BÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊ

Vật lý thống kê
4 KSVL
Ti liệu - Tham khảo
Chuơng 1 Các khái niệm cơ bản
Chuơng 2 Cơ sở VLTK cổ điển
1. Cơ học Hamilton với việc mô tả hệ nhiều hạt

Hệ (cơ học) cổ điển với f bậc tự do đợc mô tả bằng toạ độ suy rộng qi @tD và động lợng suy rộng pi @tD thoả mãn p/tr
chuyển động
H1.1L

H

qi =
pi

H

pi = qi

trong đó H = HAq1 , p1 , , q f , p f , tE là hàm Hamilton H=T+U (với T - động năng và U - thế năng tuơng tác.

Mỗi điểm trong không gian pha 2 f chiều biểu diễn 1 tr/thái vi mô ủ tập hợp toạ độ x = 9q1 , p1 , , q f , p f = x@tD biểu
diễn chuyển động của hệ trong không gian pha ê hay quỹ đạo pha.
G/s A = A@x, tD mô tả một đặc tính nào đó của hệ e các biến của không gian pha và cũng có thể e t. "Aet:
H1.2L



A

A
t

G/s Ht tờng minh

t
=

A

H
t

=

t

A
t

+
f

i=1

f
A
A
A
A H A H

qi +
pi =
+
qi
pi
t
qi pi pi qi
i=1
Gọi là ngoặc Poisson @A,HD

+ @A, HD

=0 ù

H
t

= 0 vì [H,H]ê0 E=H[ x[0] ] là một tích phân c/đ (không thay đổi trong q/tr c/đ ê

bảo toàn). Tr/thái với 1 giá tri NL xác định nào đó sẽ giới hạn trên 1 siêu mặt 2f-1 chiều trong k/gian pha

2. Tập hợp TK Gibbs
Tập hợp TK Gibbs

Không thể x/đ 8pi HtL, qi HtL< một cách c/x tại t bất kỳ coi là 1 b/c ngẫu nhiên - có x/s xảy ra nhất định.
def

Tập hợp {" b/cố} ê {" vi thái của hệ}ê{" điểm pha} - t/hợp TK Gibbs (G).
Hm phân bố TK v TB theo tập hợp TK

VLTK02.NB

2

Do k/gian pha là liên tục x/d r[q,p] - mật độ x/s xuất hiện vi thái ê hàm phân bố TK. TB TK của A:
XA\=r[q,p].A[q,p].q.p

(1.3)

ý nghĩa: bằng cách nào đó !!? tìm đuợc dạng r[q,p] (1.3) XA\ (không cần TB theo t của A tức l không cần biết
pi HtL, qi HtL "i)

3. Tính chất của hm phân bố TK - Định lý Liuouville


1/ Chuẩn hoá:

r[q,p].q.pê1 (toàn vẹn x/s)

" miên xờđ tập hợpTK

2/ Phụ thuộc t - ĐL Liouville (do p = pHtL, q = qHtL r=r(t)), r(t)/t ê biến thiên r dọc theo quỹ đạo pha 8pi HtL, qi HtL<
H1.4L

r
t

=

r
t

+
i

r pi
pi t

+

r qi

pờtr Hamilton

qi t

r
t

+@r, HD

CM:!!!số "hạt pha" hệ N bảo toàn r/t=0 hay r=const ("hạt pha" - điểm pha hay vi thái mà hệ có thể $ trong đó, t - hạt
pha c/đ trên các quỹ đạo pha tạo nên các "đờng dòng" liên tục)
p/tr liên tục cho mật độ x/s: " diểm pha -đồng x/s số "hạt fa" e thể tích pha V tại t bất kỳ:

NV = N r@qHtL, pHtLD
V

; q.pê(V); với Vê{G} ủ NV ê N;

q. p

thể tich vi phân fa HVL

NV ờ t ê N H rờ tL q.p ê sự biến thiên số hạt e V / (1đ.v. t)
V đờh riêng

ê số hạt vợt qua biên của V /(1 đ.v.t)


ê - N Ir.vMn s ê -N divIr.vM q. p

def q
v - : 1,
t

HVL

S

qN p1
,
,
t
t

pN

>

divIr.vM ê 3i N H rờ qi L.qi + r. H qi ờ qi L + H rờ pi L.pi + r .H pi ờ pi L
...,

...,

t





do q = H ờ pi ; p = - H ờ qi qi ờ qi ê2 H ỡH pò
i qi Lê- pi ờ pi


(1.5) 3i N qi ờ qi + pi ờ pi ê0




divIr.vM ê3i N H r ờ qi L.qi + H r ờ pi L.pi ê[r,H]

NV ờ t ê -N @r, HDq.p r/tê-[r,H]
V

ủr/tê r/t+[r,H]ê0
Hàm phân bố x/s không thay đổi dọc theo quỹ đạo pha - Đ/L Loiuville hay p/tr Louiville
Dạng p/b thứ 2 ĐTC: ứng với "số hạt pha" xác định. Thể tích pha bao bọc "số hạt pha" này không đổi theo thời gian.

G/s bằng cách nào đó biết tập hợp n đ/k ban đầu x/đ (tơng ứng bộ n "hạt pha" 8pi Ht = 0L, qi Ht = 0L<) theo thời gian n - quỹ
đạo pha, tại mỗi t: bao bọc bởi một không gian pha DG(n)


VLTK02.NB

3

CM: DGHnL = q. p ê q0 . p0 hay DGHnLờ t ê 0
nHtL

nHt=0L

chuyển biến 8pi HtL, qi HtL< 8pi Ht = 0L, qi Ht = 0L<:
DGHnL = q. pê
x1 ở x01
nHtL

D=

x2 ở x01
...

DHtL q0 . p0 - D ma trận Jacobian;

x1 ở x02
nHt=0L

x2 ở x01
...

x2 f ở x01 x2 f ở x01

.... x1 ở x02 f
.... x2 ở x01
...
...
...

x2 f ở x01

ê8di k <

với x=q, p; f - số bậc tự do

DGHnL ờ t ê H DHtLờ tL q0 . p0 cần CM D(t)/tê0
nHt=0L


D ờ t = i,k H D ờ di k L Hdi k ờ tL ê i,k H D ờ di k L I xi ở xk0 M




I xi ở xk0 M = l H xi ờ xl L I xl ở xk0 M ê l H xi ờ xl L dl k

2f
D ờ t = i,l H xi ờ xl L k H Dờ
di k L dl k ê D i H xi ờ xi L


H1.5L


f
êi H qi ờ qi + pi ờ pi L ử0

D.di l

TD:

Tuơng đuơng giữa 2 cách phát biểu: trong 1 vi phân thể tích "bao bọc" k hạt Gk = Ôi=1 qki pki số hạt pha sẽ là
f

N.rA9qk , pk =, tE Gk số này phải không đổi nên nếu rA9qk , pk =E=const ủ Gk =const dọc quỹ đạo pha
Hệ quả:

H1.3L

Tr/thái CBNĐ (tham số vĩ mô t) XA\ t ủ r/tê0 (nghĩa là r@tD ê r@pi HtL, qi HtLD (chứ không phải r@pi HtL, qi HtL, tD )
ĐờL Louville

[r,H]ê0 r- tích phân ch/động

$ 7 tích phân c/đ: E, + , , (tính đồng nhất thời gian, không gian, đẳng hớng không gian) - xét c/đ hỗn loạn nhiệt ê khối
tâm đứng yên + hệ không quay $! E - tích phân c/đ r[q,p]êr[H(q,p)]
ù đoán nhận dạng của r - phụ thuộc NL

Hệ vĩ mô ={fần vĩ mô} + NL tơng tác giữa các phần vĩ mô <
tơng tác yếu coi gần đúng là độc lập TK x/s bằng tích các x/s r@HD = r@H1 D.r@H2 D ... r@HN D lnHr@HDL ê i lnHr@Hi DL
$! 1 quan hệ hàm số thoả mãn 2 đ/k trên - hàm exponent

Số hạt không đổi + CBNĐ r@q, pD = :-b H@q,pD - : - hệ số chuẩn hoá : -b.H@q,pD q. p ê 1 (b>0, "-" đ/k giới nội)

4. Giả thuyết chuẩn ergodic

Giả thuyết thay At XAs \ " A vĩ mô trong TD camera và các frames. G/s thời gian quay đủ lớn (số frames lớn N=t/Dt) ta
thu đợc 2 khuôn hình giống nhau (hệ trở về tr/thái ban đầu). Q/trình thuận nghịch do tơng tác đàn hồi ủcho camera quay


VLTK02.NB

4

g g
g
g
q y
chiều ngợc đi qua " tr/th trung gian theo chiều ngợc. Hệ kín số vi thái lớn nhng hữu hạn cơ sở cho việc thay thế 2 TB:
hệ với thời gian đủ lớn sớm hay muộ cũng đi qua " vi thái trong tập hợp TK.
Boltzman giả thuyết Ergodic: với t đủ lớn TB theo t sẽ tiến tới TB thống kê

At = lim

tỉả

1
t

A@qHtL, pHtLD t = XAs \
t

0

" hệ thoả mãn đ/k trên - hệ ergodic; không thoả mãn - non-ergodic

Hệ kín XAs \ e duy nhất E At =XAs \=A(E) hay XA\=r[q,p,E].A[q,p].q.p
Biện luận: TD về hệ ergodic & non-ergodic
1/ Nớc - chất lởng với tần số quan sát ~ 1 Hz, chất rắn 1012 Hz
2/ phần lớn hệ thực có t (thời gian cho nghiệm đúng ergodic) nhỏ so với thời gian vĩ mô (rắn, lỏng, khí).
Thuỷ tinh (glass, spin slass ...) t~ vài trăm năm ê non-ergodic. Khó đạt tới tr/th CB mà chỉ là các tr/th chuyển tiêp (giả
bền)
3/ polymer - t trong miền trung gian giữa 2 loại trên tuỳ thời gian đặc trng cho quan sát mà coi là E hay non-E

5. Các phân bố Gibbs cổ điển
Việc tính toán tham số vĩ mô (ĐL đo đợc) bằng TBTK theo toàn tập hợp Gibbs ("vi thái tuân theo ergodic), tơng ứng với 1
vĩ thái (đặc trng bộ tham số vĩ mô độc lập t) với r=r(E)
Phụ thuộc đ/k bên ngoài của hệ Cách chọn bộ tham số vĩ mô độc lập khác nhau vĩ thái (tập hợp Gibbs) khác nhau

chính tắc vi mô (N,V,E)

mô chính tắc (N,V,T)

(micro canonical)

canonical

grand canonical

Đ/K: hệ cô lập U=const

hệ kín

không kín

k/ trao đổi hạt: N=const

N=const

trao đổi hạt

V=const

V=const

V = VMT

k/trao đổi nhiệt

trao đổi nhiệt T = TMT

T = TMT

(SCB =const)

chính tắc lớn (T,V,m)

chỉ 1 loại hạt
m=const


VLTK02.NB

5

p/B Vi chính tắc

Hệ cô lập NL bảo toàn H[q,p]=E " 8qi , pi < - p/tr x/đ 1 bề mặt
" điểm fa (vi thái) đều e bề mặt và ngợc lại " điểm e bề mặt có thể vi thái
r[q,p]0 "vithái trên bề mặt và r[q,p]=const (t ĐL Liouville)
toán học

dạng hàm d: r[q,p]=const.d[H[q,p]-E]

hàm d di j - kronecker:

d(x)=0 "x0 , d(0)=ả ; dHxL x = 1; dHx - x0 L f HxL x = f Hx0 L
ả

ả

-ả

-ả

X/đ const=?
Hằng số const x/đ từ đ/k chuẩn hoá xs+constq,p ( chỉ e E):
1=const.d[H[q,p]-E]qp



H[q,p]=H p/tr x/đ một bề mặt G[H]=

qp - thể tích của phần k/gian (2N thể tích) nằm trong bề mặt H[q,p]=H

H@q,pD=H

G[H] e H, q,p (sau tích phân) - hàm đơn biến của H G=W(H)H
- phần thể tích giới hạn bởi 2 bề mặt H và H+dH

H[q,p]=H+dH

q
H[q,p]=H

1 = const. .. d@H@q, pD - ED H q pL f
đ

p

2f

f -1

const d@H@q, pD - ED WHHL H=const.W(E)ê1

P/B chính tắc vi mô: r[q,p]=d[H[q,p]-E]/W(E)
p/B Chính tắc
Hệ có tiếp xúc bình nhiệt (có trao đổi NL dạng nhiệt)
Bình nhiệt LT ê bình nhiệt vô hạn (để T=const) H'>>H (bậc tự do f'>>f).
Lập hệ mới lớn hơn (={H,H'}; do chỉ có trao đổi nhiệt giữa H & H' (êcô lập E = H + H ' + UH,H' =const (UH,H' -


VLTK02.NB

6

tơng tác giữa H & H')

H
H'>>H

Đánh giá U với H: U~-P.S (S- diện tích tiếp xúc H&H') U~S S ~ V2ờ3 ~ N2ờ3 << N (với Nửả) U<tơng tác so với nộ năng)
( cô lập áp dụng vi chính tắc cho (
XA\=



Hq,pL Hq',p'L

dHH'+H-EL

WHEL
r@q,p,q',p'D

AHq, pL

đờl eHchỉ e 8q,p<

qpq'p'

mục đích tìm r(q,p) sao cho XA\= r(q,p).A(q,p)qp
Hq,pL

(không có bậc tự do f')

mục đích tìm r(q,p) sao cho XA\= r(q,p).A(q,p)qp

so sánh r(q,p)=

Hq',p'L

Hq,pL

dHH'+H -EL
WHEL

q' p ' ù

G'=W' HH'L H'

W' HE-HL

WHEL

??! không biết đợc dạng W' (e bình nhiệt) x/đ từ đ/k chuẩn hoá xs
H'>>H E>>H khai triển gần đúng: W ' HE - HL =

lnW' HE-HL

@

lnW' HEL-H .lnW'â
HELờE
1ờq

1/q - hằng số: H (e - bình nhiệt) - modul của phân bố
P/B chính tắc: r@q, pD =
X/đ C: C-Hờq Gê1

W' HEL
WHEL

-Hờq

E=const

C-Hờq

H

Z = A -Hờq tích phân TK
def

Đặt C = A.Fờq A-Hờq Gê-Fờq :

def

F = -qlnZ

NL tự do

A- hằng số đa vào để đảm bảo quan hệ TK cổ điển & lợng tử

ê W ' HEL.-Hờq


VLTK02.NB

7

g

q

g

Z- còn gọi là hàm phân hoạch; đ/v hệ rời rạc (lợng tử) các mức NL gián đọan tổng TK
So sánh P/B vi chính tắc v chính tắc
vi chính tắc:

XA\vct =

dHH-EL
WHEL
â
rvct

chính tắc:

A G êA(E)
WHHL H

XA\ct =rct Hq, pL A G êA(E)
WHHL H

def

W(H)ử G/H: mật độ trạng thái NL - số tr/th NL/1đ.v.NL lân cận H
G thể tích pha ~ pi f ; f - số bậc tự do (f>>1)

H ~ i p2i ~ p2 G~ H f ờ2 W ~ H f ờ2-1 Hõ Wõ;
rHHL~ -Hờq Hõ r(H)ọ;

r(H)W(H) đạt max (g/s tại H ê H0 )

(H)
(H)~e-H/
AHy-HLờq+lnWHHL
ờH H ê0
0

1ờq =
â
e W'


H

XA\ct @ AHH0 L

H=H0

max

@lnWHHLD
đ
eW

YH

H=H0

-H ờ q + lnWHHL
ê

1
q*

H=H0 max

- đ/k CB giữa hệ và bình nhiệt


VLTK02.NB

8

PHEL

canonical
microcanonical

E

U
A - ®/l bÊt kú nÕu lÊy A lµ H fl E @ H0 NL TB xÊp xØ NL cã x/s lín nhÊt (xem thªm §.T.C p.31)
p/B ChÝnh t¾c lín

trêng hîp tæng qu¸t nhÊt - hÖ tiÕp xóc víi b×nh nhiÖt LT (ªtrao ®æi nhiÖt) + hÖ kh«ng kÝn (cã trao ®æi h¹t). Giíi h¹n - hÖ
chØ gåm 1 lo¹i h¹t

N

B×nh nhiÖt LT fl T=const (b×nh>>hÖ);
N' - sè h¹t cña b×nh nhiÖt N'>>N;
B×nh+hÖªHÖ lín c« lËp fl N ' + N = N0 ªconst

TB TK cña XA\ªTB céng theo " vi th¸i (" vi th¸i ®¼ng sx) ª

1

NA

⁄Ai
"vi thai


VLTK02.NB

9

+

+

+

+

+

+

+

Cỏc vi thỏi cú cựng s ht

Tt c cỏc vi thỏi ca h

+

Tảch riêng thành các tổng con (mỗi tổng con ứng với cùng một số hạt n) mỗi tổng con tơng ứng với một tập hợp Gibbs
các vĩ thái có cùng số hạt + trao đổi nhiệt ê ttạp hợp chính tắc
XA\ = N
n=0 rn HH, nL A Gn với rn HH, nL =

lnB

W' IE-H,N0 -nM
WHEL

F

e H, n 2 biên

Bình nhiệt rất lớn: N'>>N N0 >> N; E>>H Khai triển gần đúng đến bậc nhất lnW ' HE - H, N0 - nL @


lnW ' HE, N0 L - H lnW ' HE, N0 L - n lnW' HE, nL N0
E
đặt là 1ờq HH,nL

n
đặt là - mờq HH,nL

rn = Cn -HH-m nLờq với đ/k chuẩn hoá nN rn Gn 1
Trờng hợp có nhiều loại hạt (r-loại) ta cũng xuất phát từ tổng TK trong biểu diễn TBTK chia thành r loại tổng con sao cho
mỗĩ thừa số trong tổng ứng với 1 phân bố chính tắc với số hạt r-loại là 8n1 , n2 , ..., nr < là không đổi vá áp dụng phân bố
chính tắc cho từng thừa số:
r9n1 ,n2 ,...,nr = = C9n1 ,n2 ,...,nr = -IH-k mk nk Mởq ;

đ/k cchuẩn hoá: n1 n2 ... nr r9n1 ,n2 ,...,nr = G r
9n

1 ,n2 ,...,nr =

1