49
2. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số.....................................................................................................52
4. Kết quả thực hiện.......................................................................................................................................56
4.1. Kết quả trước khi thực hiện...........................................................................................................56
4.2. Kết quả sau khi thực hiện..............................................................................................................56
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.........................................................57
1. Kết luận và kiến nghị.................................................................................................................................57
1.1. Ý nghĩa của đề tài đối với công tác giảng dạy, học tập.............................................................57
1.2. Khả năng áp dụng: .........................................................................................................................57
1.3. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển...................................................................................57
2. Kiến nghị: ...................................................................................................................................................57
Tổng hợp từ các tài liệu:................................................................58
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 3
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
- Năm 2017, Bộ giáo dục và đào tạo thay đổi hình thức thi, chuyển từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm.
Trong đề thi trắc nghiệm có 50 câu và thời gian làm bài 90 phút thế mỗi câu trắc nghiệm học sinh chỉ có
không quá 2 phút để giải. Ở đây chúng ta có thể thấy rằng thời gian quá ngắn để giải một câu trắc nghiệm
nếu cứ giải bài toán theo cách tự luận thì học sinh không có thời gian để giải.
- Lượng giác, giới hạn, đạo hàm là một trong những phần rất quan trọng của toán học nói chung và toán
học ở cấp trung học phổ thông nói riêng. Quan điểm của hàm số được quán triệt xuyên suốt trong toàn bộ
chương trình toán ở cấp trung học phổ thông hiện nay. Các bài toán về lượng giác, đạo hàm, giới hạn
được khai thác liên tục trong các kỳ thi như: Tốt nghiệp quốc gia và kỳ thi học sinh giỏi toán các cấp. Lí
thuyết về lượng giác được định nghĩa cơ bản đầy đủ từ lớp 10 được bổ xung các hàm sơ cấp ở lớp 11 và
xét nâng cao thêm về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình khối 12 vì vậy việc làm rõ
hơn về hàm số và ứng dụng của hàm số không chỉ giúp cho các em học sinh tự tin hơn khi học về hàm số
mà còn giúp các em rất nhiều trong việc nâng cao kỹ năng làm toán và ứng dụng vào trong thực tế cuộc
sống hiện nay.
- Trong đề tài này tập trung vào:
+ Lượng giác.
+ Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
+ Dãy số, cấp số cộng, cấp số công.
+ Giới hạn.
+ Đạo hàm
- Muốn đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là phần hàm số đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến
thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được
phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn,
thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình bộ môn Toán của trung học
phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT với
phương trâm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học Trong đề tài này tôi
đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “các phương pháp tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm
số” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyện và ôn tập.
Trong phạm vi đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là: “SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN GIẢI TÍCH 11”. Trong đề tài của mình tôi chỉ tập trung vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn và một số ứng dụng nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên một đoạn vào các bài toán thực tế. Nhất là tập trung vào khâu kỹ năng giải toán trong các
bài toán “SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TÍCH 11”.
- Trong vấn đề giáo dục hiện nay. Bên cạnh dạy cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo còn phải dạy cho
học sinh cách học hay, cách tư duy toán học tổng hợp, cách phối hợp nhiều kiến thức, cách lựa chọn
phương pháp hay, hữu hiệu giải quyết một bài toán tổng hợp (một vấn đề).
- Kiến thức toán học ở các lớp từ thấp lên cao có mối quan hệ chặt chẽ vì vậy học sinh cần phải nắm kiến
thức một cách có hệ thống khoa học, và vận dụng nó một cách linh hoạt, thì mới giải quyết được vấn đề
toán học tổng hợp.
1.2. Xác định mục đích nghiên cứu
1.2.1. Mục tiêu chung
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong giảng dạy tại các trường THPT trên
toàn tỉnh.
- Tạo ra tài liệu cho bản thân và học sinh tham khảo tự rèn luyện, ôn thi kì thi tốt nghiệp quốc gia năm
2017 tốt nhất.
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 4
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
- Đa số học sinh ở trường còn ít tài liệu để tham khảo và nghiêm cứu để giúp quá trình tự học tốt hơn.
1.2.2. Mục tiêu cụ thể
- Nhằm giúp các học sinh 11 trường THPT Nguyễn Hồng Đạo đạt hiệu quả cao trong kỳ thi tốt ngiệp
quốc gia năm 2019.
- Nhằm giúp các học sinh 11 trường THPT Nguyễn Hồng Đạo tiệp cận nhanh với phương pháp giải toán
trắc nghiệm trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2019.
- Nhằm giúp học sinh yếu tiệp cận với máy tính casio và sử dụng để giải một số bài toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Trong đề tài này tập trung vào:
+ Lượng giác.
+ Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
+ Dãy số, cấp số cộng, cấp số công.
+ Giới hạn.
+ Đạo hàm
1.4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm
- Học sinh các lớp khối 11 trong trường THPT Nguyễn Hồng Đạo đặc biệt là lớp 11A8.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
- Muốn đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là phần hàm số đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến
thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được
phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn,
thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình bộ môn Toán của trung học
phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT với
phương trâm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học Trong đề tài này tôi
đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “các phương pháp tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm
số” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyện và ôn tập.
Trong phạm vi đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là: “SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN GIẢI TÍCH 11”. Trong đề tài của mình tôi chỉ tập trung vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn và một số ứng dụng nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên một đoạn vào các bài toán thực tế. Nhất là tập trung vào khâu kỹ năng giải toán trong các
bài toán “SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TÍCH 11”.
- Trong vấn đề giáo dục hiện nay. Bên cạnh dạy cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo còn phải dạy cho
học sinh cách học hay, cách tư duy toán học tổng hợp, cách phối hợp nhiều kiến thức, cách lựa chọn
phương pháp hay, hữu hiệu giải quyết một bài toán tổng hợp (một vấn đề).
- Kiến thức toán học ở các lớp từ thấp lên cao có mối quan hệ chặt chẽ vì vậy học sinh cần phải nắm kiến
thức một cách có hệ thống khoa học, và vận dụng nó một cách linh hoạt, thì mới giải quyết được vấn đề
toán học tổng hợp.
1.6. Thời gian nghiên cứu
- Sử dụng máy tính casio không những giúp học sinh giải nhanh một số câu trắc nghiệm mà cũng có thể
hổ trợ để các em giải các bài toán tự luận nhanh và hiệu quả. Sáng kiến “SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TÍCH 11” sử dụng không những trong năm 2017 – 2018 mà sử dụng để
giảng dạy các lớp học sinh thế hệ sau này.
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 5
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2. NỘI DUNG
2.1. Nội dung lý luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề cần nghiên cứu
- Cơ sở chính trị:
+ Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
+ Căn cứ vào Sách giáo khoa 11 cơ bản và nâng cao của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
+ Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trong việc học chương trình Sách giáo khoa Giải tích 11.
+ Căn cứ vào chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán 11 cơ bản và nâng cao.
+ Căn cứ vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số đã nêu trong Sách giáo khoa
Giải tích 11 cơ bản và nâng cao.
- Cơ sở pháp lý:
+ Khả năng vận dụng linh hoạt phương pháp giải của học sinh còn rất yếu.
+ Khả năng vận dụng công thức của học sinh còn rất yếu.
+ Những thuận lợi và khó khăn của học sinh khi giải toán dung máy tính bỏ túi casio.
2.2. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu
2.2.1.Đặc điểm tình hình lớp:
Đặc điểm chung:
+ Phù Cát có nhiều xã khó khăn như: Cát Minh, Cát Tài, Cát Thành, Cát Sơn... Trong đó trường THPT
Nguyễn Hồng Đạo tuyến sinh trên bốn xã: Cát Lâm, Cát Hanh, Cát Hiệp, Cát sơn mà đặc biệt Cát Sơn là
xã khó khăn hưởng các chế độ của xã miền núi khó khăn, ở đây có nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn
cả về vật chất lẫn tinh thần do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở cho học tập còn hạn chế gây ảnh
hưởng không nhỏ đến việc nhận thức và phát triển năng lực học toán của các em. Sau khi nhận lớp tôi tìm
hiểu và nhận thấy việc nhận thức của các em học sinh không đồng đều về mặt kiến thức cũng như về kỹ
năng tính toán, kỹ năng giải toán do đó gây khó khăn nhiều cho giáo viên giảng dạy trong việc lựa chọn
phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng hoc sinh. Đứng trước tình hình đó để giúp các em
học sinh học tốt hơn mình mạnh dạng viết sang kiến kinh nghiệm “SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TÍCH 11” để các em có kĩ năng giải toán tốt hơn.
+ Đa số các em trong các gia đình chủ yếu bố mẹ nghề nông nên chưa quan tâm việc học của con em
mình. Đa số phụ huynh còn khoáng trắng con em mình cho nhà trường nên đa số các em chưa chú tâm
vào việc học của các em. Về nhà không ai nhắc nhở, tới trường thì ngồi chơi nên kiến thức và kỹ năng
giải toán ở trường còn rất kém.
Nguyên nhân
Nguyên nhân khách quan
+ Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều nhất là phần đạo hàm của các hàm số và
các bài toán liên quan đến dấu của nhị thức cũng như tam thức.
+ Phân phối chương trình toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học toán giảm nhiều so với chương
trình cũ nhưng nội dung nhìn chung không thay đổi nhiều.
+ Học sinh hổng kiến thức quá nhiều, đa số các em trong lớp chỉ còn nhớ một vài công thức .
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 6
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
+ Thời đại có nhiều sự thay đổi về công nghệ: điện thoại, facbook, zalo,… mạng xã hội đến khắp mọi nơi
đã làm cho thế học sinh không còn nhiều thời gian tập trung cho việc học nên chi phối đến kỹ năng giải
toán tại các trường cấp 3.
+ Nhiều em khó khăn chưa có điều kiện tiếp cận với máy tính bỏ túi (Vì đây là năm đầu tiên Bộ GD-ĐT
thay đổi sang hình thức thi tốt nghiệp trắc nghiệm)
Nguyên nhân chủ quan
+ Tuy là học sinh khối 11 nhưng đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn, chỉ biết trong
chờ vào người khác.
+ Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, khả năng tư duy sáng tạo trong việc học toán nói riêng và
học tập nói chung còn yếu.
+ Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào
việc giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán nói chung ...quá yếu.
+ Một số em chỉ nghỉ mình hiểu được bài trên lớp nhưng về nhà không làm lại nên kiến thức được học
không khắc sâu và kỹ năng tính toán nhìn chung là rất yếu.
2.2.2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
+ Trong vấn đề giáo dục hiện nay. Bên cạnh dạy cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo còn phải dạy cho
học sinh cách học hay, cách tư duy toán học tổng hợp, cách phối hợp nhiều kiến thức, cách lựa chọn
phương pháp hay, hữu hiệu giải quyết một bài toán tổng hợp (một vấn đề).
+ Kiến thức toán học ở các lớp từ thấp lên cao có mối quan hệ chặt chẽ vì vậy học sinh cần phải nắm kiến
thức một cách có hệ thống khoa học, và vận dụng nó một cách linh hoạt, thì mới giải quyết được vấn đề
toán học tổng hợp.
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 7
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2.3. Mô tả, phân tích các giải pháp
I. LƯỢNG GIÁC
- Xóa dữ liệu của máy tính casio:
Các bước thực hiện:
q93==
- Chuyển đơn vị trên máy tính casio:
+ Từ độ sang radian:
Các bước thực hiện:
qw4
+ Từ radian sang độ:
Các bước thực hiện:
qw3
- Chuyển một hàm sử dụng trên máy tính casio(TABLE):
+ Từ hai hàm sang một hàm:
Các bước thực hiện:
qwR51
+ Từ một hàm sang hai hàm:
Các bước thực hiện:
qwR52
1.Hàm số lượng giác một góc
1.1.Tập xác định của hàm số lượng giác
Các bước thực hiện: (Đổi đơn vị độ sang Radian)
- Bước 1: Quan sát tập xác định:
D �\ k 2
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì X (Cần r)
D �\ k
+ Nếu
thì k 2 � k 2 . Khi đó ta chọn k 0 , k 1 thì X và X
(Cần r)
� k � k
D �\ �
�
2 � k 4
2 thì 2
�
+ Nếu
. Khi đó ta chọn k 0, k 1, k 2, k 3 thì X ,
3
X
X
2 , X ,
2 , (Cần r)
+ Tương tự cho các trường hợp còn lại
- Bước 2: Sử dụng lệnh r
+ Nhập hàm số: F(X)=? Vào màng hình casio
+ rcác giá trị X đã phân tích ở trên
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả
+ Nếu máy báo lỗi thì nhận.
+ Nếu máy ra kết quả thì loại.
Ví dụ 1: Hàm số: y tan x có tập xác định?
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 8
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
�
�
�
�
�3
�
D �\ � k �
D �\ � k 2 �
D �\ � k 2 �
D �\ k
B.
�2
�2
�2
A.
C.
D.
Các bước thực hiện:(Đổi đơn vị độ sang Radian)
- Bước 1: Quan sát tập xác định:
�
�
3
D �\ � k �
X
X
�2
2 và
2
+ Nếu
thì k 2 � k 2 . Khi đó ta chọn k 0 , k 1 thì
(Cần r) A
D �\ k
+ Nếu
thì k 2 � k 2 . Khi đó ta chọn k 0 , k 1 thì X 0 và X
(Cần r) B
�
�
D �\ � k 2 �
X
�2
2 (Cần r) C
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
�3
�
3
D �\ � k 2 �
X
�2
2 (Cầnr) D
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
- Bước 2: Sử dụng lệnh r
+ Nhập: lQ))
+ rKP2=
+ r3KP2=
+ r0=
+ rK=
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả: Đáp án A
1 cosx
y
1 sin x có tập xác định?
Ví dụ 2: Hàm số:
�
�
D �\ �
k 2 �
D �\ k 2
B.
2
�
A.
�
�
D �\ � k 2 �
�2
C.
�3
�
D �\ � k 2 �
�2
D.
Các bước thực hiện:(Đổi đơn vị độ sang Radian)
- Bước 1: Quan sát tập xác định:
�
�
D �\ �
k 2 �
X
�2
2 (Cần r) A
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
D �\ k 2
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì X 0 (Cần r) B
�
�
D �\ � k 2 �
X
�2
2 (Cần r) C
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
�3
�
3
D �\ � k 2 �
X
�2
2 (Cần r) D
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
- Bước 2: Sử dụng lệnh r
+ Nhập: a1+kQ))Rs1
pjQ))
+ rpKP2=
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 9
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
+ r0=
+ rKP2=
+ r3KP2=
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả: Đáp án D
1.2.Tập giá trị của hàm số lượng giác
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=?
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step?15, rồi bấm =
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả
Ví dụ 1: Tập giá trị của hàm số: y 1 cos( 2 x 1 ) là?
0;1
1; 2
1; 2
A.
B.
C.
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=1pj2Q))+
1)=
D.
0; 2
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
0; 2
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả:
Đáp án: D
4
4
Ví dụ 2: Tập giá trị của hàm số: y 2 sin x cos x là?
2 �
1 �
�
�2 �
�
; 2�
; 2�
;2
�
�
�
3 �
3 �
�
A. �
B. � 3 �
C. �
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=2jQ))^4+
jQ))^4=
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 10
�2 �
;1�
�
D. � 3 �
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2 �
�
;2
�
3 �
�
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả: �
Đáp án: A
1.3.Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=?
Nhập hàm: G(X)=?
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 30, rồi bấm =
Chú ý: Việc chọn Start?, End?, Step? ở trên phụ
thuộc vào chu kì của hàm số.
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả
+ Nếu giá trị của F(X)=G(X) thì hàm số là hàm
chẵn trên tập xác định
+ Nếu giá trị của F(X)= - G(X) thì hàm số là hàm lẻ
trên tập xác định
+ Nếu giá tri của F(X) khác G(X) thì hàm số là
hàm số không chẵn, không lẻ trên tập xác định
Ví dụ 1: Hàm số: y cos 2 x 1 là hàm số nào dưới đây?
A. Hàm số chẵn
C. Hàm số không chẵn, hàm số không lẻ
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhậphàm: F(X)=k2Q))+1=
Nhậphàm:G(X)=kp2Q))+1=
- Bước 2: Nhập
Start? p180, rồi bấm =
End? 180, rồi bấm =
Step? 30, rồi bấm =
B. Hàm số lẻ
D. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả:
y cos 2 x 1 hàm số là hàm chẵn trên tập xác định
Đáp án A
Ví dụ 2: Hàm số: y cos( 2 x 1 ) là hàm số nào dưới đây?
A. Hàm số chẵn
B. Hàm số lẻ
C. Hàm số không chẵn, hàm số không lẻ
D. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhậphàm: F(X)=k2Q)+1)=
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 11
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Nhậphàm:G(X)=kp2Q)+1)=
- Bước 2: Nhập
Start? p180, rồi bấm =
End? 180, rồi bấm =
Step? 30, rồi bấm =
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả:
y cos 2 x 1 hàm số là hàm không chẵn, không lẻ
trên tập xác định
Đáp án: C
1.4.Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số lượng giác
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=?
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
Chú ý: Việc chọn Start?, End?, Step? ở trên phụ
thuộc vào chu kì của hàm số.
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả
Ví dụ 1: Hàm số: y sin x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
0 ; 90
A.
0
0
90 ;180
B.
0
180 ; 270
C.
0
0
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=jQ))=
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả:
Đáp án: A
1.5.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=?
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 12
0
270 ; 450
D.
0
0
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
Chú ý: Việc chọn Start?, End?, Step? ở trên phụ
thuộc vào chu kì của hàm số.
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả
Ví dụ 1: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 3 sin 5 x 4cos5 x 1 lần lượt là M và m.
Khi đó M và m là?
A. M 6, m 3
B. M 6 , m 4
C. M 5, m 5
D. M 5, m 4
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=3j5Q))+4
K5Q))+1=
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả:
GTLN y=6
GTNNy=-4
Đáp án: B
5
5
Ví dụ 2: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y sin x cos x lần lượt là M và m. Khi
đó M m là?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1
Các bước thực hiện:(Dùng đơn vị độ để dễ quan sát)
- Bước 1: w7 (TABLE)
Nhập hàm: F(X)=jQ))^5+j
Q))^5=
- Bước 2: Nhập
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả:
GTLN y=1
GTNNy=-1
Đáp án: A
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 13
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2.Phương trình lượng giác
2.1.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
2.1.1.Phương trình lượng giác cơ bản
Cách 1: Dùng bảng TABLE (w7) và đường tròn lượng giác
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Dò nghiệm của phương trình (w7)
Nhập hàm: F(X)=?
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
Chú ý: Việc chọn Start?, End?, Step? ở trên phụ
thuộc vào chu kì của hàm số.
- Bước 2: Biểu diễn lên đường tròn lượng giác
Chú ý:
+ Các điểm đứng một mình: k 2
+ Có 2 điểm đối xứng: k
k
2
+ Có 4 điểm cách đều nhau:
k
n
+ Tổng quát: Có n điểm cách đều nhau:
1
sin x
2
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
�
�
�
x k
x k 2
x k 2
�
�
�
6
6
6
�
�
�
5
5
�
�
�
x
k
x
k 2
x k 2
�
�
�
6
A. � 6
B. � 6
C. �
Cách 1 : Dùng bảng TABLE (w7) và đường tròn lượng giác
Các bước thực hiện:(để ở đơn vị độ sẽ nhìn thấy dễ hơn)
- Bước 1: Dò nghiệm của phương trình (w7)
Nhập hàm:
F(X)=jQ))pa1R2
Start? 0, rồi bấm =
End? 360, rồi bấm =
Step? 15, rồi bấm =
5
Kết quả: Quan sát bảng cho các nghiệm 6 , 6
�
x k
�
6
�
�
x k
�
6
D. �
- Bước 2: Biểu diễn lên đường tròn lượng giác
�
x k 2
�
6
�
5
�
x
k 2
�
� 6
Chú ý: Cách này chỉ sử dụng khi phương trình lương giác có nghiệm chẵn và đẹp.
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 14
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Cách 2: Dùng lệnh r.
Các bước thực hiện: (Đổi đơn vị độ sang Radian)
- Bước 1: Quan sát tập xác định:
+ Nếu D k 2 thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì X (Cần r)
+ Nếu x k thì k 2 � k 2 . Khi đó ta chọn k 0 , k 1 thì X và X
(Cần r)
k
k
2 � k 4
x
2 thì 2
+ Nếu
. Khi đó ta chọn k 0, k 1, k 2, k 3 thì X ,
3
X
X
2 , X ,
2 , (Cần r)
+ Tương tự cho các trường hợp còn lại
- Bước 2: Sử dụng lệnh r
+ Nhập hàm số: F(X)=? Vào màng hình casio
+ rcác giá trị X đã phân tích ở trên
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả
+ Nếu máy báo 0 nhận.
+ Nếu máy ra kết quả khác thì loại.
1
sin( x )
4
2
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
�
�
�
�
x k 2
x k 2
x
k 2
x
k 2
�
�
�
�
6
12
12
12
�
�
�
�
7
5
5
�
�
�
�
x
k 2
x
k 2
x k 2
x
k 2
�
12
A. � 12
B. � 12
C. �
D. � 6
Các bước thực hiện: (Đổi đơn vị độ sang Radian)
- Bước 1: Quan sát tập xác định:
�
x k 2
�
12
�
7
7
�
x
k 2
X
X
12 ,
12
+ Nếu � 12
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
(Cần r) A
�
x
k 2
�
12
�
5
5
�
x
k 2
X
X
�
12
12 và
12
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
(Cần r) B
�
x
k 2
�
12
�
�
x k 2
X
X
�
12
12 và
12
+ Nếu
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
(Cần r) C
�
x k 2
�
6
�
5
5
�
x
k 2
X
X
�
6 và
6
+ Nếu � 6
thì k 2 2 � k 1 . Khi đó ta chọn k 0 thì
(Cần r) D
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 15
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
- Bước 2: Sử dụng lệnh r
+ Nhập:jQ)+aKR4$)
+ rpKP12==
7KP12==
rKP12==
5KP12==
rpKP12==
KP12==
rKP6==
5KP6=
- Bước 3: Quan sát bảng cho ta kết quả: A
Chú ý: Cách giải này sử dụng cho tất cả các phương trình lượng giác có số k từ 4 trở lại.
Cách 3: Dùng qk, qj, ql.
Biến đổi các phương trình cơ bản: sin u m , cosu m , tan u m , cot u m chuyển về phương trình có
dạng: sin u sin v , cosu cosv , tan u tan v , cot u cot v .
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tính v theo công thức
1
sin(
)
m sin(?) Bấm qj m =
2
6
1
m cos(?) Bấm qk m =
cos( )
2
3
m tan(?) Bấm ql m =
1 tan( )
1
4
m cot(?) Bấm ql m =
1 cot( )
4
- Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm sau:
2
u v k 2
�
sin u sin v � �
3
3
u v k 2 , k ��
�
k 2
u v k 2
k 3
�
2
cosu cosv � �
u v k 2 , k ��
�
3
tanu tan v � u v k , k ��
cot u cot v � u v k , k ��
3
Đưa về phương trình theo biến x giải
2
(Thực hiện tính bằng máy tính các phép toán)
3
1
sin 9 x
2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 16
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
� k
� k 2
� k 2
x
x
x
�
�
�
54 9
54
9
54
9
�
�
�
5 k
5 k 2
k 2
�
�
�
x
x
x
�
�
�
9
9
54
9
A. � 54
B. � 54
C. �
Cách 3: Dùng qk, qj, ql.
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tính v theo công thức
1
sin(?)
2
Bấm qja1R2$)=
- Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm sau:
�
9 x k 2
�
6
sin 9 x sin � �
6
�
9 x k 2
�
6
� k 2
x
�
54
9
��
5
k
2
�
x
�
9
� 54
Chú ý: Cách giải này sử dụng cho tất cả các phương trình lượng giác cơ bản.
� k
x
�
54 9
�
k
�
x
�
54 9
D. �
2.1.2.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Biến đổi phương trình a sin f ( x ) b cos f ( x ) c tương đương r sin( f ( x ) ) c . Sau đó giải
phương trình lượng giác cơ bản.
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tính
q+ a q) b )=
Giả sử sin x 3 cos x 1
- Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản:
r sin( f ( x ) ) c
(Giải giống như dạng trên)
Chú ý: Khi nhập vào máy tính cần lưu ý thứ tự của a, b.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin x 3cosx 1
�
x k 2
�
6
�
�
x k 2
A. � 2
�
x k 2
�
6
�
�
x k 2
B. � 2
�
x k 2
�
6
�
�
x k 2
2
C. �
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tính
q+1q)s3$)=
Jn=
- Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản:
2 sin( x ) 1 � sin( x ) sin
3
3
6
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 17
�
x k 2
�
6
�
�
x k 2
2
D. �
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
�
x k 2
�
3 6
��
�
x k 2
�
6
� 3
�
x
k 2
�
6
��
�
x k 2
� 2
sin( x
) 3cos( x ) 1
4
4
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
5
5
�
� 5
�
� 5
x
k 2
x
k 2
x
k 2
x
k 2
�
�
�
�
12
12
12
12
�
�
�
�
3
3
3
3
�
�
�
�
x
k 2
x
k 2
x
k 2
x
k 2
�
�
�
�
4
4
4
4
A.
B.
C.
D.
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tính
q+1q)s3$)=
Jn=
- Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản:
7
7
2 sin( x
) 1 � sin( x
) sin
12
12
6
� 7
x
k 2
�
12 6
��
7
�
x
k 2
�
6
� 12
5
�
x
k 2
�
12
��
3
�
x
k 2
� 4
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 sin x 4cosx 5
x k 2
x k 2
x k 2
D. x k 2
2
2
2
A.
B.
C.
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Tính
q+3q)4)=
Jn=
- Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản:
5 sin( x ) 5 � sin( x ) sin
2
� x k 2
2
� x k 2
2
Chú ý: Khi góc lẻ thì chúng ta sẽ kí hiệu góc đó bằng rồi giải như bình thường.
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 18
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2.1.3.Phương trình đưa về dạng tích
Các bước thực hiện
Bước 1: Sử dụng máy tính casio để tiến hành nhẩm nghiệm theo một trông hai cách sau:
Cách 1: Dùng chức năng r, chức năng này có công dụng tính giá trị của một hàm số tại một điểm
Chuyển phương trình về dạng f ( x ) 0 .
x
6 có là nghiệm hay
Nhập vào máy tính casio hàm số f ( x ) , bấm phím r, máy hỏi X? Giả sử cần thử
x
6 là nghiệm. Để thử các giá trị
không, ta nhập vào 6 và bấm phím =; Máy hiện số 0 thì chứng tỏ
khác ta tiếp tục bấm phím r, nhập giá trị và bấm phím =.
Cách 2: Dùng chức năng SOLVE , chức năng này có công dụng là tìm nghiệm của phương trình trong
một lân cận của x đã chỉ ra.
Chuyển chương trình máy tính về đơn vị độ bằng cách bấm các phím: qw3
Nhập vào phương trình f ( x ) 0 .
Ấn phím qr máy hỏi X? ta nhập vào giá trị mà ta dự đoán là nghiệm, chẳng hạn 30, máy sẽ dò tìm một
0
nghiệm trong lân cận của 30 . Tiếp tục nhấn qr để kiểm tra các giá trị khác.
Cách này có một nhược điểm đôi lúc ta chọn các giá trị xi ban đầu máy báo CAN’T SOLVE hoặc tốc độ
cho ra nghiệm tương đối lâu.
x
6 . Ta tiếp tục thử với các giá trị đặc biệt tương ứng với
Bước 2: Giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm
cung liên kết nghiệm đó. Cụ thể:
3
cosx
x
6 , nếu thỏa mãn PT thì ta dự đoán PT có nghiệm x sao cho
2 ,
Thử với giá trị đối của nó:
2cosx 3
hay PT được đưa về dạng tích có chứa thừa số
5
1
x
cosx
6 , nếu thỏa mãn PT thì ta dự đoán PT có nghiệm x sao cho
2 , hay
Thử với giá trị bù của nó:
2cosx 1
PT được đưa về dạng tích có chứa thừa số
7
5
x
x
6 (hay
6 ), nếu thỏa mãn PT thì ta dự đoán PT có
Thử với giá trị hơn (kém) của nó:
3
3 , hay PT được đưa về dạng tích có chứa thừa số
nghiệm x sao cho
Từ đó ta có thể định hướng lời giải bài toán.
Bước 3: Tìm điều kiện của phương trình.
Bước 4: Giải phương trình (dựa vào định hướng của bước 2)
Bước 5:So sánh điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin 2 x 2cos 2 x 1 sinx 4cosx là?
�
�
�
x k 2
x k 2
x k
�
�
�
3
3
3
�
�
�
2
2
�
�
�
x k 2
x
k 2
x
k
�
�
�
3
A. �
B. � 3
C. � 3
Các bước thực hiện:
- Bước 1: Nhẩm ra một nghiệm
J2Q))+2k2Q))p
1pjQ))+4kQ))
rKP3=
tan x
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 19
3 tan x 1
�
x k
�
3
�
�
x k
�
3
D. �
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
- Bước 2: Phân tích các cung đặc biệt
rpKP3=
cosx
ta dự đoán PT có nghiệm x sao cho
PT được đưa về dạng tích có chứa thừa số
2cosx 1
1
2 , hay
- Bước 3: Sử dụng các công thức ta được:
sin 2 x 2cos 2 x 1 sinx 4cosx
� sin x( 2cosx 1 ) 4cos 2 x 4cosx 3 0
� sin x( 2cosx 1 ) ( 2cosx 1 )( 2cosx 3 ) 0
� ( 2cosx 1 )( 2cosx sinx 3 ) 0
� 2cosx 1 0
- Bước 4:Giải pt lượng giác cơ bản:
�
x k 2
�
3
��
�
x k 2
�
3
�
a;b
a;b
2.2.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên một khoảng
, đoạn
.
3
3
2
cos
x
4
sin
x
3
sin
x.cos
x
sinx
0 trên khoảng
Ví dụ 1: Số nghiệm của phương trình sau:
0;1800 là
B. 1
C. 2
A. 0
D. 3
Cách 1: Dùng bảng TABLE (w7)
Các bước thực hiện: (w7)
- Bước 1: w7
Nhập hàm: F(X)=k^3Q)p4O
J^3Q)p3Oj^2Q)
OkQ)+jQ)
- Bước 2:Nhập thông tin
Start? 0, rồi bấm =
End? 180, rồi bấm =
Step? 180P20, rồi bấm =
- Bước 3: Quan sát bảng ta được kết quả
Đáp án D
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 20
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Chú ý: Cách này chúng ta chỉ sử dụng cho khoảng 10 nghiệm thuộc khoảng thôi. N ếu nhi ều h ơn thì không
còn chính xác nữa. Để khác phục lỗi sai đó bằng cách chia nhiều khoảng nh ỏ r ồi kiểm tra. Nh ưng đ ề bài
cần tìm ra nghiệm cụ thể thì cách này không thể làm được.
Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là ba nghiệm của phương trình sau:
0
cos 3 x 4 sin3 x 3 sin 2 x.cos x sinx 0 trên khoảng 0;180 . Tính x1 x2 x3 là:
0
0
0
0
A. 315
B. 316
C. 317
D. 318
Cách 2: Dùng bảng TABLE (w7) và Shift Solve
Các bước thực hiện:
- Bước 1: w7
Nhập hàm: F(X)=k^3Q)p4O
J^3Q)p3Oj^2Q)
OkQ)+jQ)
Nhập thông tin
Start? 0, rồi bấm =
End? 180, rồi bấm =
Step? 180P20, rồi bấm =
Quan sát bảng ta được các khoảng mà phương trình
27 0 ; 360 1440 ;1530
có nghiệm là:
,
và
0
chúng ta có một nghiệm đẹp: x 135
- Bước 2: Sử dụng Shift Solve (qr)
k^3Q)p4OJ^3Q)
p3Oj^2Q)OkQ)+
jQ)
qr(36+27)P2=
qr(144+153)P2
=
- Bước 3: Khi đó ta được: Đáp án A
Bài tập vận dụng:
sin x
18 có mấy nghiệm:
Bài 1: Phương trình x
A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 3 nghiệm
sin 8x cos 6x 3 sin 6x cos8x
Bài 2: Phương trình
có các họ nghiệm là:
�
�
�
x k
x k
x k
�
�
�
4
3
5
�
�
�
�
�
�
x k
x k
x k
�
�
�
12
7
�
6
2
7
2
�
�
A.
B.
C.
7
sin 6 x cos6 x
16 có nghiệm là:
Bài 3: Phương trình
x � k
x � k
x � k
3
2
5
2
4
2
B.
A.
C.
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 21
D. Vô số nghiệm
D.
�
x
�
�
�
x
�
�
k
8
k
9
3
x � k
6
2
D.
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Bài 4: Phương trình sin 3x 4sin x.cos 2x 0 có các nghiệm là:
2
�
�
�
�
xk
x k2
x k
xk
�
�
3
2
�
�
�
�
�
�
2
x � n
x � n
�
�
x � n
x � n
3
6
�
�
A. �
B. �
4
�
3
�
C.
D.
x
x
sin 2x cos4 sin 4
2
2 có các nghiệm là:
Bài 5: Phương trình
�
2
�
�
�
x k
x k
x k
x k
�
�
�
�
12
2
3
4
2
3
� 6
�
�
�
3
�
�
�
�
x k
x 3 k2
x k2
x k
�
�
2
� 2
�
B. �
C. �
A. � 2
D. � 4
� �
3
0; �
sin3 x.cos 3x cos3 x.sin 3x
�
2
8 là:
Bài 6: Các nghiệm thuộc khoảng � �của phương trình
5
5
5
5
,
,
,
,
6
6
8
8
12
12
24
24
C.
D.
A.
B.
3
Bài 7: Phương trình: 3sin 3x 3 sin 9x 1 4sin 3x có các nghiệm là:
2
2
2
�
�
�
�
x k
x k
x k
x k
�
�
�
�
54
9
6
9
9
9
12
9
�
�
�
�
2
2
2
2
� 7
� 7
� 7
�
x k
x
k
x
k
x k
�
�
�
�
18
9
6
9
9
9
12
9
�
�
�
�
A.
B.
C.
D.
x
x 5
sin 4 cos4
0; 2
2
2 8 là:
Bài 8: Các nghiệm thuộc khoảng
của phương trình:
3
5
2 4
3 5
; ;
, ,
, ,
, ,
8 8 8
A. 6 6
B. 3 3 3
D.
4
2
2
C.
Bài 9: Phương trình 4 cos x 2 cos 2x cos 4x 1 có các nghiệm là:
�
2
�
�
x k
�
x k
x k
3
3
�
�
�
2
4
2
�
�
�
xk
�
A. �x k2
B. �x k
2
C. �
�
�
� 5
cos 2 �
�x 3 � 4 cos �6 x � 2
�
�
�
�
Bài 10: Phương trình
có nghiệm là:
A.
�
x k2
�
6
�
�
x k2
�
� 2
B.
�
x k2
�
6
�
3
�
x k2
�
2
�
C.
�
x k2
�
3
�
5
�
x k2
�
6
�
D.
�
x k
�
6
3
�
�
xk
�
4
�
D.
�
x
�
�
�
x
�
�
k2
3
k2
4
II.BÀI TOÁN ĐẾM
1.1.Hoán vị n! (qu)
Cú pháp: n qu
Ví dụ 1: Tính P10
A. 1628800
B. 3628800
C. 2628800
D. 4628800
Các bước thực hiện: P10
10qu=
Ví dụ 2: Có 2 học sinh nữ, 3 học sinh nam xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 22
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
A. 120
B. 121
C. 122
D. 123
B. 366
C. 335
D. 334
Các bước thực hiện: P5
5qu=
k
1.2.Chỉnh hợp An (qO)
Cú pháp: n qO k
3
Ví dụ 1: Tính A8 là:
A. 336
3
8
Các bước thực hiện: A
8qO3=
Ví dụ 2: Cho 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số được lập thành từ 7 chữ số trên, mỗi chữ số gồm 5 chữ
số khác nhau là:
2519
A.
B. 2520
C. 2521
D. 2522
5
Các bước thực hiện: A7
7qO5=
k
1.3.Tổ hợp Cn (qP)
Cú pháp: n qP k
3
Ví dụ 1: Giá trị C8 là:
A. 52
Các bước thực hiện:
8qP3=
B. 54
C. 55
D. 56
Ví dụ 2: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Số cách chọn một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ là:
A. 838
B. 839
C. 840
D. 841
2
3
Các bước thực hiện: C6 .C8
6qP2O8qP3=
1.4.Giải phương trình
1
2
3
2
Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình Cx 6C x 6C x 9 x 14 x là:
A. 5
B. 6
C. 7
Hướng dẫn giải: Sử dụng r
Các bước thực hiện:
Nhập hàm:
Q)qP1+6OQ)
qP2+6OQ)qP3p9
Q)^2+14Q)
r5=
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 23
D. 8
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
r6=
r7=
r8=
Đáp án C
Chú ý: Cách giải này chỉ sử dụng được khi đáp án là nghiệm của phương trình.
1
2
3
2
5
Ví dụ 2: Gọi x là nghiệm của phương trình Cx 6Cx 6Cx 9 x 14 x . Giá trị Ax là:
A. 210
B. 211
C. 212
D. 213
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng TABLE (w7)
Các bước thực hiện:
�x ��
�
- Bước 1: Điều kiện pt: �x �3
- Bước 2: Sử dụng bảng TABLE (w7)
w7
F(X)=Q)qP1+6OQ)
qP2+6OQ)qP3p9
Q)^2+14Q)=
Start? 3=
End? 23=
Step? 1=
Quan sát bảng: Tìm được nghiệm phương trình:
x=7
- Bước 3: So sánh nghiệm với điều kiện : x=7
3
Vậy: A7
Chú ý: Sử dụng tính năng SOLVE(qr)
Các bước thực hiện:
�x ��
�
- Bước 1: Điều kiện pt: �x �3
- Bước 2: Sử dụng tính năng SOLVE (qr)
+ Q)qP1+6OQ)qP
2+6OQ)qP3p9Q)
^2+14Q)
+ qr4=
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 24
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
+ qr5=
+ qr6=
+ qr7=
+ qr8=
Chú ý: Cách này không hiệu quả khi ta giải phương trình trên có như trên.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trong một hộp bút có 2 bút đỏ, 3 bút đen và 2 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy một cái bút?
A. 12
B. 6
C. 2
D. 7
Bài 2: Có 5 bông hoa hồng khác nhau, 6 bông hoa lan khác nhau và 3 bông hoa cúc khác nhau. Hỏi bạn
có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có một bông hoa của mỗi loại?
A. 14
D. 24
B. 90
C. 3
Bài 3: Có 6 quyển sách toán, 5 quyển sách hóa và 3 quyển sách lí. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy ra 2
quyển sách mỗi loại?
A. 450
B. 28
C. 366
D. 90
Bài 4: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số nhỏ hơn 2811?
A. 1297
B. 675
C. 729
D. 1567
Bài 5: Một đội tanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách để phân
công đội thanh niên tình nguyện về ba tỉnh miền núi sao cho mỗi vùng phải có 4 nam và 1 nữ?
A. 207900
B. 34650
C. 69300
D. 103950
Bài 6: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người ngồi vào một chiếc bàn tròn ?
B. 24
A. 120
C. 36
D. 60
1
n !.n ! 4.
(n 1)! 12
n 1
Bài 7: Nghiệm của phương trình
là:
B. 4
A. 3
C. 5
D. 6
3
2
Bài 8: Nghiệm của phương trình Ax 5 Ax 2( x 15) là:
A. 1
B. 2
C. 3
5
2n
Bài 9: Hệ số của x trong khai triển (1 + 3x) biết là :
2 5
A.
B.
C. 3 C10
D. 4
D.
Bài 10: Cho đa thức P(x) = (1 + x)8 + (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + (1 + x)12. Khai triển và rút
gọn P(x) ta được hệ số của x8 bằng :
A. 700
B. 715
C. 720
III.DÃY SỐ
1.Tìm các số hạng của dãy số
1.1.Dãy số cho dạng tổng quát
Cho dãy số ( un ) có un f ( n )
Cách 1: Sử dụng TABLE (w7)
Các bước thực hiện:
- Bước 1:w7(TABLE), nhập F(X)=?(Thay biến n thành X), bấm =
- Bước 2: Nhập
Start? 1, rồi bấm =
End? 25, rồi bấm =
Giáo Viên: Nguyễn Thành Hưng
Page 25
D. 730
