ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN CỤ THỂ

ĐỀ SỐ 29

y = mx + 2m − 4

Câu 1: a) Cho đường thẳng d có phương trình:
đi qua gốc tọa độ.

. Tìm m để đồ thị hàm số
y = (m 2 − m)x 2

b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

đi qua điểm A(-1;

2).

Câu 2: Cho biểu thức

P=

 1
1 
3 

+
1 −

a + 3 
a
 a −3

với a > 0 và a

≠

9.

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của a để P >

1
2

.

Câu 3: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi
người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian
người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn
thành công việc.
Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH
⊥

BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O 1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại
D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH =
10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO 1O2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá
trị đó.
Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = -

1
3

.

ĐÁP ÁN
Câu 1: a) Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi
b) Đồ thị hàm số

y = (m 2 − m)x 2

đi qua điểm A(-1; 2)

⇔ m − m − 2 = 0 ⇔ m = −1 ; m = 2
2

2m − 4 = 0 ⇔ m = 2.

⇔ 2 = (m 2 − m).(−1)2


Câu 2:
 1
1 
3 

+
.1 −
 =

a + 3
a
 a −3

a) P =

2 a .( a − 3)
( a − 3)( a + 3). a

=

(

a +3+ a −3
a −3

2
a +3

. Vậy P =
a +3

b) Ta có:

>

1
2 ⇔

a

a +3

)

a −3
a

.

2

=
2

)(

.

+3<4

⇔

a +3

a

.

<1

⇔ 0 < a < 1.

.

1
2

Vậy P > khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Câu 3: Gọi x, y là thời gian mỗi người cần để một mình hoàn thành công việc (x, y > 0
tính bằng giờ). Trong 1 giờ mỗi người làm được
1
x

1
y

1 1
x y

;

công việc, cả 2 làm trong 1 giờ

1
4

được +
=
công việc.(vì hai người hoàn thành công việc trong 4 giờ). Do người

thứ nhất làm ít hơn người thứ hai là 6 giờ nên y - x = 6.
Ta có hệ phương trình.
y − x = 6
(1)
y = x + 6


1
1
1 1 1 ⇔ 1
x + y = 4
 x + x + 6 = 4 (2)


Giải (2): (2) <=> x(x + 6) = 4 (x + x + 6) <=> x2 - 2x - 24 = 0
<=> x = 6 (t/m); x = - 4 (loại vì x > 0). Thay vào (1) được y = 12
Vậy để hoàn thành công việc người thứ nhất cần 6 giờ, người thứ hai cần 12 giờ.
Câu 4:
a) Ta có

·
BAC

Tương tự có

= 900 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)

·
·
BDH

= CEH

= 900

µ = ADH
·
·
A
= AEH

Xét tứ giác ADHE có
= 900 => ADHE là hình chữ nhật.
Từ đó DE = AH mà AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)


hay AH2 = 10 . 40 = 202 (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20
b) Ta có:

·
BAH

=

µ
C

(góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà

(Vì ADHE là hình chữ nhật) =>
tiếp đường tròn.

µ = ADE
·
C

µ + BDE
·
C

do

µ = BDO
·
B
1

∆

c) Vì O1D = O1B => O1BD cân tại O1 =>

·
·
DAH
= ADE

(1)

= 1800 nên tứ giác BDEC nội

(2)

·
·
µ + BAH
·
ADE
+ BDO
1 = B

Từ (1), (2) =>
= 900 => O1D //O2E
Vậy DEO2O1 là hình thang vuông tại D và E.
A
1
1
1
(O1D + O 2 E).DE = O1O 2 .DE ≤ O1O 22
2
2
2

E

Ta có Sht =
(Vì
D
O1D + O2E = O1H + O2H = O1O2 và DE < O1O2 )
Sht ≤

1

BC 2 R 2
O1O2 2 =
=
2
8
2

B

O1

O2

O

H

C

. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

DE = O1O2
⇔ DEO2O1 là hình chữ nhật

⇔ A là điểm chính giữa cung BC. Khi đó max

S DEO2O1

=

R2
2

.

1
3

Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = (1)
(1) <=> 3x3 + 3x2 - 3x = - 1 <=> 4x3 = x3 - 3x2 + 3x - 1 <=> 4x3 = (x - 1)3
1

<=>

x3 4

= x - 1 <=> x(

1− 3 4

) = 1 <=> x =

1− 3 4

.

1

Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm x =
Lời bình:

Câu III

1− 3 4

.

Ta thường gặp bài toán :" Hai máy cày cùng cày một cánh đồng…; hai vòi nước
cùng chảy vào một bể…; hai hợp tác cùng đào một con mương…; hai người cùng làm


chung một công việc…) v.v" . Ta gọi bài bài trên thuộc loại toán "Làm chung một
việc"
Một số lưu ý khi giải bài toán này là
a) − Khối lượng công việc phải hoàn thành được quy ước bằng 1 (đơn vị).
− (Năng suất) × (thời gian) = (khối lượng làm được).
− (Năng suất chung) = (tổng các năng suất riêng).
(Bạn có thể tò mò tại sao lại quy ước khối lượng công việc là 1. Công việc hoàn tất
nghĩa là hoàn thành 100% khối lượng công việc. Bởi 100 % = 1, đó là điều dẫn tới quy
ước trên)
b) Bài toán có thể trình bày lời giải bằng hệ phương trình hai ẩn hoặc bằng
phương trình một ẩn.
c) Trong bài toán trên (theo các kí hiệu đã dùng trong lời giải) thì :
− Các năng suất riêng là và
1
x

1
y

− Năng suất chung : Một mặt được tính là

Vậy nên có phương trình

1 1 1
+ =
x y 4

1 1
+
x y

, một mặt giả thiết cho là

1
4

.