Đại số tuyến tính Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng số 1:
Ma trận và hệ phương trình tuyến
tính
CBGD:

Lê Văn Chánh

Khoa Toán
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hồ Chí Minh

Ngày 22 tháng 6 năm 2016
1/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Mục tiêu bài giảng I
Qua bài giảng về Ma trận và hệ phương trình, sinh viên cần
nắm được:
· · · · · · Buổi 1 · · · · · ·
1 khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt.
2 các phép toán trên ma trận: chuyển vị, cộng, trừ, nhân ma
trận, lũy thừa ma trận vuông với số mũ không âm.

3 ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì.
4 phương pháp chứng minh bằng qui nap toán học (nhắc
lại).
· · · · · · Buổi 2 · · · · · ·
5 sự liên hệ giữa hệ phương trình và dạng ma trận hóa của
nó.
1/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Mục tiêu bài giảng II
6

7

8

9

10

hệ phương trình tuyến tính xuất hiện trong những lĩnh vực
ứng dụng nào.
các biến đổi sơ cấp và vận dụng để đưa ma trận về

dạng bậc thang (rút gọn).
thuật toán Gauss, Gauss Jordan và ứng dụng giải
và biện luận hệ phương trình.
· · · · · · Buổi 3 · · · · · ·
khái niệm ma trận khả nghịch và xác định ma trận nghịch
đảo bằng phương pháp Gauss Jordan.
giải hệ phương trình, phương trình ma trận bằng phương
pháp nghịch đảo ma trận.
· · · · · · Buổi 4 · · · · · ·
2/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Mục tiêu bài giảng III
11
12

13

khái niệm hạng ma trận và xác định hạng ma trận.
Định lý Kronecker Capélli và ứng dụng vào bài toán biện
luận số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
······ ······
các kỹ năng tính toán cho các mục tiêu 4, 7, 8, 9, 11, 12

và thường xuyên luyện tập các kỹ năng tính toán này để
tìm những kỹ thuật hoặc phương pháp tính toán hiệu quả.

3/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Nội dung trình bày I
1
2
3
4
5

6

Định nghĩa ma trận
Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì?
Một số ma trận đặc biệt
Quan hệ bằng
Các phép toán trên ma trận
Chuyển vị
Tổng hai ma trận
Tích một số với ma trận

Tích hai ma trận
Tích nhiều ma trận
Lũy thừa ma trận vuông với số mũ nguyên không âm
Phương pháp chứng minh bằng qui nạp toán học
Chỉ dẫn lịch sử
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

4/264


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Nội dung trình bày II
Bài tập
Danh sách bài tập về nhà
Review
7

Hệ phương trình đại số tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính

8

Hệ phương trình tuyến tính xuất hiện trong lĩnh vực ứng
dụng nào?
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp khử Gauss
Các biến đổi sơ cấp
Chỉ dẫn lịch sử
Bài tập
Review
5/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Nội dung trình bày III
Danh sách bài tập về nhà
Một số liên kết hữu ích
Review
9

Ma trận khả nghịch
Khảo sát tính khả nghịch của ma trận vuông cấp 2
Xác định ma trận nghịch đảo bằng Thuật toán Gauss
Jordan
Phương trình ma trận(+)
Lũy thừa ma trận khả nghịch với số mũ nguyên âm
Chỉ dẫn lịch sử
Bài tập
Review

10

Hạng ma trận
6/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Nội dung trình bày IV
Định nghĩa

11

Định lý Kronecker Capelli
Một số kết quả liên quan ma trận khả nghịch
Chỉ dẫn lịch sử
Bài tập
Danh sách bài tập về nhà
Các đề tài

7/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Định nghĩa 1.1 (Ma trận)
Ma trận là một bảng có

a11
 a
 21

A =  a31
 ..
 .
am1

dạng
a12
a22
a32
..
.
am2

a13 · · ·
a23 · · ·
a33 · · ·
.. . .

.
.
am3 · · ·

a1n
a2n
a3n
..
.





,



amn

(một bảng chữ nhật gồm m × n phần tử trong R được viết
thành m dòng và n cột) trong đó aij ∈ R là phần tử ở vị trí
dòng i, cột j của A, m × n được gọi là cấp của ma trận A. Đôi
khi A được viết ngắn gọn là A = (aij ) hay A = [aij ].
8/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

• Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C, ...
• Tập hợp tất cả các ma trận loại m × n trên R được ký hiệu

bởi Mm×n (R). Khi m = n, ta dùng Mn (R) thay cho
Mn×n (R).
Thí dụ 1.1


A=

0 −1 1
1 2 3


−2 1
là ma trận cấp 2 × 3. B =  1 2  là
0 3

ma trận cấp 3 × 2.

9/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Thí dụ 1.2
Cho ma trận A có các phần tử thỏa
aij = i2 − j2 , ∀i = 1, .., 3, j = 1, ..., 4. Viết tường minh (dạng
bảng) cho ma trận A .

10/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Ma trận: where & what I
• Các bảng số liệu thống kê (lĩnh vực xác suất thống kê)
• Trong kinh tế, ma trận giúp việc mô hình tính toán trở nên

rõ ràng hơn (xem Bài tập 5.1).
• Trong lý thuyết đồ thị, ma trận kề, ma trận liên kết, ma
trận khoảng cách (trọng lượng) đại diện cho một đồ thị.
Thí dụ về các bài toán thực tế sử dụng đến lý thuyết đồ
thị như bài toán đường đi ngắn nhất, bài toán người đi du
lịch, bài toán giao thông, ... những bài toán này có nhiều
ứng dụng trong kinh tế và đời sống xã hội nhằm tối ưu chi

phí (xem [dbPVTvnHT07] Kenneth H. Rosen (dịch bởi
Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh). Toán học rời rạc
11/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Ma trận: where & what II
Ứng dụng trong tin học. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội,
2007.)
• Trong ngành điện tử, ma trận có thể đại diện cho các
chips (xem sách Lay, David C. Linear Algebra and its
Applications. Pearson, 2012. [Lay12].)
• ...

12/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Một số ma trận đặc biệt I
• Ma trận “chữ nhật” (Rectangular matrix):
• Ma trận (vectơ) dòng (Row vector).
• Ma trận (vectơ) cột (Column vector).
• Ma trận không, 0m×n .
• Ma trận vuông (Square matrix):
1 Ma trận tam giác trên(Upper triangular).
2 Ma trận tam giác dưới (Lower triangular matrix).
3 Ma trận tam giác (Triangular matrix).
4 Ma trận đường chéo, diag(a1 , a2 , ..., an ) (Diagonal
matrix).
5 Ma trận đơn vị, In , (Identity matrix).

13/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Một số ma trận đặc biệt II
6

(+)Ma trận đối xứng (Symmetric matrix), Ma trận phản
xứng (Skew symmetric matrix).

Định nghĩa 3.1 (Ma trận đối xứng, ma trận phản

xứng (+))
Cho ma trận A ∈ Mn (R). Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng
nếu aij = aji ∀i = 1, n, j = 1, n.
Ma trận A được gọi là ma trận phản xứng nếu
aij = −aji ∀i = 1, n, j = 1, n.

14/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Một số ma trận đặc biệt III
Thí dụ 3.1

1

Cho A = 2
0
A, B có phản




2 0
0

1 2
5 3 và B = −1 0 1 .
3 4
−2 −1 0
xứng hay đối xứng không?

Bài tập

3.1

Cho A ∈ Mn (R) là ma trận phản xứng. Chứng minh rằng
(i) Tất cả các phần tử trên đường chéo của ma trận A bằng 0.
(ii) Tổng tất cả các phần tử của ma trận A bằng 0.

15/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Quan hệ bằng I
Định nghĩa 4.1 (Sự bằng nhau của hai ma trận)
Cho hai ma trận A, B. Ta nói A bằng B,
và B cùng cấp, m × n, và

a

ký hiệu A = B, nếu A

aij = bij , ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
a Robert Recorde - the man who invented the equals sign in 1557
( />
Thí dụ 4.1
Xét A =

p q
4 2
,B =
. Với p, q, n nào thì A = B?
2 0
n 0
16/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Quan hệ bằng II
Gợi ý: Làm theo định nghĩa.
Định nghĩa A = B
·····················
Nhận xét 4.1

Quan hệ bằng cho phép ta: xác định một đối tượng trong tập
hợp (hoặc xác định một đối tượng trong một lớp tương đương,
đồng nhất các đối tượng cùng đặc tính. Thí dụ khái niệm
vector là một lớp tương đương, một số thực là một lớp tương
đương, ...). Từ quan hệ “=”, ta có thể xây dựng được các đẳng
thức, đồng nhất thức.
Đọc thêm:
17/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Quan hệ bằng III
1

2

3

Wikipedia, Equality (mathematics). https://en.
wikipedia.org/wiki/Equality_(mathematics).
[Maz08] Mazur, Barry. When is One Thing Equalto Some
Other Thing?. Proof and other dilemmas: Mathematics
and philosophy (2008): 221. h.
harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf.

Math As Language: Understanding the
Equals Sign: />math-as-language-understanding-the-equals-sign/.

18/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Các phép toán trên ma trận I

• Chuyển vị.
• Cộng, trừ, nhân (hằng số với ma trận, ma trận với ma

trận).
• Lũy thừa ma trận vuông với số mũ nguyên không âm.
Lưu ý: đối với mỗi phép toán cần chú ý các điều sau:
• Điều kiện xác định.
• Kết quả: cấp ma trận kết quả, công thức xác định kết quả.
Cho thí dụ cho mỗi phép toán.
19/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Ma trận chuyển vị
Định nghĩa 5.1 (Phép toán chuyển vị)
Cho ma trận A ∈ Mm×n (R). Ta nói B ∈ Mn×m (R) là ma trận
chuyển vị của A (ký hiệu B = AT ) nếu
bij = aji , ∀i = 1, m, j = 1, n.

Hình 5.1: Minh họa chuyển vị ma trận thông qua thí dụ
20/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Ví dụ về chuyển vị ma trận
Thí dụ 5.1


1 2 3 1
Cho A = 4 9 7 6. Xác định AT ( ).
4 2 8 0
Tính chất 5.1
Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó

i) (AT )T = A;
ii) AT = BT ⇔ A = B.

21/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Tổng hai ma trận I
Định nghĩa 5.2 (Tổng hai ma trận)
Cho A, B ∈ Mm×n (R). Ta gọi tổng của A và B, ký hiệu A + B, là
một ma trận C = (cij ) ∈ Mm×n (R) được xác định bởi
cij = aij + bij , ∀i = 1, m, j = 1, n.

22/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Tổng hai ma trận II

Bài tập 5.1
Tìm đáp án đúng cho A =
a. A =

1 2 1
.
4 0 3

b. A =

1 2 1
4 1 2

.

c. A =

1 3 0
3 1 3

.

1 2 1
3 0 2

+

1 0
1 1

.

d. A không tồn tại.

23/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định nghĩa ma trận Ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì? Một số ma trận đặc biệt Quan hệ bằng Các phép toán trên

Tích một số với ma trận I
Định nghĩa 5.3 (Tích một số với ma trận)
Cho A ∈ Mm×n (R) , α ∈ R. Ta gọi tích α và A (ký hiệu αA) là
một ma trận C = (cij ) ∈ Mm×n (R) được xác định bởi
cij = αaij , ∀i = 1, m, j = 1, n.
❆ Với α = 1, ma trận (1)A ≡ A,
❆ Với α = −1, ma trận (−1)A được ký hiệu là −A.

Định nghĩa 5.4 (Hiệu của ma trận A và B)
Hiệu của ma trận A và B được định nghĩa A − B := A + (−B).
24/264
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C