Chuyên đề I các phương pháp giải phương trình mũ

Chuyªn ®Ị I: Các Phương Pháp Giải Phương Trình Mũ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
•
n
n thua so
a a.a...a=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
•
1
a a=

a∀
•
0
a 1=

a 0∀ ≠
•
n
n
1
a
a
−
=

{ }
(n Z ,n 1,a R/ 0 )
+
∈ ≥ ∈

•
m
n
m
n
a a=
(
a 0;m,n N> ∈
)
•
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =
2. Các tính chất :
•

m n m n
a .a a
+
=
•
m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
•
n n n
(a.b) a .b=
•
n
n
n
a a
( )
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng :
x

y a=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
D R=
• Tập giá trò :
T R
+
=
(
x
a 0 x R> ∀ ∈
)
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x
y a=
đồng biến trên
R
* 0 < a < 1 :
x
y a=
nghòch biến trên
R

Trang -1-
a>1
y=a
x

y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số
= ⇔ =
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
Ví dụ: Giải PT sau:
a)
2
4 16 4 4 2
x x
x= ⇔ = ⇔ =
b)
1 5 7 1 5 7 1
5 7
2 3 2 2 2
(1,5)
3 2 3 3 3
x x x x x

x
+ − + − + +
−
         
= ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         

5 7 1 6 6 1x x x x⇔ − + = − ⇔ = ⇔ =
Bài tập tương tự:
1.
9 81
x
=

2.
( 3) 27
x
=
3.
3
3 9
2 4
x−
 
=
 ÷
 
4.
2

1
4
x
=
5.
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
6.
2
5 6
5 1
x x− −
=
7.
5
2 3
1
(0,75) 1
3
x
x
−
−
 

=
 ÷
 
8.
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 ÷
 
9.
5 17
7 3
32 0,25.125
x x
x x
+ +
− −
=
10.
7 5
5 7

x x
=
Phương pháp 2: Logarit hóa (lấy logarit 2 vế)
Ví dụ 1: Giải PT sau:
2
3 .2 1
x x
=
Lấy logarit cơ số 3 hai vế:
2
3 3
log (3 .2 ) log 1
x x
=
2
3 3
log 3 log 2 0
x x
⇔ + =
2
3
.log 2 0x x⇔ + =
3
2
3
0
(1 log 2) 0
1
log 3
log 2

x
x x
x
=


⇔ + = ⇔
−

= = −


Chú ý: Có thể logarit theo cơ số bất kì cả hai vế. Trong ví dụ trên chọn cơ số 3 cho tiện
Phương pháp logarit hóa tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế phương trình có dạng tích các lũy thừa.
Ví dụ 2: Giải PT:
2 1
2 .5 .7 245
x x x− −
=
Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
Trang -2-


2 1
2 2
2 1
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2

log (2 .5 .7 ) log 245
log 2 log 5 log 7 log 245
2 ( 1)log 5 log 7 log 245
(1 log 5 log 7) 2 log 5 log 245
(1 log 5 log 7) 2(1 log 5 log 7)
2
x x x
x x x
x x x
x
x
x
− −
− −
=
⇔ + + =
⇔ − + − + =
⇔ + + = + +
⇔ + + = + +
⇔ =
Chú ý: Đối với một số PT cần thiết rút gọn trước khi logarit hóa.
Ví dụ 3: giải PT
1 3 1 1
2 2 2 7 7 7
x x x x x x+ + − +
+ + = + +
Biến đổi PT về dạng:
1
2 (1 2 8) 7 (1 7 7)
x x −

+ + = + +
2 7
2 57 57
log
7 77 77
x
x
 
⇔ = ⇔ =
 ÷
 
Bài tập tương tự: Giải các PT sau
1.
−
− −
= =
2
1
4 2
2 5 4)5 .8 500
x
x x x
x
2.
− −
= =
2 2
4 2
4 .3 1 5)2 5
x x x x

3.
2
9 .7 1
x x
=

Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về phương trình hoặc bất
phương trình đại số quen thuộc(chú ý khi đặt ẩn phụ thì phải đi tìm điều kiện cho ẩn phụ)
Ví dụ: giải PT:
4 3.2 4 0
x x
− − =
Đặt
2 t
x
=
>0. khi đó PT đã cho có dạng:
2
t 1(lo¹i)
t 3t 4=0
t 4
= −

− − ⇔

=

Với
t=4 2 4 2

x
x⇔ = ⇔ =
Bài tập tương tự:
1.
2 1
3 9 4
x x+ +
+ =
2.
2 1 3
2 2 64 0
x x+ +
− − =
3.
8 4(4 2 )
x x
= −
4.
6 3
3. 2 0
x x
e e− + =
5.
2 2
4. 3
x x
e e
−
− =
6.

8 2.4 2 2 0
x x x
− + + − =
7.
1
2 4 1
x x−
− =
8.
4 2.6 3.9
x x x
− =
9)
4.9 12 3.16 0
x x x
+ − =
10)
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
11)
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
12)
2
4.3 9.2 5.6
x x x
− =

13)
5.25 3.10 2.4
x x x
+ =
14)
(
)
(
)
3 8 3 8 6
x x
− + + =
15)
(5 24) (5 24) 10
x x
+ + − =
Trang -3-

16)
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
+ − − + =
17)
3
(7 3 5) 12(7 3 5) 2
x x x+
+ + − =
18)
2
( 5 1) 6 ( 5 1) 2

x x x+
− + + =
19)
3
(5 21) 7(5 21) 2
x x x+
− + + =
20)
1
7 7 8 0
x x−
+ − =

Phương pháp 4: Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất nhất
nghiệm của PT(phương pháp hàm số).
Ví dụ 1: Giải PT:
4 5 9
x x
+ =
Ta thấy x=1 là nghiệm của PT vì
1 1
4 5 9+ =
, bây giờ ta chứng minh x=1 là nghiệm duy nhất
của PT. thật vậy:
Với x>1:
1
1
4 4
5 5
x

x
>


>

(vì cơ sô 4;5 lớn hơn 1)
4 5 1
x x
⇒ + >
nên x>1 không phải là nghiệm của PT
Với x<1:
1
1
4 4
5 5
x
x
<


<

4 5 1
x x
⇒ + <
nên x<1 không phải là nghiệm của PT
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT trên.
Ví dụ 2: Giải PT:
3 5 2

x
x= −
(1)
Cách 1: + vế trái của PT là một hàm đồng biến(vì cơ số 3>1)
+ vế phải của PT là một hàm nghịch biến(vì -2<0)
+ do vậy nếu PT có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Nhận xét rằng x=1 là nghiệm của PT vì: 3
1
=5-2.1
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT
Chú ý: Nếu PT có nghiệm
0
x
, một vế của PT là hàm số đồng biến, vế kia là hàm số nghịch
biến(hoặc hàm hằng) thì nghiệm
0
x
là duy nhất.
Bài tập tương tự:
1.
3 4 5
x x x
+ =
2.
2
1 8 3
x x
+ =
3.
2

1 3 2
x x
+ =
4.
2
15 1 4
x x
+ =
5.
2
3 4 5
x x
− =
6.
1 1
2 2
x
x
 
= −
 ÷
 
7.
2 3 10
x
x
−
= +
8.
1 3

3
x
x
 
= −
 ÷
 
9.
1
1
3
x
x
 
= +
 ÷
 
10.
1
2 5
3
x
x
−
 
= − +
 ÷
 
11.
3 11

x
x= −
Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Hăy giải các pt sau :
1)
722.3
1
)12(3
=
+
−
x
x
x

2)
1
32
2
−
=
xx
3)
50085
1
=
−
x
x
x

4)
2lg
.1000 xx
x
=
Trang -4-

Bài 2: Hăy giải các pt sau
1)
322
22
2
=−
−+− xxxx

2)
7)7,0.(6
100
7
2
+=
x
x

3)
082.124
515
22
=+−

−−−−− xxxx
4)
093.283
22
122
=+−
+++ xxxx
5)
32
2
)32()32(
1212
22
−
=−++
−−+− xxxx
6)
308181
22
cossin
=+
xx
6)
922
432
=+
− xx
Bài 3: Hăy giải các phương trình sau:
1)
10)245()245( =−++

xx
2)
)32(4)32)(347()32( +=−+++
xx
3)
4)32()32( =−++
xx
4)
xxx 21212
2.6)53(4)53( =++−
++
5)
2
2)15(6)15(
+
=+++
xxx
Bài 4: Hăy giải các phương trình sau:
1)
xxx
27.2188 =+

2)
02.96.453
2242
=−+
++ xxx
3)
016.536.781.2 =+−
xxx

4)
2
6.242.33.8
x
xx
=+
5)
02.1010.1332.50
12
=+−
+xxx

6)
16224
241
+=+
+++ xxx
Bài 5: Hăy giải các phương trình sau:
1)
x
x
4115
2
=+

2)
0)21(2)32(
2
=−+−+

xx
xx
3)
0663
2
=−+ x
x
4)
x
x
cos3
2
=
5)
2543 +=+ x
xx
6)2
2
)1(21
2
−=−−
−
xx
xx
7)
0523)2(29 =−+−+ xx
xx
8)3.16
034).103(2
2

=−+−+−
−
xxx
x
9)
2112212
532532
+++−
++=++
xxxxxx
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1)
1 2 5
2 .5 2.10
x x x+ +
=
(x=-5)
2)
(4 15) (4 15) 62
x x
+ + − =

( 2)x = ±
3)
3.49 2.14 4 0
x x x
+ − =

7 2
( log 3)x = −

4)
2
3 .8 6
x
x
x+
=

3
{ 1; 2(1 log 2)}x x= = − +
5)
2
4 2
2 3
x x+ −
=

2
{ 2; log 3 2}x x= = −
6)
5
3 3 log
x
x= −

{ 1}x =
7)
( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
x x
− + + − =

8)
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
9)
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
10)
2 2
3 3 6
x x−
+ =
11)
2 3 4
2 2 6
x x−
+ =
12)
2 1
25 10 2
x x x+
+ =
13)
1
3 3 4 0
x x−
− + =

14)
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
15)
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
16)
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
17)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
18)
2 2
2.2 9.14 7.7 0
x x x
− + =
19)
2 2
sin cos
2 4.2 6+ =
x x
...

Trang -5-