CHUYÊN đề tinh chia hết đối với da thức

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thảo
Thành phần :Tổ KHTN
Ngày báo cáo:
A.Lý thuyết
I.Chia đa thức.
1.Khái niệm.
+) A B ⇔ A=B.Q
+) Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho:
A=B.Q+R
(R=0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B)
• R=0 ta có pép chia hết.
• R ≠ 0 ta có phép chia có dư
2. Tính chất.
a) A(x)  C(x); B(x)  C(x) ⇒ A(x) ± B(x)  C(x)
b) A(x)  B(x) ⇒ A(x).M(x)  B(x)
c) A(x)  M(x); B(x)  N(x) ⇒ A(x) . B(x)  M(x). N(x)
II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia.
1. Đa thức chia có dạng x-a (a là hằng số)
*Phương pháp:
+ Sử dụng định lí Bơdu
+Sử dụng sơ đồ Hoocne
1.1. Định lí Bơdu
a)Định lí: Số dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a)
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1
Giải:
Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x+1 đúng băng f(-1)
Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3
Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3.
b) Hệ quả.
+) f(x) (x-a) ⇔ f(a)=0.

+) Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x)  (x-1)
+) Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì f(x)  (x+1).
1.2. Sơ đồ Hooc-ne.
a) Sơ đồ
Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không
cần thực hiện phép chia.
GV thực hiện mẫu:
1
-5
8
-4
a= 2
1
-3
2
0


Ví dụ 2:(x3-7x+6):(x+3)
HS thực hiện VD2.
GV tổng quát:
Với đa thức f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…..+an-1x+an.
Ta có sơ đồ Hoocne:
a0
a1
a2
……
an-1
an

a
B0=a0
b1=a.b0+a1 b2=a.b1+a2 ……
bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an
b,Chứng minh sơ đồ (Nâng cao phát triển )
c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tính giá trị của đa thức f(x) tại x=a (Đọc SGK/68)
2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên
*Phương pháp
Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm )
Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1
C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1
=x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1
Có x6-1 x2-1;x4-1 x2-1;x2-1 x2-1
⇒ f(x): x2 -1 dư 3x+1
C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với mọi x
(1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x ,nên
Với x=1 có f(x)=a+b=4
x=-1 có f(-1)=-a+b=-2
a=3;a=1
Vậy dư là 3x+1
*Chú ý :
+) an-bn a-b
( a ≠ b)
n
n
a +b a+b
(n lẻ ;a ≠ -b)
n

+) x -1 x-1
x2n-1 x2-1 ⇒ x-1; x-1
x4n-1 x4-1 ⇒ x2-1; x2 +1
x3n-1 x3-1 ⇒  x2+x+1
III Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức
*Phương pháp : có 4 cách
C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q)
C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất)
C3:Sử dụng các biến đổi tương đương
f(x) g(x) f(x) ± g(x) g(x)
C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
B.Các dạng bài tập
Dạng 1:Tìm dư của phép chia (không làm tính chia)
Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần II lí thuyết.
Bài1:Tìm dư của phép chia x41 cho x2+1
Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x
=x[(x4)10-1]+x


=x[(x2-1)(x2+1)]10+x
⇒ x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x
Bài 2.Tìm dư của phép chia f(x) =x50+x49+..........+x2+x+1 cho x2-1.
Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS: Chọn cách xét giá trị riêng vì đa thức có nghiệm
Bài 3.Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x2+1 dư 2x+3
Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1)
HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4
(1)
2

f(x)=(x +1).B(x)+2x+3
(2)
2
2
f(x)=(x+1)(x +1).C(x) +ax +bx+c (3)
=(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a
=(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4)
Từ (2) và (4) ⇒ b=2;c-a=3
⇒ b=2;c=

9
3
;a=
2
2

Vậy đa thức dư là

3 2
9
x +2x+
2
2

Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Xét giá trị riêng.
Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia
cho x+2 thì dư 8.
HD:
Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8 nên ta có:

f(x)=(x+1).Q(x)+5
f(x)=(x+2).H(x)+8
Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5
(1)
Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2)
Từ (1) và (2) ta có: a=3; b=-1.
Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho (x-3)
(x-2) được thương là 3x và còn dư.
HD:
Theo bài ta có:
f(x)= (x-3).A(x)+7
f(x)=(x-2).B(x)+5
f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b.
các đẳng thức tren đúng với mọi x nên:
+Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5
+Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7
 a=2; b=1.
Do đó dư là 2x+1
F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1
Dạng 3: Chứng minh chia hết


Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết.
Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1
HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1
Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  t2+t+1
Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1.
Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1)
HD:
2 9 1945

x -x -x =(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x)
Có x2-x+1  x2-x+1
x9+1 x3+1 nên x9+1  x2-x+1
x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x  x2-x+1
Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1)
Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm dư khi chia các đa thức sau:
a) x43: (x2+1)
b) (x27+x9+x3+x):(x-1)
c) (x27+x9+x3+x):(x2-1)
d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1)
e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1)
Bài 2: Chứng minh rằng:
a)
x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2
b)
x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n là số tự nhiên)
c)
x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n là số tự nhiên)
Bài 3: Cho đa thức f(x), các phần dư trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là
1 và 2. Hãy tìm phần dư trong phép chia f(x) cho x(x-1)
Bài 4 : T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - 3 th× dư 2, f(x)
chia cho x + 4 th× dư 9, cßn f(x) chia cho x2 +x - 12 th× ®ưîc thư¬ng lµ
x2 + 3 vµ cßn dư.
Duyệt của tổ chuyên môn:

Văn Lâm, ngày tháng năm
Người thực hiện:

Nguyễn Thị Thảo

Đánh giá, nhận xét chuyên đề:
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………