Nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục máy bằng bộ hấp thụ dao động tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Vũ Xuân Trường

NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG XOẮN CHO TRỤC MÁY
BẰNG BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ & CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội – Năm 2018


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học 1:

PGS.TS Khổng Doãn Điền

Người hướng dẫn khoa học 2:

TS Nguyễn Duy Chinh

Phản biện 1:

GS.TS Hoàng Xuân Lượng

Phản biện 2:

PGS.TS Nguyễn Phong Điền

Phản biện 3:

TS Lã Đức Việt

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học
viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng … năm 2018.

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của luận án
Cùng với quá trình phát triển của lịch sử loài người, công nghệ
cũng từng bước phát triển đột phá. Một trong những giai đoạn quan trọng
nhất mở ra những khởi đầu sớm của kỷ nguyên hiện đại là cuộc cách mạng
công nghiệp. Trong thời gian này, ngành công nghiệp máy móc đã được

sinh ra, đóng một vai trò quan trọng trong hoạt động hỗ trợ sản xuất. Máy
móc cho phép sản xuất hàng loạt các mặt hàng khác nhau, không chỉ đạt
hiệu quả về tốc độ mà còn đạt hiệu quả cao vượt lên trên năng lực của con
người. Ngoài ra, máy móc hoạt động tốt hơn trong những công việc dài hạn
và đạt độ thống nhất cao. Chất lượng công việc của con người có thể thay
đổi khi bị ảnh hưởng bởi các yếu tố cảm xúc, sức khỏe,… Bên cạnh đó,
máy móc giúp thực hiện các công việc nguy hiểm khác nhau thay cho con
người. Máy được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau như: sản
xuất, xây dựng, nông nghiệp, công nghiệp, khai thác mỏ,… Ngày nay,
nhiều máy thậm chí còn được thiết kế để hoạt động mà không có con
người. Với sự giúp đỡ của máy móc, thế giới đang hiện đại hóa và ngày
càng phát triển, đặc biệt trong bối cảnh cuộc cách mạng công nghiệp 4.0
đang dần phát triển mạnh trên toàn thế giới, tác động đến nền kinh tế của
toàn cầu. Việc nghiên cứu chế tạo và nâng cao tuổi thọ, khả năng làm việc
của máy móc thiết bị, góp phần quan trọng trong công cuộc cách mạng
công nghiệp.
Trục là một trong những chi tiết máy quan trọng của máy, nó có tác
dụng truyền mô men xoắn và chuyển động quay từ bộ phận này sang bộ
phận khác của máy thông qua các chi tiết máy khác lắp trên trục chẳng hạn
như bánh răng, bánh đai, then, khớp nối trục… Chuyển động đặc trưng của
trục là chuyển động quay. Trong quá trình làm việc trục chịu tác động của
mô men xoắn do động cơ hoặc hệ thống lắp với trục truyền vào [21], [22],
[25], [26], [28], [35], bản thân trục nói riêng và các chi tiết máy khác nói
chung được tạo thành từ những vật liệu đàn hồi, nên dưới tác động của mô
men xoắn, trục sẽ chịu biến dạng xoắn. Biến dạng này thay đổi theo thời
gian và lặp đi lặp lại theo mỗi chu kỳ quay của trục gọi là dao động xoắn
của trục. Dao động này đặc biệt có hại, không mong muốn, nó gây ra phá
hủy mỏi, ảnh hưởng đến tuổi thọ và khả năng làm việc của trục và máy
[21], [22], [25], [26], [28], [35]. Cụ thể nó gây ra rung động, tiếng ồn cho
máy, và phá hủy mỏi cho trục; vì không những ảnh hưởng đến chính bản

thân trục mà còn gây hại cho những tiết máy quan trọng khác lắp trên trục,
từ đó gây hại cho máy. Việc nghiên cứu giảm dao động cho trục là một việc

1


làm có ý nghĩa quan trọng và mang tính thời sự [21], [22], [25], [26], [28],
[35].
Với mong muốn được kế thừa và phát triển những kết quả nghiên
cứu trước đây và các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng vào trong
thực tế để nâng cao tuổi thọ, khả năng làm việc, độ chính xác của trục nói
chung và máy nói riêng. Nên tác giả chọn đề tài: “Nghiên cứu giảm dao
động xoắn của trục máy bằng bộ hấp thụ dao động” để nghiên cứu trong
luận án của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Như đã phân tích ở trên, dao động xoắn đặc biệt có hại với độ bền,
tuổi thọ và khả năng làm việc của trục nói chung và máy nói riêng. Trong
quá trình làm việc nó gây ra rung động và tiếng ồn, không những ảnh
hưởng đến tuổi thọ và khả năng làm việc của trục, máy móc mà còn trực
tiếp ảnh hưởng đến chất lượng của chi tiết gia công trên máy. Đặc biệt,
chưa có nghiên cứu nào sử dụng phương pháp giải tích tính toán tối ưu
thông số của bộ hấp thụ dao động cho mô hình hệ chính dao động xoắn.
Bởi vậy, mục đích của luận án là nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục
máy bằng bộ hấp thụ dao động DVA (dynamic vibration absorber) dạng
đĩa khối lượng - lò xo - cản nhớt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án.
 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tham số tối ưu của bộ hấp thụ
dao động thụ động DVA giảm dao động cho xoắn cho trục máy khi chịu
tác dụng của các loại kích động khác nhau: kích động điều hòa, kích

động va chạm, kích động ngẫu nhiên.
 Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi nghiên cứu của luận án này, tác giả tìm các thông số tối
ưu của bộ hấp thụ dao động DVA để giảm dao động xoắn cho trục máy
có 1 bậc tự do cho trường hợp hệ chính không cản và phát triển phương
pháp điểm cố định cho bậc tự do thứ N của mô hình trục máy có nhiều
bậc tự do. Luận án chỉ tập trung nghiên cứu giảm dao động xoắn, không
xét đến các dao động khác như dao động uốn, dao động dọc trục, …
Việc tính toán khi kể đến các dao động này được tác giả đề cập trong
phần các hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Trên cơ sở các trục máy trong thực tế, tác giả chuyển về mô hình lý
thuyết có lắp bộ hấp thụ dao động DVA. Từ mô hình tính toán của trục máy
có lắp bộ DVA, tác giả sử dụng phương trình Lagrange loại II để thiết lập
phương trình vi phân dao động của hệ.

2


Từ hệ phương trình vi phân dao động thu được, tác giả tiến hành
nghiên cứu, phân tích tính toán để giảm dao động xoắn cho trục máy, tìm
nghiệm giải tích của hệ bằng các phương pháp: Phương pháp hai điểm cố
định, phương pháp cực tiểu mô men bậc hai, phương pháp cực đại độ cản
tương đương và phương pháp cực tiểu hóa năng lượng.
Để thực hiện các tính toán và đánh giá hiệu quả giảm dao động của
kết quả nghiên cứu của luận án tác giả xây dựng các chương trình máy tính
trên phần mềm Maple để mô phỏng dao động của hệ để người đọc có cái
nhìn trực quan về hiệu quả của bộ hấp thụ dao động. Đây là phần mềm
được các nhà khoa học trên thế giới chuyên dùng và cho kết quả tin cậy.
5. Cấu trúc của luận án.

Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương và phần kết luận, hướng
nghiên cứu tiếp theo với 139 trang, 12 bảng và 45 hình vẽ và đồ thị.
Chương 1 trình bày tổng quan về nghiên cứu giảm dao động xoắn
và các phương pháp tính toán xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao
động. Chương 2 thiết lập mô hình tính toán và xác định hệ phương trình vi
chuyển động mô tả dao động của cơ hê. Chương 3 giải quyết bài toán tính
toán giảm dao động xoắn cho trục máy và xác định tham số tối ưu của bộ
hấp thụ động lực DVA theo các phương pháp khác nhau. Chương 4 phân
tích, đánh giá hiệu quả giảm dao động theo các kết quả tối ưu được xác
định tại chương 3, mô phỏng số các kết quả nghiên cứu giảm dao động
xoắn cho trục máy. Phát triển các kết quả nghiên cứu cho trường hợp trục
máy có nhiều bậc tự do. Các kết quả chính, những đóng góp mới và hướng
nghiên cứu tiếp theo của luận án được tóm tắt trong phần kết luận.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG
XOẮN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH THAM SỐ TỐI ƯU
1.1. Tổng quan về các nghiên cứu giảm dao động xoắn.
1.2. Tổng quan về bộ hấp thụ dao động DVA và các phương pháp tính
toán giảm dao động.
1.2.1. Giới thiệu chung.
1.2.2. Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động.
1.2.3. Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính không có cản nhớt.
1.2.4. Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính có cản nhớt.
1.2.5. Tính toán tham số tối ưu trường hợp hệ chính có nhiều bậc tự do
1.2.6. Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động.
1.3. Kết luận chương 1.
Chương 1 tác giả đã tổng quan các nghiên cứu trong nước và quốc tế
về giảm dao động xoắn cho trục máy; tổng quan về bộ hấp thụ dao động
DVA, trình bày nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động, đưa ra

3

các phương pháp tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ chính có cản và
không cản; tổng quan các nghiên cứu xác định tham số tối ưu trong trường
hợp hệ chính có nhiều bậc tự do. Cuối chương tác giả đưa ra một số tiêu
chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động. Đây là các cơ sở để tác
giả nghiên cứu xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ
động DVA giảm dao động cho xoắn cho trục máy khi chịu tác dụng của các
loại kích động khác nhau như: kích động điều hòa, kích động va chạm, kích
động ngẫu nhiên… trong các chương sau.
CHƯƠNG 2 . PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG XOẮN CỦA
TRỤC MÁY CÓ LẮP ĐẶT HỆ THỐNG GIẢM DAO ĐỘNG DVA
2.1. Phân tích mô hình tính toán dao động xoắn của trục máy có gắn bộ
hấp thụ dao động được nghiên cứu trong luận án.
Từ các nghiên cứu trong chương 1, tác giả nhận thấy rằng đã có rất
nhiều nghiên cứu về giảm dao động xoắn với thiết bị hấp thụ hay được sử
dụng là CPVA (centrifugal pendulum vibration absorber), CDR
(centrifugal delay resonant) và DVA (dynamic vibration absorbers). Nhưng
các nghiên cứu này chỉ tập trung vào bài toán ổn định và điều khiển chuyển
động của hệ có lắp bộ hấp thụ dao động, chưa có nghiên cứu nào sử dụng
phương pháp giải tích tính toán tối ưu thông số của bộ hấp thụ dao động
cho mô hình hệ chính dao động xoắn. Đã có một số công trình nghiên cứu
giảm dao động xoắn cho trục máy bằng cách lắp bộ hấp thụ DVA với một
số dạng khác nhau. Trong các nghiên cứu này, các tác giả cũng đã tập trung
nghiên cứu xác định tham số tối ưu cho thiết kế bộ DVA. Tuy nhiên,
phương pháp sử dụng trong các nghiên cứu này là các phương pháp số,
chẳng hạn phương pháp Taguchi, phương pháp hồi quy phi tuyến GaussNewton nên kết quả tối ưu chỉ có thể áp dụng cho các trục máy có số liệu
cụ thể, mà không thể áp dụng cho trục máy bất kỳ với các thông số thay đổi
[7], [9], [10], [13], [14].
Vì vậy, trong Luận án này tác giả đã đề xuất lắp bộ hấp thụ động

lực DVA dạng đĩa - lò xo - cản nhớt vào trục quay để giảm dao động xoắn
cho trục như hình 2.1. Thực chất, bộ DVA dạng đĩa - lò xo - cản nhớt là
một dạng đặc thù của bộ hấp thụ dao động, nó áp dụng kết quả nghiên cứu
từ bộ hấp thụ dao động CPVA [40], [43], [44] là bộ hấp thụ dao động DVA
phải được thiết kế đối xứng qua tâm trục máy. Mô hình này khắc phục
được các hạn chế của [7], [9], [10], [13], [14] và kế thừa được ưu điểm của
thiết kế bộ hấp thụ trong [21], [26], [54] với thiết kế bộ DVA có trọng tâm
trùng với đường tâm của trục máy, để không xảy ra hiện tượng lệch tâm và
kết cấu đạt được sự ổn định nhất.

4


Đặc biệt, trong luận án này tác giả tập trung nghiên cứu, tính toán
và xác định xác tham số tối ưu của bộ hấp thụ DVA ở dạng giải tích với
mục đích giảm chuyển vị góc của hệ chính (góc xoắn của trục) bằng cách
sử dụng phương pháp điểm cố định [29], [59], [60], phương pháp cực tiểu
mô men bậc hai [60], [67], phương pháp cực đại độ cản tương đương [39],
[60] và phương pháp cực tiểu hóa năng lượng [6], [63], [64] của hệ để xác
định các tham số tối ưu của bộ DVA như tỷ số cản nhớt và tỷ số giữa tần số
riêng của bộ DVA và trục. Từ đó tính toán các kết quả nghiên cứu đạt được
để đánh giá hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục với các dạng kích động
khác nhau, theo các tiêu chuẩn khác nhau.
Hình 2.1 biểu diễn sơ đồ của trục máy có lắp bộ hấp thụ dao động
DVA dạng đĩa-cản nhớt-lò xo. Trục máy được mô hình hóa gồm một lò xo
có độ cứng chống xoắn là ks (Nm), và một đĩa có mô men quán tính khối
lượng là Jr [35], [59] (gồm trục và phần rotor lắp cứng với trục thông qua
moay ơ); trục máy quay đều với vận tốc góc Ω0 (s-1). Trục chịu tác dụng
của cản có hệ số cản là cs.

ks

ka

0
Jr

cs

ca

Ja

Hình 2.1. Mô hình trục máy có lắp bộ hấp thụ dao động DVA.

e1

r

e2

ka

M(t)

r a
ca

Hình 2.2. Mô hình bộ hấp thụ dao động DVA.
Để giảm dao động xoắn cho trục máy, ta lắp bộ hấp thụ dao động

DVA dạng lò xo-giảm chấn-đĩa (mass-spring-dics) vào phần ngõng trục

5


thông qua moay ơ (hub) của bộ hấp thụ dao động DVA. Liên kết giữa trục
máy và bộ hấp thụ DVA là liên kết then hoa, do đó rotor của DVA sẽ quay
cùng trục. Sơ đồ cấu tạo của bộ hấp thụ dao động DVA được nghiên cứu
trong luận án được biểu diễn trên hình 2.2. Bộ hấp thụ dao động DVA bao
gồm một rotor (lắp với phần ngõng trục thông qua moay ơ) và một đĩa bị
động. Rotor và đĩa bị động được liên kết với nhau thông qua n bộ lò xo giảm chấn (spring-damper). Bán kính quán tính và mô men quán tính khối
lượng của rotor và đĩa bị động lần lượt là ρr, Jr, ρa, Ja.
Độ cứng của mỗi lò xo là ka (N/m), hệ số cản nhớt của mỗi giảm
chấn là ca (Ns/m). Góc quay của rotor là φr (rad), góc quay tương đối giữa
đĩa bị động và rotor là φa (rad). Góc xoắn θ(t) giữa hai đầu ngõng trục được
xác định θ(t)=φr-Ω0t. Trục máy chịu tác động của mô men kích động M(t)
do hệ thống lắp phía sau trục tác động [35].
2.2. Thiết lập phương trình vi phân dao động.
Bằng việc sử dụng phương trình Lagrange loại II cho mô hình trục
máy chịu xoắn có lắp bộ hấp thụ dao động DVA, tác giả thu được hệ
phương trình vi phân mô tả dao động xoắn của trục máy như sau:
(2.29)
(mr r2  ma a2 )  ma a2a  cs  ks  M (t)
2 
2
2
2
(2.30)
m    m    nk e   nc e   0
a a

a

a a

a 1

a

a 2 a

Biểu diễn các phương trình (2.29) và (2.30) dưới dạng ma trận ta thu được:
  Cq  Kq  F
(2.31)
Mq
Trong đó véc tơ tọa độ suy rộng, ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt, ma
trận độ cứng và véc tơ của lực kích động được biểu diễn như sau:
0 
m  2  m  2 ma a2 
c
T
q   a 
M   r r 2a a
C s
2
2
ma a 
 0 nca e2 
 ma a
T

0 
 M (t )

k
K s
0
2 F  
2
 0 nkae1 
 mr  r

Trường hợp bỏ qua cản của môi trường tác dụng lên hệ chính (cs=0),
phương trình vi phân mô tả dao động của hệ được viết lại như sau:
(2.37)
(mr r2  ma a2 )  ma a2a  ks  M (t)
2 
2
2
2
(2.38)
ma a  ma aa  nkae1 a  ncae2a  0
2.3. Mô phỏng số dao động xoắn của trục máy có lắp bộ hấp thụ DVA.
Trong mục này tác giả thực hiện mô phỏng số dao động xoắn của
trục máy không cản có lắp bộ hấp thụ DVA với thông số bất kỳ (khi chưa
tính toán xác định các tham số tối ưu). Để thực hiện mô phỏng số tác giả sử
dụng số liệu mô phỏng trong công bố [35] của GS Hosek (Hình 1.2).

6

Hình 2.3. Dao động xoắn của trục
khi hệ chịu kích động điều hòa tại
tần số cộng hưởng của hệ

Hình 2.4. Dao động xoắn của trục
khi hệ chịu kích va chạm

Hình 2.5. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động ngẫu nhiên
Mục đích của việc mô phỏng số dao động xoắn của trục máy trong chương
này là: Nếu các thông số thiết kế được chọn không hợp lý, có thể có tác
dụng giảm dao động nhưng với hiệu quả thấp (hình 2.4 và 2.5), hoặc không
những không mang lại hiệu quả giảm dao động mà còn làm tăng biên độ
dao động của loại dao động có hại này. Từ đó ta thấy rằng, việc xác định
các thông số tối ưu của bộ hấp thụ DVA để nâng cao hiệu quả giảm dao
động xoắn cho trục là một việc làm hết sức ý nghĩa và có ứng dụng thực tế
kỹ thuật.
2.4. Kết luận chương 2
Chương 2 đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác
định dao động xoắn của trục máy có sử dụng bộ hấp thụ dao động DVA
dạng đĩa-cản nhớt-lò xo trường hợp hệ chính có cản và không cản. Để thiết
lập hệ phương trình vi phân dao động của hệ, tác giả sử dụng phương trình
Lagrange loại II. Hệ phương trình vi phân tìm được là hệ tuyến tính. Từ

7


quy luật dao động xoắn của trục máy, ta nhận thấy rằng nó có chứa các đại
lượng thiết kế của bộ hấp thụ dao động DVA, đây chính là cơ sở để các nhà
khoa học nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm tham số tối ưu của các bộ hấp

thụ dao động theo các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau.
Cuối chương tác giả mô phỏng số đáp ứng dao động xoắn của trục
máy trong trường hợp không lắp và có lắp bộ DVA với thông số được chọn
bất kỳ, từ đó thấy rằng việc lắp bộ DVA vào trục máy nó đã có tác dụng
làm thay đổi biên độ dao động của trục, tuy nhiên không phải cứ lắp bộ hấp
thụ dao động là biên độ dao động của trục máy giảm mà trong trường hợp
chọn các thông số của bộ DVA không hợp lý thì không những biên độ dao
động của trục máy không giảm mà còn tăng lên. Từ đây tác giả nhận thấy
rằng việc nghiên cứu xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực
DVA là hết sức cần thiết và ý nghĩa. Việc tính toán xác định tham số tối ưu
này được tác giả trình bày trong chương 3.
CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH, TÍNH TOÁN VÀ XÁC ĐỊNH
CÁC THAM SỐ TỐI ƯU CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG DVA
Với mục tiêu là nghiên cứu, tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu
để giảm chuyển vị của hệ chính. Các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao
động DVA bao gồm hệ số lò xo và hệ số cản nhớt. Xác định được các tham
số này cho phép ta chọn được lò xo và dầu cản nhớt cho thiết kế DVA với
hiệu quả giảm dao động tốt nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật và
kinh tế đặt ra khi thiết kế.
3.1. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy chịu kích động
điều hòa
Với lực kích động điều hòa ta sử dụng phương pháp giải tích hai
điểm cố định (gọi tắt là FPM-Fixed Points Method) để xác định tham số tối
ưu. Trong phần này, tác giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao
động DVA với mục đích là giảm chuyển vị của hệ chính (dao động xoắn
của trục). Từ các phương trình vi phân dao động (2.37) và (2.38) ta có tần
số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động DVA là:

a 

ka
ma

(3.1)

và tần số dao động riêng của trục máy:

ks
(3.2)
Jr
Ta đặt các đại lượng không thứ nguyên như sau: μ = ma /mr, η = ρa / ρr, λ =
e1 / ρr, α = ωa /Ωs, β = ω /Ωs, ξ = ca /(ma ωa)
8
s 


Do đó phương trình vi phân dao động (2.25) và (2.26) trở thành:
M
(3.3)
(1   2 )   2a   2s 
mr  r2
(3.4)
 2   2  n 2  2  2  n    2  0
a

s

a

s

a

Khi so sánh hệ phương trình vi phân dao động xoắn (3.3), (3.4) với
hệ phương trình vi phân dao động (1.9b) của Den Hartog (phần tổng quan
thuộc chương 1 của luận án này), tác giả nhận thấy rằng hệ phương trình vi
phân (3.3), (3.4) thuộc dạng phương trình chuẩn của Den Hartog. Điều này
có nghĩa là việc áp dụng lý thuyết điểm cố định kinh điển cho mô hình trục
máy chịu xoắn được nghiên cứu trong luận án là hoàn toàn phù hợp và tin
cậy.
Biểu diễn phương trình (3.3), (3.4) dưới dạng ma trận ta có:
  Cq  Kq  F
(3.5)
Mq
Trong đó véc tơ tọa độ suy rộng, ma trận khối lượng, ma trận cản
nhớt, ma trận độ cứng và véc tơ của lực kích động được biểu diễn như sau:
 
q 
a 
 2
K s
0

1   2
M
2
 


0

2 2
2
n  s  

 2 

 2 

0
0

C
2
0 n s  

 M (t ) 


F   mr r2 
 0 



 It , (3.5) trở thành:
Trường hợp trục chịu kích động điều hòa M  Me


Mˆ
 (  2  1)  2  2s e I s tˆ   2  2  2s e I s tˆa   2s e I s tˆ   2s e I s t


0
ks


I s t
2 2
2 I  s t
2
2
2 2 2 I  s t ˆ
2 2 2 I s t
  n s e ˆ a  I n s e ˆ a     s e      s e ˆ a 

(3.16)
Giải phương trình (3.16) bằng Maple ta thu được biên độ dao động phức
của của dao động xoắn hệ chính (trục máy đàn hồi):
ˆ  

 Mˆ 
I 2n   2 2n   2 2

4 2
2
3
2
2 2
2
2
2
2

2 2 
   I n  (1   )   n  (1   )     I n    n  ks 

(3.17)
Đặt các hệ số

9


A1  Re( B )   2 2 n   2 2
1
A2  Im( B )   n 2

A3  Re(C )   2  2  n 2 2   2  2 2 n 
  2 2   4 2   2 2n
A4 

1

Im(C )   3 2  2  n   3 2 n   2 n


Hàm khuếch đại biên độ A có dạng:

A

A12  A22 2
A32  A42 2

(3.20)

(3.21)
(3.22)
(3.23)

(3.27)

Hình 3.1 mô tả đồ thị của hàm khuếch đại biên độ-tần số A theo tỷ
số cản nhớt ξ. Ta thấy rằng với hai trường hợp tới hạn ξ=0 (không cản) và
ξ=∞ (cản tới hạn) đều dẫn tới đỉnh của đồ thị hàm khuếch đại tiến ra vô
cùng. Điều đó cho thấy giữa hai giá trị này tồn tại một giá trị tối ưu nào đó
của tỉ số cản ξ. Ngoài ra tính chất không cản của hệ chính dẫn tới sự tồn tại
của hai điểm cố định S, T không phụ thuộc vào tỉ số cản ξ của bộ hấp thụ
dao động DVA. Bước đầu tiên của phương pháp điểm cố định là tìm hai
điểm cố định S, T. Giả sử hai điểm S, T có hoành độ là β1, β2.

Hình 3.1. Đồ thị hàm khuếch đại biên độ - tần số với α=0.9,
μ=0.04, η=1, γ=0.5, λ=0.8 và n=4.
Để A không phụ thuộc vào ξ thì A  0

Từ đó ta có phương trình xác định điểm cố định

10


  2 2n   2 2
 n2

 2  2 n 2 2   2  2 2n   4 2   2 2n   2 2  3 22n   32n  2n
(3.41)
Giải phương trình (3.41) ta thu được các giá trị tối ưu của β như sau:

1,opt

  n ( 1)   2   n 


2,opt




4 2

2

2

4

2 2 2

4

 n(2 1) 2 2  2



1
2

(3.42)

 2  2

 4n2 (2 1)2 4  2 22 2n 4  n(2 1) 2 2 2
 2  2



1
2

(3.43)

Thay β=β1,opt và β=β2,opt vào biểu thức của hàm khuếch đại (3.27) ta
thu được giá trị của hàm khuếch đại tại hai điểm cố định S và T. Theo Den
Hartog [29], muốn đồ thị của hàm khuếch đại biên độ A không thay đổi lớn
trong khoảng giữa hai đỉnh thì trước hết cần phải cho hai điểm S và T có độ
cao bằng nhau, từ đó ta thu được tham số tối ưu α của bộ DVA:

 opt 



(3.47)

 n 1   2 

Tiếp theo ta tìm hệ số cản ξ để đường cong biên độ-tần số đạt cực
đại tại các điểm cố định S và T.

Để thỏa mãn điều kiện này ta có : A  0

Từ đó suy ra:
A
A
 A2 A3 3  A1 1


(3.51)
2  

A

A2
2
4
 A A4
 A2


Thay các giá trị tối ưu α = αopt và β1,2 =β1,2,opt trong các phương
trình (3.42), (3.47) vào phương trình (3.51) và áp dụng lý thuyết của Brock
[24] ta thu được tỷ số cản tối ưu là:

 2
2

3

(3.55)

2 n (1   2 )
3.2. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy chịu kích động
ngẫu nhiên

 opt   * 

11


Với trường hợp tính toán tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực
DVA khi trục máy chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên, trong luận án
này tác giả sử dụng phương pháp cực tiểu mô men bậc hai và phương pháp
cực đại độ cản tương đương.
 Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai
Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai áp dụng cho cơ hệ chịu tác
động của mô men kích động ngẫu nhiên ồn trắng M(t) có mật độ phổ Sf .
Từ phương trình vi phân dao động dạng ma trận (3.5) ta đưa về
phương trình trạng thái:
(3.56)
y (t )  By (t )  H f M (t )
trong đó: y(t) là véc tơ trạng thái ứng với các đáp ứng của hệ và được xác
định như sau:
T
(3.57)
y (t )    a   a 
Thay (3.9) và (3.12) vào phương trình (3.58) ta thu được véc tơ định vị của
kích động Hf:

H f  0 0


1
Jr

T



1

Jr 

ma trận hệ thống B như sau:
0
1
0
 0

 0

0
0
1


2
(3.61)

n 2  2s  2
0

n s  2
B    s


1   2  n 2  2s  2
1   2  n 2  2s  2 


 2
0 
 s 

2
2


Ma trận mô men bậc hai P là nghiệm của phương trình ma trận Lyapunov
[67]
BP + PBT + S f Hf HTf = 0
(3.62)
Các thành phần của ma trận P được xác định bằng cách giải phương trình
(3.62). Các tham số tối ưu được tìm làm tối ưu mô men bậc hai của đáp
ứng hệ chính P11 [67]. Điều kiện cực tiểu là:

P11
P
 0; 11  0


Từ đó ta thu được các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực DVA:

 opt 

2  n (2   2 )
 2
;


opt
2 n (1   2 )
2 2

12

2  (4  3 2 )
n (1   2 )(2   2 )


 Xác định tham số tối ưu theo phương pháp cực đại độ cản tương
đương.
Từ hệ phương trình vi phân dao động (2.37), (2.38) ta biến đổi về dạng:
(3.80)
mr r2  ks  nkae12a  nca e22a  M (t )
Từ (3.80) ta thu được mô men cản tương đương
M eqv  nma 2 2s  2 r2a  n ma s  2 r2a
(3.82)
Xét trường hợp hệ chính chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên
ồn trắng, hệ số cản tương đương là:

n ma s  2  r2 P34  nma 2  2s  2  r2 P32

ctd  
P33

(3.84)

Để cực đại ctđ điều kiện cực đại của hàm hai biến được áp dụng vào
phương trình (3.84). Ta có:
ctd
c td
(3.85)
 0;
0
*
  
   *
Từ đây ta thu được các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực
DVA như sau:

 opt   * 


 n(1   2 )

; opt   * 

 2 
2 n

3.3. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục chịu kích động va
chạm

Trong phần này trình bày tính toán xác định tham số tối ưu cho
DVA bằng cách sử dụng phương pháp cực tiểu hóa năng lượng với hàm
mục tiêu là tích phân năng lượng gây ra dao động cho hệ chính đạt cực tiểu.
Mục đích chính là giảm thành phần dao động riêng của hệ chính.
Từ phương trình vi phân dao động (3.5) đưa về phương trình:
(3.89b)
y  By + F
T
trong đó: y    a  a 

Ma trận B được xác định trong (3.61). Trong phần này tác giả sử
dụng phương pháp cực tiểu hóa năng lượng sử dụng phiếm hàm động năng
theo các tài liệu [63], [64]. Bài toán đặt ra là thiết kế các thông số của bộ
hấp thụ động lực DVA sao cho phiếm hàm năng lượng
1
(3.90)
L  yTo Pyo
2

13


đạt giá trị cực tiểu, trong đó y0 là véc tơ điều kiện ban đầu, ma trận
P là nghiệm của phương trình đại số Lyapunov
(3.91a)
BT P  PB  Q
Với Q là ma trận trọng số. Từ (3.91a) ta thu được ma trận P như sau:
 P11 P12 P13 P14 
P P P P 
23

24 
(3.93)
P   21 22
 P31 P32 P33 P34 


 P41 P42 P43 P44 
Thay (3.93) vào (3.90) ta tìm được phiếm hàm L như sau:
n2 4 4 (1   2 )3 


L  0 
 / 4n 2 4s 
2
2 2 2 4
2
2 2 2
4
(1   ) n    (1   )  2n     
(3.94)
Để cực tiểu hàm mục tiêu L, điều kiện cực tiểu của hàm hai biến được áp
dụng:
L
L
(3.95)
 0;
0
   *
   *
Giải hệ phương trình (3.94, 3.95) ta tìm tham số tối ưu cho DVA là:

  * 

 2n(2   2 )
 2  (4  3 2   2 4 )
;



*

2n (1   2 )
(1   2 ) 2 2n(2   2 )

3.4. Các bước thiết kế bộ hấp thụ dao động DVA giảm dao động xoắn
cho trục.
3.5. Kết luận chương 3
Chương 3 đã nghiên cứu lý thuyết, tính toán các tham số tối ưu của
bộ hấp thụ dao động DVA. Các kết quả nghiên cứu thu được như sau:
Trường hợp 1. Trục máy chịu kích động điều hòa. Các tham số tối ưu
được xác định theo phương pháp hai điểm cố định.

 2
3
 opt 
;


opt
2

2

2n(1   2 )
 n   1





Trường hợp 2. Trục máy chịu kích động ngẫu nhiên
 Xác định theo phương pháp cực tiểu mô men bậc hai

opt 

2  n(2   2 )
 2
;


opt
2 n (1   2 )
2 2
14

2 (4  3 2 )
n(1   2 )(2   2 )




Xác định theo phương pháp cực đại độ cản tương đương

 opt 


 n(1   2 )

; opt

 2 
 2

n

Trường hợp 3. Trục máy chịu kích động va chạm. Các tham số tối ưu
được xác định theo phương pháp cực tiểu hóa năng lượng.

  * 

 2n(2   2 )
 2 (4  3 2   2 4 )
;



*

2n (1  2 )
(1  2 )2 2n(2   2 )

CHƯƠNG 4. TÍNH TOÁN, MÔ PHỎNG SỐ HIỆU QUẢ GIẢM DAO
ĐỘNG VÀ PHÁT TRIỂN CHO HỆ CHÍNH NHIỀU BẬC TỰ DO
4.1.1. Mô phỏng số trường hợp hệ chịu tác dụng của kích động điều
hòa.
Trong phần này, tác giả mô phỏng số với trường hợp trục máy chịu
xoắn có lắp bộ hấp thụ DVA-FPM và chịu tác động của mô men kích động
điều hòa có dạng: M=M0sin(ωt) với M0 = 200 Nm. Để thấy được hiệu quả
giảm dao động xoắn của các thiết kế DVA tối ưu khác nhau, khi mô phỏng
tác giả thực hiện trên ba trường hợp hệ chính không cản, có cản bé (cs = 5
kgm2/s) và cản lớn (cs = 22.5 kgm2/s [35]). Các tần số cộng hưởng của cơ
hệ theo các thiết kế tối ưu DVA khác nhau được liệt kê trong bảng 4.3.
Bảng 4.3. Tần số cộng hưởng của hệ
Tần số cộng hưởng
ωre1
ωre2
ωre3
DVA-FPM
887.41
980.58
1083.52
Trong các tính toán và mô phỏng số sau đây tác giả thực hiện với
tần số của kích động là ω = 1000 s-1 (hệ làm việc trong vùng cộng hưởng)
[35]. Các kết quả mô phỏng thu được như sau:

a) Hệ chính không cản (cs = 0)

15


c) Hệ chính có cản (cs = 22.5 kgm2/s)

Hình 4.4. Đáp ứng của hệ khi lắp và không lắp DVA-FPM
Bảng 4.4. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu
kích động tuần hoàn với tần số cộng hưởng.
Hiệu quả giảm dao động (%)
Thiết kế DVA
cs = 0 kgm2/s
cs = 5 kgm2/s
cs = 22.5 kgm2/s
DVA-FPM
99.987
94.939
68.178
4.1.2. Mô phỏng số trường hợp trục máy chịu tác dụng của kích động
va chạm.
Trong quá trình làm việc của máy nhiều khi xảy ra hiện tượng các
bánh răng lắp trên va chạm nhau trong quá trình ăn khớp, hoặc xảy ra quá
tải cục bộ với hệ thống. Vì vậy ta cần xem xét hiệu quả giảm dao động của
các thiết kế DVA tối ưu thu được ở chương 3 khi hệ thống xảy ra va chạm.
Khi hệ chính chịu tác động của kích động va chạm thiết kế DVA-MKE
(được xác định theo phương pháp cực tiểu hóa năng lượng) là phù hợp
nhất. Hệ chịu kích động va chạm tương đương với hệ có vận tốc góc ban
đầu khác không. Trong mục này tác giả thực hiện mô phỏng với trạng thái
ban đầu: y 0   0 0 2 0T . Kết quả mô phỏng và tính toán như sau:

Hình 4.7. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MKE khi hệ chính không cản
chịu kích động va chạm

16

b) Hệ chính có cản cs = 5 kgms-2
Hình 4.9. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MKE khi hệ chính có cản
chịu kích động va chạm
Bảng 4.5. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu
kích động va chạm
Hiệu quả giảm dao động (%)
Thiết kế DVA
cs = 0 kgms-2
cs = 5 kgms-2
cs = 22.5 kgms-2
DVA-MKE
99.473
95.461
81.674
4.1.3. Mô phỏng số trường hợp hệ chịu tác dụng của kích động ngẫu
nhiên
Với trường hợp hệ chính chịu kích động ngẫu nhiên, như đã phân
tích trong chương 3, ta có thể sử dụng bộ hấp thụ động lực DVA với thiết
kế DVA-MQT (được xác định theo phương pháp cực tiểu mô men bậc hai)
hoặc thiết kế DVA-MEVR (được xác định theo phương pháp cực đại độ
cản tương đương). Các kết quả mô phỏng và tính toán như sau:

Hình 4.11. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MQT khi hệ chính không
cản chịu kích động ngẫu nhiên

17


b) Hệ chính có cản cs = 22.5 kgms-2
Hình 4.12. Đáp ứng giảm dao động của DVA-MQT khi hệ chính có cản

chịu kích động ngẫu nhiên
Bảng 4.6. Hiệu quả giảm dao động của các thiết kế DVA khi hệ chính chịu
kích động ngẫu nhiên
Hiệu quả giảm dao động (%)
Thiết kế DVA
cs = 0 kgms-2
cs = 5 kgms-2
cs = 22.5 kgms-2
DVA-MQT
97.058
95.464
95.758
DVA-MEVR
96.988
95.909
96.013
4.2. Phát triển kết quả nghiên cứu cho trường hợp hệ chính nhiều bậc
tự do
4.2.1. Mô hình nghiên cứu và phương trình vi phân dao động xoắn của
trục máy nhiều bậc tự do
J rN
0

k sN

J r1

J r ( N 1)

ks ( N 1)

Jr2
ks 2

k s1

ka
ca

Ja

Hình 4.17. Mô hình trục máy nhiều bậc tự do lắp bộ DVA
Khảo sát mô hình trục máy (hệ chính) có N bậc tự do, mỗi bậc tự
do được mô hình hóa gồm một lò xo xoắn có độ cứng xoắn là ksi và một đĩa
có mô men quán tính khối lượng Jri như hình 4.17. Để giảm dao động xoắn
cho trục máy, ta lắp bộ hấp thụ dao động DVA dạng đĩa-lò xo-cản nhớt vào
phần ngõng trục thông qua moay ơ (hub) của bộ hấp thụ dao động DVA.
Liên kết giữa trục máy và bộ hấp thụ DVA là liên kết then hoa, do đó rotor
của DVA sẽ quay cùng trục khi trục máy chuyển động quay. Sơ đồ cấu tạo

18


của bộ hấp thụ dao động DVA được biểu diễn trên hình 2.2 (chương 2 của
luận án này). Cơ hệ khảo sát có N+1 bậc tự do, trong đó hệ chính có N bậc
tự do và bộ hấp thụ dao động DVA có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng
độc lập là góc quay φi của bậc tự do thứ i (i=1, 2, …, N) và góc quay tương
đối φa của đĩa DVA so với bậc tự do thứ nhất.
+ Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
Áp dụng phương trình Lagrange loại II cho hệ có N+1 bậc tự do ta có:

J a (1  a )  nca e22a  nka e12a
J   J (   )  k      M (t )
r1 1

a

1

a

s1

2

1

J r 22  k s1  2  1   ks 2 3   2 
............................................
J rjj  ks ( j 1)  j   j 1   ksj  j 1   j 
............................................
J
  k
  
r ( N 1) N 1

s ( N  2)

N 1

N 2

(4.19)

  ks ( N 1)  N   N 1 

J rNN  ks ( N 1)  N   N 1   ksN N

4.2.2. Nghiên cứu xác định tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động giảm
dao động xoắn cho trục máy nhiều bậc tự do
Từ hệ phương trình vi phân dao động xoắn (4.19) ta có tần số dao
động riêng của bộ hấp thụ dao động DVA là:
(4.20)
a2  ka / ma
Ta đặt:
(4.21)
2si  ksi / J ri
và các đại lượng không thứ nguyên như sau:
μ = ma /mr, η = ρa / ρr, λ = e1 / ρr, α = ωa /Ωs, β = ω /Ωs, ξ = ca /(ma ωa)
Xét trường hợp mô hình trục máy chịu tác động của mô men kích
động tuần hoàn (hình 4.17) được biểu diễn dưới dạng phức như sau:
ˆ I t
(4.24)
M (t )  Me
 Xác định hàm khuếch đại biên độ A của bậc tự do thứ N
Thay (4.20), (4.21), (4.24) và các đại lượng không thứ nguyên ở trên vào hệ
phương trình vi phân (4.19) và giải hệ phương trình vi phân dao động này
lần lượt với N = 1, 2, 3, … và rút ra biểu thức tổng quát của biên độ phức
của bậc tự do thứ N như sau:
M 
A1  I  A2

(4.55)
ˆN 
 AN 2 A1  AN 1 A3   I  AN 2 A2  AN 1 A4   ks 

19


Các tính toán này được thực hiện trên phần mềm toán học Maple.
Thực hiện các phép biến đổi phức ta có:
1


2 M
A12  A22 2
(4.56)

ˆN  
  A A  A A 2   2  A A  A A 2  ks
N 1 3
N 2 2
N 1 4
 N 2 1

Từ đó ta thu được hàm khuếch đại biên độ-tần số của bậc tự do thứ N có
dạng:
1


2
A12  A22 2

(4.57)

A  AN  
  A A  A A 2   2  A A  A A 2 
N 1 3
N 2 2
N 1 4
 N 2 1

Trong đó A1, A2, A3, A4 là các hệ số được xác định từ mô hình trục
một bậc tự do tương ứng. Các hệ số này đã được xác định trong các công
thức (3.20), (3.21), (3.22) và (3.23). Đặt yN = AN-1 thì xN = AN-2.
kN
N 1 2 k
( N  1  k )!
k
yN    1
22
; xN  yN 1

 N  1  2k  !k !
k 0
Nếu N chẵn: kN = (N-2)/2; nếu N lẻ: kN = (N-1)/2
 Xác định tỷ số α tối ưu
Với hàm khuếch đại biên độ A đã xác định được trong công thức
(4.29) ta thấy nó phụ thuộc vào 8 thông số không thứ nguyên ở trên gồm n,
μ, η, λ, α, β và tỷ số cản ξ. Vậy ta hoàn toàn có thể xác định các thông số
này để hàm khuếch đại biên độ-tần số đạt giá trị nhỏ nhất.
 Xác định các điểm cố định
Từ biểu thức tổng quát (4.57) xác định hàm khuếch đại biên độ của

bậc tự do thứ N trong mô hình trục máy có N bậc tự do. Hình 4.18 và hình
4.19 lần lượt mô tả sự thay đổi của hàm khuếch đại biên độ-tần số của bậc
tự do thứ N theo tần số β với trường hợp hệ chính có 2 bậc tự do (N=2) và
hệ chính có 3 bậc tự do (N=3) xác định từ các công thức (4.60) và (4.61).
Từ hình 4.18 và hình 4.19 ta thấy rằng, tất cả các đường cong với với giá trị
của tỷ số cản nhớt ξ đều đi qua một số điểm cố định. Số điểm cố định này
bằng 2N. Khi mô phỏng đồ thị hàm khuếch đại biên độ của bậc tự do thứ N
trong miền tần số với hệ chính có số bậc tự do khác nhau và với mọi giá trị
khác nhau của tỉ số cản ξ tác giả thấy rằng các đường cong được mô tả bởi
(4.60) và (4.61) luôn đi qua các điểm cố định và trong trường hợp tổng
quát, cao độ của các điểm này là khác nhau .

20


Hình 4.18. Sự thay đổi của đường cong khuếch đại biên độ khi thay đổi tỷ
số cản với N = 2,  = 0.02,  = 1,  = 0.5,  = 0.8, n = 6 và  = 0.2

Hình 4.19. Sự thay đổi của đường cong khuếch đại biên độ khi thay đổi tỷ
số cản với N = 3,  = 0.02,  = 1,  = 0.5,  = 0.8, n = 6 và  = 0.2
Từ hình 4.18 ta thấy rằng với hệ chính có số bậc tự do N=2 sẽ tồn
tại 3 đỉnh cộng hưởng (với ξ=0) và 2 đỉnh cộng hưởng (với ξ=∞). Với hệ
chính có 3 bậc tự do thì số đỉnh cộng hưởng với ξ=0 là 4 đỉnh và 3 đỉnh với
ξ=∞ (hình 4.19). Một cách tổng quát, nếu hệ chính có N bậc tự do sẽ tồn tại
N+1 đỉnh cộng hưởng với trạng thái không cản (ξ=0) ứng với N đỉnh cộng
hưởng của N bậc tự do của hệ chính và thêm 1 đỉnh cộng hưởng của DVA
(hệ phụ); còn trong trạng thái cản tới hạn ξ=∞, sẽ tồn tại N đỉnh cộng
hưởng. Vậy giữa các định cộng hưởng này luôn luôn tồn tại các điểm cố
định. Tương tự trường hợp hệ chính có một bậc tự do (mục 3.1 của luận án
này), hoành độ βj của các điểm cố định này được xác định bằng cách giải

A
phương trình:
0.

Đạo hàm hàm khuếch đại A trong (4.57) theo biến ξ ta được
2
A22  AN 2 A2  AN 1 A4 
(4.65)
 2
A1  AN 2 A1  AN 1 A3 2
Phương trình (4.65) dùng để xác định hoành độ các điểm cố định trong
trường hợp tổng quát. Giải phương trình (4.65) ta thu được các giá trị của βj

21


cho mô hình trục máy có 2 bậc tự do. Tương tự giải phương trình (4.67) ta
thu được các giá trị của βj cho mô hình trục máy có 3 bậc tự do.
Để xác định tham số tối ưu α thì giá trị của hàm khuếch đại biên độ A tại
hai điểm cố định (tương ứng với β1 và β2) phải bằng nhau. Có một số giá trị
của tần số β, chẳng hạn β=0.26, β=0.67 và β=1.62, tại đó xảy ra cộng
hưởng (hình 4.18). Vùng cộng hưởng được kiểm soát xác định trong thiết
kế tối ưu hóa là một trong những điểm gần nhất với β = 1. Bởi vậy, tỷ số β1
và β2 được chọn sao cho tỷ số β được kiểm soát phải nằm giữa chúng. Theo
cách này, hai điểm cố định được chọn là S và T. Giải phương trình AS=AT
thu được tham số tối ưu α. Bảng 4.7 liệt kê các kết quả thu được của tỷ số α
ứng với N=1, N=2 và N=3.
Bảng 4.7. Tham số tối ưu α theo số bậc tự do của hệ chính
Số bậc tự do
αopt


N=1
 n  2  1









 2n  2  1 3 2  2

N=2





2 n  2  1



2



 2n  6  3  6 4  2  10 2   4
N=3…





2 n  2  1



2

 Xác định tỷ số ξ tối ưu
Để xác định ξ tối ưu ta giải phương trình A  0

Từ phương trình (4.57) thực hiện các phép biến đổi cuối cùng ta thu được
biểu thức tối giản của tỷ số cản như sau:
 A
A  
A
A 
A
A2  A1 AN 2  A3 AN 1   A3 N 1  A1 N 2    AN 1 3  AN 2 1   A1 1










 


2 
 A
A  
A
A 
A
A2  A2 AN 2  A4 AN 1   A2 N 2  A4 N 1    AN 2 2  AN 1 4   A2 2

  

 



(4.71)
Theo Brock [14] ta thu được các kết quả giải tích của tỷ số cản nhớt ξ thu
được được liệt kê trong bảng 4.8.

22


Bảng 4.8. Tham số tối ưu ξ theo số bậc tự do của hệ chính
Số bậc tự do
Biểu thức giải tích tối ưu của ξ
N=1

 2
3
 2 2n(1   2 )

1 AB
2 C

N=2

A  (4 3 6  6 2 4  5 2  2)
B  (2 2 4  5 2  2) 2 2 ; C  n 4 (2  3 2 )(1   2 )3

2
2

N=3…

ABC
DE

A   2 2 ; B  2 48  7 3 6  6 2 4  2 2  2



C  5 3 6  14 2 4  10 2  2; D  n 4 1   2



4

E  2 48  13 3 6  26 2 4  18 2  4

4.2.3. Tính toán mô phỏng số các kết quả nghiên cứu cho hệ chính nhiều
bậc tự do

Hình 4.23. Hàm khuếch đại biên độ với  = opt và  = 0 với trường hợp hệ
chính có 2 bậc tự do
Hình 4.20 mô tả sự thay đổi đường cong khuếch đại biên độ theo tỷ số cản
nhớt. Hình 4.20 chỉ ra rằng có một số vùng cộng hưởng, chẳng hạn tại các
tần số  = 0.392, 0.873 và 1.648. Rõ ràng rằng với giá trị của tỷ số cản nhớt
tối ưu ξopt=0.23 tại các đỉnh cộng hưởng đường cong khuếch đại biên độ có

23