S On Thi TNTH HH tong hop

ÔN THI KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY
KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức về khối đa diện
Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương : V = a
3
(a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khôi chóp: V =
Bh
3
1
( B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)
Chú ý:
- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k
3

II/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với
đáy một góc 60
o
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC).
Giải

H
F
E
A
C

B
S
a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC
AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60
o
Ta có: AE =
2
3a
, AH =
3
3a
, HE =
6
3a
SH = AH.tan 60
o
=
a
a
=
3.
3
3
Vậy V
SABC
=
12
3
.
4

3
3
1
32
a
a
a
=
b)Gọi AK là khỏang cách từ A đến mp(SBC)
Ta có: V
SABC
= V
ASBC
=
SBC
SABC
SBC
S
V
AKAKS
3
3
1
=⇒
SE
2
= SH
2
+ HE
2

= a
2
+
6
42
36
42
36
6
6
6
22
2
2
a
SE
aa
a
a
=⇒=+=








S
SBC

=
12
42
6
42
.
2
1
2
aa
a
=
Vậy SK =
42
33
42
12
.
12
3.3
2
3
a
a
a
=
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA
tạo với đáy một góc 60
o
.Tính thể tích khối chóp SABC.

Giải

60
A
C
B
H
S
F
E
J
Hạ SH
)(ABC
⊥
, kẽ HE
⊥
AB, HF
⊥
BC, HJ
⊥
AC suy ra SE
⊥
AB, SF
⊥
BC, SJ
⊥
AC
Ta có
0
60

=∠=∠=∠
SJHSFHSEH
⇒

SJHSFHSAH
∆=∆=∆
nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp
ABC
∆
)
Ta có S
ABC
=
))()(( cpbpapp
−−−
với p =
a
cba
9
2
=
++
Nên S
ABC
=
2
2.3.4.9 a
Mặt khác S
ABC

= p.r
3
62 a
p
S
r
==⇒
Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 60
0
=
a
a
223.
3
62
=
Vậy V
SABC
=
32
3822.66
3
1
aaa
=
.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC
vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45
0
.

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
Giải
a) Kẽ SH
⊥
BC vì mp(SAC)
⊥
mp(ABC) nên SH
⊥
mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB và
BC
⇒
SI
⊥
AB, SJ
⊥
BC, theo giả thiết
0
45
=∠=∠
SJHSIH

45
I
J
H
A
C
B
S

Ta có:
HJHISHJSHI
=⇒∆=∆
nên BH là đường phân giác của
ABC
∠
, từ đó suy ra H là trung
điểm của AC.
b) Ta có HI = HJ = SH =
2
a
V
SABC
=
12
.
3
1
3
a
SHS
ABC
=
Bài 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường
chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là
α
. Tính thể tích của lăng trụ.
Giải

B'

h
D'
C'
A'
O
B
D
C
A

Gọi x là cạnh của đáy, ta có B’D’ = x
22
'',2 xhADAB
+==
αα
cos'2'2cos'.'.2'''':''
22222
ABABADABADABDBDAB
−=−+=∆

αα
cos)()(cos)(2)(22
2222222222
xhxhxxhxhx
+−+=⇔+−+=⇔

α
α
cos
)cos1(

2
2
−
=⇔
h
x
.Vậy V = x
2
.h =
α
α
cos
)cos1(
3
−
h

III.Bài Tập Tự luyện
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy và SA=a
2

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của
khối chóp SAIC theo a .
c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a
Bài 2:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60
o
. Tính thể
tích hình chóp SABCD theo a

Bài 3 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a .
a/ Tính thể tích khối LP theo a
b/ Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a .
KHỐI TRÒN XOAY
I/Tóm tắt lý thuyết:
1/Công thức tính diện tích và thể tích khối nón
S
xq
=
R.l.π
với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V=
2
R
ñ
1 1
.cao
đ
3 3
.hs = π
với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp.
2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ
S
xq
= 2
R.l.
π
với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V=
2

S .cao R .h
ñđ
= π
với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:

3
4
4 V .R
3
= π = π
MC
2
S R
với R là bán kính của hình cầu.
II/ BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là
α
.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 60
0
và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Tính
diện tích tam giác SAB và khỏang cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.
Giải.

a
K
H
O

B
A
S
a) Tính V và S
xq
.
∆
vuông SAO : SO = a.sin
α
, AO = a.cos
α
V =
ααππ
sin.cos..
3
1
..
3
1
232
aSOAO
=
S
xq
=
αππ
cos....
2
aSAAO
=

b) + Tính S
SAB

Kẻ OH
ABSHAB
⊥⇒⊥
, do đó
0
60
=∠
SHO
∆
vuông SOH :
3
sin.2
60sin
0
α
aSO
SH
==
, OH = SO.cot.60 =
3
sin.3
α
a
∆
vuông AOH : AH
2
= AO

2
– OH
2
= a
2
.cos
2

9
sin.3
2
α
α
a
−
αα
22
sincos3
3
−=⇒
a
AH
Vậy S
SAB
=
3
sincos3sin.2
.
2
1

222
ααα
−
=
a
SHAB
+ Tính d(O,(SAB))
Kẻ OK
)(SABOKSH
⊥⇒⊥
∆
vuông OKH : OK = OH.sin 60
0
=
2
sin.
2
3
.
3
sin3
αα
aa
=
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a)Tính khỏang cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD.
b)Tính khỏang cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD.
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Giải
a)Gọi G là trọng tâm tam giác đều BCD và E = BC ∩ DG , F = CD ∩ BG

H
G
E
F
B
D
C
A

Ta có : BF = DE = AF = a =
2
3a
và
AGCDABFCD
AFCD
BFCD
⊥⇒⊥⇒



⊥
⊥
)(
Chứng minh tương tự ta có BC
⊥
AG
Vậy AG
⊥
(BCD) và AG là khỏang cách từ A đến (BCD).
Ta có: AG

2
= AB
2
– BG
2
= a
2
-
3
2
2
3
3
2
2
2
aa
=








. Vậy AG =
3
6a
b) Gọi H là trung điểm AB . Vì CD

)( ABF
⊥
nên CD
HF
⊥
. Mặt khác FA = FB nên FH
AB
⊥
. Vậy
FH là khỏang cách giữa hai cạnh đối AB và CD.
Ta có HF
2
= AF
2
– AH
2
=
222
3
2
2
2
aaa
=







−








. Vậy HF =
2
2a