Tính toán khung phẳng chịu uốn theo phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

TR

B GIÁO D C VÀ ÀO T O
NG I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

PH

TÍNH TOÁN KHUN GPH NG CH U U N
NT

H UH N

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

GS.TSKH.

H i Phòng, 2017


L

Tên tôi là: Ph m V n S n
Sinh ngày: 30/4/1970
n v công tác: U ban Nhân dâ

ng Hà Kh u, thành ph H Long,

t nh Qu ng Ninh.
u c a riêng tôi. Các s li u,
k t qu trong lu n

là trung th

c ai công b trong b t k

công trình nào khác.
H
Tác gi lu n

Ph


L IC M
Tác gi lu

ng bày t lòng bi

c nh

ng khoa h
s cv
ch

ng ch b o sâu

phân tích n i l c, chuy n v tính toán khung ph
u

theo ph

ng pháp ph

t h

h

S. TSKH Hà Huy C

ng.

n tình giúp

và cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr
m

iv i

u ki n thu n l

ng viên, t o

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u

hoàn thành lu
Tác gi xin chân thành c

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H
góp ý cho b n lu

u ki

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
ih
ng nghi

, quan tâm

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
ih c-

i h c Dân l p H i phòng, và

u ki n thu n l

tác gi trong quá trình

nghiên c u và hoàn thành lu
H i Phòng, ngà
Tác gi lu n

Ph

M
L

L

............................................................................................. i

L IC

................................................................................................. iii
....................................................................................................... iv
.......................................................................................................... 1
............................. 2
........................................................................ 2
........................................................................ 2
NG VÀ GI IBÀI TOÁN
C K T C U........................................................................................ 3
c..................................................... 3
ng phân t ............ 3

T l gi a ng su t ti p max t i tr c d m và ng su
ng ........................................................................ 7
1.1.3. Nguyên lý công o ................................................................................ 10
1.1.4.

Lagrange: ....................................................................... 12
.................................... 10
................................................................................... 15

......................................................................... 15
.................................. 15
.............................................................. 16
............................................................. 16
......................................... 17
:

N T H U H N ....................................18
n t h u h n ................................................................. 18

2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v ......... 19

2.1.1.1. R i r c hoá mi n kh o sát.................................................................. 19


2.1.1.2. Ch n hàm x p x ................................................................................ 20
2.1.1.3. Xây d
c ng K

ng trong t ng ph n t , thi t l p ma tr n
i tr ng nút F e c a ph n t th e ........................... .21

e

2.1.1.5: S

u ki n biên c a bài toán ....................................................... 33

2.1.1.6. Gi i h

ng........................................................... 40
nh n i l c ................................................................................. 40

2.1.2. Cách xây d ng ma tr

c ng c a ph n t ch u u n......................... 40

2.1.3. Cách xây d ng ma tr

c ng t ng th c a k t c u .......................... 43
THEO
.................................................... 48

3.1. Bài toán khung ......................................................................................... 48
3.2. Các ví d tính toán khung...................................................................... 49
.................................................................................................... 70
Danh m c tài li u tham kh o .......................................................................... 71


công trình

Ph

-

,

.

1.

2. Trình bày
3.
.
4.


1.
NG VÀ GI I
CK TC U
Tr

trình

n th

xây d ng

c nói chung; gi i thi

ck tc u

ng dùng hi n nay.
1.1.

ng
B n

c
xây d

t d m ch u u

h ck tc u

c trình

minh h a.

1.1.1.

ng phân t
c xây d ng tr c ti p t vi c xét các

u ki n cân b ng l c c a phân t

c tách ra kh i k t c u.Trong s c b n v t

li u khi nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
- Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
- M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc
v i tr c d m (gi thi t Euler Bernoulli).
- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su

x và

d ng lên phân t d m (hình 1.3), ng su
ba và th nh t d

zb

xz

zx tác

ng không. Hai gi thi t th

n tr c d m ch có chuy n v th

g

c

i c a d m. Gi thi t th nh t xem chi u

dài tr c d

i khi b

chi u cao d m, ymax / h

võng c a d m là nh so v i

1/5. V i gi thi t th hai thì bi n d

su t ti

t do ng

võng c a d
thi t này ch

n m

các ng su t ti

l h/l

cao z so v i tr c d m b ng

1/5. Chuy n v ngang u c

i
m


dy
dx
Bi n d ng và

u

TTH

ng su

nh
Hình 1.2. Phân t d m

d2y
d2y
Ez 2
z 2 ; xx
x
dx
dx
Momen tác d ng lên tr c d m:

d2y
Ebz
dz
dx 2

h/2

Ebh3 d 2 y
12 dx 2

2

M
h/2

hay

(1.7)

EJ
cg

Ebh3
,
12

d2y
dx 2

c ng u n c a d m;

cong c

c g i là bi n d ng u n;b là chi u r ng d m.
ch

i và s
n trình bày,

ng h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen

n bi n d

ng su t ti p gây ra. T ng các ng su t ti

zx trên

t do các

m t c t s cho ta l c c t Q

tác d ng lên tr c d m:
Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n
nghiên c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c

d m.
Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân
b q, hình 1.3. Chi

a M, Q và q trên hình v
ng xu

i.

ng v i chi u


Q

q(x)

M + dM

M

o2
1

2 Q + dQ

dx
Hình 1.3. Xét cân b ng phân t
L y t ng m

dM
dx

Q

iv

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có

0

(1.8)

L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

dQ
q
dx

ng:

0

(1.9)
8

gi a momen u n và l c c t,

9) là

ng l c c t Q và ngo i l c phân b q.
u tiên) c

cân b ng phân t .L

8) theo x r i c ng v

trình (1.9

d 2M
dx 2

n xu t sau

q

0

(1.10)
nh theo (1.7) vào (1.10) nh
i c a thanh

d4y
EJ 4
dx

q

(1.11)
11

n b c ba c
u ki
a) Liên k tkh p t i x=0:

c gi i v
i u ki

u ki n biên c
u ki n biên t i m

o
u cu i thanh.

, momen u n M

Chuy n v b ng không,

d2y
0 , suy ra
dx 2

0
x 0

b) Liên k t ngàm t i x=0:
Chuy n v b ng không,

, góc xoay b ng không,

dy
dx x

0
0

c) không có g i t a t i x=0:
d2y
, suy ra
dx 2

Momen u n

0 ; l c c t Q=0, suy ra

x 0

u ki n t
Bây gi

tìm hi u s phân b

c tiên vi
xx

xz

x

z

ng su t ti

trên chi u dày h c a d m.

ng ng su t trên tr
xz

0 hay

xx

z

x

:
Hàm C x
i d m, z

zx

nh t

xz

d3y
Ez 3
dx
Ez 2 d 3 y
C x
2 dx 3

u ki n ng su t ti p b ng không t i m t trên và m t

h
. Ta có: C x
2

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng
xz

E d3y
4z 2
3
8 dx

h2
c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr

b ng
xz z 0

Eh 2 d 3 y
8 dx3

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta
có
l c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m


Ebh3 d 3 y
12 dx 3

Q

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:

tb
xz

Eh 2 d 3 y

12 dx 3

T l gi a ng su t ti p max t i tr c d m và ng su
1.1.2. Ph

ng
ng c

nh theo kh

bao g
ng và v n t c chuy

n d ng và công c
l c là l c có th

c

c tr

ng, còn th

m th

ng l c, ph thu c vào chuy n v
ng. Các l c ngoài tác d

ng
là l c

không th .
iv ih b

i
(1.12)
ng ph i b ng không

1.14)
Th

bi u th qua ng su t và n i l

bi u th qua

chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi
Nguyên lý th

ng sau:

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l

th

nd

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên lý th

n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát
bi

Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng th c
x y ra khi th

n d ng là c c ti u.


Tr ng thái cân b ng l c có th là tr ng thái mà các l c tác d ng lên phân t th a
ng. Ta vi

V i ràng bu

i d ng sau:

ng vi

i d ng l c.

i v i d m ta có:

N i l c c n tìm mômen u n là hàm phân b theo chi u dài d m M(x) và ph i
th

u ki n liên k t

nh

u thanh).

c tr có ràng bu c. B ng cách dùng th a s Lagrange
bài toán không ràng bu c sau:

là th a s

n c a bài toán. Theo phép tính bi n phân

t phi m hàm (1.17) ta nh
Lagrange).

có th nguyên là chuy n v
gi a M và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

1.18) bi u th quan h


võng c a d

1.20

b ng c a d m vi t theo chuy n v nh
Nguyên lý công bù c

c

trên.

i

Khi dùng n là các chuy n v và bi n d ng thì có nguyên lý công bù c
Trong t t c các chuy n v
là chuy n v có công bù c

Chuy n v

ng h c có th (kh

i.

chuy n v và bi n d ng và th

gi a

u ki n biên. Công bù b ng tích c a

ngo i l c và chuy n v tr

ng bi n d ng.
th

nd

V i ràng bu
L y ví d

n v th c

ng h c có th là chuy n v th a

[Công ngo i l c

i.

gi a chuy n v và bi n d ng.
i v i d m ch u u n, ta có
2

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

võng. Tích phân th nh t

trong (1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th
hai là th

n d ng bi u th qua bi n d ng u n.

Thay t (1.22) vào (1.21), ta có

Thay d u c a (1.23) ta có


Khi y có giá tr

nh t

u mút d

u ki n c

bi u th c

(1.24) c c ti

1.25

ng c a d m ch u u n.

Nguyên lý công bù c

i d ng bi u th c (1.24

c s d ng r ng rãi

n t h u h n.
1.1.3. Nguyên lý công o

Gauss (1777-

có
X
X;

Y;

0,

0,

Z

0,

(1.26)

Z

X U

các

Y

Y V

Z W

0,

(1.27)

là các


u
;
x

x

x

u;

y

y

v
; ...
y

v; ... .

X U

XU

Y V

YV

Z W

ZW

0,

0

(1.28)

(1.29)

Tr.261].
l

0

1 d2y
2 dx 2

2

l

qy dx 0 hay
0

1 d2y
2 dx 2

2

qy dx 0

d4y
EJ 4
dx

q 0

(1.30)


i

quát và Qi

d
dt

T
qi

T
qi

qi

Qi , (i=1,2,3......,n)

(1.31)

i

i

i

là l

i
i

1 2
myi dx
i 1 2
n

T

1
EJ
1 2

n
i

2

yi
x2

(1.32)

2

(1.33)
i

(1.34)


2

T
yi

t
T
yi

t

mi yi

mi

yi
t2

mi yi

(1.35)

0

1.5.
i

-

1
EJ
2
1
EJ
2
1
EJ
2

2

y

2

x2

i

2

2

y

x2

i 1

2

2

y

x2

i 1

y
1
EJ i 1
2
y
1
EJ i
2
y
1
EJ i
2

2 yi
x2
2

2 yi 1
x2
2 yi 1
x2

yi

2
1

yi
yi

2

(1.36)
2

2

i.

Ta tính

(1.37)


4

EJ

y

x4

.
i

i

(1.38)

m

2

y

t

2

4

EJ

y

x4

q
EJ

(1.39)
d4y
dx 4

q

(1.40)

1.
,

-

-


1.2.1.

1.

1.


heo

1.

1.


1.


NT H UH N

trình bày m t s khái ni
t h u h n, và s d

nc

n

xây d ng và gi

2.1.

ng t do c a d m,

nt h uh n
n t h u h n là m

tìm d ng g

c bi t có hi u qu

am

t trong mi n

nh V c a nó.

n t h u h n không tìm d ng x p x c a hàm c n
tìm trên toàn mi n V mà ch trong t ng mi n con

(ph n t ) thu c mi n xác

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý và
k thu
vùng nh

nh trên các mi n ph c t p g m nhi u
c tính hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh

u ki n biên

i t tr c quan phân tích k t c u, r
bi u m t cách ch t ch và t

c phát
n phân hay

c x p x trên m i ph n t .
n t h u h n chia k t c u công trình thành m t s
h u h n các ph n t . Các ph n t
ng t

nh ph n t (th m trí t

c n i v i nhau t
m trên biên ph n t ) g

v y vi c tính toán k t c
k tc

c

tính toán trên các ph n t c a

t n i các ph n t này l i v

c u công trình hoàn ch

c l i gi i c a m t k t
uh

n nh (ph n t ) và các tr ng thái chuy n v
chuy n v

t i các nút c

nh t

ng

m nút sai phân. S khác bi t c a hai
uh

c các chuy n v

m n m gi

nh b ng n i


suy tuy

h uh

c chuy n

v t i các nút c a ph n t

nh b ng hàm n i

suy (hàm d ng).
V

c v t r n bi n d ng, tu

t lí c a hàm n i

suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:
- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v
bi u di n g

ng c n tìm và hàm n i suy

ng phân b c a chuy n v trong ph n t .

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a

ng su t hay n i l c trong ph n t .
- Mô hình h n h

ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t. Các hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a c

chuy n v l n ng su t trong ph n t .
Hi n nay, khi áp d

ph n t h u h

ng s d

gi i các bài toán

n t h u h n theo mô hình chuy n v .
n t h u h n theo mô hình

chuy n v .
2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v
n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n

chuy n v
m

ng c n tìm. Chuy n v

c l y x p x trong d ng

n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ). Trình t

phân tích bài toán theo p
n

n t h u h n - mô hình chuy n v có

sau:

2.1.1.1. R i r c hoá mi n kh o sát
Mi n kh

ng nghiên c

c chia thành các mi n con hay

còn g i là các ph n t có hình d ng hình h c thích h p. Các ph n t
coi là liên k t v i nhau t i các nút n m t

c

nh hay biên c a ph n t . S nút

c a ph n t không l y tu ti n mà ph thu c vào hàm chuy n v

nh ch n.


Các ph n t

ng có d ng hình h

n (hình 2.1)

Hình 2.1 D ng hình h

n c a ph n t

2.1.1.2. Ch n hàm x p x
M t trong nh

ng c

n t h u h n là x p x hoá

ng c n tìm trong m i mi

u này cho phép ta kh

vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm nghi m t i các

nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t
x px

c tìm b ng vi c d a vào hàm

n.

Gi thi t hàm x p x (hàm chuy n v
i tho

u ki n h i t

i v i vi c tính
ng ch

id

th c. Bi u di n hàm x p x theo t p h p giá tr các thành ph n chuy n v và có
th c

o hàm c a nó t i các nút c a ph n t . Hàm x p x

ch

c

c vì các lý do sau:
-

t ph

t t h p tuy n tính c
c tho mãn yêu c

c l p tuy

c thì
u c a Ritz,

Galerkin.
- Hàm x p x d
xây d

a ph n t h u h n và tính toán b ng máy tính.

c bi t là d

o hàm, tích phân.

- Có kh

chính xác b

(v lý thuy
th

ng d tính toán, d thi t l p công th c khi

b cc

cx px

c b c vô cùng s cho nghi m chính xác). Tuy nhiên, khi
ng l

c x p x b c th p mà thôi.