Giáo án Đại số 8 chương 1 bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Đại số 8 – Giáo án

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A. MỤC TIÊU :
- Kiến thức : HS hiểu được khái niệm chia hết và chia có dư. Nắm được các bước
trong thuật toán phép chia đa thức A cho đa thức B.
- Kỹ năng : Thực hiện đúng phép chia đa thức A cho đa thức B (Trong đó B chủ
yếu là nhị thức, trong trường hợp B là đơn thức HS có thể nhận ra phép chia A cho
B là phép chia hết hay không chia hết).
- Thái độ : Rèn tính cẩn thận, tư duy lô gíc.
B. CHUẨN BỊ :
- GV : Bảng phụ
- HS : Bảng nhóm.
C. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY & HỌC
I. Tổ chức
Sĩ số 8A : ………………………………………………………………………………………………………
II. Kiểm tra bài cũ :
- HS1 :
+ Phát biểu quy tắc chia 1 đa thức A cho 1 đơn thức B ( Trong trường hợp mỗi
hạng tử của đa thức A chia hết cho B)
+ Làm phép chia. a) (-2x5 + 3x2 - 4x3) : 2x2
b) (3x2y2 + 6x2y3 - 12xy) : 3xy
- HS2 :
+ Không làm phép chia hãy giải thích rõ vì sao đa thức A = 5x3y2 + 2xy2 - 6x3y


Chia hết cho đơn thức B = 3xy
+ Em có nhận xét gì về 2 đa thức sau :
A = 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x – 3 và B = x2 - 4x - 3
ĐÁP ÁN :

1) a) = - x3 +

3
- 2x
2

b) = xy + 2xy2 - 4

2) - Các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B vì:
- Các biến trong đơn thức B đều có mặt trong mỗi hạng tử của đa thức A
- Số mũ của mỗi biến trong đơn thức B không lớn hơn số mũ của biến đó trong mỗi
hạng tử của đa thức A.
III. Bài mới :
1. Đặt vấn đề :
Phép chia các đa thức đã sắp xếp được thực hiện như thế nào ? Các bước
lần lượt được tiến hành ra sao ? Chúng ta cùng nghiên cứu bài học hôm nay.
2. Nội dung :

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
1) Phép chia hết.

đa thức 1 biến đã sắp xếp

Cho đa thức

Cho đa thức A= 2x4-13x3 + 15x2 +

A = 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

11x - 3

B = x2 - 4x - 3

B = x2 - 4x - 3

B1:

- GV: Bạn đã nhận xét 2 đa thức A và

Nhân 2x2 với đa thức chia x2- 4x- 3

B
- GV chốt lại : Là 2 đa thức 1 biến đã
sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần.

2x4 : x2 = 2x2

2x4- 12x3+ 15x2 +11x -3 x2- 4x- 3
- 2x4 - 8x3- 6x2
0 - 5x3 + 21x2 + 11x - 3

2x2


- Thực hiện phép chia đa thức A cho
đa thức B
+ Đa thức A gọi là đa thức bị chia

+ Đa thức B gọi là đa thức chia .
Ta đặt phép chia
2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

x2 - 4x - 3

B2 : -5x3 : x2 = -5x
B3 : x2 : x2 = 1

GV gợi ý như SGK

2x4- 12x3+15x2+ 11x-3

x2 - 4x - 3

2x4 - 8x3 - 6x2

2x2 - 5x + 1

- 5x3 + 21x2 + 11x- 3
-5x3 + 20x2 + 15x- 3
- GV : Trình bày lại cách thực hiện phép

0 - x2 - 4x - 3

chia trên đây.

x2 - 4x - 3

- GV: Nếu ta gọi đa thức bị chia là A, đa

0

thức chia là B, đa thức thương là Q, ta Phép chia có số dư cuối cùng bằng 0
có :
⇒ Phép chia hết.
A = B.Q

* Vậy ta có:
2x4 - 12x3 + 15x2 + 11x - 3

Thực hiện phép chia :
5x3 - 3x2 + 7 cho đa thức x2 + 1

= (x2 - 4x - 3)( 2x2 - 5x + 1)
2. Phép chia có dư:
Thực hiện phép chia:
5x3 - 3x2 + 7 cho đa thức x2 + 1

- NX đa thức dư ?
+ Đa thức dư có bậc nhỏ hơn đa thức chia
nên phép chia không thể tiếp tục được ⇒

5x3 - 3x2 + 7
- 5x3

+ 5x

x2 + 1
5x - 3

Phép chia có dư. ⇒ Đa thức - 5x + 10 là
đa thức dư (Gọi tắt là dư).
* Nếu gọi đa thức bị chia là A, đa thức

- 3x2 - 5x + 7
- -3x2

-3

- 5x + 10

chia là B,đa thức thương là Q và đa thức + Kiểm tra kết quả :
dư là R. Ta có :
( 5x3 - 3x2 + 7) : (x2 + 1)
A = B.Q + R( Bậc của R nhỏ hơn bậc =(5x3-3x2 +7)=(x2+1)(5x-3)-5x + 10
của B)
* Chú ý : Ta đã CM được với 2 đa
thức tuỳ ý A & B có cùng 1 biến (B ≠
0) tồn tại duy nhất 1 cặp đa thức
Q&R sao cho : A = B.Q + R. Trong
đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc
của B ( R được gọi là dư trong phép
chia A cho B

IV. Củng cố :
- Chữa bài 67/31
a) ( x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3)
Đáp án

a) ( x3 - x2- 7x + 3 ) : (x - 3) = x2 + 2x – 1
* Bài 68/31
a) (x2 + 2xy + 1) : (x + y)
b) (125 x3 + 1) : (5x + 1)
c) (x2 - 2xy + y2) : (y - x)
Đáp án


a) = x + y b) = (5x + 1)2 c) = y - x
V. Hướng dẫn HS học tập ở nhà
- Học bài. Làm các bài tập : 69, 70,74/ Trang 31-32 SGK.


LUYỆN TẬP

A. MỤC TIÊU :
- Kiến thức : HS thực hiện phép chia đa thức 1 biến đã sắp xếp 1 cách thành thạo.
- Kỹ năng : Luyện kỹ năng làm phép chia đa thức cho đa thức bằng phương pháp
PTĐTTNT.
- Thái độ : Rèn tính cẩn thận, làm việc khoa học, tư duy lô gíc.
B. CHUẨN BỊ :
- GV : Giáo án, sách tham khảo.
- HS : Bảng nhóm + BT.
C. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY & HỌC
I. Tổ chức
Sĩ số 8A : ……………………………………………………………………………………………………
II. Kiểm tra bài cũ :
- HS1 : Làm phép chia.
(2x4 + x3 - 3x2 + 5x - 2) : ( x2 - x + 1)

Đáp án: Thương là : 2x2 + 3x – 2

- HS2 : Áp dụng HĐT để thực hiện phép chia
a) (x2 + 2xy + y2 ) : (x + y)
b) (125x3 + 1 ) : ( 5x + 1 )

ĐÁP ÁN: a) x + y

b) 25x2 + 5x + 1

III. Bài mới :
Hoạt động của GV
Cho đa thức A = 3x4 + x3 + 6x - 5 &
B = x2 + 1

Hoạt động của HS
1. Bài 69/31 SGK
3x4 + x3 + 6x - 5
- 3x4

+ 3x2

x2 + 1
3x2 + x - 3


0 + x3 - 3x2+ 6x-5

Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi
viết dưới dạng A = B.Q + R

-

x3

+x

-3x2 + 5x - 5
- -3x2

-3
5x - 2

- GV : Khi thực hiện phép chia, đến Vậy ta có : 3x4 + x3 + 6x - 5
dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của = (3x2 + x - 3)( x2 + 1) +5x - 2
đa thức chia thì dừng lại.

2. Bài 70/32 SGK
Làm phép chia
5

4

Làm phép chia
2

a) (25x - 5x + 10x ) : 5x

2

a) (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2

b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y

= 5x2 (5x3- x2 + 2) : 5x2 = 5x3 - x2 + 2
b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y = 6x2y(
15
1
15
1
xy − y − 1) : 6 x 2 y = xy − y − 1
6
2
6
2

+ GV: Không thực hiện phép chia hãy 3. Bài 71/32 SGK
xét xem đa thức A có chia hết cho đa a)AMB vì đa thức B thực chất là 1 đơn
thức B hay không.
a) A = 15x4 - 8x3 + x2

thức mà các hạng tử của đa thức A đều
; B=

1 2
x
2

b) A = x2 - 2x + 1 ; B = 1 – x

* Tính nhanh

chia hết cho đơn thức B.
b)A = x2 - 2x + 1 = (1 -x)2 M(1 - x)
4. Bài 73/32
* Tính nhanh
a) (4x2 - 9y2 ) : (2x-3y)


a) (4x2 - 9y2 ) : (2x-3y)

= [(2x)2 - (3y)2] :(2x-3y)

b) (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)

= (2x - 3y)(2x + 3y):(2x-3y) =2x + 3y

c)(27x3 - 1) : (3x - 1)

c) (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)

d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y)

= [(2x)3 + 1] :(4x2 - 2x + 1) = 2x + 1
b)(27x3-1): (3x-1)= [(3x)3-1]: (3x - 1)
=9x2 + 3x + 1

- HS lên bảng trình bày câu a

d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y)

= x(x - 3) + y (x - 3) : (x + y)

- HS lên bảng trình bày câu b

= (x + y) (x - 3) : ( x + y) = x - 3
5. Bài 74/32 SGK
Tìm số a sao cho đa thức 2x3 - 3x2 + x

2x3 - 3x2 + x +a

x+2

- 2x3 + 4x2

+ a (1)

2x2 - 7x + 15

- 7x2 + x + a

Chia hết cho đa thức x + 2 (2)

- -7x2 - 14x

- Em nào có thể biết ta tìm A bằng
cách nào?

15x + a

- Ta tiến hành chia đa thức (1) cho đa

- 15x + 30

thức (2) và tìm số dư R & cho R = 0
⇒ Ta tìm được a

a - 30
Gán cho R = 0 ⇔ a - 30 = 0 ⇒ a = 30
6. Bài tập nâng cao
a- BT3/39 KTNC

Vậy a = 30 thì đa thức (1) Mđa thức *C1 : x3 + 5x2 - 9x – 45
(2)
=(x2- 9)(ax + b) = ax3 + bx2 - 9ax - 9b
a=1
⇔
3

2

1) Cho đa thức f(x) = x + 5x - 9x –

b=5
- 9 = - 9a

⇔

a=1
b=5

45;

- 45 = - 9b

g(x) = x2 – 9. Biết f(x) Mg(x) hãy trình Vậy thương là x + 5
bày 3 cách tìm thương
C1: Chia BT;

b- Bài tập 7/39 KTNC

C2: f(x) = (x + 5)(x 2 - Gọi thương là Q(x) dư là r(x) = ax + b (

9)

Vì bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của

C3: Gọi đa thức thương là ax + b ( Vì đa thức chia). Ta có :
đa thức chia bậc 2, đa thức bị chia bậc

(x2005+ x2004 )= ( x2 - 1). Q(x) + ax + b

3 nên thương bậc 1) ⇒ f(x) = (x2 - 9) Thay x = ± 1 Tìm được a = 1; b = 1
(a + b)
Vậy dư r(x) = x + 1
2)Tìm đa thức dư trong phép chia
(x2005 + x2004 ) : ( x2 - 1)

IV. Củng cố :
- Nhắc lại:

+ Các p2 thực hiện phép chia
+ Các p2 tìm số dư
+ Tìm 1 hạng tử trong đa thức bị chia
V. Hướng dẫn HS học tập ở nhà:
- Ôn lại toàn bộ chương. Trả lời 5 câu hỏi mục A
- Làm các bài tập 75a, 76a, 77a, 78ab, 79abc, 80a, 81a, 82a.


ÔN TẬP CHƯƠNG I

A. MỤC TIÊU :
- Kiến thức : Hệ thống toàn bộ kiến thức của chương.
- Kỹ năng : Hệ thống lại 1 số kỹ năng giải các bài tập cơ bản của chương I.
- Thái độ : Rèn tính cẩn thận, làm việc khoa học, tư duy lô gíc.
B. CHUẨN BỊ :
- GV : Bảng phụ
- HS : Ôn lại kiến thức chương.
C. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY & HỌC
I. Tổ chức
Sĩ số 8A : …………………………………………………………………………………………………………
II. Kiểm tra bài cũ :
Kiểm tra trong quá trình ôn tập
III. Bài mới :
Hoạt động của GV
* GV : Chốt lại

Hoạt động của HS
I. Ôn tập lý thuyết
1/ Nhân 1 đơn thức với 1 đa thức

- Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa A(B + C) = AB + AC
thức ta lấy đơn thức đó nhân với 2/ Nhân đa thức với đa thức
từng hạng tử của đa thức rồi cộng (A + B) (C + D) = AC + BC + AD + BD
các tích lại
- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi
- Muốn nhân 1 đa thức với 1 đa + Các biến trong B đều có mặt trong A và
thức ta nhân mỗi hạng tử của đa số mũ của mỗi biến trong B không lớn hơn
thức này với từng hạng tử của đa


thức kia rồi cộng các tích lại với số mũ của biến đó trong A
nhau

- Đa thức A chia hết cho 1 đơn thức B:

- Khi thực hiện ta có thể tính nhẩm, Khi tất cả các hạng tử của A chia hết cho
bỏ qua các phép tính trung gian

đơn thức B thì đa thức A chia hết cho B

3/ Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Khi f(x) = g(x). q(x) + r(x) thì : Đa thức bị

- Phát biểu 7 hằng đẳng thức đáng chia f(x), đa thức chia g(x) ≠ 0, đa thức
nhớ ( GV dùng bảng phụ đưa 7 thương q(x), đa thức dư r(x)
HĐT)

+ R(x) = 0 ⇒ f(x) : g(x) = q(x)

4/ Các phương pháp phân tích đa

Hay f(x) = g(x). q(x)

thức thàmh nhân tử.

+ R(x) ≠ 0 ⇒ f(x) : g(x) = q(x) + r(x)

5/ Khi nào thì đơn thức A chia hết

Hay f(x) = g(x). q(x) + r(x)

cho đơn thức B?

Bậc của r(x) < bậc của g(x)

6/ Khi nào thì 1 đa thức A chia hết
cho 1 đơn thức B
- GV : Hãy lấy VD về đơn thức, đa
thức chia hết cho 1 đơn thức.
- GV (Chốt lại) : Khi xét tính chia
hết của đa thức A cho đơn thức B ta
chỉ tính đến phần biến trong các
hạng tử
+ A MB ⇔ A = B. Q
7/ Chia hai đa thức 1 biến đã sắp
xếp

II. Giải bài tập
1. Bài 78 :

a) (x + 2)(x -2) - ( x- 3 ) ( x+ 1)
= x2 - 4 - (x2 + x - 3x- 3)
= x2 - 4 - x2 - x + 3x + 3
= 2x - 1
b)(2x + 1 )2 + (3x - 1 )2+2(2x + 1)(3x- 1)
= 4x2+ 4x+1 + 9x2- 6x+1+12x2- 4x + 6x -2

Rút gọn các biểu thức.

= 25x2
2. Bài 81 :


a) (x + 2)(x -2) - ( x- 3 ) ( x+ 1)
b)(2x + 1 )2 + (3x - 1 )2 +2(2x +
1)(3x - 1)
- HS lên bảng làm bài

2
x ( x 2 − 4) = 0
3

 x = 0 hoặc x = ± 2
b) (x + 2)2 - (x - 2)(x + 2) = 0
⇔ (x + 2)(x + 2 - x + 2) = 0

Cách 2
[(2x + 1) + (3x - 1)]2 = (5x)2 = 25x2
* GV : Muốn rút gọn được biểu
thức trước hết ta quan sát xem biểu

⇔ 4(x + 2 ) = 0
⇒x + 2 = 0
⇒ x = -2

2
3
thức có dạng ntn? Hoặc có dạng c) x + 2 2 x + 2x = 0

HĐT nào ? Cách tìm & rút gọn

⇔x+

(HS làm việc theo nhóm)

⇔ x( 2 x + 1) +

Bài 81 :

⇔( 2x

Tìm x biết

⇔ x( 2 x

a)

2
x ( x 2 − 4) = 0
3

2

b) (x + 2) - (x - 2)(x + 2) = 0
c)x + 2 2 x2 + 2x3 = 0

2 x2 +

+

2 x2 + 2x3 = 0
2 x2 ( 2 x + 1) = 0

+( 2 x2)

1)

(x

1)

( 2x

+

+

1)

⇔ x( 2 x + 1)2 = 0
⇔

x = 0 hoặc x =

−1
2

3. Bài 79

Đại diện các nhóm báo cáo kết Phân tích đa thức sau thành nhân tử
quả

a) x2 - 4 + (x - 2)2
= x2 - 2x2 + (x - 2)2
= (x - 2)(x + 2) + (x - 2)2
= (x - 2 )(x + 2 + x - 2) = (x - 2 ) . 2x
b) x3 - 2x2 + x - xy2

Bài 79 :

= x(x - 2x + 1 - y2)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử = x[(x - 1)2 - y2]

=

0

=

0

a) x2 - 4 + (x - 2)2
b) x3 - 2x2 + x - xy2
a) x3 - 4x2 - 12x + 27

= x(x - y - 1 )(x + y - 1)
c) x3 - 4x2 - 12x + 27
= x3 + 33 - (4x2 + 12x)
= (x + 3)(x2 - 3x + 9) - 4x (x + 3)
= (x + 3 ) (x2 - 7x + 9)

+ GV chốt lại các p2 PTĐTTNT

Bài tập 57
a) x4 – 5x2 + 4
= x4 – x2 – 4x2 +4
= x2(x2 – 1) – 4x2 + 4
= ( x2 – 4) ( x2 – 1)
= ( x -2) (x + 2) (x – 1) ( x + 1)
c) (x +y+z)3 –x3 – y3 – z3
= (x +y+z)3 – (x + y)3 + 3xy ( x + y)- z3
= ( x + y + z) (3yz + 3 xz) + 3xy (x+y)
= 3(x + y) ( yz + xz + z2 + xy)
= 3 ( x +y ) ( y +z ) ( z + x )

+Bài tập 57( b, c)

+ Bài tập 80 :

b) x4 – 5x2 + 4

a) ( 6x3 – 7x2 –x +2 ) : ( 2x +1 )

c) (x +y+z)3 –x3 – y3 – z3

= ( 6x3 +3x2 -10x2 -5x + 4x +2 ) : ( 2x +1)

GVHD phần c

2
= 3x (2 x + 1) − 5 x(2 x + 1) + 2(2 x + 1)  : (2 x + 1)

x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy ( x + y)

= (2x+1) ( 3x2 -5x +2) : ( 2x +1)
= ( 3x2 -5x +2)
b) ( x4 – x3 + x2 +3x) : ( x2 - 2x +3)
4
3
2
3
2
2
= ( x − 2 x + 3x ) + ( x − 2 x + 3x)  : ( x − 2 x + 3)


=  x 2 ( x 2 − 2 x + 3) + x( x 2 − 2 x + 3)  : ( x 2 − 2 x + 3)

+Bài tập 80 : Làm tính chia

= ( x 2 − 2 x + 3) ( x 2 + x ) : ( x 2 − 2 x + 3)

Có thể :

= x2 + x

- Đặt phép chia

c)( x2 –y2 +6x +9) : ( x + y + z )

2
2
- Không đặt phép chia phân tích = ( x + 3) − y  : ( x + 3 + y )

vế trái là tích các đa thức.

= ( x + 3 + y ).( x + 3 − y ) : ( x + 3 + y )
= x +3− y

Bài tập 82:
HS theo dõi GVHD rồi làm

a) x2 - 2xy + y2 + 1 > 0 Mọi x, y ∈ R
x2 - 2xy + y2 + 1
= (x -y )2 + 1 > 0
vì (x – y)2 ≥ 0 mọi x, y
Vậy ( x - y)2 + 1 > 0 mọi x, y ∈ R
b) x - x2 -1
= - ( x2 –x +1)

1
2

= - ( x - )2 -

3
<0
4

1
2

Vì ( x - )2 ≥ 0 với mọi x
+Bài tập 82:
Chứng minh
a)x2 - 2xy + y2 + 1 > 0 Mọi x, y ∈ R

b) x - x2 -1 < 0 với mọi x
IV. Củng cố
- GV nhắc lại các dạng bài tập

1
2

 - ( x - )2 ≤ 0 với mọi x
1
2

 - ( x - )2 -

3
< 0 với mọi x
4


V. Hướng dẫn HS học tập ở nhà
- Ôn lại bài
- Giờ sau kiểm tra