Chuyên đề: Tổng hợp các công thức Toán quan trọng và phương pháp giải Toán ôn luyện thi THPT quốc gia, đại học, cao đẳng (Bản WORD gọn và đẹp)

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Các nội dung kiến thức sau đây được xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
1.Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm.

r
r r r
r
v = xi + yj + zk ⇔ v = (x; y; z)
uuuu
r
r r r
OM = xi + yj + zk ⇔ M (x; y; z)
uuu
r
A(xA; yA; zA ) ; B(xB ; yB ; zB ) ⇒ AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA )




x
 I là trung điểm của AB ⇔ { x =

+ xB
y +y
z +z
; yI = A B ; zI = A B }

2
2
2
xA + xB + xC
y +y +y
z +z +z
; yG = A B C ; zG = A B C }
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ { xG =
3
3
3
xA + xB + xC + xD
y + y + y + yD
z +z +z +z
; yM = A B C
; zM = A B C D }
M là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ { xM =
4
4
4
uuur
uuur
xA − kxB
y − kyB
z − kzB
; yM = A
; zM = A
M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 ⇔ MA = kMB ⇔ { xM =
}
1− k

1− k
r
ur 1− k
2.Một số tính chất và kết quả thường dùng: Cho v = (x; y; z) ; v' = (x'; y'; z')
r ur
 v ± v' = (x ± x'; y ± y'; z ± z')
r
 kv = (kx; ky; kz)
r ur
 kv ± hv' = (kx ± hx'; ky ± hy'; kz ± hz')
r ur
 v = v' ⇔ {x = x'; y = y'; z = z'}
r
r
3.Tích vô hướng, tích có hướng. Cho : a = (x1; y1; z1) ; b = (x2; y2; z2 )
rr
 a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
r r
 a ⊥ b ⇔ x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 = 0
r
uuu
r
2
2
2
2
2
2
 a = x1 + y1 + z1 ; AB = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) .
B

A
B
A
B
A
rr
r r
x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
a.b
 cos(a, b) = r r =
a. b
x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22
A

I












r r 

 a, b =  y1 z1 ; z1 x1 ; x1 y1 ÷

  y z z x x y ÷
 2 2 2 2 2 2
r r
r
r r
r
 a, b ⊥ a ;  a, b ⊥ b
 
 
2
r r
r r
r r
 a, b = a . b .sin(a, b) =  y1 z1  +  z1 x1

÷
 
÷  z x
y
z
 2 2  2 2
r r
r r
r r
r r
r r
 a, b = −  b, a ; λ a, b =  a, λ b = λ  a, b
 
 


 

 

4.Điều kiện cùng phương của 2 vectơ.


2

2

  x1 y1 
+
÷
÷  x y ÷
÷
  2 2
r r r
r r
r r
; c, a + b =  c, a + c, b

    

r
r
r r
r
a cuø
ng phöông b ⇔  a, b = 0

 

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XN TỒN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

r
r
r r
r
a khô
ng cù
ng phương b ⇔  a, b ≠ 0
 
uuu
r uuur
r


A
,
B

,
C
thẳ
n
g
hà
n
g
⇔
AB
,
AC
=
0



uuu
r uuur
r
nh tamgiá
c ⇔  AB, AC  ≠ 0
 A, B,C tạo thà




5.Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ .

r r r

r r r
a, b, c đồ
ng phẳ
ng ⇔  a, b c = 0
 
r r r
r r r
ng đồ
ng phẳ
ng ⇔  a, b c ≠ 0
 a, b, c khô
 
uuu
r uuur uuur
ng phẳ
ng ⇔  AB, AC  AD = 0
 A, B,C , D đồ


uuu
r uuur uuur
nh củ
a tứdiệ
n ⇔  AB, AC  AD ≠ 0
 A, B,C , D là4 đỉ




6.Cơng thức diện tích, thể tích.

r uuur
1  uuu
AB, AC 

2
uuu
r uuur
 Shbh ABCD =  AB, AD 


r uuur uuur
1 uuu
 Vtứdiện A.BCD =  AB, AC  .AD

6
uuu
r uuur uuur
 Vhình hộp ABCD. A'B'C 'D ' =  AB, AD  .AA'




S∆ABC =

7.Phương trình mặt phẳng .

r
Ax + By + Cz + D = 0 ,với A2 + B2 + C 2 ≠ 0 ; n = ( A; B;C ) là VTPT.
r

 PTTQ của (P) qua M0(x0;y0;z0) và có VTPT n = ( A; B;C ) có dạng:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
r
r
 Mặt phẳng (P) nhận a = (x1; y1; z1) ; b = (x2; y2; z2 ) làm cặp VTCP có VTPT là:


PTTQ của (P) :

r
r r y z z
n =  a, b =  1 1 ; 1
  y z z
 2 2 2


÷
÷

x y z
 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: + + = 1
a b c


x1 x1
;
x2 x2

y1
y2

Trong đó (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với Ox,Oy,Oz.
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ): Ax + By + Cz + D = 0 , (’ ): A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 có dạng:

λ ( Ax + By + Cz + D) + µ ( A' x + B ' y + C 'z + D ') = 0 với λ 2 + µ 2 ≠ 0.
8.Phương trình đường thẳng.


Phương trình tổng qt của đường thẳng có dạng

 Ax + By + Cz + D = 0

 A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0

A2 + B2 + C 2 ≠ 0 và A'2 + B '2 + C '2 ≠ 0 và A : B : C ≠ A': B ': C ' .
r
r ur  B C C A A B 
;
;
VTCP u =  n, n' = 
÷

  B ' C ' C ' A ' A' B ' ÷


Với

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

 x = x0 + at

 PTTS :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0



PTCT:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

9.Vị trí tương đối.
a)Giữa 2 mặt phẳng :

r
Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = ( A; B;C )
ur
(P’): A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 có VTPT n' = ( A'; B ';C ')
r ur
r
 (P) cắt (P’) ⇔  n, n' ≠ 0
⇔ A : B : C ≠ A': B ': C '


r ur
r
  n, n' = 0


 (P) ≡ (P’) ⇔ 
⇔ A : B : C : D = A': B ': C ': D '
 M0 ∈ (P ) ⇒ M0 ∈ (P ')
r ur
r
  n, n' = 0

A B C D

 (P) // (P’) ⇔ 
⇔
=
=
≠
A' B ' C ' D '

 M0 ∈ (P ) ⇒ M0 ∉ (P ')
Cho

(P):

b)Giữa 2 đường thẳng:

r
x − x0 y − y0 z − z0
đi qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u = (a; b; c) .
=
=
a
b
c
ur
x − x'0 y − y'0 z − z'0
d’:
đi qua M’0(x’0;y’0;z’0) có VTCP u' = (a'; b'; c') .
=
=
a'
b'
c'
r ur uuuuuuur
d đồng phẳng d’⇔ u, u' .M0M '0 = 0


r ur uuuuuuur
 u,u' .M M ' = 0   r ur  uuuuuuur


 u,u' .M0M '0 = 0
 0 0
⇔ 
d cắt d’⇔  r ur
r
 u,u' ≠ 0
 a : b : c ≠ a': b': c'


r ur
r
 u,u' = 0


d // d’⇔  r uuuuuuur
r ⇔ a : b : c = a': b': c' ≠ (x'0 − x0 ):(y'0 − y0 ):(z'0 − z0 )
 u, M0M '0  ≠ 0


r ur
r
 u,u' = 0


d ≡ d’⇔  r uuuuuuur
r ⇔ a : b : c = a': b': c' = (x'0 − x0 ):(y'0 − y0 ):(z'0 − z0) .
 u, M0M '0  = 0



r ur uuuuuuur r
d chéo d’⇔ u, u' .M0M '0 ≠ 0


Cho d:











c)Giữa đường thẳng và mặt phẳng :

r
x − x0 y − y0 z − z0
đi qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u = (a; b; c) .
=
=
a
b
c
r
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = ( A; B;C )
r r
rr

 d cắt (P) ⇔ u⊥ n ⇔ un
. ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0.
r r
u ⊥ n
 Aa + Bb + Cc = 0
⇔
 d//(P) ⇔ 
 M0 ∉ (P )  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
Cho d:

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

r r
u ⊥ n
 Aa + Bb + Cc = 0
⇔
 d ⊂ (P) ⇔ 
 M0 ∈ (P )  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
r r
r

r
r
 d ⊥ (P) ⇔ u cùng phương n ⇔ u, n = 0 ⇔ a : b : c = A : B : C .
 
10.Khoảng cách:
a)Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng :

d(M0,(P )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2
uuuuuur r
 M M ,u
 0 1 
b)Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng : d(M1, ∆ ) =
r
u
r ur uuuuuuur
 u,u' .M M '

 0 0
c)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau : d(∆, ∆ ') =
r ur
 u,u'


11.Góc.

r ur

uu
. '
a.a'+ bb
. '+ cc
. '
cos
ϕ
=
r ur =
a)Góc giữa 2 đường thẳng :
u . u'
a2 + b2 + c2 . a'2 + b'2 + c'2
rr
un
.
A.a + B.b + C.c
sin
ϕ
=
r r =
b)Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
u. n
A2 + B2 + C 2 . a2 + b2 + c2
r ur
nn
. '
A.A'+ B.B '+ C.C '
cos
ϕ
=

r ur =
c)Góc giữa 2 mặt phẳng :
n . n'
A2 + B2 + C 2 . A'2 + B '2 + C '2
12.Phương trình mặt cầu.Giao của mặt cầu và mặt phẳng .


(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm I(a;b;c), bán kính R.



x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 + C 2 − D > 0

A2 + B2 + C 2 − D
 Cho (S): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 và ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
Có tâm I(-A;-B;-C), bán kính R=

d = IH = d(I ,(P )) =

A.a + B.b + C.c + D
A2 + B2 + C 2

(H là hình chiếu ⊥ của I lên (P)

Taâ
mH

+) IH
n kính r = R2 − d2

 Baù
 Ax + By + Cz + D = 0
(C) có phương trình dạng: 
2
2
2
2
(x − a) + (y − b) + (z − c) = R

+) IH=R⇒ (P) ∩ (S) = {H}.
+) IH>R⇒ (P) ∩ (S) = ∅ .

CHỦ ĐỀ: BA ĐƯỜNG CÔNIC
I.Elip
1.Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1,F2 với F1F2=2c và hằng số 2a (a>c>0)
My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

M∈(E) ⇔ MF1+MF2=2a
 F1,F2: hai tiêu điểm.
 F1F2=2c : tiêu cự.

 MF1 , MF2: hai bán kính qua tiêu của M.
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(E)

Elip tâm O, tiêu điểm trên Ox
2

Elip tâm O, tiêu điểm trên Oy

2

x y
+
= 1 ,(a > b > 0 vaøa2 = b2 + c2 )
a2 b2

Phương trình

x2 y2
+
= 1 ,(a > b > 0 vaøa2 = b2 + c2 )
b2 a2

(Dạng chính tắc)
Tiêu điểm

F1(−c;0) , F2 (c;0)

F1(0; −c) , F2 (0; c)

Tiêu cự
Độ dài trục lớn
Độ dài trục nhỏ
Đỉnh trên trục lớn
Đỉnh trên trục nhỏ

F1F2=2c
2a
2b
A1(-a;0) ,A2(a;0)
B1(0;-b) ,B2(0;b)

F1F2=2c
2a
2b
A1(0;-a) ,A2(0;a)
B1(-b;0) ,B2(b;0)

Tâm sai

e=

e=

Bán kính qua tiêu của M(x;y) ∈
(E)

r1 = MF1 = a + ex

r2 = MF2 = a − ex

r1 = MF1 = a + ey

r2 = MF2 = a − ey

Phương trình đường chuẩn

∆1 : x = −

Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở

Tiếp tuyến của (E) tại M0(x0;y0)
Điều kiện tiếp xúc với (d):
Ax+By+C=0

c
,(e<1)
a
x = ±a ; y = ±b

c
,(e<1)
a
y = ±a ; x = ±b

a
a
, ∆2 : x =
e

e
x.x0 y.y0
+ 2 =1
a2
b
2 2
a A + b2B2 = C 2 ,(C ≠ 0)

a
a
, ∆2 : y =
e
e
x.x0 y.y0
+ 2 =1
b2
a
2 2
b A + a2B2 = C 2 ,(C ≠ 0)
∆1 : y = −

II.Hypebol
1.Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1,F2 với F1F2=2c và hằng số 2a (c>a>0)
M∈(H) ⇔

MF1 − MF2 =2a

 F1,F2: hai tiêu điểm.
 F1F2=2c : tiêu cự.
 MF1 , MF2: hai bán kính qua tiêu của M.

2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(H)

Hypebol tâm O, tiêu điểm trên Ox
2

Phương trình

2

x y
− 2 = 1 ,(c2 = a2 + b2 )
2
a b

Hypebol tâm O, tiêu điểm trên Oy

−

x2 y2
+ 2 = 1 ,(c2 = a2 + b2 )
2
b a

(Dạng chính tắc)
Tiêu điểm

F1(−c;0) , F2 (c;0)

F1(0; −c) , F2 (0; c)

Tiêu cự
Độ dài trục thực
Độ dài trục ảo
Đỉnh

F1F2=2c
2a
2b
A1(-a;0) ,A2(a;0)

F1F2=2c
2a
2b
A1(0;-a) ,A2(0;a)

Tâm sai

e=

Tiệm cận

y= ±

My website: />
c
a

e=

,(e>1)

b
x
a

c
a

,(e>1)

b
x= ± y
a
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

*Nhánh phải (x ≥ a) : MF1 − MF2

Hai nhánh
Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở

= 2a

Nhánh trên (y ≥ a) : MF1 − MF2

= 2a

*Nhánh trái (x ≤ -a) : MF2 − MF1 = 2a

Nhánh dưới (y ≤ -a) : MF2 − MF1 = 2a

*M ∈ nhánh phải (x ≥ a)

*M ∈ nhánh trên (y ≥ a)

r1 = MF1 = a + ex

r2 = MF2 = −a + ex

r1 = MF1 = a + ey

r2 = MF2 = −a + ey

x = ±a ; y = ±b

y = ±a ; x = ±b

*M ∈ nhánh trái (x ≤ - a)

*M ∈ nhánh dưới (y ≤ - a)

r1 = MF1 = − a − ex

r2 = MF2 = a − ex

r1 = MF1 = − a − ey

r2 = MF2 = a − ey

*Công thức chung:

*Công thức chung:

r1 = a + ex
2 2
2
; r1.r2 = e x − a

r2 = a − ex
a
a
∆1 : x = − , ∆ 2 : x =
e
e
x.x0 y.y0
− 2 =1
a2
b
2 2
a A − b2B2 = C 2 ,(C ≠ 0)

r1 = a + ey
2 2
2
; r1.r2 = e y − a

r2 = a − ey
a
a
∆1 : y = − , ∆ 2 : y =
e
e
x.x y.y
− 20 + 20 = 1
b
a
2 2
−b A + a2B2 = C 2 ,(C ≠ 0)

Bán kính qua tiêu của M(x;y) ∈
(H)

Phương trình đường chuẩn
Tiếp tuyến của (H) tại M0(x0;y0)
Điều kiện tiếp xúc với (d):
Ax+By+C=0

III.Parabol
1.Định nghĩa: Cho đường thẳng cố định ∆ và điểm cố định F ∉ ∆
M∈(P) ⇔ FM=d(M,∆ )

 F: tiêu điểm ; ∆ :đường chuẩn.
 p=d(F,∆ ) :tham số tiêu. (p>0)
 MF: bán kính qua tiêu của M.
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(P)
Phương trình

(P) có đỉnh O, tiêu điểm trên Ox

(P) có đỉnh O, tiêu điểm trên Oy

y = 2px (chính tắc)

y = −2px

x2 = 2py

x2 = −2py

Trục đối xứng
Tiêu điểm

Ox

Ox

Oy

Oy

p 
F  ;0÷
2 
p
x= −
2

 p 
F  − ;0÷
 2 
p
x=
2

 p
F  0; ÷
 2
p
y= −
2


p
F  0; − ÷
2

p
y=
2

e=1

e=1

e=1

e=1

2

Đường chuẩn
Tâm sai
Bán kính qua tiêu của
M(x;y) ∈ (P)
Tiếp tuyến của (P) tại
M0(x0;y0)
Điều kiện tiếp xúc với
(d): Ax+By+C=0

p
+x
2
y.y0 = p(x + x0 )

2

p
−x
2
y.y0 = − p(x + x0 )

p
+y
2
x.x0 = p(y + y0 )

p
−y
2
x.x0 = − p(y + y0 )

r = MF =

r = MF =

r = MF =

r = MF =

pB2 = 2CA

pB2 = −2CA

pA2 = 2CB

pA2 = −2CB

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Các nội dung kiến thức sau đây được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy.

1.Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm.

r

r

r

r

 v = xi + yj ⇔ v = (x; y)
My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XN TỒN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

uuuu
r
r r
OM = xi + yj ⇔ M (x; y)
uuu
r
A(xA; yA ) ; B(xB ; yB ) ⇒ AB = (xB − xA; yB − yA )



x
 I là trung điểm của AB ⇔ { x =

+ xB
y +y
; yI = A B
2
2
xA + xB + xC
y +y +y
; yG = A B C
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ xG =
3
3
uuur
uuur
xA − kxB
y − kyB
; yM = A
M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 ⇔ MA = kMB ⇔ xM =
1− k
1− k
r
ur
2.Một số tính chất và kết quả thường dùng: Cho v = (x; y) ; v' = (x'; y')
r ur
 v ± v' = (x ± x'; y ± y')

r
 kv = (kx; ky) , k ∈ ¡
r ur
 kv ± hv' = (kx ± hx'; ky ± hy') , k , h ∈ ¡
r ur
 v = v' ⇔ {x = x'; y = y'}
r
r
3.Tích vơ hướng, độ dài véctơ, góc giữa hai véctơ. Cho : a = (x1; y1) ; b = (x2; y2 )
rr r r
r r
a
.
b
=
a
.
b
.cos
a
, b = x1.x2 + y1.y2

r r
rr
 a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ x1.x2 + y1.y2 = 0
r
uuu
r
2
2

2
2
 a = x1 + y1 ; AB = ( x − x ) + ( y − y )
B
A
B
A
rr
r r
x1.x2 + y1.y2
a.b
 cos(a, b) = r r =
a. b
x12 + y12 . x22 + y22

}

A

I



{



}

{

}

( )

4.Điều kiện cùng phương của 2 vectơ.






r
r
r
r
x y
a cù
ng phương b ⇔ ∃k ≠ 0: a = kb ⇔ 1 = 1
x2 y2
r
r
r
r
x y
a khô
ng cù
ng phương b ⇔ a ≠ kb,∀k ≠ 0 ⇔ 1 ≠ 1
x2 y2
uuu

r
uuur
A, B,C thẳ
ng hà
ng ⇔ AB cp AC
uuu
r
uuur
A, B,C tạo thà
nh tamgiá
c ⇔ AB kcp AC

5.Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng .
r r
- Véctơ n ≠ 0 và có giá vng góc với đường thẳng ∆ được gọi là véctơ pháp tuyến của

∆.
r r
- Véctơ u ≠ 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là véctơ chỉ phương của ∆ .
r
u = ( −b; a )
r
- Nếu n = ( a; b ) là một véctơ pháp tuyến của ∆ thì  r
là một véctơ chỉ phương của ∆ .
u = ( b; −a )
 đi qua M 0 ( x0 ; y0 )
 x = x0 + at
r
a)Phương trình tham số: Đường thẳng ∆ : 
có pt tham số 

(t:tham số)
y
=
y
+
bt
có
VTCP
u
=
a
;
b
(
)
0


 đi qua M 0 ( x0 ; y0 )
x − x0 y − y0
r
=
b)Phương trình chính tắc: Đường thẳng ∆ : 
có pt chính tắc
, ab ≠ 0 .
a
b
có
VTCP
u

=
a
;
b
(
)

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XN TỒN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

c)Phương trình tổng qt: Dạng ax + by + c = 0 , với
Đường thẳng

r
a 2 + b 2 ≠ 0 và n = ( a; b ) là một véctơ pháp tuyến.

 đi qua M 0 ( x0 ; y0 )
∆:
r
có pt : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0 .
có

VTPT
n
=
a
;
b
(
)


d)Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng

∆ đi qua A ( a;0 ) và B ( 0; b ) có pt:

x y
+ = 1 , ab ≠ 0 .
a b

e)Phương trình theo hệ số góc: Dạng y = kx + b , với k là hệ số góc của đường thẳng.

 đi qua M 0 ( x0 ; y0 )
∆:
có pt : y = k ( x − x0 ) + y0 .
cóhsg k
r
b
-Nếu đường thẳng ∆ có một VTCP u = ( a; b ) , a ≠ 0 thì đường thẳng ∆ có hệ số góc k = .
a
Đường thẳng

-Nếu đường thẳng

yB − y A
.
xB − x A

∆ đi qua hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) , x A ≠ xB thì ∆ có hệ số góc k =

6.Khoảng cách.
a)Khoảng cách từ một điểm

ax0 + by0 + c

M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 : d ( M , ∆ ) =

b)Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

∆ và ∆ ' : d ( ∆, ∆ ') = d ( M , ∆ ') , ∀M ∈ ∆ .

a2 + b2

.

7.Góc giữa hai đường thẳng.

r
r
∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a ' x + b ' y + c ' = 0 . Hai VTPT tương ứng là n = ( a; b ) và n ' = ( a '; b ' ) . Khi
r ur
n.n '

r ur
a.a '+ b.b '
0
· , ∆ ' = cos n, n ' = r ur =
· , ∆ ' ≤ 900 .
đó cos ∆
. Lưu ý 0 ≤ ∆
2
2
2
2
n . n'
a +b . a' +b'
Cho hai đường thẳng

(

-Nếu ∆ :

)

(

(

)

(

)

· , ∆ ' = k '− k
y = kx + b và ∆ ' : y = k ' x + b ' thì tan ∆
1 + k .k '

8.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và

a b
≠
a' b'
a b c
 ∆ // ∆ ' ⇔
= ≠
a' b' c'
a b c
 ∆ ≡ ∆' ⇔
= =
a' b' c'
*Chú ý:
r ur
r ur
∆ ⊥ ∆ ' ⇔ n ⊥ n ' ⇔ n.n ' = 0
.
⇔ a.a '+ b.b ' = 0
Nếu ∆ : y = kx + b và ∆ ' : y = k ' x + b ' thì
 ∆ cắt ∆ ' ⇔ k ≠ k'
k = k'
 ∆ // ∆ ' ⇔ 
 b ≠ b'



)

∆ cắt ∆ ' ⇔

∆': a'x +b' y + c' = 0 .
VỊTRÍ TƯƠNG ĐỐ
I CỦ
A HAI ĐƯỜ
NG TRÒ
N
(C')

(C)

(C)

R

r

R

A
B

r

A

R

r
B

A B

AB=R+r

R-r
R-r =AB

(C)

(C')

(C)

(C')

(C')

(C)

(C')

(C')
(C)

R

A
B

A

r

R

r

A
B

AB>R+r
R-r >AB

r

B

R

R-r >AB =0

k = k'


 b = b'
Chú ý: ∆ ⊥ ∆ ' ⇔ k .k ' = −1 .


∆ ≡ ∆'

⇔

9.Vị trí tương đối giữa hai điểm và một đường thẳng.
My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA
Cho đường thẳng
-Hai điểm
-Hai điểm

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

∆ : ax + by + c = 0 và hai điểm M ( xM ; yM ) , N ( xN ; y N ) không nằm trên ∆ . Khi đó

M , N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ ( axM + byM + c ) ( axN + by N + c ) > 0 .
M , N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ ( axM + byM + c ) ( axN + by N + c ) < 0 .

10.Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a ' x + b ' y + c ' = 0 .
Hai đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng ∆ và ∆ ' có phương trình:

ax + by + c
a +b
2

2

=±

a'x +b' y + c'
a '2 + b '2

11.Phương trình chùm đường thẳng.
Chùm đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng

∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a ' x + b ' y + c ' = 0 có phương trình:
α ( ax + by + c ) + β ( a ' x + b ' y + c ' ) = 0 , trong đó α , β ∈ ¡ và α 2 + β 2 ≠ 0 .

12.Phương trình đường tròn.
a)Phương trình chính tắc: Đường tròn

( C)

tâm

I ( x0 ; y0 ) , bán kính R có phương trình chính tắc:

( x − x0 )

2

+ ( y − y0 ) = R 2
2

b)Phương trình tổng quát (dạng khai triển): x 2 + y 2 + 2 Ax + 2 By + C = 0 , với đk
Khi đó đường tròn

( C)

có tâm

I ( − A; − B ) , bán kính R = A2 + B 2 − C .

A2 + B 2 − C > 0 .

13.Vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn.
Cho đường tròn




C ( I , R ) và một điểm M . Đặt d = IM . Khi đó, ta có:

d > R ⇔ điểm M nằm ngoài đường tròn ( C ) .

I

d = R ⇔ M ∈ ( C ) (hay điểm M nằm trên đường tròn ( C ) ).

M
d

d < R ⇔ điểm M nằm trong đường tròn ( C ) .

14.Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn.
Cho đường tròn



R

C ( I , R ) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 . Đặt d = d ( I , ∆ ) . Khi đó, ta có:

H

d > R ⇔ đường thẳng ∆ không có điểm chung với đường tròn ( C ) .

d = R ⇔ đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C ) . (*Đây cũng là đk tiếp xúc giữa ∆ và ( C ) )

d < R ⇔ đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm phân biệt M , N .
-Để tìm tọa độ giao điểm M , N trong trường hợp trên, ta sử dung phương pháp thế giải hệ 2 phương trình gồm phương trình đường


thẳng và phương trình đường tròn.
15. Đường elip.
a) Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định

F1 và F2 , với F1 F2 = 2c , c > 0 . Đường elip là tập hợp các điểm M sao cho

MF1 + MF2 = 2a , trong đó a > c .

b) Phương trình chính tắc của elip (E):

x2 y 2
+ 2 = 1 , với a > b > 0 và a 2 = b 2 + c 2 .
2
a
b

c) Các yếu tố của elip:
+ F1 ( −c, 0 ) và

F2 ( c;0 ) : hai tiêu điểm; F1 F2 = 2c : tiêu cự; Tâm sai e =

c
, ( 0 < e < 1) .
a

= 2a : độ dài trục lớn; B1 B2 = 2b : độ dài trục bé; A1 , A2 , B1 , B2 : các đỉnh của elip.
+Gốc tọa độ O : tâm đối xứng ; PQRS được gọi là hình chữ nhật cơ sở.
cx
cx
= a + ex , MF2 = a − = a − ex .
+Với M ( x; y ) ∈ ( E ) , ta có các bán kính qua tiêu: MF1 = a +
a
a
a
+Phương trình đường chuẩn: x = ± .
e

+ A1 A2

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA
16. Đường hypebol.
a) Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

F1 và F2 , với F1 F2 = 2c , c > 0 . Đường hypebol là tập hợp các điểm M sao cho

MF1 − MF2 = 2a , trong đó 0 < a < c .
b) Phương trình chính tắc của hypebol (H):

x2 y2
− 2 = 1 , với a > 0, b > 0 và c 2 = a 2 + b 2 .
2
a
b

c) Các yếu tố của hypebol:
+ F1 ( −c, 0 ) và

F2 ( c;0 ) : hai tiêu điểm ; F1 F2 = 2c : tiêu cự ; Tâm sai e =

+ 2a : độ dài trục thực; 2b : độ dài trục ảo;

c
, ( e > 1) .
a

( −a;0 ) , ( a;0 ) : tọa độ hai đỉnh của hypebol.

O : tâm đối xứng; ABDC được gọi là hình chữ nhật cơ sở.
cx
cx
= a + ex , MF2 = a −
= a − ex .
+Với M ( x; y ) ∈ ( H ) , ta có các bán kính qua tiêu: MF1 = a +
a
a
a
+Phương trình đường chuẩn: x = ± .
e
b
+Phương trình hai đường tiệm cận y = ± x .
a
+Gốc tọa độ

17. Đường parabol.
a) Định nghĩa: Cho điểm F cố định và đường thẳng ∆ cố định không đi qua
là đường parabol.
b) Phương trình chính tắc của parabol (P): y 2 = 2 px , với p > 0 .

c) Các yếu tố của parabol:

F .Tập hợp các điểm M cách đều F và ∆ được gọi

p 
, 0 ÷: tiêu điểm; ∆ : đường chuẩn; d ( F , ∆ ) = FP = p : tham số tiêu.
2 
+Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của ( P ) , Ox : trục đối xứng.
p
+Phương trình đường chuẩn: x = − .
2
+F

18. Đường cônic.
a) Định nghĩa: Cho điểm

F cố định và đường thẳng ∆ cố định không đi qua F .Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số
MF
= e được gọi là đường cônic. ( e là một số dương cho trước)
d ( M , ∆)

b) Các yếu tố của cônic:
+ F : tiêu điểm; ∆ : đường chuẩn; e : tâm sai của cônic.
* Như vậy Elip, Hypebol, Parabol là các cônic lần lượt có tâm sai

e < 1, e > 1, e = 1 .

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948