Đề thi HSG có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
2 4 6 ...... 100
4 4 4 4
S
1 1 1 1
1 3 5 ...... 99
4 4 4 4
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
=
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x
3
+ y
3

+ 2xy
Bài 3 (3 điểm)
Giải phương trình:
a)
2
x 4x 5 2 2x 3+ + = +

b)
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −

Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài
đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.
Bài 5 (2 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di
động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác
định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán
Sơ lược lời giải và thang điểm
Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
2 4 6 ...... 100
4 4 4 4

S
1 1 1 1
1 3 5 ...... 99
4 4 4 4
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
=
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Giải: ∀ n ∈ N, ta có:
2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
n n n n n n n n n n
4 4 2 2 2
    
+ = + + − = + − = + + − +
 ÷  ÷ ÷
    
(1)
(0,5 điểm)
Mặt khác:
2 2 2
1 1 1
n n (n 2n 1) (n 1) (n 1) (n 1)
2 2 2

− + = − + + − + = − + − +
(2)
(0,5 điểm)
Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được:

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 4 4 4 4 ... 100 100 100 100
2 2 2 2 2 2
S
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 3 3 3 3 ... 99 99 99 99
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 1
2 2
S
       
+ + − + + + − + + + − +
 ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
       
=
       
+ + − + + + − + + + − +
 ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
       
 
+ + + +

 ÷
 
=
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
1 1 1 1
4 4 3 3 ... 100 100 99 99
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 3 3 2 2 ... 99 99 98 98
2 2 2 2 2 2
1
100 100
1
2
S 2. 100 100 20201
1
2
2
     
+ + + + + + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
     
       
+ + + + + + + + + + + +
 ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
       
+ +

 
= = + + =
 ÷
 
(0,5 điểm)
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x
3
+ y
3
+ 2xy
Giải: Ta có: (a – b)
2
≥ 0 ⇔ (a + b)
2
≥ 4ab ⇔ –4ab ≥ –(a + b)
2
. (0,5 điểm)
Áp dụng vào biểu thức A, ta có:
A = (x + y)
3
– 3xy(x + y) + 2xy
= 8 – 6xy + 2xy
= 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)
2
= 8 – 4 = 4 (0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y mà x + y = 2 (gt) ⇒ x = y = 1
Vậy: min A = 4 ⇔ x = y = 1 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)

Giải phương trình:
a)
2
x 4x 5 2 2x 3+ + = +
(1)
b)
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
Giải:
a) (1,5 điểm). Điều kiện:
3
x
2
≥ −
(0,5 điểm)
Ta có: (1) ⇔
2
(x 2x 1) (2x 3 2 2x 3 1) 0+ + + + − + + =
(0,5 điểm)
⇔
2 2
x 1 0
(x 1) ( 2x 3 1) 0 x 1
2x 3 1 0
+ =


+ + + − = ⇔ ⇔ = −

+ − =



(thỏa mãn)
Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm)
b) (1,5 điểm).
Ta có: 3x
2
+ 6x + 7 = 3(x + 1)
2
+ 4 ≥ 4
5x
2
+ 10x + 14 = 5(x + 1)
2
+ 9 ≥ 9
Do đó:
2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 9 2 3 5+ + + + + ≥ + = + =

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 (1)
(0,5 điểm)
Mặt khác: 4 – 2x – x
2
= 5 – (x + 1)
2
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 (2)
(0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −

⇔ x = –1.
Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1
(0,5 điểm)
Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài
đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.
Giải:
– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD
cắt AD tại N ⇒ BCND là hình bình hành
Suy ra: BC = DN
(1
điểm)
– Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt)
Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM
Do đó: M là trung điểm của AN
(0,5
điểm)
– Vì CN // BC mà BD ⊥ AC ⇒ CN ⊥ AC
Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến
⇒ 2CM = AN. Hay: CM = AM
M
F
E
NDA
I
B C
Vậy: ∆AMC cân tại M
(0,5
điểm)

Bài 5 (2 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di
động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác
định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
– Kẻ MF ⊥ AB, MG ⊥ AC
⇒ AFMG là hình chữ nhật.
(0,5
điểm)
– Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG
(tính chất đường xiên, hình chiếu)
(0,5 điểm)
Do đó:
DME
1 1
S MD.ME MF.MG Const
2 2
= ≥ =
Dấu "=" xảy ra ⇔ D ≡ F và E ≡ G
(0,5
điểm)
Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên
AB, AC thì diện tích của ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất.
(0,5
điểm)
Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính
xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên.
G
F
E

M C
A
B
D