Chương 3: Lập bình đồ dòng chảy.

Chương 3. Lập bình đồ dòng chảy
Chương 3
LẬP BÌNH ĐỒ DÒNG CHẢY.
Để dự báo biến dạng lòng sông phải biết được sự phân bố vận tốc trên một đoạn
sông. Các công thức tính lưu lượng bùn cát thường dùng vận tốc trung bình theo chiều
sâu. Mặt khác bề rộng sông lớn hơn nhiều lần so với chiều sâu nên người ta không quan
tâm đến mô hình 3 chiều mà chỉ quan tâm tới vận tốc trung bình theo chiều sâu, theo x, y.
3.1. Phương trình bình độ dòng chảy trong hệ toạ độ Đề các.
Khi lập bình đồ dòng chảy ch
ỉ xét dòng chảy ổn định, với dòng chảy không ổn định
ta cần chia nhỏ khoảng thời gian và trong mỗi khoảng này dòng chảy coi như ổn định.
Mặt khác trong sông
z
u
rất nhỏ so với
x
u
và
y
u
nên ta có thể bỏ qua các đại lượng sau:
;0=
∂
∂
=
∂
∂
t
u
t
u

y
x

0=
∂
∂
=
∂
∂
z
u
u
z
u
u
y
z
x
z

Hệ phương trình chuyển động trở thành:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂

−−=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−−=
∂
∂
+
∂
∂
z
uu
gI
y
u
u
x
u
u
z
uu
gIgi
y
u
u
x

u
u
zy
y
y
y
y
x
zx
x
x
y
x
x
''
''
0
(3- 1)
Phương trình liên tục giữ nguyên như cũ:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u

y
u
x
u
z
y
x
(3- 2)
Để có được phuơng trình bình đồ dòng chảy ta lấy trung bình theo chiều sâu 3
phương trình trên. Trước hết lấy trung bình theo chiều sâu phương trình liên tục.
Ta có: z
0
= z
0
(x,y); z’ = z’ (x,y)
0
1
'
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
∫
z
z
z
y
x
o
dz
z
u
y
u
x
u
H

⇒
0
'''
=
∂
∂
+
∂
∂

+
∂
∂
∫∫∫
dz
z
u
dz
y
u
dz
x
u
z
z
z
z
z
y
z
z
x
ooo

Áp dụng công thức:
() ()
∫∫
∂
∂
+

∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
)(
)(
2
2
1
1
)(
)(
2
1
2
1
,,
),(
),(
x
x
x
x
x
xf
x

xfdz
x
zxf
dzzxf
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(3- 3)
⇒
() ()
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
)(
)(

1
2
2
2
)(
)(
2
1
2
1
,,),(
),(
x
x
x
x
x
xf
x
xfdzzxf
x
dz
x
zxf
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

ϕ
ϕ

Suy ra:
x
z
zu
x
z
zudzu
x
dz
x
u
xx
z
z
x
z
z
x
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=

∂
∂
∫∫
0
0
''
)(
'
)'(
00


3-1
Chương 3. Lập bình đồ dòng chảy
y
z
zu
y
z
zudzu
y
dz
y
u
yy
z
z
y
z
z

y
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∫∫
0
0
''
)(
'
)'(
00

Đặt:
dzuq
z
z
xx
∫
=
'
0

- lưu lượng của thủy trực theo x;
dzuq
z
z
yy
∫
=
'
0
- lưu lượng của thủy trực theo y.
Tích phân số hạng thứ 3 có kết quả như sau:
)()'(
0
'
0
zuzudz
z
u
zz
z
z
z
−=
∂
∂
∫

Kết quả cuối cùng:
0)'(
'

)'(
'
)'(
)()()(
0
0
0
0
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+
∂
∂
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zu
y
z
zu
x
z
zu
zu
y
z
zu
x
z
zu
y
q
x
q
zyx

zyx
y
x

Xét điều kiện biên trên mặt nước và dưới đáy sông:
Nước không chảy qua hai mặt này, vì vây
0. =nu
rr

{ }
zyx
nnnn ..=
r

{ }
zyx
uuuu ..=
r

n
x
, n
y
, n
z
- lần lượt là hình chiếu của véc tơ pháp tuyến lên các trục x, y, z. Nếu mặt
đã cho có phương trình f(x,y,z) = 0 thì:
;
A
x

f
n
x
∂
∂
=
;
A
y
f
n
y
∂
∂
=
A
z
f
n
z
∂
∂
=

2
2
2
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
z
f
y
f

x
f
A

Với mặt nước ta có: z = z’(x,y) ⇒ - z+z’(x,y) = 0
Với mặt đáy sông ta có: z = z
o
(x,y) ⇒ - z+z
0
(x,y) = 0
Các thành phần pháp tuyến:
Với mặt nước:
;
'
A
x
z
n
x
∂
∂
=

;
'
A
y
z
n
y

∂
∂
=
;
1
A
n
z
−=


3-2
Chương 3. Lập bình đồ dòng chảy
2
2
2
)1(
''
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
y
z
x
z
A

Với mặt đáy:
;
'
0
A
x
z
n
x
∂
∂
=
;
'
0

A
y
z
n
y
∂
∂
=
;
'
1
A
n
z
−=

2
2
0
2
0
)1(−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
y
z
x
z
A

Thay vào tích phân phương trình liên tục:
0)()()(
'
1
0)'(
'
)'(
'
)'(
1
0
0

0
0
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
+
∂
∂
zu

y
z
zu
x
z
zu
A
zu
y
z
zu
x
z
zu
A
zyx
zyx

⇒
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
q
x
q
y

x
hoặc
0
)()(
=
∂
∂
+
∂
∂
y
HV
x
HU
(3- 4)
U, V - Vận tốc trung bình theo chiều sâu của x,y.
Tiếp theo lấy trung bình theo chiều sâu phương trình chuyển động:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
∂
∂
−−=
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−−=
∂
∂
+
∂
∂
∫∫
∫∫
''
'

0
'
00
00
.
''
1
)(
1
.
''
1
)(
1
z
z
zy
y
y
y
y
z
z
x
z
z
zx
x
x
y

x
z
z
x
dz
z
uu
gI
H
dz
y
u
u
x
u
u
H
dz
z
uu
gIgi
H
dz
y
u
u
x
u
u
H

Dễ dàng thấy vế phải bằng:
dz
z
uu
H
gIgi
z
z
zx
x
∫
∂
∂
−−
'
0
0
.
''
1

dz
z
uu
H
gI
z
z
zy

y
∫
∂
∂
−−
'
0
.
''
1

Theo lý thuyết chảy rối:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=−
=−
yzy
xzx
uu
uu
τρ
τρ
''
''
suy ra:
ρ
τ

x
zx
uu =− ''
;
ρ
τ
y
zy
uu =− ''

⇒
[]
)(
1
)()'(
11
00
'
0
xxx
x
z
z
zzdz
z
τ
ρ
ττ
ρ
τ

ρ
−=−=
∂
∂
∫

[]
)(
1
)()'(
11
00
'
0
yyy
y
z
z
zzdz
z
τ
ρ
ττ
ρ
τ
ρ
−=−=
∂
∂
∫

3-3
Chương 3. Lập bình đồ dòng chảy
Thay vào ta có:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−=
∂
∂
+
∂
∂
−−=
∂
∂
+
∂
∂
∫
∫
0
'
00
'

1
)(
1
1
)()(
1
0
0
yy
y
y
z
z
y
x
xx
x
y
z
z
x
x
H
gIdz
y
u
u
x
u
u

H
H
Iigdz
y
u
u
x
u
u
H
τ
ρ
τ
ρ
(3- 5)
Gọi W là vận tốc toàn phần khi đó:
22
yx
UUW +=
ứng suất tiếp theo phương dòng
chảy là
HI
γτ
=
0
.
Theo công thức Sêdi:
HC
W
I

2
2
=
;
C- hệ số Sê di.
Mặt khác:
;
0
0
W
U
x
=
τ
τ
;
0
0
W
V
y
=
τ
τ
theo sơ đồ:
u
y
u
x
W

τ
yo
o
τ
τ
xo

Hình III-1. Sơ đồ xác định các ứng suất tiếp thành phần.
Nên:
H
HC
UW
V
U
ox
γττ
2
0
==

H
HC
VW
W
V
oy
γττ
2
0
==

⇒
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
.
1
U
V
C
U
U
V
HC
HU
x
+=+=
γγ
τ

2
2
2

2
2
2
2
2
0
1
.
1.
V
U
C
V
V
U
HC
HV
y
+=+=
γγ
τ

⇒
2
2
2
2
0
1
1

U
V
HC
gU
H
x
+=
τ
ρ

2
2
2
2
0
1
.
1
V
U
HC
gV
H
y
+=
τ
ρ

Kết quả cuối cùng:

3-4
Chương 3. Lập bình đồ dòng chảy
2
2
2
2
010
1)(
U
V
HC
gU
Iig
y
U
V
x
U
U
x
+−−=
∂
∂
+
∂
∂
αα

2
2

2
2
32
1
V
U
HC
gV
I
y
V
V
x
V
U
y
+−−=
∂
∂
+
∂
∂
αα

Trong thực tế α
0
= α
1
= α
2

= α
3
≈ 1
Vậy hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề các có dạng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−−=
∂
∂
+
∂
∂
+−−=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2

2
0
1
1)(
V
U
HC
gV
gI
y
V
V
x
V
U
U
V
HC
gU
Iig
y
U
V
x
U
U
y
x
(3- 6)
3.2. Phương trình bình đồ dòng chảy trong hệ toạ độ tự nhiên.

3.2.1. Hệ tọa độ tự nhiên:
Hệ toạ độ tự nhiên là lưới trực giao của các đường dòng và mặt cắt ngang. Nếu
đứng tại một vị trí ta có hai trục tọa độ vuông góc là l (theo phương dòng chảy) và b.
b
l

Hình III-2. Hệ tọa độ tự nhiên.
Khi lập bình đồ dòng chảy người ta hay dùng hệ tọa độ tự nhiên.
3.2.2. Phương trình bình đồ dòng chảy trong hệ toạ độ tự nhiên.

y

x
r

b

W

dl
W+dW
Μ

M'
'
∂
θ
∂
l
dl

θ
W
W+ dW
dl

∂

∂

l

Vb

dl
l
∂
∂
θ

Hình III-3. Sơ đồ chuyển đổi phương trình chuyển động sang hệ tọa độ tự nhiên.
Xét hai vị trí lân cận nhau M và M’. Khi đó ta có hai thành phần vận tốc V
l
và V
b
.

3-5
Chương 3. Lập bình đồ dòng chảy
dt
db

b
V
dt
dl
l
V
t
V
dt
dV
llll
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=

b
l
l
ll
V
b
V
V
c

V
t
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=

Với dòng chảy ổn định thì:
0
=
∂
∂
t
V
l

Khi M’→M thì: V
l
→ W ; V
b
→ 0. Vậy:
W
l
W

dt
dV
l
∂
∂
→

dt
db
b
V
dt
dl
l
V
t
V
dt
dV
bbbb
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=

b
b
l
bb
V
b
V
V
l
V
t
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=

Tương tụ khi M’→M thì
W
l
V
dt
dV
bb
∂

∂
→

Xét hai tam giác đồng dạng:
r
W
l
V
r
dl
W
dl
l
V
b
b
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
=

Xét đại lượng:
HC
gW
HC
WgU
U

V
HC
gU
l
2
2
22
2
2
2
1 →=+
khi M’→M
01
22
2
2
2
→=+
HC
WgU
V
U
HC
gV
b
khi M’→M
Hệ phương trình bình đồ trong hệ toạ độ tự nhiên có dạng
b
l
gI

r
W
HC
gW
gIW
l
W
=
−=
∂
∂
2
2
2
(3- 7)
Chuyển đổi phương trình liên tục:

3-6