Trắc nghiệm nâng cao mũ – logarit – đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 0


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

LŨY THỪA – MŨ – LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT CHUNG
I.

LŨY THỪA

1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ 

Cơ số a

Luỹ thừa a

  n N*

aR

a  a n  a.a......a (n thừa số a)

 0

a0

a  a 0  1

  n ( n  N * )

a0

a   a n 

m
(m  Z , n  N * )
n

a0

a   a n  n a m ( n a  b  b n  a)

  lim rn ( rn  Q, n  N * )

a0

a  lim a rn



1

an

m

2. Tính chất của luỹ thừa
 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:




a .a  a

 

;

a
 a 
a

a > 1 : a  a      ;





 

; (a )  a

 .





; (ab)  a .b



a
a
;    
b
b

0 < a < 1 : a  a     

 Với 0 < a < b ta có:
am  bm  m  0 ;

am  bm  m  0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

Chú ý:

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho b n  a .

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:
n

ab  n a . n b ;

Neáu

p q
 thì
n m

n

n

a na

(b  0) ;
b nb

n

a p  m a q (a  0) ; Đặc biệt

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì

n

p

a p   n a  (a  0) ;
n

m n

a  mn a

a  mn a m

anb.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì

n

anb.

Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu

n

a.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S ng Vit ụng Trng THPT Nho Quan A

M Lụgarit Nõng Cao

+ Khi n chn, mi s thc dng a cú ỳng hai cn bc n l hai s i nhau.
II.

HM S LY THA

1) Hm s lu tha y x ( l hng s)

S m

Hm s y x

Tp xỏc nh D

= n (n nguyờn dng)

y xn

D=R

= n (n nguyờn õm hoc n = 0)

y xn

D = R \ {0}

l s thc khụng nguyờn

y x

D = (0; +)

1

Chỳ ý: Hm s y x n khụng ng nht vi hm s y n x ( n N *) .
2) o hm

x x 1 (x 0) ;




Chỳ ý: . n x

1
n

n x

n u
III.

n 1

u u 1.u

vụựi x 0 neỏu n chaỹn
vụựi x 0 neỏu n leỷ

u
n n u n 1

LễGARIT

1. nh ngha
Vi a > 0, a 1, b > 0 ta cú: log a b a b
a 0, a 1
Chỳ ý: log a b cú ngha khi
b 0
Logarit thp phõn:

lg b log b log10 b

Logarit t nhiờn (logarit Nepe):

1
ln b log e b (vi e lim 1 2, 718281 )
n

n

2. Tớnh cht
log a 1 0 ;

log a a 1 ;

log a a b b ;

a log a b b (b 0)

Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi ú:
+ Nu a > 1 thỡ log a b log a c b c
+ Nu 0 < a < 1 thỡ log a b log a c b c
3. Cỏc qui tc tớnh logarit
Vi a > 0, a 1, b, c > 0, ta cú:

File Word liờn h: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 log a (bc )  log a b  log a c

b
 log a    log a b  log a c
c

Mũ – Lôgarit Nâng Cao
 log a b   log a b

4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:

IV.

 log b c 

log a c
log a b

 log a b 

1
log b a

hay log a b.log b c  log a c
 log a  c 

1
log a c (   0)


HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

1) Hàm số mũ y  a x (a > 0, a  1).
 Tập xác định:

D = R.

 Tập giá trị:

T = (0; +).

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

 Đồ thị:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

a>1

x

0
2) Hàm số logarit y  log a x (a > 0, a  1)
 Tập xác định:

D = (0; +).

 Tập giá trị:

T = R.

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thị:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

y
y

y=logax

y=logax

O

x

1

x

O

1

0
a>1
3) Giới hạn đặc biệt


x

1
x

 1
lim(1  x)  lim  1    e
x 0
x  
x

ln(1  x)
1
x 0
x

 lim

ex  1
1
x 0
x

 lim

4) Đạo hàm





 a x   a x ln a ;

 a u   a u ln a.u

 ex   ex ;

 eu   eu .u

 log a x  

1
;
x ln a

 ln x   1 (x > 0);
x

 log a u  

u
u ln a

 ln u   u
u

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Cho log 7 12  x , log12 24  y và log 54 168 

axy  1
, trong đó a, b, c là các số nguyên.
bxy  cx

Tính giá trị biểu thức S  a  2b  3c.
A. S  4 .
Câu 2:

B. S  19.

C. S  10.

2

2
Nếu log 8 a  log 4 b  5 và log 4 a  log 8 b  7 thì giá trị của ab bằng

A. 29.

B. 218.

C. 8.
1

Câu 3:

D. 2.

1

1 log a u
; v  a 1 log a t . Chọn khẳng định đúng:
Với a  0, a  1 , cho biết: t  a

A. u  a
Câu 4:

D. S  15.

1
.
1  log a v

B. u  a

1
.
1  log a t

C. u  a

1
.
1  log a v

D. u  a

1
.
1  log a v

Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y  a x , y  b x , y  log c x .
ya

x

y
3

y  bx

2

y  log c x

1

1

1

O

2

3

x

.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. c  a  b.
Câu 5:

B. a  c  b.

C. b  c  a.
x

D. a  b  c.
x

 1 
1
x

Cho bốn hàm số y  3 1 , y  
  2  , y  4  3  , y   4   4  có đồ thị là 4
 
 3
đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là  C1  ,  C 2  ,  C3  ,  C4  như hình
vẽ bên.

 

x

Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là

B. 1   C1  ,  2    C2  ,  3    C3  ,  4    C 4  .

 C3 

y

A. 1   C 2  ,  2    C3  ,  3    C 4  ,  4    C1  .

 C1 

 C4 

C. 1   C 4  ,  2    C1  ,  3    C3  ,  4    C2  .
D. 1   C1  ,  2    C2  ,  3    C3  ,  4    C 4  .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

O

Trang 5

x


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 6:

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

Cho hàm số y  x 2  2 x  a  4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt
giá trị nhỏ nhất.
A. a  3

Câu 7:

C. a  1

D. Một giá trị khác

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y   20 x 2  20 x  1283 e 40 x trên tập hợp các số tự nhiên là
A. 1283 .

Câu 8:

B. a  2

B. 163.e280 .

C. 157.e320 .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 

D. 8.e300 .

1
xác định trên
m log x  4 log 3 x  m  3
2
3

khoảng  0;   .

Câu 9:

A. m   ; 4   1;   .

B. m  1;   .

C. m   4;1 .

D. m  1;   .

 4 
Cho hàm số y  

 2017 

e 3x   m-1 e x +1

. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2  .

A. 3e3  1  m  3e4  1 .

B. m  3e4  1 .

C. 3e2  1  m  3e3  1 .

D. m  3e2  1 .

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

ex  m  2
đồng biến trên
e x  m2

 1 
khoảng  ln ; 0 
 4 
 1 1
A. m    ;   [1; 2)
 2 2

B. m  [1;2]

C. m  (1;2)

 1 1
D. m    ; 
 2 2

Câu 11: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 

1
A. m  .
3

1
B. m  .
3

3 x  3
nghịch biến trên khoảng  1;1 .
3 x  m
C.

1
 m  3.
3

D. m  3.

Câu 12: Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn 2x  3y  6 z . Giá trị của biểu thức M  xy  yz  xz là:
A. 0.
Câu 13: Cho

B. 1.

C. 6.

D. 3.

log a log b log c
b2


 log x  0;
 x y . Tính y theo p, q, r .
p
q
r
ac

A. y  q 2  pr .

B. y 

pr
.
2q

C. y  2q  p  r .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. y  2q  pr .

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

Câu 14: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log 9 p  log12 q  log16  p  q  . Tìm giá trị của

p
q
A.

4
3

B.

8
5

C.

1
1 3
2





D.

1
1 5
2





Câu 15: Cho a log 6 3  b log 6 2  c log 6 5  5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây,
khẳng định nào đúng?
A. a  b .

B. a  b .

C. b  a .

Câu 16: Cho n  1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức
A. 0.

1
1
1
bằng

 ... 
log 2 n ! log 3 n !
log n n !

C. n !.

B. n.

D. c  a  b .

D. 1.

Câu 17: Tính giá trị của biểu thức P  ln  tan1°  ln  tan 2  ln  tan3  ...  ln  tan89  .

1
B. P  .
2
Câu 18: Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho
A. P  1.

log a 2019  22 log

a

C. P  0.

D. P  2.

2019  32 log 3 a 2019  ...  n 2 log n a 2019  10082  2017 2 log a 2019

A. 2017 .

B. 2019 .

C. 2016 .

Câu 19: Cho hai số a, b dương thỏa mãn điều kiện: a  b 
A. 0.

B. 2016.

D. 2018 .

a.2b  b.2a
. Tính P  2017a  2017b.
a
b
2 2

C. 2017.

D. 1.

Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường
thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A, B và C lần lượt nằm trên đồ thị
của các hàm số y  log a x, y  log a x và y  log 3 a x với a là số thực lớn hơn 1 . Tìm a .
B. a  3 6 .

A. a  3 .
Câu 21:

C. a  6

D. a  6 3 .

Cho các hàm số y  log a x và y  log b x có đồ thị
như hình vẽ bên. Đường thẳng x  5 cắt trục
hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  log b x lần
lượt tại A, B và C . Biết rằng CB  2 AB. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. a  b2 .

B. a3  b .

C. a  b3

D. a  5b .


Câu 22: Kí hiệu f  x    x



1
1
2log 4 x

A. 2016.

8

1
3log 2 2

x

B. 1009.

1
2


 1  1 . Giá trị của f  f  2017   bằng:


C. 2017.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 1008.

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

4x
 1 
 2 
 100 
Câu 23: Cho hàm số f  x   x
. Tính giá trị biểu thức A  f 

 f 
  ...  f 
?
4 2
 100 
 100 
 100 
A. 50 .

B. 49 .

C.

149
.
3

D.

301
.
6

4x
Câu 24: Cho hàm số f ( x )  x
. Tính tổng
4 2
 1 
 2 
 3 

 2017 
S f
 f 
 f 
  ...  f 
.
 2018 
 2018 
 2018 
 2018 
A. S 

2017
.
2

C. S 

B. S  2018.

16 x
. Tính tổng
16 x  4
 1 
 2 
 3 
S f
 f 
 f 
  ... 

 2017 
 2017 
 2017 

2019
.
2

D. S  2017.

Câu 25: Cho hàm số f ( x) 

A. S 

5044
.
5

B. S 

10084
.
5

hàm

f ( x) 

số

A. 336 .

B. 1008 .

Câu 27: Cho hàm số f ( x) 

A. S  2016 .

 1 
S f

 2017 
4035
.
A. S 
4

hàm

giá

trị

của

biểu

thức

 2017 

f
.
 2017 

C.

 2 
f

 2007 

4039
.
12

D.

8071
.
12

 3 
f
  ...  f (1) ?
 2007 

B. S  1008 .

C. S 

4015
.
4

D. S 

4035
.
4

D. S 

8071
.
4

9x
. Tính tổng
9x  3

 2 
f

 2017 

 3 
f
  ... 
 2017 
8067

.
B. S 
4

9x  2
.
9x  3
 1 
 2 
 2016 
P f
 f 
  ...  f 

 2017 
 2017 
 2017 

Câu 29: Cho

Tính

10089
.
5

9x
.
9x  3

 1 
Tính tổng S  f 

 2007 

Câu 28: Cho hàm số f ( x) 

D. S 

C. S  1008.

9x  2
.
9x  3
 1 
 2 
 2016 
P f
 f 
  ...  f 

 2017 
 2017 
 2017 

Câu 26: Cho

 2017 
f
.

 2017 

số

f ( x) 

 2016 
f
  f 1 .
 2017 

C. S  1008.
Tính

giá

trị

của

biểu

thức

 2017 
f
.
 2017 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 336 .

B. 1008 .

Câu 30: Cho hàm số f ( x) 

6053
.
6

 2 
f

 2017 

B. S 

2016 x

Câu 31: Cho f  x  

2016 x  2016

 1 
S f


 2017 
A. S = 2016

4039
.
12

D.

8071
.
12

25x
.
25 x  5

 1 
Tính tổng S  f 

 2017 

A. S 

C.

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

 3 

f

 2017 

12101
.
6

 4 
f
  ... 
 2017 

 2017 
f
.
 2017 

C. S  1008.

D. S 

12107
.
6

D. S =

2016

. Tính giá trị biểu thức

 2 
 2016 
f
  f 

 2017 
 2017 
B. S = 2017

C. S = 1008

1
 2x 
Câu 32: Cho hàm số f  x   log 2 
 . Tính tổng
2
 1 x 
 1 
S f

 2017 

A. S  2016.

 2 
f

 2017 

 3 
f
  ... 
 2017 

B. S  1008.

 2015 
f

 2017 

 2016 
f
.
 2017 

C. S  2017.

D. S  4032.

a x  ax
a x  a x
Câu 33: Cho 0  a  1  2 và các hàm f  x  
, g  x 
. Trong các khẳng định
2
2
sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

I. f 2  x   g 2  x   1.
II. g  2 x   2 g  x  f  x  .
III. f  g  0    g  f  0   .
IV. g   2 x   g   x  f  x   g  x  f   x  .
A. 0.

B. 1.
1

Câu 34: Cho f  x   e
nhiên và

1
x2



C. 3.

1

 x 1 2

D. 2.
m

. Biết rằng f 1 . f  2  . f  3 ... f  2017   e n với m, n là các số tự

m
tối giản. Tính m  n2 .

n

A. m  n2  2018 .

B. m  n2  2018 .

C. m  n2  1 .

D. m  n2  1 .

9t
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m
9t  m 2
sao cho f  x   f  y   1 với mọi x, y thỏa mãn e x  y  e  x  y  . Tìm số phần tử của S .

Câu 35: Xét hàm số f  t  

A. 0.

B. 1.

C. Vô số.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 2.

Trang 9

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

Câu 36: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 x  2 y  4 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức
P   2 x 2  y  2 y 2  x   9 xy .

A. Pmax 

27
.
2

B. Pmax  18 .

C. Pmax  27 .

D. Pmax  12 .

Câu 37: Cho 1  x  64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  log 42 x  12 log 22 x.log 2
A. 64 .

B. 96 .

C. 82 .

8
.
x

D. 81 .

Câu 38: Xét các số thực a , b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

a
P  log 2a  a 2   3log b   .
b
b
A. Pmin  19 .

B. Pmin  13 .

C. Pmin  14 .

Câu 39: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log 3

D. Pmin  15 .

1  xy
 3 xy  x  2 y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất
x  2y

Pmin của P  x  y .
A. Pmin 

9 11  19
.
9

B. Pmin 

9 11  19
.
9

C. Pmin 

18 11  29
.
9

D. Pmin 

2 11  3
.
3

1  ab
 2ab  a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
Câu 40: các số thực dương a , b thỏa mãn log 2
ab
của P  a  2b .
A. Pmin 

2 10  3
.
2

Câu 41: Cho m  log a



3

B. Pmin 

3 10  7
.
2

C. Pmin 

2 10  1
.
2

D. Pmin 

2 10  5
.
2



ab , với a  1, b  1 và P  log 2a b  16 log b a . Tìm m sao cho P đạt giá trị

nhỏ nhất.
A. m  1 .

B. m 

Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của P   log a b
mãn

1
.
2
2 2



C. m  4 .


 6  log b

a


D. m  2 .

2

b
 với a , b là các số thực thay đổi thỏa
a 

b  a  1 là

A. 30 .

B. 40 .

C. 18 .

D. 60 .
3

b

Câu 43: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 b  a . Biểu thức P  2  1  log a   4  2 log a2 b
a

có giá trị lớn nhất bằng



3

A. 67 .

B.

31455
.
512

C. 27 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
D.

3

 3

455
.
8
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

y là các số dương thỏa mãn xy  4 y  1 . Giá trị nhỏ nhất của
6  2x  y 
x  2y
P
 ln
là a  ln b . Giá trị của tích ab là
x
y

Câu 44: Cho

x,

A. 45 .

B. 81 .

C. 108 .

D. 115 .

Câu 45: Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức

P

1
b 7
 log a    .
2
log b a
a 4

A. PMax  2 .
Câu 46: Cho
0  a 1 b ,

P  log a ab 

B. PMax  1 .
ab  1 . Tìm

C. PMax  0 .
giá

trị
lớn

nhất

D. PMax  3 .
của
biểu

thức

4
.
1  log a b  .log a ab
b

A. P  2 .

C. P  3 .

B. P  4 .

D. P  4 .

a  b 2
a
Câu 47: Xét các số thực a, b thỏa mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  log a a  log b .
b
b  1

b

1
A. Pmin  .
3

B. Pmin  1.

C. Pmin  3.

Câu 48: Xét các số thực a, b thỏa mãn b  1 và

D. Pmin  9.

a
a  b  a . Biểu thức P  log a a  2log b   đạt
b
b

giá trị khỏ nhất khi:
A. a  b2 .

B. a2  b3 .

Câu 49: Xét các số thực a, b thỏa mãn

C. a3  b2 .

D. a 2  b.

1
1

 b  a  1 . Biểu thức P  log a  b    log a b đạt giá
4
4

b

trị nhỏ nhất khi:

2
A. log a b  .
3

1
B. log a b  .
3

3
C. log a b  .
2

D. log a b  3.

Câu 50: Xét các số thực a, b thỏa mãn a  1  b  0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  log a2 a 2b  log b a 3.
A. Pmax  1  2 3.

B. Pmax  2 3.

C. Pmax  2.

D. Pmax  1  2 3.
2



a
Câu 51: Xét các số thực a, b thỏa 1 a  b . Biểu thức P  2  2 log a a  log a b   27 log a   đạt
b

b
b

giá trị nhỏ nhất khi:
2

A. a  b2 .

B. a  2b.

C. a  b  1

Câu 52: Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f  x  
nhỏ hơn

D. 2a  b  1.

4sin x  6m sin x

không
9sin x  41sin x

1
.
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

2
A. m  log 6 .
3

B. m  log 6

13
.
18

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

C. m  log 6 3.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

2
D. m  log 6 .
3

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

C – HƯỚNG DẪN GẢI
Câu 1:

Cho log 7 12  x , log12 24  y và log 54 168 

axy  1
, trong đó a, b, c là các số nguyên.
bxy  cx

Tính giá trị biểu thức S  a  2b  3c.
A. S  4 .

B. S  19.

C. S  10.

D. S  15.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Ta có: log 54 168 


log 7  24.7  log 7 24  1 log 7 12 log12 24  1


log 7 54
log 7 54
log 7 54

log 7 12 log12 24  1
xy  1

log 7 12 log12 54
x.log12 54

Tính log12 54  log12  27.2   3log12 3  log12 2  3log12

3.2.12.24
24
 log12
.
2.12.24
12

123
24
 3log12 2  log12
 3  3  2 log12 24    log12 24  1  8  5log12 24  8  5 y .

24
12
Do đó: log 54 168 

xy  1
xy  1

.
x  8  5 y  5 xy  8 x

a  1

Vậy b  5  S  a  2b  3c  15
c  8


Câu 2:

2
2
Nếu log 8 a  log 4 b  5 và log 4 a  log 8 b  7 thì giá trị của ab bằng

A. 29.

B. 218.

C. 8.

D. 2.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt x  log 2 a  a  2 x ; y  log 2 b  b  2 y .
1
x y 5
 x  3 y  15
x  6
log 8 a  log 4 b  5
 3



. Suy ra ab  2x  y  29 .
Ta có 
2
1
3
x

y

21
y

3


x  y  7
log 4 a  log8 b  7
 3

BÌNH LUẬN
Nguyên tắc trong bài này là đưa về logarit cơ số 2.
2

Câu 3:

Với a  0, a  1 , cho biết: t  a
A. u  a

1
.
1  log a v

1
1 log a u

B. u  a

;v  a

1
1 log a t

1
.
1  log a t

. Chọn khẳng định đúng:
C. u  a

1
.
1  log a v

D. u  a

1
.
1  log a v

Giải:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Từ giả thiết suy ra: log a t 
log a v 

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

1
1
.log a a 
1  log a u
1  log a u

1

1
.log a a 

1  log a t
1  log a t 1 

1
1
1  log a u



1  log a u
 log a u

  log a v log a u  1  log a u  log a u 1  log a v   1
1

1
 log a u 
 u  a 1log a v
1  log a v

Chọn D.
Câu 4:

Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y  a x , y  b x , y  log c x .
ya

x

y
3

y  bx

2

y  log c x
1

1

O

1

2

3

x

.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. c  a  b.

B. a  c  b.

C. b  c  a.

D. a  b  c.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Từ đồ thị
Ta thấy hàm số y  a x nghịch biến  0  a  1 .
Hàm số y  b x , y  log c x đồng biến  b  1, c  1

 a  b, a  c nên loại A, C

Câu 5:

Nếu b  c thì đồ thị hàm số y  b x và y  log c x phải đối xứng nhau qua đường phân giác
góc phần tư thứ nhất y  x . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số y  log c x cắt đường y  x nên
loại D.
y  C3 
x
x
 1 
x
Cho bốn hàm số y  3 1 , y  
 C4 
  2  , y  4  3  ,  C1 
 3

 

1
y  

4

x

4

có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị,

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14

O

x


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

thứ tự từ trái qua phải là  C1  ,  C 2  ,  C3  ,  C4  như hình vẽ bên.
Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là
A. 1   C 2  ,  2    C3  ,  3    C 4  ,  4    C1  .
B. 1   C1  ,  2    C2  ,  3    C3  ,  4    C 4  .
C. 1   C 4  ,  2    C1  ,  3    C3  ,  4    C2  .
D. 1   C1  ,  2    C2  ,  3    C3  ,  4    C 4  .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y 

 3

x

và y  4 x có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là  C3 

hoặc  C 4  . Lấy x  2 ta có

 3

2

 42 nên đồ thị y  4 x là  C3  và đồ thị y 

x

 3  là

 C4  .
x

x

1
1
Ta có đồ thị hàm số y  4 và y    đối xứng nhau qua Oy nên đồ thị y    là  C 2  .
4
4
x

x

Còn lại  C1 

 1 
là đồ thị của y  
 .
 3

Vậy 1   C 4  ,  2    C1  ,  3    C3  ,  4    C2 
Câu 6:

Cho hàm số y  x 2  2 x  a  4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt
giá trị nhỏ nhất.
A. a  3

B. a  2

C. a  1

D. Một giá trị khác

Hướng dẫn giải:
2

2

Ta có y  x 2  2 x  a  4   x  1  a  5 . Đặt u   x  1 khi đó x   2;1 thì
u   0; 4  Ta được hàm số f  u   u  a  5 . Khi đó

Max y  Max f  u   Max  f  0  , f  4   Max  a  5 ; a  1 

x2;1

u 0;4 

Trường hợp 1: a  5  a  1  a  3  Max f  u   5  a  2  a  3
u 0;4

Trường hợp 2: a  5  a  1  a  3  Max f  u   a  1  2  a  3
u 0;4

Vậy giá trị nhỏ nhất của Max y  2  a  3
x 2;1

Chọn A.
Câu 7:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y   20 x 2  20 x  1283 e 40 x trên tập hợp các số tự nhiên là
A. 1283 .

B. 163.e280 .

C. 157.e320 .

D. 8.e300 .

Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

Chọn B.
y    40 x  20  e40 x   20 x 2  20 x  1283  40e 40 x   800 x 2  840 x  51300  e 40 x

y  0  x  

342
300
;x 
.
40
40

Bảng xét dấu đạo hàm

x



y





342
40

300
 7, 5
40

0 



0 

y  7   163.e 280 ; y  8   157.e320 .

Vậy min y  163.e 280 .
Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 

1
xác định trên
m log x  4 log 3 x  m  3
2
3

khoảng  0;   .
A. m   ; 4   1;   .

B. m  1;   .

C. m   4;1 .

D. m  1;   .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt t  log3 x , khi đó x   0;    t   .
y

1
1
trở thành y  2
.
mt  4t  m  3
m log x  4 log 3 x  m  3
2
3

Hàm số y 

y

1
xác định trên khoảng  0;   khi và chỉ khi hàm số
m log x  4 log 3 x  m  3
2
3

1
xác định trên 
mt  4t  m  3
2

 mt 2  4t  m  3  0 vô nghiệm
   4  m 2  3m  0  m  4  m  1 .

Câu 9:

 4 
Cho hàm số y  

 2017 

e 3x   m-1 e x +1

. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2  .

A. 3e3  1  m  3e4  1 .

B. m  3e4  1 .

C. 3e2  1  m  3e3  1 .

D. m  3e2  1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 4 
 y  

 2017 

e3 x   m 1 e x 1

 4 
y  

 2017 

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

 4   3x 

x
.ln 
 . e  m  1 e  1 =
 2017 

e3 x   m 1 e x 1

 4   3x 

x
.ln 
 . 3e  m  1 e 
 2017 

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2  
e3 x  m 1e x 1

 4 
 4   3x 
x
y  
.ln 

 . 3e  m  1 e   0, x  1; 2  (*), mà
 2017 
 2017 
3x 
e x 1
e

m

1
 4 

 0, x  
 2017 
. Nên (*)  3e3 x   m  1 e x  0, x  1; 2  


ln  4   0
  2017 
3e 2 x  1  m, x  1; 2 

Đặt g  x   3e 2 x  1, x  1; 2  , g  x   3e 2 x .2  0 , x  1; 2 
x
g  x
g  x

1
2
|  |
|  |

. Vậy (*) xảy ra khi m  g  2   m  3e4  1 .

BÌNH LUẬN
Sử dụng  au  '  u ' a u ln a và phương pháp hàm số như các bài trên.
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

ex  m  2
đồng biến trên
e x  m2

 1 
khoảng  ln ; 0 
 4 
 1 1
A. m    ;   [1; 2)
 2 2

B. m  [1;2]

C. m  (1;2)

 1 1
D. m    ; 
 2 2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D   \ ln m2 
Ta có y ' 

( m 2  m  2)e x

e

x

m

2 2

các khoảng  ; ln m 2

 0   m 2  m  2  0  1  m  2 thì hàm số đồng biến trên


 và  ln m ;  

2

1
1

 1
ln m2 


m

 1 

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng  ln ; 0  thì
4 2
2


 4 
2
m


1

m
1

 ln m  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

 1 1
Kết hợp với điều kiện 1  m  2 suy ra m    ;   [1; 2) .
 2 2

Câu 11: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 

1
A. m  .
3

1
B. m  .
3

3 x  3
nghịch biến trên khoảng  1;1 .
3 x  m

1
 m  3.
3

C.

D. m  3.

Hướng dẫn gải:
1 
Đặt t  3 x , với x   1;1 
 t   ;3  .
3 

Hàm số trở thành y  t  

t 3
m  3
.

 y ' t  
2
tm
t  m

Ta có t '  3 x.ln 3  0, x   1;1 , do đó t  3 x nghịch biến trên  1;1 .
1 
1 
Do đó YCBT 
 y '  t   0, t   ;3 
 y  t  đồng biến trên khoảng  ;3  
3 
3 

m  3
 m  3  0
m  3
1

1 
1 

, t   ;3   
, t   ;3   
1   m .
3
3 
3 
t  m  0
m  t
m   3 ;3 

Chọn B.
Câu 12: Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn 2x  3y  6 z . Giá trị của biểu thức M  xy  yz  xz là:
A. 0.

B. 1.

C. 6.

D. 3.

Giải:
Khi một trong ba số x, y , z bằng 0 thì các số còn lại bằng 0. Khí đó M=0.

x

z

y

1
x

1
y

Khi x, y, z  0 ta đặt 2  3  6  k suy ra 2  k ,3  k , 6  k
1
x

1
y

1

Do 2.3=6 nên k .k  k z hay

1
z

1 1 1
 
.
x y

z

Từ đó suy ra M=0
Chọn A.
Câu 13: Cho

log a log b log c
b2


 log x  0;
 x y . Tính y theo p, q, r .
p
q
r
ac

A. y  q 2  pr .

B. y 

pr
.
2q

C. y  2q  p  r .

D. y  2q  pr .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

b2
b2
 x y  log
 log x y
ac
ac
 y log x  2 log b  log a  log c  2q log x  p log x  r log x
 log x  2q  p  r 
 y  2q  p  r (do log x  0 ).
BÌNH LUẬN

Sử dụng log a bc  log a b  loga c, loga

b
 log a b  loga c, log a b m  m loga b
c

Câu 14: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log 9 p  log12 q  log16  p  q  . Tìm giá trị của

p
q
A.

4
3

B.

8
5

1
1 3
2



C.



D.

1
1 5
2





Hướng dẫn giải
Đặt: t  log9 p  log12 q  log16  p  q  thì: p  9t , q  12t , 16t  p  q  9t  12t (1)
2t

t

t

4
4
4 q
Chia hai vế của (1) cho 9t ta được:    1    , đặt x      0 đưa về phương
p
3
3
3
trình:

x2  x  1  0  x 

1
q 1
1  5 do x  0 , suy ra  1  5 .
2
p 2









Chọn D.
Câu 15: Cho a log 6 3  b log 6 2  c log 6 5  5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây,
khẳng định nào đúng?
A. a  b .

B. a  b .

C. b  a .

D. c  a  b .

Giải:
Ta có: a log 6 3  b log 6 2  c log 6 5  5
 log 3 3a 2b 5c  5  3a 2 b 5c  6 5  35.25.50

Do a,b,c là các số hữu tỉ nên a=b=5 và c=0.
Chọn C.
Câu 16: Cho n  1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức
A. 0.

B. n.

1
1

1
bằng

 ... 
log 2 n ! log 3 n !
log n n !

C. n !.

D. 1.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
n  1, n   

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

1
1
1
1



 ... 
 log n! 2  log n! 3  log n! 4  ...  log n! n
log 2 n ! log 3 n ! log 4 n !
log n n !

 log n!  2.3.4...n   log n! n !  1
BÌNH LUẬN
log a b 

1
, log a bc  log a b  log a c , log a a  1
log b a

Sử dụng công thức
Câu 17: Tính giá trị của biểu thức P  ln  tan1°  ln  tan 2  ln  tan3  ...  ln  tan89  .

1
B. P  .
2

A. P  1.

C. P  0.

D. P  2.

Hướng dẫn giải:
P  ln  tan1°   ln  tan 2   ln  tan 3   ...  ln  tan89 
 ln  tan1.tan 2.tan 3...tan89 
 ln  tan1.tan 2.tan 3...tan 45.cot 44.cot 43...cot1 

 ln  tan 45  ln1  0. (vì tan .cot   1)
Chọn C.
Câu 18: Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho

log a 2019  22 log

a

A. 2017 .

2019  32 log 3 a 2019  ...  n 2 log n a 2019  10082  2017 2 log a 2019
B. 2019 .

C. 2016 .

D. 2018 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

log a 2019  22 log

a

2019  32 log 3 a 2019  ...  n 2 log n a 2019  10082  2017 2 log a 2019 (*)

Ta có n 2 log n a 2019  n 2 .n.log a 2019  n3 log a 2019 . Suy ra
2

 n(n  1) 
VT (*)  13  23  ...  n3  .log a 2019  
 .log a 2019
 2 

VP (*)  10082  2017 2 log a 2019 . Khi đó (*) được:
n 2 (n  1) 2  22.10082.2017 2  20162.20172  n  2016 .
Câu 19: Cho hai số a, b dương thỏa mãn điều kiện: a  b 
A. 0.

B. 2016.

a.2b  b.2a
. Tính P  2017a  2017b.
a
b
2 2

C. 2017.

D. 1.

Hướng dẫn gải:

a.2b  b.2a
Từ giả thiết, ta có a  b 

  a  b   2a  2b   a.2b  b.2a .
a
b

2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao


 a.2a  a.2b  b.2a  b.2b  a.2b  b.2a  a.2a  b.2b.   
Xét hàm số f  x   x.2 x với x  0 , có f   x   2 x  x.2 x.ln 2  2 x 1  x.ln 2   0; x  0 .
Suy ra hàm số f  x  là đồng biến trên khoảng  0;    .
Nhận thấy     f  a   f  b   a  b.
Khi a  b thì 2017a  2017b  2017a  2017a  0 .
Chọn A.
Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường
thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A, B và C lần lượt nằm trên đồ thị
của các hàm số y  log a x, y  log a x và y  log 3 a x với a là số thực lớn hơn 1 . Tìm a .
B. a  3 6 .

A. a  3 .

C. a  6

D. a  6 3 .

Hướng dẫn gải:
Do AB  Ox 

 A, B nằm trên đường thẳng y  m  m  0  .
Lại có A, B lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y  log a x, y  log

a

x.

 m2 
Từ đó suy ra A  a ; m  , B  a ; m  .


m

m

Vì ABCD là hình vuông nên suy ra xC  xB  a 2 . Lại có C nằm trên đồ thị hàm số

 m 3m 
y  log 3 a x , suy ra C  a 2 ;
.
2



Theo đề bài S ABCD

m
 m
a a2  6
 AB  6


 36 



 BC  6
 3m
 2 m 6


m  12
m  12



hoặc
.

1
6
a  3
a  6  1 loaïi 
3

Chọn D.
Câu 21:

Cho các hàm số y  log a x và y  log b x có đồ thị
như hình vẽ bên. Đường thẳng x  5 cắt trục
hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  log b x lần

lượt tại A, B và C . Biết rằng CB  2 AB. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. a  b2 .

B. a3  b .

C. a  b3

D. a  5b .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

Hướng dẫn gải:
Theo giải thiết, ta có A  5;0  , B  5; log a 5  , C  5;log b 5  .



Do CB  2 AB 
 CB  2 BA  log a 5  log b 5  2.  log a 5 

1

 3log a 5  log b 5 

 loga 5  logb 5 
 log a 5  log b3 5 
 a  b3 .
3
Chọn C.
1
1
 1 1
2
3log 2 2
2log 4 x
x

  1 . Giá trị của f  f  2017   bằng:
f
x

x

8

1
Câu 22: Kí hiệu  





A. 2016.

B. 1009.

C. 2017.

D. 1008.

Hướng dẫn gải:
1
1
 1 2log1 x
log 2 x
log 2 x
4
x
 x1 log x 2  x x    2 x
x
Ta có  1
.
1
1
3.
2
 3log x2 2
3.log 2 2
log 2 2
x
2
 2 x  2log 2 x  x 2
8

1
2

1

2
Khi đó f  x    x  2 x  1  1   x  1  2  1  x.


2

Suy ra f  2017   2017 
 f  f  2017    f  2017   2017.
Chọn C.
Câu 23: Cho hàm số f  x  
A. 50 .

4x
 1 
. Tính giá trị biểu thức A  f 

x
4 2
 100 
B. 49 .

C.

 2 
f

  ... 
 100 

149
.
3

D.

 100 
f
?
 100 

301
.
6

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
X
 100

4

  301 .
Cách 1. Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức  X


6

X 1  100

4 2
100

Cách 2.Sử dụng tính chất f  x   f 1  x   1 của hàm số f  x  

4x
. Ta có
4x  2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

  1 
  49 
 99     2 
 98  
 51  
 50 
 100 
Af 
 f 
   f 

 f 
   ...   f 
 f 
  f 
 f 

 100     100 
 100  
 100  
 100 
 100 
  100 
  100 
1

 49 

42



1
2

4 2

4
301

42

6

PS: Chứng minh tính chất của hàm số f  x  
Ta có f  x   f 1  x  

4x
41 x
4x
4
4x
2





 1.
x
1 x
x
x
x
4  2 4  2 4  2 4  2.4
4  2 2  4x

4x
Câu 24: Cho hàm số f ( x )  x
. Tính tổng
4 2
 1 

 2 
 3 
S f
 f 
 f 
  ... 
 2018 
 2018 
 2018 
A. S 

2017
.
2

4x
.
4x  2

B. S  2018.

 2017 
f
.
 2018 

C. S 

2019
.

2

D. S  2017.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

41 x
4
2
Ta có: f 1  x   1 x


 f 1  f 1  x   1
x
4  2 4  2.4
2  4x
 1 
 2017 
 2 
 2016 
 1008 
Do đó: f 
 f 
  1, f 
 f 
  1,..., f 

 2018 
 2018 

 2018 
 2018 
 2018 
1009 2017
 S  1008 

.
2018
2
16 x
. Tính tổng
Câu 25: Cho hàm số f ( x)  x
16  4
 1 
 2 
 3 
 2017 
S f
 f 
 f 
  ...  f 
.
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
A. S 

5044
.

5

B. S 

10084
.
5

 1010 
f
 1
 2018 

D. S 

C. S  1008.

10089
.
5

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Nhận xét: Cho x  y  1

16 x
16 y
16  4.16 x  16  4.16 y
Ta có f  x   f  y   x



1
16  4 16 y  4 16  4.16 x  4.16 y  16
 1 
S f

 2017 

 1
 1
 ... 
1 
1008 so hang

 2016 
f

 2017 

 2 
f

 2017 

 2015 
f
  ... 
 2017 

 1008 

f

 2017 

 1009 
f

 2017 

 2017 
f

 2017 

16
4 5044
 1008  
.
16  4
5
5

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit Nâng Cao

9x  2
Câu 26: Cho hàm số f ( x )  x
. Tính giá trị của biểu thức
9 3
 1 
 2 
 2016 
 2017 
P f
 f 
  ...  f 
 f 
.
 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
A. 336 .

B. 1008 .

C.

4039
.
12

D.

8071
.
12

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

9 x  2 91 x  2 1
Xét: f  x   f 1  x   x

 .
9  3 91 x  3 3
Vậy ta có:
 1 
 2 
 2016 
P f 
 f 
  ...  f 
 f
 2017 
 2017 
 2017 
.
1008
1
7 4039
 P    f 1  336  
.
12

12
1 3

 2017  1008   k 

   f 

 2017  1   2017 

k 

f 1 
 
 2017  

 2017 
f

 2017 

9x
.
Câu 27: Cho hàm số f ( x)  x
9 3
 1 
Tính tổng S  f 

 2007 

A. S  2016 .

 2 
f

 2007 

 3 
f
  ...  f (1) ?
 2007 

B. S  1008 .

C. S 

4015
.
4

D. S 

4035
.
4

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

9
9

x
x
9
9
 9  9 x 
.
f (1  x )  1 x
9  3 9  3 9  3.9
9  3.9 x
9x
9x
9x
9
9 x.(9  3.9 x )  9.(9 x  3) 9 x 1  3.9 2 x  9 x 1  27
 f ( x)  f (1  x)  x


 x 1
 1.
9  3 9  3.9 x
(9 x  3)(9  3.9 x )
9  3.9 2 x  9 x 1  27
 1 
 2006 
 2 
 2005 
 1003 
 1004 
 f
 f 

  1; f 
 f 
  1;....; f 
 f 
  1.
 2007 
 2007 
 2007 
 2007 
 2007 
 2007 
Vậy
9
3 4015
 1 
 2 
 3 
S f
 1003  
.
 f 
 f 
  ...  f (1)  1  1  ...  1 
93
4
4
 2007 
 2007 
 2007 
1 x

9x
Câu 28: Cho hàm số f ( x)  x
. Tính tổng
9 3
 1 
S f

 2017 

 2 
f

 2017 

 3 
f
  ... 
 2017 

 2016 
f
  f 1 .
 2017 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24