TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC HAY LỚP 9 VÀ ÔN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO 10

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC LỚP 9
Bài 1: Cho đường tròn (O). Một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây cung AB lấy
hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh rằng EHCD là một
tứ giác nội tiếp.
HDẫn:
S
�  1 (s�AD
�  s�
� góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)
SB)(
Ta có: HED
B
E
2
H
A
�  1 s�
�  1 s�
�  BD)
�  1 (s�
�  s�BD)
� (góc nội tiếp)
HCD
SD
(SB
SA
O
2
2
2
�  HCD

�  1 s�
�  SB
�  SA
�  BD)
�  1 3600  1800
C
D
HED
(AD
2
2
Vậy tứ giác HECD nội tiếp đường tròn.
Bài 2: Cho tam giác ABC ; Các đường phân giác của các góc B và C gặp nhau tại S, Các đường thẳng
A
chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E . Chứng minh rằng:
a) BSCE là một tứ giác nội tiếp.
S
b) Ba điểm A, S và E thẳng hàng
B
C
Hướng dẫn:
�  900 (tính chất phân giác của hai góc kề bù)
a) SBE
�  900 (tính chất phân giác của hai góc kề bù)
SCB
�  SCB
�  900  900  1800
nên SBE
Vậy tứ giác BSCE nội tiếp đường tròn.
E

b) Ta chứng minh A, S, E cùng nằm trên phân giác của góc A.
Bài 3: Các đường cao hạ từ A và B của một tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường cao ấy kéo dài cắt
đường tròn tại D và E. Chứng minh rằng:
E
A
a) CD = CE.
b) H và D đối xứng nhau qua BC; H và E đối xứng nhau qua AC.
Hướng dẫn:
H
�
�
�
a) Ta chứng minh CAD  CBE(c�
ng ph�v�
i ACB)
O
�  CE
� � CD  CE
suy ra CD
B
C
�  CE
� � CBD
�  CBE
�
b) Từ CD

Tam giác BHD có BC vừa là đường cao vừa là phân giác nên nó là tam giác cân
D
Do đó BC là trung trực của DH . Vậy D, H đối xứng nhau qua BC.

Chứng minh tượng tự: E, H đối xứng nhau qua BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A gặp đường tròn tại M. Vẽ
đường cao AH và bán kính OA. Chứng minh rằng:
A
a) đường thẳng OM đi qua trung điểm của dây BC.
b) AM là phân giác của góc OAH.
Hướng dẫn:
�  CM(v�
�
�  CAM)
�
O
a) Ta chứng minh BM
BAM
� BM  CM
C
và OB = OC (= R) nên OM là trung trực của BC, do đó đường B
H
OM đi qua trung điểm của BC.
�
�
�
b) Ta chứng minh HAM
v�OAM
c�
ng b�
ng v�
i AMO
M
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm là H. Tia AH cắt đường tròn (O) ở E. Kẻ

A
đường kính AOF.
a) Chứng minh: BC // EF.
H
�  CAF.
�
b) Chứng minh: BAE
O
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng.
C
B
I
Hướng dẫn:
a) Ta chứng minh BC và EF cùng vuông góc với AE.
F
E
�  CF
� � BAE
�  CAF
�
b) BC // EF suy ra BE
c) Ta chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành


BH//CF (vì cùng vuông góc với AC) và CH//BF(cùng vuông góc với AB): H, I, F
nằm trên đường chéo do đó H, I, F thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là trực tâm của tam giác. K là
trung điểm AC. Phân giác góc A cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm N của BC.
A

�
�
b) HAM
 MAO
I
c) AIB : NOK , AI  2ON
K
Hướng dẫn:
O
Phần a) và b) tương tự bài tập 4
B
C
N
H
c)AB//NK(tính chất đường trung bình tam giác)
�  OKN
�
�  OKN
� ( góc có cạnh tương ứng //)
AH//ON ; BI//OK nên ABI
v�BAI
M
AI AB 2

 � AI  2ON .
Vây AIB : NOK (g – g) �
ON NK 1
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác của góc A và B cắt nhau ở I
và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Tia CI cắt đường tròn ở F.
a) Chứng minh F là điểm chính giữa của cung AB.

A
b) Chứng minh tam giác CDI cân.
E
c) DF Cắt AB ở K. Chứng minh hai tam giác AKF và DKB đồng dạng.
F
I
Hướng dẫn:
K
�  BF
�
a) CI là tia phân giác của góc ACB, CI cắt đường tròn tại F suy ra AF
B
C
nên F là điểm chính giữa cung AB.
�  ICD
� � IDC c�
b) Ta chứng minh DIC
n
D
�  BKD(�
�
�  BDK
� (góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
c) AKF
�
i�
�
nh) FAK
Vậy hai tam giác AKF và DKB đồng dạng (g – g)
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O), có ba đường cao AD, BE, CF

và trực tâm H. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên đường thẳng EF. Chứng minh:
a) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
A
b) Điểm đối xứng của H qua BC nằm trên đường tròn (O)
K
E
c) DE + DF = IK.
Hướng dẫn:
F H
O
I
�  ECH(doCEHD nội tiếp)
a) Ta có EDH
C
�  FBH
� (do BFHD nội tiếp)
B
D
FDH
�  FBH
� (do BCEF nội tiếp)
M
ECH
�  FDH
� , DH là tia phân giác của góc EDF.
� EDH
Chứng minh tương tự ta được FH là tia phân giác của góc DFE. suy ra H là giao điểm các đường
phân giác của DEF nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
b) M là điểm đối xứng của H qua BC ta chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O)
�  BMC

�  1800
Chỉ ra BAC
c) Do FC là tia phân giác của góc DFE , BF  FC nên FB là phân giác ngoài của tam giác DEF tại
đỉnh F. Do đó B là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác DEF trong góc DEF , theo tính chấ đường
tròn bàng tiếp ta có:
2EI = EF + ED + DE (1)
Chứng minh tương tự C là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DEF trong góc DFE và:
2FK = EF + FD + DE (2)Từ (1) và (2) ta được: EI + FK = EF +DF +DE
� (IF  EF)  EF  EK  EF  DE  DF � DE  DF  IF  FE  EK  IK (đ.p.c.m)
Bài 9: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E,
F. Các đường thẳng BI, CI cắt EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N, C cùng
thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn:
Giả sử M nằm ngoài đoạn EF.
� B
$1  C
�1  1 (B
$  C)
�
Khi đó ta có: MIC
2


�
1
M
�  900  A
A
 (1800  A)
2

2
F
21
Mặt khác, theo tính chất của hai tiếp tuyến
E
N
của một đường tròn kẻ từ một điểm ta có: AI  EF
I
�
�  900  A
�1  900  A
2
Do đó: AFE
2
1
1
2
B
C
�  AFE
�  MFC
� . Suy ra bốn điểm M, F, I, C nằm trên một
Vậy: MIC
�  IFC
�  900
đường tròn. Do đó: BMC
Nếu M nằm trong đoạn EF thì kết quả trên vẫn không thay đổi.
�  900 . Suy ra BMC
�  BNC.
� Do đó B, C, M, N, nằm trên

Chứng minh tương tự ta được: BNC
một đường tròn.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng một đường tròn đường kính
MC. Nối BM và kéo dài cắt đường tròn tại cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S.
B
Chứng minh rằng:
B
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp.
b) AC là phân giác của góc SCB.
O
Hướng dẫn:
C
A
M
O
C
A
0 � ABCD
M
�
�
a) BAC  BDC  90
là tứ giác nội tiếp
S
� v�ACS
� cùng bằng góc BDA
D
D
b) ta chứng minh BCA
S

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm trên cạnh AC (D không trùng với A và C).
Đường tròn đường kính CD cắt BC tại E; Các đường thẳng BD và AE cắt đường tròn đường kính CD
B
này tại các điểm thứ hai là F và G. Chứng minh rằng:
B
a) ABED là tứ giác nội tiếp.
F
E
b) AB // FG.
E
F
Hướng dẫn:
0
O
a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
C
A
D
D
O
C
A
�
�
b) Ta chứng minh ABG  BGE ở vị trí so le trong
G

G

Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và AB = BD. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường

Q
thẳng BC tại Q. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD.
a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp trong một đường tròn.
R
b) Chứng minh DA song song với QR.
B
Hướng dẫn:
1
C
�  s�BC
�  1 s�CD
�  BAD
�
�  1 s�AB
�  1 s�BD
�  BAD
�
a)Tac�
: QCR
; QAR
A
O
2
2
2
2
�
�
D
n�

n QCR  QAR SuyraAQRC l�t�gi�
c n�
i ti�
p�
�
�
c m�
t�
�
�
ng tr�
n.
�  QCA.
�
b) Do AQRC là tứ giác nội tiếp được đường tròn nên ta có: QRA
�  BDA
�  BCA
�  QCA.
�
�  BAD
� ở vị tí so
Do AB = BD ta có: BAD
Suyra QRA
le trong. Vậy AD // QR.
Bài 13: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Điểm D nằm trên cung nhỏ
�
AC của đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt đường thẳng AD tại M. Các đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh
a) Tứ giác DNMB nội tiếp được.
b) MN song song với BC.

Hướng dẫn: như bài 12
Bài 14: Cho H là trực tâm của một tam giác ABC.
a) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AC. Chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB ; BHC ; CHA ;
có bán kính bằng nhau.
c) Kẻ đường kính AA’. Chứng minh tứ giác BA’CH là hình bình hành.


Hướng dẫn:
A
a) Ta chứng minh tam giác HBH’ có BC vừa là đường cao vừa là phân giác
góc HBH’ nên tam giác HBH’là tam giác cân do đó BC cũng là đường trung trực
H
của HH’ hay H và H’ đối xứng qua BC.
O
C
B
- Chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
0
�
�
ta chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp( dấu hiệu BAC  AH'C  180 )
A'
H'
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB ; BHC ; CHA ; có bán kính bằng nhau
bằng bán kính đường tròn (O) (ta chứng minh BHC  BH'C , các tam giác khác tương tự)
c) Ta chứng minh BH//A’C(cùng vuông góc với AC). CH//BA’(cùng vuông góc với AB)
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM
cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:

D
C
a) Tứ giác ADNB và tứ giác CBMD nội tiếp được.
N
b) DB.BC = DM.AC.
M
Hướng dẫn:
A
B
�  ANB
�  900 nên tứ giác ADNB nội tiếp
a) Ta chứng minh ADB
�  DBC
�  900
chứng minh: DMC

b) Ta chứng minh SADC  SBDC suy ra hệ thức cần chứng minh.
Bài 16: Cho đường tròn (O) hai dây cung AB và CD (AB > CD). Các đường thẳng chứa hai dây cung
đó cắt nhau tại I ở bên trong đường tròn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh: OE  AB.
b) Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó
� v�OIC
� .
c) So sánh các góc: OIA
Bài 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nủa đường tròn. Gọi C, D là
hai điểm di động trên nửa đường tròn. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F (F nằm giữa B và E).
a) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được.
b) Khi C, D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh:
E
AC.AE = AD.AE có giá trị không đổi.

�  300 , DOC
�  600. Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB.
c) Cho BOD
C
Hướng dẫn:
�  CDF
�  1800 bằng cách chứng minh CDA
�  CEF
�
a) Ta chứng minh CEF
D F
b) Xét các tam giác vuông AEB và AFB có các đường cao tương ứng
là BC và BD vận dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có :
A
B
O
AC.AE = AD.AE = AB2 = 4R2 có giá trị không đổi
R2 R2 3 R2 3 3 2
c) SACDB  SOBD  SDOC  SCOA 



R
4
4
2
4
Bài18: Cho tam giác ABC có các cạnh BC < AC < AB và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các tiếp
tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn
tại E và F, cắt AC tại I. Chứng minh:

a) Năm điểm B, O, I, C, D nằm trên một đường tròn.
A
b) IE = IF.
Hướng dẫn:
F
O
a) Tứ giác OBDC nội tiếp hay B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD
I
�  1 s�BC
�  COD
� (góc nội tiếp và góc ở tâm)
Ta có A
B
C
E
2
�  CID
� (doDI // AB)
A
�  CID
� . Do đó tứ giác OICD nội tiếp, tức là I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tamD giác
suy ra: COD
OCD.
Vậy: B, O, I, C, D nằm trên một đường tròn.
�  OCD
�  900. vì thế OI  EF suy ra IE = IF.
b) Do OICD nội tiếp nên OIC
Bài 19: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyếnAMN của
đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Nếu AB = OB thì ABOC là hình gì? tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại
tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của đường tròn (O).
N
B
Hướng dẫn:
I
a) Ta chứng minh B, C, I cùng nhìn đoạn thẳng OA dưới một góc vuông
M
không đổi.
A
O
b) Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình vuông( vì tứ giác có các cạnh
2
bằng nhau và có một góc vuông). Khi đó SABOC  R
C

Độ dài của đường tròn ngoại tiếp là: R 2 .
Bài 20: Cho tam giác ABC (AB = AC). Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các
điểm tương ứng D, E, F . BF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Tia DI cắt BC tại M. Chứng minh:
a) Tam giác DEF có 3 góc nhọn.
b) DF // BC và tứ giác BDFC nội tiếp
A
BD BM

c)
CB CF
Hướng dẫn:
a) Ta có: AD = AF(hai tiếp tuyến cắt nhau)

�  AFD
�  900
suy ra ADF c�
n t�
i A � ADF
F
D
�  DEF
� (c�
� � DEF
�  900
Ta cũng có ADF
O
ng b�
ng n�
a s��
o cung DF)
I
�  900v�DFE
�  900 .
Chứng minh tương tự ta cũng được: FDE
B
C
M
E
Vậy DEF có ba góc đều nhọn.(đ.p.c.m)
0
�
�  180  A
n t�

i A có: ADF
b) Trong ADF c�
2
0
�
�  180  A
Trong ABC c�
n t�
i A có: ABC
2
�  ABC
� ở vị trí đồng vị � DF // BC
Vậy ADF
�  BDF
�  ABC
�  BDF
�  ADF
�  BDF
�  1800 � tứ giác BDFC nội tiếp.
Tứ giác BDFC có: BCF
�  DFB
� (soletrong); DFB
�  BDM
�
� � FBC
�  BDM
�
c) Ta có FBC
(c�
ng b�

ng n�
a s��
o cung DI)
(1)
�  DBM
�
Ta lại có: FCB
(2) (hai góc ở đáy của một tam giác cân)

�
ng d�
ng v�
i CBF . Do đó
Từ (1) và (2) suy ra BDM �

BD BM

(đ.p.cm)
CB CF

Bài 21: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
a) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. Chứng minh MC2  MI.MA
b) Kẻ đường kính MN, các tia phân giác góc B và góc C cắt AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P,
C, B, Q cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn:
N
�  MIC
� (ch�
�  MB)
�

A
a) Ta chứng minh MAC
n hai cung b�
ng nhauMC
Q
�  MIC
� nên tam giác ACM đồng dạng với tam giác CIM.
ACM
MC MA
J
O

� MC2  MI.MA
Từ đó suy ra
MI MC
C
B
I
b) Gọi J là giao điểm ba đường phân giác của ta giác
�  PJC
�  900  A )
M
Ta chứng minh tứ giác APCJ nội tiếp( PAC
2
�  900 � JCP
�  900 hayQCP
�  900
ta có PAJ
�  900
Chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác AQBJ nội tiếp suy ra QBP

�  QBP
�  900 vậy tứ giác BCPQ nội tiếp hay bốn đỉnh P, C, B, Q cùng thuộc một
Tứ giác BCPQ có QCP
đường tròn.

P


Bài 22: Cho (O) đường kính AC, lấy B thuộc OA, dựng đường tròn (O’) đường kính BC. Gọi M là
trung điểm của AB, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Đường
thẳng DC cắt (O’) tại I. Chứng minh rằng:
a) BD // AE ; BE //AD
b) Ba điểm E, B, I thẳng hàng
D
I
c) Tứ giác MICE nội tiếp
3
1 2
d) MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
A M
e) DB  EC
C
B O O'
Hướng dẫn:
1
a) Ta chứng minh ADBE là hình bình hành (vì có hai đường chéo
E
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) suy ra BD//AE và BE//AD
b) Ta chứng minh BE//AD và BI//AD(cùng vuông góc với DC)
�  EIC

�  900 nên tứ giác MICE nội tiếp được.
c) EMC
d) Ta chứng minh
�1 ; E
�1  MBE
�  900,MBE
�  IBO'
� ; I$2  IBO'
�
I�1  E
�
�$
I1  $
I 2  900 � MIO'
 900 hay MI  IO
Vậy MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
e) Chỉ ra B là trực tâm của tam giác DCE nên DB  EC
Bài 23: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và I là trung điểm của một dây cung AB. Hai dây bất kì
CD và EF đi qua I với EF > CD (C, E cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB). CF cắt AB tại M và ED cắt
AB tại N. Vẽ dây FG // AB. Chứng minh:
E
C
a) Tam giác IFG cân
b) Tứ giác INDG nội tiếp đường tròn
I
N
B
A M
c) MI = IN
Hướng dẫn:

O
�
�
D
a) AB//FG suy ra AF  BG do đó AF = BG
�  IBG(AG
� �  BF)
� và IA = IB(gt) nên AIF  BIG
F
G
IAF
suy ra IF = IG nên tam giác IFG cân tại I.
�  EFG
�  1800 (tứ giác EDGF nội tiếp)
b) Ta có NDG
�  IGF(soletrong)
�
�  IGF(tamgi�
�
�  NIG
�  1800
mà EFG
NIG
c IGF c�
n) suy ra NDG
Vậy tứ giác INDG nội tiếp đường tròn.
�  NIG
� ; IF = IG ; MFI
�  NGI
� ) suy ra MI = IN

c) Ta chứng minh IMF  ING ( MIF
Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB. kẻ một dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung
AC, gọi H là giao điểm của OE và AC.
a) Chứng minh: OE // BC
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt đường thẳng OE tại D. Chứng minh
BCDE là hình bình hành.
c) Đường thẳng AE cắt CD tại K. Chứng minh EKCH là tứ giác nội tiếp được.
d) Gọi P là giao điểm của đường thẳng KH với AB. Chứng minh tam giác AHP đồng dạng với tam
giác ABC.
Hướng dẫn:
D
a) OE // BC vì cùng vuông góc với AC
K
b) Chứng minh BCDE là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song
C
c) Ta có OE  AC (vì E là điểm chính giữa cung AC)
E
0
0
0
�  EKC
�  90  90  180 nên tứ giác
Chứng minh AK  CD � EHC
H
EKCH nội tiếp được.
� chung (1)
A
d) AHP v�ABC có BAC
B
P O

�
�
�
�
�
AHP  KHC (�
.�
) ; KHC  KEC (góc nội tiếp cùng chắn cung KC của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác
�  CBA
� (cùng bù với AEC
� ) nên AHP
�  CBA
� (2).
EKCH) ; KEC
Từ (1) và (2) suy ra AHP v�ABC đồng dạng.


Bài 25: Cho Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Gọi P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của P lên bốn cạnh của tứ giác là bốn đỉnh của một tứ giác có
đường tròn nội tiếp.
b) M là một điểm trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành. Chứng minh nếu
�  CDM
�
�  BCM
�
CBM
th�ACD
A
H

N
B
1 12
Hướng dẫn:
2
1 K
a) Gọi H, K, L, N là hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CD, DA.
P
2
Ta chứng minh các tứ giác AHPN, BHPK, CKPL, DLPN là các
D
2 1
M
O
�
�
�
�
�
�
�
�
L
tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh H1  H2 ; K 1  K 2 ; L 1  L 2 ; N1  N2
(vận dụng tính chất góc nội tiếp). P là giao điểm các đường phân giác của
C
các góc nên P là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác HKLN.
b)
Bài 26: Cho đường tròn tâm (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng
OB lấy điểm H (H khác O và B). Đường thẳng CH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng

C
vuông góc với AB tại H cắt tiếp tuyến tại K của đường tròn tại I. Chứng minh:
a) Tứ giác OHKI nội tiếp được.
b) Tứ giác CHIO là hình bình hành.
Hướng dẫn:
H
B
�  OKI
�  900 thì tứ giác OHIK nội tiếp.
A
a) Chứng minh OHI
O
b) Tứ giác CHIO có HI // CO (vì cùng vuông góc với AB)
K
�  OKC
� (OC = OK = R), OIH
�  OCK
� (gnt cùng chắn cung OH
� )
OCK
�  OIH
� (slt), từ đó suy ra OCH
�  DOI
� ở vị trí đồng vị nên CH // OI
DOI
I
D
Vậy tứ giác CHIO là hình bình hành.
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia HB lấy
HD = HB, rồi vẽ tù C đường thẳng CE vuông góc với AD tại E. Chứng minh:

a) Tia CB là phân giác của góc ACE.
b) Bốn điểm A, H, E, C cùng nằm trên một đường tròn và tam giác AHE cân.
c) HE2  HD.HC
Hướng dẫn:
E
B
H

ABDc�
n
a)Ta chứng minh
(vì có đường cao vừa là trung tuyến)
D
�
� (�
�  ADB
�
�  EDC
� .
do đó ABD
ta lại có ABD  EDC
.�
) nên ABC
�  ABC
�  900 (1)
trong tam giác vuông ABC có ACB
A
�  EDC
�  900 (2)
trong tam giác vuông EDC có ECD

�  ECB
� . Vậy CB là tia phân giác của góc ACE.
Từ (1) và (2) suy ra ACB
�  AEC
�  900 nên nó nội tiếp trong một đường tròn
b) Tứ giác AHEC có AHC

Vậy bốn điểm A, H, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
�  ECH
� � HA
�  HE
� � HA  HE do đó tam giác AHE cân tại H.
ACH
c) trong tam giác vuông ABC AH là đường cao có AH2  HB.HC mà HB = HD ; HE = HA nên suy
ra
HE2  HD.HC
Bài 28: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của (O1)tiếp xúc với (O2), vẽ
dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A.
BE AE2
a) Chứng minh:

BF AF 2
b) Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. Có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC
A
c) Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.
1 2
Hướng dẫn:
O2
O1
�1  F

$1 (cùng chắn cung AB của (O2))
a) A
2

E

1
2

B
1

2

C

F

C


�2  E
� 2(c�
A
ng ch�
n cung AB c�
a (O1) )
suy ra tam giác ABE đồng dạng với tam giác FBA (g – g)
AB AE BE
AB.AE

AB.AF
�


(1) � BE 
; BF 
FB AF BA
AF
AE
2
BE AE
�

BF AF 2
BC BE

� CBE : FBC (c  g c)
b) Từ (1) ta thay AB = BC ta có
BF BC
�1  F
$2 theo cmt ta có A
�1  F
$1
c) Từ CBE : FBC � C
�  ECF
� A
�1  A
�2  C
�1  C
�2  F

$1  A
�2  F
$2  C
� 2  1800 (tổng ba góc trong tam giác)
do đó : EAF
Vậy AECF nội tiếp được.
Bài 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao từ đỉnh A cắt đường
tròn (O) tại F. AD là đường kính của đường tròn (O).
a) Chứng minh các góc BAC và DAF có cùng tia phân giác và B, C, F, D là bốn đỉnh của hình thang
cân.
b)Chứng minh AB.AC = AD.AE
c)Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh BC là đường trung trực của HF và DH đi qua
trung điểm I của BC.
A
d)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng.
Hướng dẫn:
H
a) gọi AM là tia phân giác của góc DAF, AM cắt (O) tại M ta chứng minh
G
�  CD
� (BC//FD do cùng vuông góc với AF) và có FM
�  MD
� suy ra
BF
O
� v�DAF
�
�  CM
� � BAM
�  CAM

� nên AM là phân giác chung của BAC
E
BM
C
B
I
�  CF
� nên CBF
�  BCD
�
BC//FD và có BD
do đó BCDF là hình thang cân.
AB AE
F M D

� AB.AC  AD.AE
b) Ta chứng minh AEB : ACD(g  g) �
AD AC
c) Đã được hướng dẫn các bài trên.
2
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . AI là trung tuyến của ABC nên AG  AI
3
Ta lại có AI là trung tuyến của tam giác AHD nên G cũng là trọng tâm tam giác AHD. mà HO là trung
tuyến của tam giác AHD. Vậy H, G, O thẳng hàng.
Bài 30: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các
cung AB, BC, AC. Các đoạn thẳng BP và AN cắt nhau tại I, MN cắt AB tại E. Chứng minh:
a) tam giác BNI cân.
b) AE.BN = EB.AN
A
c) EI // BC

P
AN AB
M

d) D là giao điểm AN và BC thì
I
BN BD
E
O
Hướng dẫn:
B
C
D
�
�
a) Ta chứng minh IBN  BIN dựa vào số đo cung nên tam giác BNI cân tại N
b) Xét tam giác ANB có NE là phân giác của góc ANB của tam giác ANB
N
BE BN
�

� AE.BN  BE.AN
AE AN
n
c) Do tam giác BNI cân tại N có NE là phân giác cũng là trung trực của BI nên EB = EI � BEI c�
�  IBC
� (cùng bằng EBI
� ) ở vị trí so le trong nên EI // BC.
Tiếp tục ta chứng minh EIB
�  BAN

� ; BND
�  BNA
� (chung) � BND : ANB � AN  AB
d) NBD
BN BD
Bài 31: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có AB  AC  R 2
a) Tính độ dài BC theo R.


b) M là điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D. Chứng minh
rằng AM.AD = AC2
c) Chứng tỏ rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường tròn cố định khi
M di động trên cung nhỏ AC
A
Hướng dẫn:
M
a) Tam giác AOB có OA 2  OB2  R2  R2  (R 2)2  AB2
I
�  900
nên tam giác AOB vuông tại O, AOB
B
C
D
O
�  900
Tương tự ta cũng có AOC
�  BOC
�  900  900  1800 do đó B, O, C thẳng hàng nên BC = 2R
AOB

�  1 (s�AB
�  s�
�  1 (s�AC
�  s�CM)
�  1 s�AM
�  ACM
�
CM)
b) Ta có ADC
2
2
2
AD AC
�  ACM
� ). Do đó

� AD.AM  AC2
suy ra: ADC : ACM (góc A chung và ADC
AC AM
0
�
c) Tam giác ABC vuông cân nên ACB  45
�  ACD
�  CMD
�  CMA
�  1800 . mà
Ta có: ACB
�  CMA(do
�
�  ACB

�  450 . Điều này chứng tỏ khi M di chuyển trên
ACD
ADC : ACM) n�
n CMD
cung nhỏ AC thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD di chuyển trên đường thẳng qua C song
song với AB.
Bài 32: Cho đường tròn đường kính AB và một dây cố định vuông góc với AB tại H, M là một điểm di
động trên cung nhỏ BC, AM cắt CD tại I.
a) Chứng minh MA là tia phân giác của góc CMD.
b) Chứng minh hệ thức MA.MI = MC.MD
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt MD tại E. Chứng minh CE  AM , từ đây suy ra quĩ tích
giao điểm F của CE và AM.
d) Tìm quĩ tích điểm E khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
Hướng dẫn:
C
�  AD
� �M
�1  M
�2 � AM là phân giác của góc CMD.
a) AC
M
1
b) Chứng minh :
2
F
I
MA MD
A
MAD : MCI (g  g) �


� MA.MI  MC.MD (1)
B
O
MC MI
� chung;MAE
�  IDM
� (gntc�
�
c) Chứng minh MAE : MDI (M
ng ch�
n IE))
E
D
MA ME
�

� MA.MI  MD.ME (2)
MD MI
Từ (1) và (2) suy ra MC = ME , nên tam giác MCE cân tại M. AM là tia phân giác cũng là đường cao
�  900 . Do đó quĩ tích của F là đường tròn đường kính AC.
hay AM  CE . C, A cố định CFA
d) AM là trung trực của CE suy ra AC = AE = AD. AC = AD không đổi. vì thế E nằm trên đường tròn
tâm A bán kính AC.
Giới hạn: Do M di chuyển trên cung nhỏ BC nên Khi M �C th�E �C ; M �B th�E �D
� của đường tròn (A, AC).
Vậy E nằm trên cung CED
Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh: CH2  AH2  2AH.CI
b) Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt AB tại G, cắt các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (I, IC)
lần lượt tại F và E. Chứng minh AF + BE = EF

HA GA
E

c) Chứng minh:
HB GB
C
d) Khi AB = 2R , số đo cung AC bằng 60o . Tính thể tích hình nón
F
có đường cao GB, bán kính BE khi tam giác vuông GBE quay quanh GB.
Hướng dẫn:
G
B
H
A
I
a) Tam giác ACH vuông có : AC2  AH2  HC2
2
Tam giác ACB có: AC  AH.AB m�AB =2CI


Vậy CH2  AH2  2AH.CI
b) Vận dụng tính chất tiếp tuyến Ta có AF + BE = FC + CE = EF
HA CF AF
GA AF
HA GA


m�

�


c) Từ AF // BE // HC �
HB CE BE
GB BE
HB GB
�  600 � AC  R ; BC  BE  R 3 ; GE  2R 3 ; GB  3R.
d) Từ AB = 2R và s�AC
1
1
2
2
3
Thể tích hình nón: V  BE .GB  3R .3R  3R
3
3
Bài 34: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O). M là một điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn
thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh tam giác DMC đều.
b) Chứng minh: MB + MC = MA.
A
c) Chứng minh tam giác ADOC nội tiếp được.
d) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường tròn cố định nào?
D
Hướng dẫn:
�
�  600 � DMC đều
a) Tam giác DMC có MD = MC ; AMC
 ABC
60
�

�
B
2
AC  CB ; C1  C2 ; MC  MD � ADC  BMC (c  g  c) � MB  DA
b)
n�
nMB +MC =MD +DA =MA
M
0
�
�
c) chứng minh AOC  ADC  120 � ADOC nội tiếp
0

1

C

�  1200 AC cố định � khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên cung chứa góc
d) ADC
0
120 dượng trên đường thẳng AC phần nằm trong tam giác ABC.
Bài 35: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm I cố định trên trên đoạn AB( I �A ;I �B) . M
là điểm di động trên đường tròn (O) (M �A ;M �B) . Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Gọi
giao điểm của các đường thẳng MA, MB với d lần lượt là C, D.
a) Chứng minh: IA.IB = IC.ID.
b) Gọi E là điểm đối xứng của B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp được.
c) Chứng minh tâm K của đường tròn (ACD) di động trên một đường cố định khi M di động.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh IAC : IDB

C
IA IC
�

� IA.IB  IC.ID
ID IB
�  DEB(c�
�
�
b) Ta chứng minh C
ng ph�v�
i A)
M
suy ra tứ giác ACDE nội tiếp được.
D
c) Chứng minh tâm K của đường tròn(ACD)
A
di động trên một đường cố định:
B
E O I
- Tứ giác ACDE nội tiếp được. K là tâm của đường tròn(ACD)
suy ra K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDE
d
nên KA = KE ; Mà A, E cố định nên K di động trên đường
trung trực của đoạn thẳng AE.
Bài 36: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Tia BM
cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O tại D.
a) Chứng minh: DA 2  DM.DB
b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
D

c) Trên tia AM lấy điểm C sao cho AC = BM. Khi M di động trên
nửa đường tròn đường kính AB thì C di động trên đường cố định nào?
E
Hướng dẫn:
a) Tam giác ABD vuông tại A
I
�  90o g.n.t.ch�
có AM là đường cao( AMB
n n�
a�
�
�
ng tr�
n)
M
Theo HTL ta có: DA 2  DM.DB
C
ng, MI l�trung tuyến
b) AMDvu�
� MI  AI .
Chứng minh OMI  OAI(c.c.c)
A
B
O


�  IAO
�  90o hay MI  MO .
suy ra IMO
Vậy MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

c)Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt AD tại E.
Ta chứng minh AMB  ECA(g  c  g) � AB  AE
độ dài AB không đổi suy ra AE không đổi.
A cố định AD cố định nên E cố định.
�  90o suy ra C di động trên đường tròn đường kính AE.
AE cố định và ACE
Bài 37: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, C là trung điểm của đoạn OA, D là một điểm
của đường tròn sao cho BD = R. Đường trung trực của OA cắt AD tại E và BD tại F.
a) Tính các đoạn thẳng AE, CE và ED theo R.
b) Chứng tỏ rằng hai tam giác ADB và FCB đồng dạng. Tính FB và FC theo R;
c) Chứng tỏ BE vuông góc với AF;
d) Một điểm M lưu động trên nửa đường tròn không chứa điểm D, tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn
DM.
Hướng dẫn:
a) Tính các đoạn AE, CE, ED
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vưông nửa tam giác đều có góc
F
R
AC
R
3
R
3
0
�  30 AC = , Tính AE =
CE =

DAB
2
cos300

3
6
3
D
AD  2R.cos300  2R.
R 3
2
A'
B'
E
R 3 2R 3
DE  AD  AE  R 3 

I
A
B
3
3
C O
�  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
b) Ta có ADB
Các tam giác vuông ADB và FCB có góc B chung nên chúng đồng dạng.
M
Do đó:
3R
2R.
DB AB
AB.CB
2  3R


� FB 

CB FB
DB
R
3 3R
FC  FB2  BC2 
2
c) Do E là trực tâm của tam giác AFB nên BE  AF
d) I là trung điểm của DM nên OI  DM , I nằm trên đường tròn đường kính DO.
Giới hạn: M chạy trên nửa đường tròn AMB, khi M trùng A thì I trìng với trung điểm A’ của AD. Khi
M trùng với B, I trùng với trung điểm B’ của DB. Vậy I nằm trên nửa đường tròn A’OB’ đường kính
A’B’.
- Ngược lại: giả sử có I’ thuộc nửa đường tròn A’OB’ đường kính A’B’ ta nhận thấy A’B’ = OD (vì
cùng bằng một nửa AB), nên OD cũng là đường kính do đó OI  DI hay OI  DM � I là trung điểm
của DM.
Vậy khi M lưu động trên nửa đường tròn AB không chứa điểm D, quĩ tích của I là một nửa đường
tròn A’OB’ đường kính DO.
Bài 38: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại A.
Lấy trên d điểm C sao cho AC = R rồi vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O).
a) Tứ giác ACDO là hình gì ?
D
C
b) Chứng minh CO // DB. Tính độ dài CO, DB.
I
c) OC cắt đường tròn (O) tại I và K (I trên cung nhỏ AD). Tính độ dài AI, AK R
R
theo R.
B
A

d) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AI và cung nhỏ AI.
H
O
Hướng dẫn:
a) Ta có: CA = CD = AO = DO = R.
K
ACDO là hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
b) ACDO là hình vuông nên DO  OB. các tam giác DOB, DOC


�  ODB
�  450 do đó CO // DB:
là các tam giác vuông nên: COD
CO = DB = R 2
c) Kẻ đường vuông góc IH từ I đến AB. Tam giác IHO vuông cân: IH = HO.
R 2
Ta có: IH2  HO2  2HO2  OI 2  R2 � OH  HI 
2
2

2

� R 2 � �R 2 �
AI  AH  IH  �
R
�
� AI  2  2 .R ; AK  IK 2  AI 2  2  2 .R
�
�
�

�
�
�
2 � �2 �
�
d) Diện tích hình viên phân giới hạn bới AI:
2

S

2

2

.R2.45
R2
2 2 .R 2 (  4 2  2)R 2
 SAIO 


360
8
2
8