VỊ TRÍ TƯƠNG đối của ĐƯỜNG THẲNG và ĐƯỜNG TRÒN

V TR TNG I CA NG THNG V NG TRềN.
A. Kin thc c bn
1. V trớ tng i ca ng thng v ng trũn.

Gọi OH =d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a.
a; a cắt (0) 2 điểm chung db; a tiếp xúc (0) 1 điểm chung d = R
c; a không giao (0) không có điểm chung d >R
2. Du hiu nhn bit tip tuyn ca ng trũn
ng thng a l tip tuyn ca tr (O ; R) d = R (d : l khong cỏch t tõm O n a)
Nu t a i qua 1 im ca tr v vuụng gúc vi bỏn kớnh i qua im ú thỡ t a l 1 tip
tuyn ca tr
3. Tớnh cht hai tip tuyn ct nhau
Nu 2 tip tuyn ca tr ct nhau ti mt im thỡ :
- im ú cỏch u hai tip im
- tia k t im ú i qua tõm l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai tip tuyn
- tia k t tõm i qua im ú l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai bỏn kớnh i qua 2 tip im
4. ng trũn ni tip tam giỏc
- tr ni tip tam giỏc l tr tip xỳc vi 3 cnh ca tam giỏc
- tõm ca tr ni tip tam giỏc l giao im ca 3 ng phõn giỏc ca cỏc gúc trong tam giỏc
4. ng trũn bng tip tam giỏc
- tr bng tip tam giỏc l tr tip xỳc vi 1 cnh ca tam giỏc v tip xỳc vi phn kộo di ca
hai cnh cũn li
- tõm ca tr bng tip tam giỏc l giao im ca 2 ng phõn giỏc cỏc gúc ngoi ti hai nh
ca tam giỏc
- mi tam giỏc cú 3 tr bng tip
B. Bi tp ỏp dng
Bài 1:
Cho đờng tròn tâm 0 và điểm I nằm trong (0)
C / m rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua
I

Giải:
GV hớng dẫn : Vẽ dây CD bất kì qua I (Khác dây AB )
ta c/m AB Muốn so sánh hai dây ta so sánh điều gì ?
A
O
( Ta so sánh hai khoảng cách từ tâm đến 2 dây ; Dùng tính
chất trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất )
C

H

K

B

D


Bài 2 : Từ 1 điểm A nằm bên ngoài đtr (O), kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đtr (B ; C là các tiếp
điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tt với đtr (O), tt này cắt các tt AB, AC theo thứ tự tại
D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2.AB
LG
Theo tính chất 2 tt cắt nhau, ta có :
B
DM = DB
(1) ;
D
EM = EC
(2)

M
A
O
Chu vi tam giác ADE là :
C∆ADE = AD + AE + DE = AD + AE + DM + EM
E
C

(3)

Từ (1) ; (2) và (3) :
⇒ C∆ADE = AD + AE + DB + EC = ( AD + DB ) + ( AE + EC ) = AB + AC = 2 AB
(vì AB = AC)
Bài 3 : Cho đtr (O), điểm I nằm bên ngoài đtr (O). Kẻ các tt IA và IB với đtr (A, B là các tiếp
điểm). Gọi H là giao điểm của IO và AB. Biết AB = 24cm ; IA = 20cm
a) Tính độ dài AH ; IH ; OH
b) Tính bán kính của đtr (O)
LG
- Theo tính chất của 2 tt cắt nhau, ta có: IA = IB
A
= 20cm; IO là phân giác của góc AIB
- Tam giác IAB cân tại I, có IH là phân giác =>
IH cũng đồng thời là đường cao và là đg trung
1
1
⇒ AH = BH = AB = .24 = 12cm
H
I
O
2

2
tuyến
- Xét tam giác AHI vuông tại H
B

IH 2 = IA2 − AH 2 = 202 − 122 = 162 ⇒ IH = 16cm

ta có :
(theo Pytago)
- Xét tam giác AIO, vuông tại A, áp dụng hệ thức về cạnh và đg cao trong am giác vuông ta có :
AH 2 122
AH 2 = HI .HO ⇒ HO =
=
=9
HI
16
AO 2 = IO.OH = ( IH + OH ) .OH = ( 16 + 9 ) .9 = 225 ⇒ AO = 15cm
Bài 4 : Cho nửa đtr (O ; R) đg kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa
đtr cùng thuộc nửa mp có bờ là AB). Lấy M thuộc Ax, qua M kẻ tt với nửa đtr, cắt By tại N
a) Tính góc MON
b) CMR : MN = AM + BN
c) CMR: AM.BN = R2
LG


a) - theo tc của 2 tt cắt nhau, ta có:
µ =O
¶ = 1 ·AOH ; MA = MH
O
1

2
2
¶ =O
¶ = 1 BOH
·
O
; NB = NH
3
4
2

y

(1)

- ta có:
1
·
¶ +O
¶ = 1 ·AOH + BOH
·
MON
=O
= .1800 = 900
2
3
2
2

(

N

x

)

b) do MN = MH + NH (2)
=> từ (1) và (2) : MN = MA + NB
c) Xét tam giác MON vuông tại O, theo hệ thức về
cạnh và đg cao trong tam giác vuông, ta có :

H
M

1

2 3

4
B

R

O

A

OH 2 = MH .NH = AM .BN 
2

 ⇒ AM .BN = R
mà OH = R

BTVN.
Bài 5: Cho đtr (O; R) và 1 điểm A nằm cách O 1 khoảng bằng 2R. Từ A vẽ các tt AB, AC với đtr
(B, C là các tiếp điểm). đg thg vuông góc với OB tại O cắt AC tại N, đg thg vuông góc với OC
tại O cắt AB tại M
a) CMR: AMON là hình thoi
b) Đthg MN là tt của đtr (O)
c) Tính diện tích hình thoi AMON
LG
a) + vì AB, AC là 2 tt của đtr (O)
B
⇒ AB ⊥ OB; AC ⊥ OC
M

ON ⊥ OB; OM ⊥ OC

+ mà
H
1
A
Nên AB // ON, AC // OM => tứ giác AMON là Hình bình
2
hành
(1)
µA = A
¶
1
2

N
+ mặt khác :
(tc 2 tt cắt nhau) (2)
+ từ (1) và (2) => tứ giác AMON là hình thoi
⇒ MN ⊥ OA
b) + vì AMON là hình thoi
(3)
1
1
HO = AH = OA = .2 R = R
2
2
+ mặt khác :
(4)
+ từ (3) và (4) => MN là tt của đtr (O)
OB R 1
sin A1 =
=
= ⇒µ
A1 = 300
OA 2 R 2
c) + xét tam giác ABO, vuông tại B ta có :

O

C


+ xét tam giác AHM vuông tại H, ta có :
3

3 2R 3
MH = AH .tan A1 = R.tan 300 = R.
⇒ MN = 2.MH = 2.R.
=
3
3
3

+ do đó :

1
1 2R 3
2R 2 3
SY AMON = .MN . AO = .
.2 R =
2
2
3
3

(đvdt)
********************************************************