Chuyên đề: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bđt AM GM

CHUYÊN ĐỀ:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG
BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

MỤC LỤC

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC
• Căn cứ:
+) Chuẩn KT-KN
+) Yêu cầu của nhà trường
+) Khả năng, mong muốn của HS…
• Mục tiêu dạy học:
 Về kiến thức:
+) Học sinh hiểu các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
+) Học sinh biết các quy tắc khi làm bài toán bất đẳng thức.
+) Học sinh hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM).
+) Học sinh chứng minh được bất đẳng thức AM-GM dạng 2 số không âm.
+) Học sinh biết phương pháp quy nạp kiểu Cauchy.
+) Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM.
 Về kỹ năng:
+) Học sinh dự đoán được điểm rơi xảy ra ở đâu.
+) Học sinh vận dụng được bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán bất đẳng thức
và cực trị.
Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 1


B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC
1. Hình thức dạy học
- Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập.

2. Kế hoạch dạy học
I. BẤT ĐẲNG THỨC
AM-GM

Nội dung
1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng
thức
2. Một số quy tắc chung trong chứng minh
bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM.

3. Bất đẳng thức AM-GM
II. KỸ THUẬT CHỌN
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán
ĐIỂM RƠI TRONG
cực trị xảy ra ở biên.
BẤT ĐẲNG THỨC
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán
AM-GM
cực trị xảy ra ở tâm.
3. Bài tập áp dụng
Kiểm tra và chữa bài kiểm tra

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 2

Tiết
1

1

5
4
4
2


C. NỘI DUNG BÀI HỌC
I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
a≥b⇔ a−b≥0
+)

+)
+)

+)

a ≥ b
⇒a≥c

b
≥
c


a≥b⇔a+c≥b+c
a ≥ b
⇒a+c≥b+d

c

≥
d


a≥b>0⇒
+)

1 1
≤
a b

2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức
AM-GM.
+) Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các
chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh
chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.
+) Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra
tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào
điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có
thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không
trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp
điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.
+) Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số
giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm
này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của
dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được
đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một
điều kiện của biến.
+) Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các
bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất

của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 3


+) Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến
trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau.
Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các
biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.
+) Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh:
đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại
3. Bất đẳng thức AM-GM
3.1. Định lí
a1 ,K , an

Với mọi số thực dương

⇔ a1 = K = an

ta có bất đẳng thức:

a1 + K + an n
≥ a1.K .an (1)
n

Dấu "=" xảy ra
.

3.2. Chứng minh
Sử dụng phương pháp " quy nạp Cauchy"
+) Với
⇒

n=2

ta có:

a1 + a2
≥ a1a2
2

Dấu "=" xảy ra

a + a − 2 a1a2 ( a1 − a2 ) 2
a1 + a2
− a1a2 = 1 2
=
≥0
2
2
2

( đúng)

⇔ a1 = a2

+) Giả sử (1) đúng với
Ta đi CM (1) đúng với

Xét:

.

n=k

ta có:

a1 + K + ak k
≥ a1.K .ak
k

n = 2k

a1 + K + a2 k = 1  a1 + K + ak + ak +1 + K + a2 k 

÷
2
k
k

2k

≥
≥

1
2

(

k

k

a1.K .ak . k ak +1.K .a2 k

a1.K .ak + k ak +1.K .a2 k

)

= 2 k a1.K .ak .....a2 k

Dấu "=" xảy ra

 a1 = K = ak

⇔  ak +1 = K = a2 k
 a ...a = a ...a ⇔ a = ... = a = a = ... = a
k +1
2k
 1 k
1
k
k +1
2k

+)Giả sử (1) đúng với

a1 + K + a p

n= p

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

ta có:

p

Page 4

≥ p a1.K .a p

.


Ta đi CM (1) đúng với
ap =

a1 + K + a p −1

Đặt

p −1

a1 + K + a p −1 + a p
p

Xét

≥

≥

n = p −1

p −1

a1.K .a p −1

a1 + K + a p −1 + p −1 a1.K .a p −1
p

≥ p a1.K .a p −1. p −1 a1.K .a p −1
=

p −1

a1.K .a p −1

⇒ a1 + K + a p −1 + p −1 a1.K .a p −1 ≥ p. p −1 a1.K .a p −1

⇔ a1 + K + a p −1 ≥ ( p − 1) p −1 a1.K .a p −1

⇔

a1 + K + a p −1
p −1

≥

p −1

a1.K .a p −1

⇔ a1 = K = a p −1 =

a1 + K + a p −1
p −1

⇔ a1 = K = a p −1

Dấu "=" xảy ra
Ta có điều phải chứng minh.
4. Một số hệ quả.
1 1
1
( a1 + a2 + ... + a n )  + + ... + ÷≥ n2
an 
∀ai > 0, i = 1, n
 a1 a2
4.1.
với
1 1
1
n2
+ + ... + ≥
a1 a2
an a1 + a2 + ... + an
∀ai > 0, i = 1, n
4.2.

với
( n ∈ Z , n ≥ 2 ) : a1 , a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bn
4.3.Cho 2n số dương
ta có:
n a +b
( 1 2 ) ( a2 + b 2 ) ...( an + bn ) ≥ n a1a2 ...an + n b1b2 ...bn
II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM.
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên.
1.1. Quy tắc biên.
Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu,
các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều
biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở
các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi
bài toán có cực trị đạt được tại biên.
1.2. Một số bài toán.
Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 5


a≥2

Bài toán 1: Cho số thực
+) Sai lầm thường gặp là:
A=a+

A=a+

. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của

1
a

1
1
≥ 2 a. = 2
a
a

. Vậy GTNN của A là 2.
+) Nguyên nhân sai lầm:
⇔a=

GTNN của A là 2
+) Phân tích:

1
⇔ a = ±1
a

vô lý vì theo giả thuyết thì

a≥2

Do a càng tăng thì A càng tăng nên ta dự đoán A đạt GTNN khi
tại “Điểm rơi

a=2

dấu “=”. Vì vậy ta phải tách

quy tắc dấu “=”.

a

hoặc

1
a

” thì

, ta có sơ đồ sau:

a 2
α = α
2 1
a =2⇒
⇒ = ⇒α = 4
α 2
1 = 1
 a 2
A=a+

Khi đó:
A=a+

A đạt GTNN

1 a 3a 1
= +

+
a 4 4 a

và ta có lời giải như sau:

1 a 1 3a
a 1 3a
3 .2 5
= + +
≥2 . +
≥ 1+
=
a 4 a 4
4 a 4
4
2
⇔

Dấu “=” xảy ra

a 1
= hay a = 2
4 a

Vậy GTNN của A là

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

5
2

a

và

1
a

vì không thỏa quy tắc

để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa

Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số
a=2

a=2⇒

”.

Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số

a 1
=
α a

.

.

Page 6

 a 1
 , 
α a 

sao cho tại “Điểm rơi


+) Lưu ý:Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số
cặp số sau:

1

 αa , 
a


hoặc

Bài toán 2: Cho số thực
Sơ đồ điểm rơi:

 α
 a, 
 a

a≥2

hoặc

 1 
 a, 
 αa 

 a 1
 , 
α a 

ta có thể chọn các các

.
A=a+

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
a2

a 2
α = α
2 1
a =2⇒
⇒ = ⇒α =8
α 4
1 =1
 a 2 4

Sai lầm thường gặp là:

. Dấu

A=

“=” xảy ra

⇔a=2

a 1 7a
a 1 7a
+ 2 +
≥2 . 2 +
=
8 a
8
8 a
8

1 7a
+
≥
2a 8

1
7 .2 9
+
=
2 .2
8
4

.

Vậy GTNN của A là

9
4

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là
trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “

9
4

a≥2⇒

là đáp số đúng nhưng cách giải
là sai”.
1
≥
2a

1
2 .2

Lời giải đúng:
A=

Dấu “=” xảy ra

a a 1 6a
a a 1 6 a 3 6 .2 9

+ + 2 +
≥ 3.3 . . 2 +
≥ +
=
8 8 a
8
8 8 a
8 4 8
4

⇔a=2

Vậy GTNN của A là
1.3. Ví dụ áp dụng

9
4

.

Ví dụ 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a +b ≤1

Phân tích:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 7

A = ab +

. Tìm GTNN của

1
ab

.


2

1
a+b
ab ≤ 
 ≤
4
 2 

Ta có:
Sơ đồ điểm rơi:

1
 ab
=

1
1
1
α

4α
ab = ⇒ 
⇒
= 4⇒α =
4
4α
16
1 =4
 ab

Giải:
2

Ta có:

1
 a+b 1
ab ≤ 
÷ ≤ ⇒ −ab ≥ −
4
 2  4

A = 16ab +

1
1
1 17
− 15ab ≥ 2 16ab
− 15ab ≥ 8 − 15. =
ab

ab
4 4

Dấu “=” xảy ra
⇔ ab =

Vậy GTNN của A là

17
4

Ví dụ 2: Cho số thực
Phân tích:
Ta có:
A = a2 +

1
1
⇔a=b=
4
2

.

a≥6

A = a2 +

. Tìm GTNN của

18
a

.

18
9 9
= a2 + +
a
a a

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi
Ta có sơ đồ điểm rơi:

 a 2 36
 =
α ⇒ 36 = 3 ⇒ α = 24
a =6⇒ α
α 2
9 = 9 = 3
 a 6 2

Giải:
a 2 9 9 23a 2
a 2 9 9 23a 2 9 23.36
3
A=
+ + +
≥3
. . +

≥ +
= 39
24 a a
24
24 a a
24
2
24

Ta có:
Dấu “=” xảy ra

⇔

a2 9
= ⇔a=6
24 a

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 8

a=6

.


Vậy GTNN của A là 39.
Ví dụ 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
A= a+b+c+

a + 2b + 3c ≥ 20

. Tìm GTNN của

3 9 4
+
+
a 2b c

Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi

a + 2b + 3c = 20

,tại điểm rơi

a = 2, b = 3, c = 4

Sơ đồ điểm rơi:
a 2
α = α
2 3
4
a =2⇒
⇒ = ⇒α =
α 2
3
3 = 3
 a 2

b 3
 β = β
3 3
b =3⇒ 
⇒ = ⇒β =2
β 2
9 =3
 2b 2
c 4
 γ = γ
4
c =4⇒
⇒ =1⇒ γ = 4
γ
4 = 1
 c

Giải:
 3a 3   b 9   c 4  a b 3c
A =  + ÷+  + ÷+  + ÷+ + +
 4 a   2 2b   4 c  4 2 4

≥2

3a 3
b 9
c 4 a + 2b + 3c
. +2 . +2 . +
4 a

2 2b
4 c
4

≥ 3 + 3 + 2 + 5 = 13

Dấu “=” xảy ra

⇔ a = 2, b = 3, c = 4

Vậy GTNN của A là

13

.

Ví dụ 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa

( a + b + c ) + 2 1 + 1 + 1  + 8 ≥ 121
 ab bc ca  abc 12
Phân tích:
Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 9

ab ≥ 12

bc ≥ 8

. Chứng minh rằng:

.


Dự đoán GTNN của A đạt được khi

ab = 12

bc = 8

,tại điểm rơi

a = 3, b = 4, c = 2

.

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
a b
2
a b 2 1
+ +
≥ 33 . .
=
18 24 ab
18 24 ab 2
a c 2
a c 2
+ + ≥ 33 . . = 1
9 6 ca

9 6 ca
b c 2
b c 2 3
+ + ≥ 33 . . =
16 8 bc
16 8 bc 4
a c b
8
a c b 8
4
+ + +
≥ 44 . . .
=
9 6 12 abc
9 6 12 abc 3
13a 13b
13a 13b
13 13
13
+
≥2
.
≥2
. .12 =
18 24
18 24
18 24
3
13b 13c
13b 13c

13 13
13
+
≥2
.
≥2
. .8 =
48 24
48 24
48 24
4

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

( a + b + c ) + 2

1
1
1 
8
121
+
+
≥
+
 ab bc ca  abc 12

(đpcm).
Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
10a + 10b + c ≥ 4

2

minh rằng:
Phân tích:
Với

0 < α < 10

αa 2 +

2

2

.

. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

c2
c2
≥ 2 αa 2 .
= 2α ac
2
2
2

2
c
2 c
αb +

≥ 2 αb .
= 2α bc
2
2
2

(10 − α ) a 2 + (10 − α ) b 2 ≥ 2 (10 − α ) a 2 (10 − α ) b 2 = ( 20 − 2α ) ab
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

10a 2 + 10b 2 + c 2 ≥ 2α ( ac + bc ) + ( 20 − 2α ) ab

Cân bằng điều kiện giả thuyết có:
Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 10

ab + bc + ca = 1

. Chứng


α = 8
2α = 20 − 2α ⇔ 2α = 400 − 80α + 4α ⇔ 2α − 41α + 200 = 0 ⇒ 
α = 25 > 10

2
2

2

⇒α =8

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
8a 2 +

c2
c2
≥ 2 8a 2 .
= 4ac
2
2

8b 2 +

c2
c2
≥ 2 8b 2 .
= 4bc
2
2

2a 2 + 2b 2 ≥ 2 2a 2 .2b 2 = 4ab

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
10a 2 + 10b2 + c 2 ≥ 4 ( ab + bc + ca ) = 4.1 = 4

( đpcm)

 2 c

8a = 2
1


a=b=
2

c


3
⇔ 8b 2 =
⇔
2

c = 4
2
2

 2a = 2b
3


2

Dấu "=" xảy ra

.

Ví dụ 6: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện:

nhất của biểu thức:

A = a + 4b

a 3 + b3 ≤ 1

.

Phân tích:
Dự đoán A đạt GTLN khi:
Giả sử A đạt GTLN khi:

a3 + b3 = 1

a = α

b = β

. Ta có:

α3 + β3 =1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số:
a 3 + 2α 3 ≥ 3. 3 a 3 . ( α

)

3 2

a

và 2 số

= 3α 2 a

b3 + 2 β 3 ≥ 3 3 b3. ( β 3 ) = 3β 2b
2

Tương tự:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

(a

3

+ b3 ) + 2 ( α 3 + β 3 ) ≥ 3α 2 a + 3β 2b

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 11

(1)

3

α3

ta có:

. Tìm giá trị lớn

Để xuất hiện ở vế phải

a + 4b

ta chọn

α, β

sao cho:

3α 2 a a
α2 1
α 1
=
⇔
= ⇔ = (2)
2
2
3β b 4b
β
4
β 2

3

3
α 1
α

=

=


3
⇔
β 2
3
α 3 + β 3 = 1  β = 2 3


3

Từ (1) và (2) ta có hệ:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
a3 +

1 1
1 1
1
+ ≥ 3.3 a 3 . . = 3 a
9 9
9 9
3

b3 +

8 8

4
+ ≥3 b
9 9
3

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

(a

3

)

+ b3 + 2 ≥

1
3

[(

3

( a + 4b )

) ]

⇒ a + 4b ≤ 3 3 a 3 + b 3 + 2 ≤ 33 3

Dấu “=” xảy ra khi

3

3
 3 1
a
=
a
=



9
3
⇔

3
b3 = 8
b = 2 3

9

3

Vậy GTLN của A là

33 3

Ví dụ 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
A = 4a + 6b + 3c
2

2

2

của
Phân tích:
Với

α, β ,γ > 0

. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

4a + α ≥ 2 4a 2 .α = 2 4α a
2

6b 2 + β ≥ 2 6b 2 .β = 2 6β b

3c 2 + γ ≥ 2 3c 2 .γ = 2 3γ c

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
4a 2 + 6b 2 + 3c 2 + α + + β + γ ≥ 2 4α a + 2 6 β b + 2 3γ c

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 12

a+b+c = 3

. Tìm GTNN

Dấu “=” xảy ra

a + b + c = 3

a + b + c = 3  a = α

 2
4
α
β
γ
 4a = α

⇔ 2
⇔
⇒
+
+
=3
β
4
6
3
6
b
=
β
b

=


6
3c 2 = γ



γ
c =
3


α , β ,γ

4α = 6β = 3γ

Chọn
sao cho
Ta có hệ phương trình:

 α
β
γ
+
+
=3

4
6

3


4α
⇔ β =
 α
6
β
γ

+
+
=3

4α

6
3
 4
α
4α
4α
γ = 3
⇔
+
+
=3
 4α = 6β = 3γ
4
6.6

3.3


8

 β = 3
⇔α =4⇒
1 1 2
γ = 16
⇔ α  + + ÷= 3

3
2 3 3

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
4 a 2 + 4 ≥ 2 4 a 2 .4 = 8 a
6b 2 +

8
6
≥ 2 8b 2 . = 8b
3
3

3c 2 +

16
16
≥ 2 3c 2 . = 8c

3
3

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
8 16
+
≥ 8( a + b + c ) = 24
3 3
⇒ 4a 2 + 6b 2 + 3c 2 ≥ 12
4a 2 + 6b 2 + 3c 2 + 4 +

Dấu “=” xảy ra

a + b + c = 3 
 2
a = 1
 4a = 4

2
 2 8

⇔ 6b =
⇔ b =
3
3


4
 2 16


3c =
c = 3
3


Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 13


Vậy GTNN của A là 12.
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm.
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
2.1. Một số bài toán.

Bài toán 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a + b ≤1

A= a+b+

. Tìm GTNN của:

1 1
+
a b

+) Sai lầm thường gặp là:
A= a+b+

1 1
1 1
+ ≥ 44 a.b. . = 4
a b
a b

Vậy GTNN của A là 4.
+) Nguyên nhân sai lầm:
⇔a=b=

GTNN của A là 4

1 1
= ⇔ a = b =1
a b

. Khi đó

a +b = 2 ≥1

trái giả thuyết .

+) Phân tích:
a=b=

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

Sơ đồ điểm rơi:

1

a b
= =

1
1
1
α α 2α
a=b= ⇒
⇒
= 2⇒α =
2
2α
4
1 = 1 = 2
 a b

+)Lời giải đúng:
1 1
1 1

A =  4a + 4b + +  − 3a − 3b ≥ 44 4a.. 4b. . − 3( a + b ) ≥ 8 − 3 = 5
a b
a b

⇔a=b=

Dấu “=” xảy ra

1
2

5

Vậy GTNN của A là .

Bài toán 2: Cho

 a, b > 0

a + b ≤ 1

P=
. Tìm GTNN của biểu thức

+) Sai lầm thường gặp:
Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 14

1
1
+
+ 4ab
2
a + b ab
2

.

1

2


Sai lầm 1: Ta có:
P=

1
1
1
4
1
4
 1

+
+
+ 4ab ≥ 2
+
+ 4ab =
+
+ 4ab ÷
2
2
2
a +b
2ab 2ab
a + b + 2ab 2ab

( a + b )  2ab
2

Mặt khác:

1
1
+ 4ab ≥ 2
4ab = 2 2
2ab
2ab

. Vậy

P≥4+2 2

(

MinP = 2 2 2
nên

)

Sai lầm 2:
P=

1
1 
1 
1
4
1

1
1
1
+
+
4
ab
+
+
≥
2
4
ab
+
≥
4
+
2
+
=
6
+

÷
a 2 + b 2 ab 
4ab  4ab ( a + b ) 2
ab 4 ab
4ab
4ab

Dấu “=” xảy ra

a 2 + b2 = 2ab

1
1

⇔  a 2b 2 =
⇔a=b=
16
2

 a + b = 1

a=b=
MinP = 7 khi

1
2

a=b=
. Thay

1
2

vào ta được

P≥7

.

+) Nguyên nhân sai lầm:

Sai lầm 1: Với những bạn chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
là do thói quen để làm xuất hiện
 a=b
 1
2
2
2
a + b + 2ab = ( a + b ) .MinP = 4 + 2 2 ⇔ 
= 4ab ⇒ VN
2
ab

 a + b = 1
.
Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

⇒

Không kết luận được

Page 15

1
1

1
=
+
ab 2ab 2ab

MinP = 4 + 2 2


a=b=

1
2

Sai lầm 2: Với bạn đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
a=b=
2
nếu đã tách các số hạng và MinP = 7 khi
đúng, nhưng bước cuối làm sai ví
2
( x − 1) 2 + x  = 1??.
x
=
1
⇒
Min
1
−
x
+

x
≥
x
(
)


dụ như
, dấu bằng xảy ra khi
+) Lời giải đúng:

a=b=
Do P là biểu thức đối xướng với a,b, ta dự đoán MinP đạt tại

P=

1
1 
1 
1
4
1
1
+
+  4ab +
≥
+ 2 4ab
+
≥7
÷+

2
2
2
a +b
ab 
4ab  4ab ( a + b )
ab
a
+
b


4
÷
 2 

Bài toán 3: Cho

a 2 + b 2 = 2ab

1
1

⇔  a 2b 2 =
⇔a=b=
16
2

 a + b = 1
 a, b > 0


a + b ≤ 1

S=
Ta có:

.Tìm GTNN của biểu thức

1
1
1
1
1
+
+
+
+
a 3 + b3 3a 2b 3ab 2 3a 2b 3ab 2

9
2 1
1 
+  2 + 2÷
2
2
a + b + 3a b + 3ab
3  a b ab 
3

3

9

( a + b)

3

+2

.

S=

+) Sai lầm thường gặp:

=

, ta có:

2

Dấu bằng xảy ra

≥

1
2

1 1 1
+

ab  a b 

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 16

1
1
1
+
+
a 3 + b3 a 2b ab 2

.


≥9+

2

4
59
≥
a+b a+b 3
3
÷
 2 
2

Vậy MinS =

59
3

+) Nguyên nhân sai lầm:

MinS =

a3 + b3 = 3a 2b

⇔
a =b
(vn)

59
 a + b =1

3

+) Lời giải đúng:

a=b=
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi
Ta thấy

1
2

a3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 = ( a + b )

.
3

vì thế muốn xuất hiện

( a + b)

3

: ta áp dụng bất

1
1
1
+ 2 +
3
a + b 2a b 2ab2
3

đẳng thức

1
1
1
9
+ 2 +
≥
3
3
2

a + b 2a b 2ab
( a + b ) − ab ( a + b )
3

Mà:
ta phải dùng bất đẳng thức cho 5 số:
S=

1
1
1
1
1
25
+ 2 +
+ 2 +
≥
≥
3
3
2
2
a + b 2a b 2ab
2a b 2ab
( a + b ) + ab ( a + b )
3

a=b=
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy

không đánh giá tiếp được cho nên

1
2

MinS = 20

2.2. Ví dụ áp dụng.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 17

25

( a + b)

3

( a + b)
+
4

3

≥ 20


a+b+c ≤

Ví dụ 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
A= a+b+c+

3
2

. Tìm GTNN của:

1 1 1
+ +
a b c

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại:
a=b=c=

1
2

Sơ đồ điểm rơi:

c
1
a b
= = =

1
1
1

α α α 2α
a=b=c= ⇒
⇒
= 2⇒α =
2
2α
4
1 = 1 = 1 = 2
 a b c

Giải:
Ta có:
1 1 1
1 1 1
9 13

A =  4a + 4b + 4c + + + ÷− 3a − 3b − 3c ≥ 6 6 4a.4b.4c. . . − 3 ( a + b + c ) ≥ 12 − =
a b c
a b c
2 2

⇔a=b=c=

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là

1
2

13

2
a+b+c ≤

Ví dụ 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
A = a2 + b2 + c2 +

3
2

. Tìm GTNN của:

1 1 1
+ +
a b c

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
a=b=c=

1
2

Sơ đồ điểm rơi:

1
 2
a = b2 = c2 =

1
1 2


4
a=b=c= ⇒
⇒ = ⇒α =8
2
4 α
1 = 1 = 1 = 2
αa αb αc α

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 18


Giải:

Ta có:

1
1 1 1
1 1  3
3
3

A =  a 2 + b 2 + c 2 + + + + + + ÷+
+
+
8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c


≥ 9 9 a 2 .b 2 .c 2 .

≥

1 1 1 1 1 1 31 1 1
. . . . . +  + + ÷
8a 8b 8c 8a 8b 8c 4  a b c 

9
1
9 9
1
9 9
27
+ 9. 3
≥ + .
≥ + .2 =
4
4
abc 4 4 a + b + c 4 4
3
⇔a=b=c=

Dấu “=” xảy ra
Vậy GTNN của A là

1
2

27

4

A=

Ví dụ 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của

a+b
ab

+

ab
a+b

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại:

Sơ đồ điểm rơi:

2a 2
 a+b
=
α ab αa = α
2 1

a=b⇒
⇒ = ⇒α = 4
α 2
 ab = a = 1
 a + b 2a 2

Giải:

Ta có:

 a+b
ab  3( a + b )
a+b
ab 3.2 ab
3 5
+
A = 
+
≥2
.
+
= 1+ =

2 2
4 ab a + b
4 ab
 4 ab a + b  4 ab

Dấu “=” xảy ra

⇔a=b

Vậy GTNN của A là

5

2

Ví dụ 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 19

a=b


A=

a
b
c
b+c c+a a+b
+
+
+
+
+
b+c c+a a+b
a
b
c

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại:

Sơ đồ điểm rơi:

a=b=c

b
c
1
 a
 b + c = c + a = a + b = 2
1 2
a=b=c⇒
⇒ = ⇒α = 4
2 α
b + c = c + a = a + b = 2
 αa
αb
αc
α

Giải:

Ta có:
≥ 66

b
c
b+c
c+a a+b  3b+c
c+a a+b 
 a

A=
+
+
+
+
+
+
+
÷+ 
÷
4b
4c  4  a
b
c 
 b + c c + a a + b 4a

a
b
c b+c c+a a +b 3 b
c c a a b
.
.
.
.
.
+  + + + + + ÷
b + c c + a a + b 4a
4b 4c
4a
a b b c c

3
b c c a a b
9 15
≥ 3 + .6.6 . . . . . = 3 + =
4
a a b b c c
2 2

Dấu “=” xảy ra

⇔a=b=c

Vậy GTNN của A là

15
2

Ví dụ 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a +b ≤1

A=

. Tìm GTNN của:

1
1
+
2

2ab
a +b
2

Phân tích:
a=b=

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại:

Sơ đồ điểm rơi:

 1
 a 2 + b 2 = 2
1
a=b= ⇒
⇒ 2α = 2 ⇒ α = 1
2
 α = 2α
 2ab

Giải:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 20

1
2

A=

1
1
+
≥2
2
2ab
a +b
2

(

Ta có:

Dấu “=” xảy ra

1
1
4
≥ 2. 2
=
≥4
2
2
a + b 2ab
a + b + 2ab ( a + b ) 2
2
2

)

a 2 + b 2 = 2ab
1
⇔
⇔a=b=
2
a + b = 1

Vậy GTNN của A là 4
Ví dụ 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa
A=

1
1+ a + b
2

2

+

a + b ≤1

. Tìm GTNN của :

1
2ab

Phân tích:
a=b=

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại:

Sơ đồ điểm rơi:

1
2

=
2
2

1
2 2

3
a = b = ⇒ 1 + a + b
⇒ = ⇒α =3
2
3 α
 1 = 2
 2αab α

Giải:
A=

Ta có:
≥2

≥ 2.

=

1
1+ a + b
2

( a + b)

+

1
1
+
6ab 3ab

1
1
+
2
( 1 + a + b ) 6ab 3ab
2

1
1
+
2
1 + a + b + 6ab 3ab
2
2

4
2

2

+ 1 + 4ab

+

1
3ab

2

 a +b 
≥
+
Do ab ≤ 
÷
2
2 
 2 
2
 a+b
 a + b  
a
+
b
+

1
+
4
3
(
)

÷

÷
 2 
 2 

4

1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 21


÷
÷


1
2

≥

≥

4

2( a + b ) + 1
2

+

4

3( a + b )

2

4
4 8
+
=
2.1 + 1 3.1 3

Dấu “=” xảy ra

1 + a 2 + b 2 = 6ab
1

⇔ a = b
⇔a=b=

2
a + b = 1


Vậy GTNN của A là

8
3

.

3. Bài tập áp dụng.

Bài 1: Cho

x,y,z > 0

xyz = 1

, chứng minh rằng:

Bài 2: Cho 3 số a, b,c thỏa
1
P = a +b+c +
abc
.
Bài 3: Cho 3 số a, b,c thỏa

a , b, c > 0

a , b, c > 0

x2
y2
z2
3
+
+
≥
1+ y 1+ z 1+ x 2

. Thỏa mãn

. Thỏa mãn

a 3 b 2 + c 2 + b 3 c 2 + a 2 + c 3 a 2 + b 2 ≤ 24

a 2 + b2 + c 2 = 1

a 2 + b2 + c 2 = 12

abc = 1

b+c c+a a+b
+
+
≥ a + b + c +3
a
b
c

Bài 5: Cho
S=

Tìm GTNN của :

.CMR

.

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:

a, b, c, d > 0

.

. CMR:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a
b
c
d
b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c
+
+
+
+
+

+
+
b+c+ d c+d +a d +a+b a+b+c
a
b
c
d

Bài 6 (D-2005): Cho ba số thực dương

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

x, y , z

Page 22

thỏa

xyz = 1

. CMR


1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy

yz
zx

Bài 7 ( A-2005): Cho ba số thực dương
P=

1
1
1
+
+
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

x, y , z

.

thỏa

1 1 1
+ + =4
x y z

. Tìm GTLN của

.

Bài 8 (A-2007): Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
xyz = 1

.
x2 ( y + z)

A=

y y + 2z z

Tìm GTNN của biểu thức:

+

y 2 ( z + x)
z z + 2x x

+

z 2 ( x + y)
x x + 2y y

HƯỚNG DẪN:
Bài 1:Ta dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi

x = y = z =1

.

Vì vậy khi áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho

x2
1+ y

và

1+ y
α

ta được:

x
1+ y
1 2
=
⇔ = ⇔α=4
1+ y
α
2 α
2

Ta có:

 x2 1+ y
+
≥x

4
1+ y
 y2 1+ z
+
≥y


4
1+ z
 z2 1+ x
1+ x + 4 ≥ z


Dấu ‘=’ xảy ra khi

x = y = z =1

.

Bài 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
P = (a + b + c +

1
8
1
8
)+
≥ 4 4 abc.
+
9abc 9abc
9abc
 a 2 + b2 + c2
9

3


Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 23


÷
÷


=4 3


Vậy GTNN của P =

4 3

Bài 3: Dấu bằng đạt tại :

a=b=c=
đạt tại

a=b=c=2

khi đó

1
3

.

4a = 2a 2 = b 2 + c 2

.

Áp dụng BĐT AM-GM như sau:
4a.2a 2 .(b 2 + c 2 ) 4a + 2a 2 + b 2 + c 2
a b +c =
≤
2
6
3

2

2

3

4b.2b 2 .(c 2 + a 2 ) 4b + 2b 2 + c 2 + a 2
b c +a =
≤
2
6
3

2

2

c 3 a 2 + b2 =

3

3

4c.2c 2 .(a 2 + b 2 ) 4c + 2c 2 + a 2 + b 2
≤
2
6

Cộng các vế theo 3 bât đẳng thức trên chú ý
điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi

a + b + c ≤ 3( a 2 + b 2 + c 2 ) = 6

a=b=c=2

.

Bài 4: Do biểu thức đối xứng với a, b,c nên ta dự đoán dấu

'' = ''

a = b = c =1

a , b, c > 0
Ta sẽ sử dụng BĐT AM-GM:
b + c c + a a + b ≥ 2 bc + 2 ca + 2 ab = 2  bc + ca + ab 


÷
+
+
b
c ÷
a
b
c
 a

a
b
c
 bc
ca   ca
ab   ab
bc 
= 
+
+
+
+
+
÷

÷

÷



b ÷
c ÷
a ÷
 a
  b
  c


bc ca
+2
a b

≥2
=2

(

ca ab
+2
b c

) (

a+ b+ c =

ab bc
c a

) (

a+ b+ c +

a+ b+ c

≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + 3

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 24

)

xảy ra khi

ta có


Vậy
Dấu

b+c c+a a+b
+
+
≥ a + b + c +3
a
b
c

'' = ''

a = b = c =1

xảy ra khi

Bài 5: Dự đoán

a=b=c=d >0

.

Ta có sơ đồ điểm rơi:
a
b
c
d
1

 b + c + d + c + d + a + d + a + b + a + b + c = 3

b + c + d + c + d + a + d + a + b + a + b + c = 3 ⇒ 1 = 3 ⇔ α = 9
 a
b
c
d
α
3 α

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:
S=

a
b+c+d 
8 b+c+d

+

÷+ ∑ .
9 a  a ,b , c , d 9
9a
a ,b , c , d  b + c + d

≥ 8. 8

∑

a
b
c
d
b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c
+
+
+
+
+
+
+
b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c
9a
9b

9c
9d

8 b c d c d a d a b a b c 
+ . + + + + + + + + + + + ÷
9 a a a b b b c c c d d d 

8 8
b c d c d a d a b a b c 8 8
40
≥ + .1212 . . . . . . . . . . . = + .12 =
3 9
a a a b b b c c c d d d 3 9
3
S=

Vậy Min

40
3

. Dấu bằng xảy ra

⇔a=b=c=d >0

Bài 6: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được :

1 + x3 + y3
≥
xy

3 3 x 3 y 3 .1

1 + y3 + z3
≥
yz

3 3 y 3 z 3 .1

1 + z 3 + x3
≥
zx

=

3
xy

=

3
yz

3 3 z 3 x 3 .1
=
zx

3
zx

xy

yz

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 25