Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vecto dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
—————————

TRẦN VĂN SỰ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN
BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA
ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2018


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
............***............

TRẦN VĂN SỰ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN
BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA
ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Đỗ Văn Lưu
2. TS. Nguyễn Công Điều

Hà Nội - 2018


ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả đưa
vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình.
Tác giả

Trần Văn Sự


iii

LỜI CẢM ƠN
Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin, Học
viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu và TS.
Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu

sắc nhất tới các thầy.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và Seminar
tại Bộ môn Toán của trường Đại học Thăng Long Hà Nội và Viện Công
nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam;
tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những
ý kiến quý báu của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, GS.TS. Trần Vũ Thiệu, GS.
TS. Nguyễn Bường, GS. TS. Đặng Quang Á, TS. Nguyễn Minh Tuấn, v.v.
Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học
Quảng Nam, Khoa Toán - Đại học Quảng Nam; Phòng Đào tạo Viện Công
nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam;
Các thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học và Công
nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều
kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin được cảm ơn anh chị em cùng nhóm nghiên cứu, bạn bè và đồng
nghiệp gần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và làm luận án.
Bản luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm,
chia sẽ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tác giả
thành kính dâng tặng món quà này lên các bậc sinh thành và gia đình
thân yêu bé nhỏ của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc.
Tác giả

Trần Văn Sự


Mục lục
Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Một số ký hiệu và viết tắt

vi

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án . . . . . .

9
9

1.1.1. Tập tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3. Các hàm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4. Trên đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng . . . . . . . 23
1.2.1. Bài toán cân bằng vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Bài toán tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.3. Bất đẳng thức biến phân vectơ . . . . . . . . . . . . 29

1.3. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ
đạo hàm tiếp liên
32
2.1. Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu
yếu địa phương của (CVEP1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm
hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) . . . . . . . . . . . . 44


v

2.3. Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1 ) và bài
toán tối ưu vectơ (CVOP1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ
trên đạo hàm tiếp liên

55

3.1. Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên với
đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP) . . 60
3.2.1. Trường hợp không gian Banach . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2. Trường hợp hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3. Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) . 79
3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ qua
ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên
4.1. Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên cấp

90

hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2. Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu
của (CVEP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3. Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu
hiệu của (CVEP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Kết luận chung

115

Danh mục các công trình đã công bố

117

Tài liệu tham khảo

118


Một số ký hiệu và viết tắt

(LBD)

tính chất đạo hàm bị chặn dưới

(KRZ)

điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe

(CQ1)

điều kiện chính quy thứ nhất

(CQ2)

điều kiện chính quy thứ hai

IM in(A|Q)

tập các điểm cực tiểu lý tưởng của tập A theo nón Q

M in(A|Q)

tập các điểm cực tiểu Pareto của tập A theo nón Q

IM ax(A|Q) tập các điểm cực đại lý tưởng của tập A theo nón Q
M ax(A|Q)

tập các điểm cực đại Pareto của tập A theo nón Q

f+ : X ⇒ Y

ánh xạ đa trị f + Q từ X vào Y

F :X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

domF

miền hữu hiệu của F

graphF

đồ thị của F

epiF

trên đồ thị của F

hypF

dưới đồ thị của F

Dc F (x, y)

đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)

Dc2 F (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w
DF (x, y)

trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)

2

D F (x, y, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w
DF (x, y)

dưới đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y)

D2 F (x, y, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w
Dc f (x)

đạo hàm tiếp liên của f tại x


vii

Dc2 f (x, w)

đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w

Df (x)

trên đạo hàm tiếp liên của f tại x

2

D f (x, w)

trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w

Df (x)

dưới đạo hàm tiếp liên của f tại x

D2 f (x, w)

dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w

df (x, v)

đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v

df (x, v)

dưới đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v

df (x, v)

trên đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v

∇f (x)

đạo hàm Fréchet của f tại x

T (M, x)

nón tiếp liên của M tại x

A(M, x)

nón kề hay nón các hướng chấp nhận được của M tại x

IT (M, x)

nón tiếp tuyến phần trong của M tại x

ITs (M, x)

nón tiếp tuyến phần trong theo dãy của M tại x

N (M, x)

nón pháp tuyến của M tại x

T 2 (M, x, u)

tập tiếp liên cấp hai của M tại x theo hướng u

A2 (M, x, u)

tập kề cấp hai của M tại x theo hướng u

IT 2 (M, x, u) tập tiếp tuyến phần trong cấp hai của M tại x theo hướng u
Q+

nón đối ngẫu của Q

int(Q+ )

phần trong của Q+ tương ứng với tôpô mạnh β(Y ∗ , Y )

Q

tựa phần trong của Q+

cone A

bao nón của tập A

(V EP )

bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc

(CV EP )

bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc

(V OP )

bài toán tối ưu vectơ không ràng buộc

(CV OP )

bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

(V V I)

bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc

(CV V I)

bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc


Mở đầu

Bài toán cân bằng vectơ (vector equilibrium problem) có vai trò quan
trọng trong giải tích phi tuyến và được quan tâm nghiên cứu nhiều trong
thời gian gần đây bao gồm các nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, cấu trúc
tập nghiệm, độ nhạy nghiệm, điều kiện tối ưu và thuật toán tìm nghiệm
do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh [1], [2]; Ansari
[3], [4], [5], [6]; Bianchi [11], [12]; Feng-Qiu [18]; Khanh-Tung [45], [46];
Luu [56], [57], [59], [62], [63]; Su [72], [73]; Tan [75], [76], [77], [78],v.v...
Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từ bài toán cân bằng vô hướng
được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 bởi Blum và Oettli [10], và nó
bao hàm được nhiều bài toán khác nhau như trường hợp đặc biệt, chẳng
hạn bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài
toán cân bằng Nash vectơ, bài toán bù vectơ, v.v... Về điều kiện tối ưu
cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ hiện nay là một
chủ đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Luu [54],
[59], [60] dẫn các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai kiểu Fritz John và
Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán
cân bằng vectơ không trơn có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức
và một số áp dụng cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân
vectơ; Feng và Qiu [18] nghiên cứu điều kiện tối ưu của bài toán cân bằng
vectơ có ràng buộc trong không gian Banach; Gong [26], [27] thu được điều
kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục
và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ khả vi và lồi tổng quát
cùng với một số áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và
bài toán tối ưu vectơ; Long-Huang và Peng [49] dẫn điều kiện tối ưu cho
nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồi
suy rộng và áp dụng; Jiménez và Novo [40] thiết lập điều kiện tối ưu cấp


2

hai cho bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu với các hàm khả vi hai lần, v.v...
Luận án của chúng tôi làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai
cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ
đạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn
định cho điều kiện cấp một và với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.
Khái niệm đạo hàm tiếp liên của một ánh xạ đa trị được đưa ra lần đầu
tiên vào năm 1981 bởi Aubin [7], thực ra nó là một sự mở rộng từ khái
niệm khả vi Fréchet rất tự nhiên với các hàm đa trị và có vai trò quan
trọng trong giải tích và giải tích ứng dụng. Ví dụ như một số điều kiện cần
và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm
hữu hiệu địa phương của các bài toán tối ưu vectơ đa trị với dữ liệu lồi
tổng quát có thể mô tả dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên, chẳng hạn Aubin
và Ekeland [8], Corley [13] và Luc [51]. Bên cạnh đó, một số điều kiện tối
ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu và cực tiểu chặt địa phương cấp một của các
bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc có thể được dẫn thông qua khái
niệm đạo hàm tiếp liên với lớp các hàm ổn định, xem Jiménez và Novo
[37]. Chú ý rằng để dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán
cân bằng vectơ, các song hàm được xét nhất thiết phải có đồ thị lồi. Để
vượt qua sự bất tiện này, Jahn và Rauh [35] đưa ra khái niệm trên đạo
hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị vào năm 1997 và áp dụng chúng để dẫn các
điều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị, Chen và Jahn [14] đưa ra khái niệm
trên đạo hàm tiếp liên tổng quát của một ánh xạ đa trị vào năm 1998 và
áp dụng kết quả cho các bài toán cân bằng vectơ đa trị.
Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp từ kết quả đa
trị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn. Để nghiên cứu
các điều kiện tối ưu với dữ liệu không trơn cho lớp các bài toán tối ưu
đơn trị, dựa vào định nghĩa của Aubin [7], Jiménez và Novo [37] đã chứng
minh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, ổn định, khả vi
Hadamard, khả vi Fréchet và thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối
ưu vectơ không ràng buộc và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán

tối ưu vectơ có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo
hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều. Một số
vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez và Novo [37] là chưa


3

đưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker
cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng
buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức. Ngoài ra, một số áp dụng kết quả
thu được cho bài toán tối ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân vectơ, bài
toán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot cổ điển cũng
chưa thực hiện trong [37]. Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyết
các vấn đề mở vừa được đề cập ở trên (xem Định lí 2.1-2.10, Ví dụ 2.2-2.3).
Khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn
ngữ đạo hàm tiếp liên ta chú ý rằng đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ đa
trị. Hơn nữa, nói chung đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ có giá trị không
lồi và ánh xạ giá trị này chỉ lồi trong một số trường hợp đặc biệt. Do đó,
chúng ta có thể sử dụng công cụ trên và dưới đạo hàm tiếp liên và tập
tiếp liên cấp một và cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán
cân bằng vectơ. Đầu tiên, Rodríguez-Marín và Sama [70] nghiên cứu sự
tồn tại, tính duy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên,
các mối liên hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên
với lớp hàm ổn định trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều. Sau
đó, Rodríguez-Marín và Sama [71] nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm
tiếp liên của một ánh xạ đa trị trên quan điểm biến phân và thu được các
kết quả tồn tại chúng qua một họ các hệ thống biến phân liên kết và mở
rộng được các kết quả tồn tại đó (xem [70]), v.v... Một số vấn đề còn tồn
đọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama [70], [71] là chưa
nghiên cứu sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm đơn trị

tùy ý với không gian ảnh là Banach. Về điều kiện tối ưu, Jiménez - Novo
và Sama [38] chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địa
phương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngôn ngữ trên và dưới đạo
hàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định. Trường hợp về điều kiện cần và
đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và
siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên và dưới
đạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không được nghiên cứu trong
Jiménez - Novo và Sama [38] và cũng chưa từng được nghiên cứu bởi các
tác giả khác. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu các kết quả tồn tại
trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian
Banach (xem Mệnh đề 3.1, 3.2, 3.5), mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp


4

liên (xem Mệnh đề 3.3) và dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại
nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập (xem
Định lí 3.1, 3.2) và có đầy đủ ràng buộc (xem Định lí 3.5, 3.6) qua ngôn
ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach,
và cuối cùng chúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu
hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu
ổn định làm cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối
ưu cấp hai (xem Định lí 3.4).
Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân
bằng vectơ và các trường hợp riêng của nó đã được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu, chẳng hạn [17], [30], [31], [32], [33], [34], [40], [42], [43], [44],
[47], [48], [52], [54], [58], [60], [65], [67] và [74]. Trong các công trình được
liệt kê ở trên, có nhiều bài báo sử dụng khái niệm đạo hàm và trên đạo hàm
tiếp liên cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai, chẳng hạn, Durea
[17] sử dụng đạo hàm tiếp liên cấp hai để thiết lập các điều kiện tối ưu cho

bài toán tối ưu đa trị, Jahn - Khan và Zeilinger [34] đã đề xuất các khái
niệm trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và cấp hai tổng quát và nhận được
các điều kiện tối ưu cấp hai dạng cơ bản (primal form), Khan và Tammer
[44] đã thiết lập các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp
liên cấp hai tiệm cận, Li - Zhu và Teo [47] nghiên cứu sự tồn tại trên đạo
hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh tổng quát và nhận được các điều kiện tối
ưu cho bài toán tối ưu vectơ đa trị chỉ có ràng buộc tập, v.v... Ta nhận
thấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai với các
hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach là chưa được nghiên cứu, các
kết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trên
đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉ được thực hiện cho trường hợp
bài toán có ràng buộc tập. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu kết quả
tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai tổng quát với lớp hàm đơn
trị tùy ý trong không gian Banach (xem Mệnh đề 4.1-4.4 ) và xây dựng
các điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài
toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó (xem Định lí 4.1-4.4).
Bởi vì các tập tiếp liên cấp hai không lồi thậm chí tập đã cho là lồi và
cũng không là một nón mà nói chung chỉ là một tập đóng. Do đó, chúng ta


5

không thể áp dụng kết quả nghiên cứu điều kiện tối ưu qua ngôn ngữ trên
đạo hàm tiếp liên để nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ
trên đạo hàm tiếp liên cấp hai. Vì vậy, trong luận án chúng tôi nghiên cứu
các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai mang tính kế thừa từ các điều kiện
cần và đủ tối ưu cấp một qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai,
thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp
liên để kiểm tra một điểm chấp nhận được cho trước là một nghiệm hữu
hiệu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc. Kết quả nghiên cứu này là

cơ sở để thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai và cấp cao cho các loại nghiệm
hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ tổng quát dưới ngôn ngữ đạo hàm
tiếp liên trong không gian Banach trong tương lai.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho
bài toán cân bằng vectơ so với các bài toán khác là có thể áp dụng kết quả
này cho từng dạng đặc biệt của nó như bất đẳng thức biến phân vectơ,
bài toán tối ưu vectơ và nhiều bài toán khác. Bên cạnh đó, yếu tố vi phân
quyết định đến kết quả nhận được, xem [53], [55], [57], [59], [63], [64], v.v...
Việc sử dụng lớp hàm ổn định và lớp hàm vững để nghiên cứu các tính
chất của đạo hàm, trên và dưới đạo hàm tiếp liên nhằm làm giàu thêm
các tính chất của nó là cần thiết, và hơn nữa, từ đó ta sẽ dẫn được các
điều kiện tối ưu cho các bài toán cân bằng vectơ. Một chú ý khác cũng
cần được quan tâm ở đây là lớp hàm vững rộng hơn lớp hàm Lipschitz địa
phương và lớp hàm khả vi Hadamard. Do đó, ta có thể áp dụng kết quả
thu được khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ với
hàm ổn định cho hàm Lipschitz địa phương và hàm khả vi Hadamard.
Một trong những phương pháp quen thuộc trong quá trình nghiên cứu
điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm và
trên đạo hàm tiếp liên là nghiên cứu ở dạng cơ bản (primal form) và sau
đó sử dụng định lí tách (mạnh) trong giải tích lồi của Rockafellar [69] để
đưa về dạng đối ngẫu (dual form). Các điều kiện tối ưu kiểu Kuhn-Tucker
hay Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu thường được quan tâm
trước tiên và từ các kết quả đó có thể áp dụng cho các loại nghiệm khác
như các nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho
bài toán cân bằng vectơ. Các kết quả thu được cũng có thể áp dụng trực


6

tiếp vào bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ, xem [24],

[25], [26], [27], [28], [29], [32], [49], [68], [72], [73].
Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một
và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua
ngôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên, và cụ thể như sau:
1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương
của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức
dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian
hữu hạn chiều.
2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu
hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng
vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với
hàm vững, hàm khả vi Hadamard và hàm khả vi Fréchet.
3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu
hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng
vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với
lớp hàm tùy ý.
4) Áp dụng một số kết quả đã nhận được vào bất đẳng thức biến phân
vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,
nội dung của luận án gồm bốn chương: Chương 1 giới thiệu và trình bày
các kiến thức bổ trợ phục vụ cho các chương sau của luận án, các kết quả
chính của luận án nằm ở trong các Chương 2, 3, 4.
Chương 1 giới thiệu các khái niệm về nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu
yếu địa phương, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của
bài toán cân bằng vectơ; trình bày các định nghĩa về nón tiếp liên, tập
tiếp liên cấp hai, đạo hàm tiếp liên, trên (t.ứ., dưới) đạo hàm tiếp liên cấp
một và cấp hai của một ánh xạ đa trị. Trình bày các khái niệm về hàm
ổn định, hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet và một
số công thức liên quan đến đạo hàm tiếp liên. Trình bày các khái niệm về
điểm cực tiểu lý tưởng và Pareto của một tập theo nón cùng với một số

tính chất quan trọng của chúng. Phần cuối cùng của Chương 1 trình bày


7

nguồn gốc bài toán cân bằng vectơ, bài toán tối ưu vectơ và bài toán bất
đẳng thức biến phân vectơ.
Chương 2 nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và KarushKuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng
vectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định
trong các không gian hữu hạn chiều và trình bày một số ứng dụng cho
bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Trong
chương này, chúng tôi có đưa ra hai điều kiện chính quy (CQ1) và (CQ2)
làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện tối ưu kiểu Karush - Kuhn - Tucker và
Karush - Kuhn - Tucker mạnh và cung cấp nhiều ví dụ minh họa trong đó
có ví dụ thực tế về mô hình bài toán sản xuất - vận tải và mô hình bài
toán cân bằng Nash-Cournot.
Phần đầu tiên của Chương 3 và 4 nghiên cứu các kết quả tồn tại trên
đạo hàm tiếp liên và công thức biểu diễn của nó dưới ngôn ngữ đạo hàm
tiếp liên trong không gian Banach với các hàm đơn trị tùy ý. Trong các
kết quả liên quan đến trên đạo hàm tiếp liên cấp hai, chúng tôi sử dụng
không gian l2 để mô tả kết quả thu được.
Phần thứ hai của Chương 3 nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho
các nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu
hiệu cho bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo
hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các trường hợp các không gian đầu
- cuối đều là Banach và không gian đầu Banach, không gian cuối hữu hạn
chiều. Phần cuối chương này nghiên cứu điều kiện tối ưu Kuhn - Tucker
cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc
dựa trên việc đề xuất điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe
(KRZ). Nhiều ví dụ được cung cấp để mô tả chi tiết kết quả nhận được.

Phần thứ hai của Chương 4 nghiên cứu các điều kiện đủ tối ưu cấp hai
cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu
hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo hàm
tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach. Phần cuối cùng của
chương này chúng tôi đưa vào Giả thiết 4.1 làm cơ sở để nghiên cứu điều
kiện cần và đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với
lớp hàm tùy ý. Nhiều ví dụ minh họa liên quan đến không gian Banach l2


8

được trình bày.
Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
• Hội thảo toàn Quốc lần thứ IV về "Ứng dụng Toán học", Trường Đại
học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015;
• Hội nghị về Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội
21-23/04/2016;
• Seminar Tối ưu, Khoa Toán tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả
bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau.
Chương 1 gồm hai phần. Phần đầu trình bày một số khái niệm và kết
quả về giải tích không trơn, giải tích Lipschitz và giải tích đa trị. Phần
thứ hai dành cho việc trình bày các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân
bằng vectơ và các trường hợp đặc biệt của nó cùng với một số điều kiện
tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với
lớp hàm ổn định.

1.1.
1.1.1.

Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án
Tập tiếp tuyến

Để nghiên cứu các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán tối ưu
vectơ người ta thường sử dụng các nón tiếp liên (contingent cones) và các
tập tiếp liên cấp hai (second-order contingent sets). Các kết quả trong tiểu
mục này được tham khảo trong các tài liệu tham khảo [7], [9], [32], [37],
[38], [40], [41], [70], [71].
Giả sử X là một không gian định chuẩn, X ∗ là không gian đối ngẫu
tôpô của X. Ta có các định nghĩa nón tiếp liên của một tập tại một điểm
cho trước như sau.


10

Định nghĩa 1.1 ([37], Định nghĩa 2.1) Cho M ⊂ X và x ∈ clM.
(i) Nón tiếp liên T (M, x) của M tại x được xác định bởi
T (M, x) = {v ∈ X :∃tn → 0+ , ∃(vn )n≥1 ⊂ X, vn → v sao cho
x + tn vn ∈ M ∀ n ∈ N}.
(ii) Nón kề hay nón các hướng chấp nhận được A(M, x) của M tại x
được xác định bởi
A(M, x) = {v ∈ X :∀tn → 0+ , ∃(vn )n≥1 ⊂ X, vn → v sao cho
x + tn vn ∈ M ∀ n ∈ N}.
(iii) Nón tiếp tuyến phần trong IT (M, x) của M tại x được xác định
bởi
IT (M, x) = {v ∈ X :∃ δ > 0 sao cho

x + tu ∈ M ∀ t ∈ (0, δ], ∀ u ∈ B(v, δ)}.
Trong đó, B(v, δ) là hình cầu mở tâm v bán kính δ.
(iv) Nón tiếp tuyến phần trong theo dãy ITs (M, x) của M tại x được
xác định bởi
ITs (M, x) = {v ∈ X :∃ δ > 0, ∃ tn hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu
của (CVEP), ta có thể phát biểu như sau.
Định lí 4.4 Cho x là một điểm chấp nhận được của (CVEP) và giả sử
rằng Giả thiết 4.1 được thỏa mãn và nón Q có cơ sở B. Khi đó, vectơ
x là một nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu
nếu thêm điều kiện B compact) của (CVEP) khi và chỉ khi với mọi x ∈
Mx (u, v, w), tồn tại (λ, η) ∈ (Y ∗ × Z ∗ ) \ {(0, 0)} thỏa mãn
λ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ ));
η ∈ S + với
∼

(4.24)

η, w = 0;

∼

(4.25)
∼

λ, Fx (x) + η, g(x) ≥ λ, ax + η, bx ≥ 0 ∀ x ∈ K.

(4.26)

Chứng minh: Trường hợp 1. Giả sử x ∈ K là một nghiệm hữu hiệu Henig
của (CVEP). Khi đó, tồn tại một lân cận lồi cân đối U của gốc O với

U ⊂ VB sao cho
cone(Fx (K)) ∩ (−int cone(U + B)) = ∅,
hay tương đương
Fx (K) ∩ (−int cone(U + B)) = ∅.
Chú ý cone(U + B) là một nón lồi nhọn. Theo Định lí 4.3, dễ dàng thấy
rằng với mọi x ∈ Mx (u, v, w), tồn tại λ ∈ [cone(U + B)]+ \ {0} và η ∈ S +
với η, w = 0 sao cho bất đẳng thức (4.26) thỏa mãn. Sử dụng trực tiếp
Mệnh đề 1.11 (i), dễ dàng có được λ ∈ Q∆ (B).
Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử với bất kỳ x ∈ Mx (u, v, w)
tồn tại λ ∈ Q∆ (B) và η ∈ S + với η, w = 0 thỏa mãn (4.26). Bởi vì
λ ∈ Q∆ (B), tồn tại t ∈ R++ với λ, b ≥ t ∀ b ∈ B. Đặt
U = {y ∈ Y : | λ, y | <

t
} ∩ VB .
2

Khi đó U là một lân cận lồi cân đối của gốc O trong Y với U ⊂ VB . Ta
thấy rằng
cone(Fx (K)) ∩ (−int cone(U + B)) = ∅.

(4.27)


112

Thật vậy, nếu (4.27) không đúng, vì nó tương đương (xem [27])
cone(Fx (K)) ∩ (U − B) = ∅,

(4.28)

∼

tồn tại r ≥ 0, x ∈ K, u ∈ U và b ∈ B sao cho
∼

rFx (x) = u − b.
Từ đây ta suy ra
∼

λ, rFx (x) = λ, u − λ, b ≤ λ, u − t < 0.

(4.29)

Nếu r = 0, ta được u = b. Ngoài ra, t ≤ λ, b = | λ, u | < t (mâu thuẫn!).
Vậy r > 0. Một kết quả mâu thuẫn thu được từ (4.26) là
∼

∼

λ, Fx (x) + η, g(x)

<

∼

η, g(x) ≤ 0.

Do đó, x là một nghiệm hữu hiệu Henig của (CVEP).
Trường hợp 2. Giả sử x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của (CVEP).

Khi đó tồn tại một nón lồi nhọn H với Q \ {0} ⊂ intH sao cho
Fx (K) ∩ (−H \ {0}) = ∅.
Hệ quả là Fx (K)∩(−intH) = ∅. Lặp lại chứng minh như trong trường hợp
1 với nón cone(U + B) được thay cho nón H, lúc đó tồn tại λ ∈ H + \ {0}
và η ∈ S + với η, w = 0 thỏa mãn (4.26). Để có được kết quả λ ∈ Q , ta
lấy tùy ý y ∈ Q \ {0}, suy ra λ, y > 0. Theo định nghĩa của tựa phần
trong Q của Q+ , ta có λ ∈ Q .
Xét chiều ngược lại. Với mọi x ∈ Mx (u, v, w) tồn tại λ ∈ Q và η ∈ S +
với η, w = 0 thỏa mãn (4.26). Ta đặt
H = {y ∈ Y : λ, y > 0} ∪ {0}.
Dễ dàng thấy rằng H là một nón lồi nhọn chứa Q \ {0} trong phần trong
của nó. Ta thấy rằng
Fx (K) ∩ (−H \ {0}) = ∅.

(4.30)

Thật vậy, nếu (4.30) sai, tồn tại xˆ ∈ K such that Fx (ˆ
x) ∈ −H \ {0}. Bởi
vì λ ∈ Q , ta suy ra λ, Fx (ˆ
x) < 0. Điều này dẫn đến
λ, Fx (ˆ
x) + η, g(ˆ
x) < η, g(ˆ
x) ≤ 0


113

(mâu thuẫn!). Vậy, x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của (CVEP).
Trường hợp 3. Lập luận một cách từng tự các bước như trong Long-Huang

và Peng [49], ta cũng dẫn đến một kết luận.
Định lí được chứng minh.
Nhận xét 4.5 Đây là kết quả mới về điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai
cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) qua ngôn ngữ trên đạo hàm
tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach và được dựa trên kết
quả thu được của Định lí 3.2 trong Chương 3.
Nếu Giả thiết 4.1 (B) bị hủy bỏ, chúng ta chỉ thu được điều kiện cần
tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) như sau.
Hệ quả 4.4 Cho x là một điểm chấp nhận được của (CVEP) và giả sử
rằng nón Q có cơ sở B và Giả thiết 4.1 (A) và (C) được thỏa mãn. Khi
đó, nếu vectơ x là một nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục,
siêu hữu hiệu nếu thêm điều kiện B compact) của (CVEP) thì với mọi
x ∈ Mx (u, v, w), tồn tại một cặp (λ, η) ∈ (Y ∗ × Z ∗ ) \ {(0, 0)} thỏa mãn
λ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q , int(Q+ )),
η ∈ N (−S, w),
λ, ax + η, bx ≥ 0.
Chứng minh: Suy ra trực tiếp từ Định lí 4.4.
Nhận xét 4.6 Kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các
nghiệm hữu hiệu của bài toán (CVEP) được nghiên cứu nhờ sự thỏa mãn
đồng thời các điều kiện (A), (B) và (C) trong Giả thiết 4.1. Tuy nhiên,
nếu Giả thiết 4.1 (B) bị hủy bỏ, chúng ta chỉ thu được điều kiện cần tối
ưu và nó không kéo theo điều kiện đủ, xem Chú ý 3.5 [Chương 3]. Đây là
bằng chứng giải thích lý do tại sao điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán
cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và thậm chí
dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên cấp hai về điều kiện cần và điều kiện đủ
tối ưu không đồng nhất dưới các giả thiết thông thường (xem Corley [13]).
Cuối cùng chúng tôi cung cấp một sự khác biệt lớn của kết quả đạt
được trong Luận án với các tác giả người Việt Nam khác.

114

Nhận xét 4.7 Sự khác biệt giữa kết quả thu được trong bản Luận án này
và một số kết quả của các tác giả người Việt Nam ở chỗ: chúng tôi sử dụng
công cụ đạo hàm tiếp liên, trên và dưới đạo hàm tiếp liên để dẫn các điều
kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục
và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc và trường hợp
đặc biệt là bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với lớp các hàm ổn
định và vững tại điểm tối ưu, trong khi các tác giả người Việt Nam dùng
công cụ dưới vi phân và tính lồi tổng quát để dẫn điều kiện tối ưu cho bài
toán cân bằng vectơ. Bên cạnh, họ còn nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm,
tính ổn định và liên tục nghiệm cho bài toán cân bằng vectơ.

4.4.

Kết luận chương 4

Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp hai
cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) qua ngôn ngữ trên đạo
hàm tiếp liên cấp hai với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach. Về điều
kiện đủ tối ưu cấp hai, kết quả chính thể hiện trong Định lí 4.1 và 4.2,
và đã giải quyết được nhiều loại nghiệm hữu hiệu khác nhau trong trường
hợp bài toán tối ưu hóa vectơ có ràng buộc nón. Về điều kiện cần và đủ
tối ưu cấp hai, kết quả chính thể hiện trong Định lí 4.3 và 4.4, và đã giải
quyết được nhiều loại nghiệm hữu hiệu khác nhau của bài toán tối ưu hóa
vectơ có ràng buộc tập, nón và đẳng thức. Các kết quả thu được bao gồm:
(a) Thu được các điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu,
hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân
bằng vectơ có ràng buộc tập và nón.
(b) Xây dựng Giả thiết 4.1 và áp dụng chúng để thu được các điều kiện

cần và đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig,
hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có
ràng buộc tập, nón và đẳng thức.
(c) Thu được kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của
một ánh xạ đơn trị tùy ý dựa vào khái niệm Q− bị chặn trên và Q−
bị chặn dưới của một tập là đạo hàm tiếp liên cấp hai.


115

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án đã nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho
nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu yếu địa phương, hữu hiệu Henig, hữu hiệu
toàn cục và siêu hữu hiệu (gọi chung là các loại nghiệm hữu hiệu) của bài
toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ
trên đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai và cụ thể như sau:
1) Chứng minh các kết quả tồn tại và công thức biểu diễn trên và dưới
đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai cho ánh xạ đơn trị trong không
gian Banach và thiết lập một số mối liên hệ giữa trên và dưới đạo
hàm tiếp liên cấp một và cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp một và
cấp hai tương ứng.
2) Xây dựng điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-KuhnTucker (Karush-Kuhn-Tucker mạnh) cho nghiệm hữu yếu địa phương
của (CVEP1 ) dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, hàm
ổn định, hàm khả vi Hadamard theo hướng và khả vi Fréchet và áp
dụng kết quả thu được cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng
buộc (CVVI1 ), bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP1 ) và nhận
được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu
địa phương cho các mô hình của bài toán sản xuất - vận tải và bài
toán cân bằng Nash - Cournot.

3) Xây dựng điều kiện đủ tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu của
bài toán cân bằng vectơ (VEP) với hàm mục tiêu ổn định qua ngôn
ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên trong không gian hữu hạn chiều;
điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP)
qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không
gian Banach.
4) Chứng minh các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp một và cấp hai kiểu
Fritz John và Kuhn-Tucker qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cho
các bài toán cân bằng vectơ (VEP) và (CVEP) với lớp hàm vững, hàm
ổn định, hàm khả vi Hadamard theo hướng và hàm khả vi Fréchet
cho điều kiện cấp một và lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai.


116

5) Cho nhiều ví dụ minh họa, trong đó có các ví dụ kinh điển là bài toán
sản xuất - vận tải và bài toán cân bằng Nash - Cournot để làm minh
chứng cho các kết quả đạt được trong luận án.
Hướng phát triển:
• Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân
bằng vectơ và áp dụng.
• Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai dưới ngôn ngữ đạo
hàm tiếp liên cho bài toán cân bằng vectơ (CVEP) có đầy đủ ràng
buộc và áp dụng.
• Nghiên cứu các công thức tính cơ bản của đạo hàm tiếp liên cấp hai
và trên đạo hàm tiếp liên cấp hai trong không gian Banach.
• Nghiên cứu xây dựng các mô hình thực tế bằng công cụ đạo hàm và
trên đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai.
• Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp n ≥ 3 cho bài toán cân bằng vectơ
dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp

liên và áp dụng.


117

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Do Van Luu, Tran Van Su, Contingent derivatives and necessary efficiency conditions for vector equilibrium problems with constraints,
RAIRO - Oper. Res., 2017, (online) />(SCI-E).
2. Tran Van Su, Optimality conditions for vector equilibrium problems
in terms of contingent epiderivatives, Numer. Funct. Anal. Optim.,
2016, 37, 640-665 (SCI-E).
3. Tran Van Su, New optimality condition for unconstrained vector equilibrium problem in terms of contingent derivatives in Banach spaces,
4OR- Q. J. Oper. Res., 2017, (online) (SCI-E).
4. Tran Van Su, A new optimality condition for weakly efficient solutions
of convex vector equilibrium problems with constraints, J. Nonlinear
Funct. Anal., 2017, 7, 1-14 (Scopus).
5. Tran Van Su, Optimality conditions for weak efficient solution of vector equilibrium problem with constraints, J. Nonlinear Funct. Anal.,
2016, 4, 1-16 (Scopus).
6. Tran Van Su, Second-order optimality conditions for vector equilibrium problems, J. Nonlinear Funct. Anal., 2015, 6, 1-31 (Scopus).
7. Tran Van Su, Fritz John type optimality conditions for weak efficient solutions of vector equilibrium problems with constrains in terms
of contingent epiderivatives, Appl. Math. Sci., 2015, 126, 6249-6261
(Scopus).
8. Do Van Luu, Tran Van Su, Nguyen Cong Dieu, Second-order efficiency conditions for vector equilibrium problem with constraints via
contingent epiderivatives, Ann Oper. Res., (submitted) (SCI).


Tài liệu tham khảo
[1] Lam Quoc Anh, Phan Quoc Khanh, Tran Ngoc Tam, On Holder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems,

Nonlinear Analysis, 2012, 75, 2293-2303.
[2] Lam Quoc Anh, Phan Quoc Khanh, Tran Ngoc Tam, On Holder continuity of solution maps of parametric primal and dual equilibrium
problems, TOP, 2015, 23, 151-167.
[3] Q. H. Ansari, Vector equilibrium problems and vector variational
inequalities, in vector variational inequalities and vector Equilibria.
Mathematical Theories, Edited by Prof. F. Giannessi, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2000, 1-16.
[4] Q. H. Ansari, I.V. Konnov and J. C. Yao, Existence of a solution
and variational principles for vector equilibrium problems, J. Optim.
Theory. Appl., 2001, 110 (3), 481-492.
[5] Q. H. Ansari, X. Q. Yang and J. C.Yao, Existence and duality of implicit vector variational problems, Numer. Funct. Anal. Optim., 2001,
22, 815-829.
[6] Q. H. Ansari, X. Q. Yang and J. C.Yao, Characterizations of solutions
for vector equilibrium problems, J. Optim. Theory. Appl., 2002, 113
(3), 435-447.
[7] J. P. Aubin, Contingent derivatives of set-valued maps and existence
of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, in: L.
Nachbin, ed., Advances in Mathematics Supplementary Studies 7A,
Academic Press, New York, 1981, 159-229.