Hàm số, giới hạn, liên tục

Hàm số, Giới hạn và Liên tục
(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

ThS. Trần Bảo Ngọc
Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCM
Email:

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x 5 ,

x −2 :=

√
3

1
,
x2

x 3 :=

1
,
2x

32x = (3x )2 = 9x ,

2

x 2 ,. . .

Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x ,

2−x :=

3x = e x ln 3 ,. . .

Hàm lượng giác
Ví dụ: sin x, cos x, tan x, cot x.
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,
hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


1. Khái niệm và phân loại hàm số

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

1. Khái niệm và phân loại hàm số

Các hàm số lượng giác ngược
1

y = arcsin x ⇐⇒

−1 ≤ x ≤ 1,

−

x = sin y
2

3

y = arccos x ⇐⇒
y = arctan x ⇐⇒

−1 ≤ x ≤ 1,
x = cos y
x ∈ R,

4

y = arccot x ⇐⇒

x ∈ R,
x = cot y

ThS. Trần Bảo Ngọc

0≤y ≤π
−

x = tan y

π
π
≤y ≤
2
2

π
π
2
2

0
Hàm số, Giới hạn và Liên tục


1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.

√
√

1
3
a) Tính arcsin( ), arccos(−
), arctan( 3)
2
2
x
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin log
10
√
√
1
π
3
5π
π
a) arcsin( ) = , arccos(−
)=
, arctan( 3) =
2
6
2
6
3
b) Điều kiện xác định của hàm số:
x
1
x
−1 ≤ log
≤ 1 (x > 0) ⇐⇒ log

≤ log
≤ log 10 (x > 0)
10
10
10
1
x
⇐⇒ ≤
≤ 10 (x > 0)
10
10
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.2.
1
Cho hàm số y = arcsin . Tập xác định của hàm số là
x
A. [−1; 1]
B. [−1; 0]
D. (−∞; −1] ∪ [1; +∞)

C. [0; 1]

Điều kiện xác định của hàm số:

1
−1≤ ≤1
x
1+x
1−x
⇐⇒
≥ 0 và
≤0
x
x
⇐⇒x ∈ (−∞; −1] ∪ (0; +∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1; +∞)
⇐⇒x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).
Chọn đáp án D.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. lim arcsin x = 1
x→0

C. lim arctan x =
x→∞

B. lim arctan
x→0

1

= +∞
x2

π
D. Nếu arcsin x = arccos y thì x 2 + y 2 = 1.
2

A. lim arcsin x = arcsin 0 = 0
x→0
1
π
B. lim arctan 2 =
x→0
x
2
π
π
C. Vì lim arctan x = và lim arctan x = − , nên suy ra
x→+∞
x→−∞
2
2
lim arctan x không tồn tại.

x→∞

D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sin α và y = cos α.
Ta có x 2 + y 2 = sin2 α + cos2 α = 1.

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2. Giới hạn của hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ta xét 2 quá trình: x → a, x → ∞. Ứng với 2 quá trình đó, các
giới hạn được xét ở dạng:
lim f (x), lim f (x).

x→a

x→∞

Các dạng vô định thường gặp
0 ∞
,
, ∞ − ∞, 0.∞, ∞0 , 0∞ , 00 và 1∞ .
0 ∞

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.1. Dạng vô định

0

0

Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner để
đặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp có
căn thức, ta thực hiện trục căn thức.
Ví dụ 2.1.
x2 − 1
.
x→1 x 3 − 2x 2 + 3x − 2

Tính giới hạn L1 = lim

(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x 2 − x + 2)
x +1
1+1
= lim 2
= 2
= 1.
x→1 x − x + 2
1 −1+2

Ta có L1 = lim

x→1

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

2.1. Dạng vô định

0
0

Ví dụ 2.2.

√
x − 2−x
Tính giới hạn L2 = lim
.
x→1
x3 − 1
√
√
(x − 2 − x)(x + 2 − x)
√
L2 = lim
x→1
(x 3 − 1)(x + 2 − x)
x 2 − (2 − x)
√
= lim 3
x→1 (x − 1)(x + 2 − x)
(x − 1)(x + 2)
√
= lim
x→1 (x − 1)(x 2 + x + 1)(x + 2 − x)

x +2
√
= lim 2
x→1 (x + x + 1)(x + 2 − x)
1+2
1
√
= 2
= .
2
(1 + 1 + 1)(1 + 2 − 1)
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.2. Giới hạn

1
và Giới hạn một bên (trái, phải)
0

Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản

1
= ±∞.
0

Bài tập 2.3.

x 2 − 5x + 6
.
x→2 x 3 − 6x 2 + 12x − 8

Tính giới hạn L3 = lim

(x − 2)(x − 3)
x→2
(x − 2)3
x −3
= lim
= −∞
x→2 (x − 2)2
1
x −3
x −3
vì lim
có dạng cơ bản và
< 0 khi x tiến tới 2.
2
x→2 (x − 2)
0
(x − 2)2
Ta có L3 = lim

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

2.2. Giới hạn

1
và Giới hạn một bên (trái, phải)
0

Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấy
giới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
x 2 + 2x − 3
.
x→1
1 − x2

Tính giới hạn L4 = lim

lim

x→(−1)−

lim

x→(−1)+

x 2 + 2x − 3
(x − 1)(x + 3)
= lim
2
−
1−x

x→(−1) (1 − x)(1 + x)
−(x + 3)
= lim
= +∞
−
x +1
x→(−1)
x 2 + 2x − 3
−(x + 3)
= lim
= −∞
1 − x2
x +1
x→(−1)+

Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

(1)
(2)


2.3. Dạng vô định

∞
∞

Phương pháp

Chia tử và mẫu cho x bậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản
1
lim k = 0 với k > 0.
x→∞ x
Ví dụ 2.4.

√
x + x2 + 2
Tính giới hạn L5 = lim
.
x→+∞
2x + 3
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
1+

1+

L5 = lim

x→+∞

2+

3
x

ThS. Trần Bảo Ngọc

2
x2

√
1+ 1
= lim
= 1.
x→+∞
2
Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.3. Dạng vô định

∞
∞

Ví dụ 2.5. Tính giới hạn
√
x2 + x2 + 2
a) L6 = lim
x→−∞
2x + 3

b) L7 = lim

x→+∞

x2

2x + 3
√

+ x2 + 2

a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được
x−

1+

L6 = lim

x→−∞

2+

2
x2

=

3
x

−∞ − 1
2

= −∞.

b) Chia tử và mẫu cho x 2 (x 2 > 0) ta được
2x + 3
√
L7 = lim

= lim
x→+∞ x 2 + x 2 + 2
x→+∞
ThS. Trần Bảo Ngọc

3
2
+ 2
x
x
1+

1+

2
x2

=

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

0
√ = 0.
1+ 1


2.3. Dạng vô định

∞
∞

Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định

tổng hệ số bậc cao nhất ở tử
,
tổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu

a) bậc tử = bậc mẫu:

kết quả =

b) bậc tử < bậc mẫu:

kết quả = 0,

c) bậc tử > bậc mẫu:

kết quả = ±∞.

ThS. Trần Bảo Ngọc

∞
∞

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.4. Dạng vô định ∞ − ∞
Phương pháp

Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng

0 1 ∞
, ,
.
0 0 ∞

Ví dụ 2.6.
Tính giới hạn L8 = lim

x→2

x2

1
1
−
.
− x − 2 3x − 6

1
1
−
x→2 (x + 1)(x − 2)
3(x − 2)
3 − (x + 1)
= lim
x→2 3(x + 1)(x − 2)
2−x
−1

1
= lim
= lim
=− .
x→2 3(x + 1)(x − 2)
x→2 3(x + 1)
9

L8 = lim

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.4. Dạng vô định ∞ − ∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = lim

x→0

1
1
− 2
.
x
x −x

Ta có
(x − 1) − 1

x −2
= lim
x→0 x(x − 1)
x→0 x(x − 1)

L9 = lim
Mặt khác

x −2
= −∞,
x(x − 1)
x −2
lim+
= +∞,
x→0 x(x − 1)
lim

x→0−

nên giới hạn L9 không tồn tại.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

1
0

.

2.4. Dạng vô định ∞ − ∞
Nếu đúng dạng ∞ − ∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục căn
thức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = lim

x→+∞

L10

x 2 + 3x − x .

√
√
( x 2 + 3x − x)( x 2 + 3x + x)
√
= lim
x→+∞
( x 2 + 3x + x)
3x
∞
= lim √
2
x→+∞ ( x + 3x + x)
∞

Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
3
3
3

L10 = lim
=√
= .
x→+∞
2
1+1
1 + x3 + 1
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng

0
0

và 1∞ )

Định lý 1
1

2

3

sin x
= 1.
x→0 x
ln (1 + x)

lim
= 1.
x→0
x
ex − 1
lim
= 1.
x→0
x
lim

Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
tan ax
a) lim
x→0
x

1 − cos ax
.
x→0
x2

b) lim

tan ax
sin ax
a
= lim
.
= a.

x→0
x→0 ax
x
cos ax

a) lim

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.5. Các giới hạn cơ bản
2 sin2
1 − cos ax
b) lim
=
lim
x→0
x→0
x2
x2

ax
2

= lim

sin

x→0

2

ax
2
ax
2

.

a2
a2
= .
2
2

Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
ln(cos x)
x→0
x2

a) lim

b) lim+
x→0

3x − 1
x

x −1
.
x→1 lg x

c) lim

ln(cos x)
ln(1 + (cos x − 1)) cos x − 1
1
= lim
.
=− .
2
2
x→0
x→0
x
cos x − 1
x
2

a) lim

b) lim+
x→0

e x ln 3 − 1
3x − 1
= lim+
. ln 3 = ln 3.

x
x ln 3
x→0

x −1
x −1
= lim
ln 10 = lim
x→1 lg x
x→1 ln x
x→1

c) lim

ThS. Trần Bảo Ngọc

1
ln(1+(x−1))
x−1

ln 10 = ln 10.

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v (x)

có dạng 1∞ = e lim[u(x)−1].v (x) .

Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
1

a) lim (1 + x) x

b) lim

x→∞

x→0

1−

lim (1+x−1). x1

1

a) lim (1 + x) x = e x→0
x→0

b) lim

x→∞

c) lim

n→+∞

1

x
n+1
n−1

1−

x

x

1
x

c) lim

n→+∞

1−2n

= e −1 =

n+1
lim ( n−1
−1).(1−2n)

= e x→0

ThS. Trần Bảo Ngọc

1−2n

= e.

lim (1− x1 −1)x

= e x→∞

n+1
n−1

1
.
e
lim

= e x→0

2(1−2n)
n−1

Hàm số, Giới hạn và Liên tục

=

1
.
e4


2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)

a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếu
lim α(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x, sin x, arcsin x, tan x, arctan x, x α (α > 0) là các VCB
xét trong quá trình x → 0.
1
Chú ý 2: , α (α > 0), q x (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
x
trình x → +∞.
b) Tính chất
lim α(x) = L ⇐⇒ {α(x) − L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
α(x)
= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
β(x)
α(x)
Nếu lim
= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
β(x)
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB
tương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
Nếu lim

d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
u2
1 − cos u ∼ .
2
ln (1 + u) ∼ (e u − 1) ∼ u.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định

0
và VCB tương đương
0

Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
lim

α(x)
α(x)
= lim
.
β(x)
β(x)

Ví dụ 2.13. Tính giới hạn

√

ln cos x
a) lim
x→0
x2
a) lim

x→0

0
0

sin x − sin a
b) lim
x→a
x −a

0
0

c) lim+
x→0

3

x

−1
x

ln cos x
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1
= lim
= lim
x→0
x→0
x2
x2
x2
x2
−2
1
x2
= lim
=
−
vì
cos
x
−
1
∼
−
khi x → 0.
x→0
x2
2
2

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục


2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
2 cos
sin x − sin a
= lim
x→a
x→a
x −a

b) lim
= lim

2 cos

x→a

= lim cos
x→a

√

. x−a
2
vì sin
x −a
x +a

= cos a.
2

sin
x −a
x −a
2

x−a
2

∼

x −a
khi x → a.
2

√

e x ln 3 − 1
−1
c) lim+
= lim+
x
x→0
x→0 √ x
√
√
x ln 3
= lim+

vì e x ln 3 − 1 ∼ x ln 3 khi x → 0
x
x→0
ln 3
= lim+ √ = +∞.
x
x→0
3

x

x+a
2

x+a
2

ThS. Trần Bảo Ngọc

Hàm số, Giới hạn và Liên tục