ĐỀ THI LỚP 10 CÓ ĐÁP ÁN CỤ THỂ

ĐỀ SỐ 37
x − x
x2 + x
−
+ x +1
x + x +1 x − x +1
2

Câu 1: Cho biểu thức: M =

Rút gọn biểu thức M với

x ≥ 0.
3x − 5y = −18

 x + 2y = 5

Câu 2: a) Giải hệ phương trình:
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau.
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:

1
1
+ 2
2
x1 x2

= 1.

∆

Câu 4: Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường
kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.
b) Vẽ OM

⊥

BC (M

∈

BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM.
∆

c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của ABC. Khi
BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =

x2 + x +1
x 2 + 2x + 2

ĐÁP ÁN

Câu 1: M =

=

x ( x 3 − 1)
x ( x 3 + 1)
−
x + x +1
x − x +1

+x+1

x ( x − 1)( x + x + 1)
x ( x + 1)( x − x + 1)
−
+ x +1
x + x +1
x − x +1

.


=x-

x

-x-

x

+x+1=x-2

x

x

+1=(

- 1)2

3x − 5y = −18 3x − 5y = −18 11y = 33
x = −1
⇔
⇔
⇔

 x + 2y = 5
3x + 6y = 15
 x + 2y = 5  y = 3

Câu 2: a)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (- 1; 3)
b) Hai đường thẳng (d) và (d’) song song khi và chỉ khi:

.

3

a = 3 − a
a =
⇔
2

b ≠ 2 − b

b ≠ 1

.
Câu 3: a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0
Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3
⇔ ∆'

⇔

⇔

b) Phương trình có nghiệm
>0
1-m>0
m<1
Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m
(1)
1
1
x12 + x 22
(x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2
+
=
1
⇔
=
1
⇔
=1
x2 x2

x12 x 22
(x1x 2 ) 2
2

(2)

2

Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m <=> m + 2m - 4 = 0
∆'

= 1 + 4 = 5 =>

∆'

5

=

Vậy giá trị m cần tìm là:

nên m = -1 +

5

(loại); m = - 1 -

5

(T/m vì m < 1).

m = −1 − 5

·
ACK

Câu 4: a) Ta có
= 900
(vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⊥

A

⊥

Nên CK AC mà BH AC (vì H trực tâm)
=> CK // BH tương tự có CH // BK
=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm)

H

O

⊥

b) OM BC => M trung điểm của BC
M
B
(định lý đường kính và dây cung) => M là trung điểm của HK
(vì BHCK là hình bình hành) => đpcm

đường trung bình => AH = 2.OM

∆

AHK có OM là

C
K


c) Ta có

· ′C = BB
· ′C
AC

·
·
ACB
= BAx

OA

⊥

= 90 => tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn =>

· ′B′
AC

=

·
ACB

mà

(Ax là tiếp tuyến tại A) => Ax // B’C’

Ax => OA

⊥

Tương tự: SBA’OC’ =
S ∆ABC

0

B’C’. Do đó SAB’OC’ =
1
2

R.A’C’; SCB’OA’ =

1
2

1
2

1
2

R.B’C’

R.A’B’

1
2

1
2

= R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= AA’ .BC < (AO + OM).BC
=> A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng <=> A là đỉểm chính giữa cung
lớn BC.

Câu 5: y =

x2 + x +1
⇔ y(x 2 + 2x + 2) − (x 2 + x + 1) = 0
x 2 + 2x + 2

⇔

(y - 1)x2 + (2y - 1)x + (2y - 1) = 0
- Nếu y = 1 thì x = - 1
- Nếu y

≠

(1)

1 thì (1) là phương trình bậc hai đối với x. Để (1) có nghiệm thì phải có
∆

= (2y - 1)2 - 4 (y - 1)(2y-1)

≥

0