Đại số tuyến tính Định thức

Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng số 2:
Định thức
CBGD:

Lê Văn Chánh

Khoa Toán
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hồ Chí Minh

Ngày 31 tháng 3 năm 2016
1/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Mục tiêu bài giảng
Qua bài giảng về Định thức, sinh viên cần nắm được:
· · · · · · Buổi 5 · · · · · ·
1 Cách tính định thức cấp 1, 2, 3 bằng định nghĩa. Dùng qui

tắc Sarrus để tính định thức cấp 3.
2 Một số tính chất định thức khi biến đổi trên dòng/ cột.
3 Sử dụng Định lý Laplace và các biến đổi sơ cấp trên dòng,
cột để tính định thức bất kỳ.
4 Một số kỹ thuật tính định thức cấp n.
· · · · · · Buổi 6 · · · · · ·
5 Dùng định thức để tìm ma trận nghịch đảo.
6

Ứng dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình.
1/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Nội dung trình bày I
1

Định thức
Giới thiệu định thức
Định nghĩa định thức
Định lý Laplace
Định thức một số ma trận đặc biệt

Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức
Một số tính chất của định thức
Phương pháp tính định thức cấp n
Bài tập
Chỉ dẫn lịch sử
Review

2

Bài tập và kiểm tra

3

Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức
2/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Nội dung trình bày II
4

Giải và biện luận hệ phương trình bằng php Cramer

Phương pháp Cramer
So sánh phương pháp Cramer và phương pháp khử Gauss
Bài tập
Review
Các đề tài
Danh sách bài tập về nhà

3/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Định thức
Định thức là công cụ để:
1 Xác định tính khả nghịch của ma trận vuông. Xác định ma
trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch.
2 Cho biết số (trong một số trường hợp) nghiệm của hệ n
phương trình n ẩn. Và biểu diễn nghiệm trong trường hợp
ma trận hệ số khả nghịch.
3 Chứng một hệ các vectơ độc lập tuyến tính.
4 Tìm trị riêng ma trận vuông.
5 ...

4/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Gợi nhớ một số công thức liên quan định thức I
Những “gợi nhớ” liên quan định thức:
1 Công thức tính đạo hàm hàm hữu tỉ.
ax + b
cx + d

= ...(

a1 x2 + b1 x + c1
a2 x2 + b2 x + c2

)

= ...(

)

5/88

CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Gợi nhớ một số công thức liên quan định thức II
2

Công thức xác định ma trận nghịch đảo cho ma trận
a b
vuông cấp 2, A =
,
c d
A−1 =

3

1

d −b
.
−c a

The area of the parallelogram generated by these two

vectors can be be obtained using as a determinant.
Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a, b là a × b ,
trong đó ta có thể tính tích hữu hướng

i j k
a × b = a1 a2 a3 ,
b1 b2 b3
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

(1.1)
6/88


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Gợi nhớ một số công thức liên quan định thức III
4

5

và |x| là độ lớn của vectơ x.
The volume of the parallelepiped formed by any three
nonzero vectors in R3 , also can be find using determinant.
Thể tích của hình hộp sinh bởi ba vectơ a, b, c là

|a.(b × c)| = det([a; b; c]) .
Determinant is used in change of variable of integrals in
calculus. One may also use substitution when integrating
functions of several variables. Here the substitution
function (v1 , ..., vn ) = φ (u1 , ..., un ) needs to be injective
and continuously differentiable, and the differentials
transform as
dv1 · · · dvn = | det(D ϕ)(u1 , . . . , un )| du1 · · · dun
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

7/88


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Gợi nhớ một số công thức liên quan định thức IV
where det(Dφ )(u1 , ..., un ) denotes the determinant of the
Jacobian matrix containing the partial derivatives of φ .
Định lý 1.1
Let U be an open set in Rn and φ : U → Rn an injective
differentiable function with continuous partial derivatives, the
Jacobian of which is nonzero for every x ∈ U. Then for any
real-valued, compactly supported, continuous function f , with
support contained in φ (U),

f (v) dv =
U

ϕ(U)

f (ϕ(u)) |det(D ϕ)(u)| du.

8/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Gợi nhớ một số công thức liên quan định thức V

6
7

/>substitution
It can be used in finding eigenvalues of matrix.
...
/>algebra_appl/Applications/Determinant/
Determinant/node1.html

9/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Định nghĩa 1.1 (Định thức khai triển theo dòng 1)
Cho A ∈ Mn (R). Gọi A(i|j) là ma trận A bỏ đi dòng i và cột j.
Khi đó định thức ma trận A (ký hiệu det(A) hay |A|) là một số
thực xác định như sau:
• Nếu n = 1, |A| = det([a]) = a, với A = [a].
• Nếu n > 1, định thức được xác định bởi công thức đệ qui
sau:
n

|A| = ∑ a1j (−1)1+j |A(1, j)|,

(1.2)

j=1

10/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Thí dụ 1.1
Khai triển định thức cấp 2, 3 từ định nghĩa. Và cách tính nhanh
cho định thức cấp 3 (Qui tắc Saurrus: mô tả bằng lời, bằng
hình ảnh).
Nhận xét 1.1
Khi xét

Bài tập

a b
a b
, ta có thể viết là
.
c d
c d

1.1

Tìm giá trị lớn nhất (và giá trị nhỏ nhất) của các định thức cấp
3 mà các phần tử chỉ có thể là 1 hay 0.

11/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

1.2

Tìm giá trị lớn nhất (và giá trị nhỏ nhất) của các định thức cấp
3 mà các phần tử chỉ có thể là 1 hay −1.

Bài tập

1.3

Cho a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) là hai vectơ trong hệ trục
tọa độ Oxyz, chứng minh rằng
i j k
a × b = a1 a2 a3 .
b1 b2 b3

(1.3)

12/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

1.4

Cho a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), c = (c1 , c2 , c3 ) là các vectơ
trong hệ trục tọa độ Oxyz. Ta biết rằng thể tích của hình hộp
sinh bởi ba vectơ a, b, c là V := |a.(b × c)|. Chứng minh rằng
V = det([a; b; c]) .

13/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Định lý Laplace
Định lý 1.2 (Định lý Laplace)
Cho A = (aij ) ∈ Mn (R) và A(i|j) được định nghĩa như Định
nghĩa 1.1, và đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j)) (được gọi là các phần
bù đại số của aij ). Khi đó
1

det(A) có thể khai triển theo dòng i. Cụ thể
n

det(A) = ∑ aij cij .

(1.4)

j=1
2

det(A) có thể khai triển theo cột j. Cụ thể
n

det(A) = ∑ aij cij .
i=1
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

(1.5)
14/88


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Hệ quả Định lý Laplace I
Nhận xét 1.2
Trong [T.01], tác giả dùng Mij , Aij để thay cho A(i|j), cij .
Nhận xét 1.3
Khi tính toán, nếu aij = 0 thì ta không cần xác định phần bù
đại số của nó.
Nhận xét 1.4
Khai triển định thức có thể theo dòng hay cột bất kỳ. Ta nên
chọn khai triển theo dòng hay cột như thế nào? ( )
15/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Hệ quả Định lý Laplace II
Tính chất 1.1
Cho A ∈ Mn (R). Khi đó det(AT ) = det(A).

16/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Định thức một số ma trận đặc biệt
• Ma trận 0n .

• Ma trận đơn vị → Ma trận đường chéo → Ma trận tam

giác.
• Ma trận có một dòng hoặc một cột bằng 0 thì định thức
của nó bằng 0.

Bài toán 1.1
Cho A ∈ Mn (R) và có nhiều hơn n2 − n hệ số bằng 0. Chứng
minh rằng det(A) = 0.

17/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức I
Định lý 1.3
Cho A ∈ Mn (R), và α ∈ R. Khi đó
di ↔dj

i. Nếu A −−−→ A thì det(A ) = − det(A).
d :=αd

i
i
ii. Nếu A −−
−−→
A thì det(A ) = α det(A).

di :=di +αdj ,i=j

iii. Nếu A −−−−−−−−→ A thì det(A ) = det(A).

18/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức II
Nhận xét 1.5
1
2
3

Trong (ii.), ta cần ràng buộc α = 0 không?
Nếu xét i = j, (iii.) được phát biểu như thế nào?
di :=αdi +β dj ,i=j

Cho β ∈ R, i = j và Nếu A −−−−−−−−−→ A thì
det(A ) =? det(A).

Nhận xét 1.6
Nhờ Tính chất 1.1 và Định lý 1.3, ta có định lý 1.3 với phiên
bản biến đổi sơ cấp trên cột.

19/88

CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức III
Nhận xét 1.7
1

2

Nếu một dòng hoặc một cột của định thức “chia hết” α
thì ta có thể rút α ra ngoài dấu định thức.
Nếu định thức có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ nhau thì định
thức bằng 0.

Thí dụ 1.2
αa αb αc
a b c
1
2
3 =α 1 2 3 .
2
4

7
2 4 7
20/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức IV
Tính chất 1.2
Nếu A, B, C ∈ Mn (R) có các dòng giống nhau trừ dòng i và
dòng i của A, B, C lần lượt là a, b, c; với c là tổ hợp tuyến
tính của a, b, nghĩa là có λ , β ∈ R thỏa c = λ a + β b. Khi đó
det(C) = λ det(A) + β det(B).
Tính chất 1.3
Cho A ∈ Mn (R), α ∈ R. Khi đó
det(αA) = α n det(A).

21/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C

Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức V
Bài toán 1.2
Cho n là số tự nhiên lẻ và A ∈ Mn (R) là ma trận phản đối
xứng. Xác định det(A).

22/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Định thức của tích hai ma trận I
Định lý 1.4
Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì
det (AB) = det A det B.
Chứng minh.
Xem [T.].

23/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C


Định thức

Bài tập và kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo bằng định thức Giải và biện

Định thức của tích hai ma trận II
Bài tập 1.1
Cho A ∈ Mn (R). Chứng minh rằng
det (AT A) = det (AAT ) = {det (A)}2 .
Hệ quả 1.1
Cho A, A1 , A2 , . . . , Ak là các ma trận vuông cấp n, ta có
•
•

det (Am ) = (det A)m
det (A1 A2 ...Ak ) = det A1 det A2 . . . det Ak .
24/88
CBGD:

Lê Văn Chánh

Đại số C