Tính toán khung phẳng chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang (Luận văn thạc sĩ)

TR

B GIÁO D C VÀ ÀO T O
NG
I H C DÂN L P H I PHÒNG

-----------------------------

NGUY N M NH HÙNG

TÍNH TOÁN KHUNG PH NG CH U U N
N BI N D

T NGANG

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

H i Phòng, 2017


L
Tên tôi là: Nguy n M nh Hùng
Sinh ngày: 23/10/1981
N i công tác: Công ty C ph n s n xu t và th

ng m i H Long

u c a riêng tôi. Các s li u,
k t qu trong lu n

là trung th

c ai công b trong b t k

công trình nào khác.
H i Phòng, ngày 15
Tác gi lu n

Nguy n M nh Hùng


L IC
Tác gi xin bày t lòng bi

i v i GS.TSKH. Hà Huy
ng d

u ý ki

u ki n thu n l i, cung c p tài li

ng viên tác gi trong quá

trình h c t p, nghiên c uhoàn thành lu
Tác gi xin chân thành c

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H
góp ý cho b n lu

u ki

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
ih
ng nghi

, quan tâm

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
ih c-

u ki n thu n l

i h c Dân l p H i phòng, và
tác gi trong quá trình

nghiên c u và hoàn thành lu
H
Tác gi

Nguy n M nh Hùng

M
L

L

............................................................................................. i

L IC

................................................................................................. iii
....................................................................................................... iv
.......................................................................................................... 1
............................. 1
........................................................................ 1
........................................................................ 1
1.

NG VÀ GI IBÀI TOÁN

C K T C U........................................................................................ 3
1.1.

c..................................................... 3
ng phân t ............ 3
ng ........................................................................ 7

1.1.3. Nguyên lý công o ................................................................................ 10
1.1.4. Ph

h Lagrange:................................................................. 12

.................................... 14
................................................................................... 15
......................................................................... 15
.................................. 16
.............................................................. 16
............................................................. 17
......................................... 17
LÝ THUY T D

N BI N D

T

NGANG .......................................................................................................... 18
2.1. Lý thuy t d m Euler Bernoulli ........................................................... 18
2.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng........................................................... 18
2.1.2. D m ch u u n ngang ph ng................................................................ 22


2.2. Lý thuy t d m có xét bi n d

t ngang ........................................... 30

................................................................... 36
3.1. Bài toán khung có xét bi n d

t ngang - L i gi i bán gi i tích ..... 36

3.2. Các ví d tính toán khung...................................................................... 37
.................................................................................................... 53

.......................... 54
Danh m c tài li u tham kh o .............................. Error! Bookmark not defined.


nay,

n

.

có

u dài

ói chung và các bài toán
nói riêng

ngang

Trong
khung

này là:

Tính toánkhung

1.

,

2.

3. Tính toán khung

4.

ngang


1.
PHÁP XÂY D NG VÀ GI I
CK TC U
Tr

trình

n th

xây d ng

c nói chung; gi i thi

ck tc u

ng dùng hi n nay.
1.1.

ng
B n

c
xây d

t d m ch u u

h ck tc u

c trình

minh h a.

1.1.1.

ng phân t
c xây d ng tr c ti p t vi c xét các

u ki n cân b ng l c c a phân t

c tách ra kh i k t c u.Trong s c b n v t

li u khi nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
- Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
- M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc
v i tr c d m (gi thi t Euler Bernoulli).
- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su

x và

d ng lên phân t d m (hình 1.3), ng su
ba và th nh t d

zb

xz

zx tác

ng không. Hai gi thi t th

n tr c d m ch có chuy n v th

g

c

i c a d m. Gi thi t th nh t xem chi u

dài tr c d m khôn
chi u cao d m, ymax / h

i khi b

võng c a d m là nh so v i

1/5. V i gi thi t th hai thì bi n d

su t ti

t do ng

võng c a d
thi t này ch

n m

các ng su t ti

l h/l

cao z so v i tr c d m b ng

1/5. Chuy n v ngang u c

i
m


dy
dx

u

TTH

Bi n d ng và ng su
Hình 1.2. Phân t d m

d2y

d2y
z 2 ; xx
Ez 2
x
dx
dx
Momen tác d ng lên tr c d m:

d2y
dz
dx 2

h/2

Ebz 2

M
h/2

hay

M

EJ

EJ

Ebh3 d 2 y
12 dx 2

(1.7)

Ebh3
,
12

cg

d2y
dx 2

c ng u n c a d m;

cong c

c g i là bi n d ng u n;b là chi u r ng d m.
ch

i và s
n trình bày,

ng h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen

n bi n d

ng su t ti p gây ra. T ng các ng su t ti

zx trên

t do các

m t c t s cho ta l c c t Q

h/2

tác d ng lên tr c d m:

Q

zx

dz

h/2

Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n
nghiên c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c

d m.
Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân
b q, hình 1.3. Chi

v

a M, Q và q trên hình v
ng xu

i.

ng v i chi u


Q

q(x)

M + dM

M

o2
1

2 Q + dQ

dx
Hình 1.3. Xét cân b ng phân t
L yt

dM
dx

iv

Q

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có

0

(1.8)

L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

dQ
q
dx

ng:

0

(1.9)
8) là

gi a momen u n và l c c t,

9

ng l c c t Q và ngo i l c phân b q.
u tiên) c

cân b ng phân t .L

8) theo x r i c ng v

trình (1.9
d 2M
dx 2

n xu t sau

q

(1.10)

0

nh theo (1.7) vào (1.10) nh
i c a thanh
EJ

d4y
dx 4

q

(1.11)
11

n b c ba c
u ki

a) Liên k tkh p t i x=0:

c gi i v
u ki

u ki n biên c
u ki n biên t i m

o
u cu i thanh.


, momen u n M

Chuy n v b ng không,

d2y
0 , suy ra
dx 2

0
x 0

b) Liên k t ngàm t i x=0:
Chuy n v b ng không,

, góc xoay b ng không,

dy
dx x

0
0

c) không có g i t a t i x=0:
d2y
Momen u n M 0 , suy ra
dx 2

x 0

d3y
0 ; l c c t Q=0, suy ra
dx 3

0
x 0

u ki n t
Bây gi

tìm hi u s phân b

c tiên vi
xx

xz

x

z

ng su t ti

trên chi u dày h c a d m.

ng ng su t trên tr c

0 hay

xz

xx

z

x

:
Hàm

nh t

i d m, z

zx

xz

Ez

d3y
dx 3

Ez 2 d 3 y
2 dx 3

C x

u ki n ng su t ti p b ng không t i m t trên và m t

h
. Ta có: C x
2

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng
xz

E d3y
4z 2
3
8 dx

h2

c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr
b ng

xz z 0

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta
cól c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m


Ebh3 d 3 y
12 dx 3

Q

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:

Eh 2 d 3 y
12 dx 3

tb
xz

T l gi a ng su t ti p max t i tr c d m và ng su
1.1.

ng
ng c
nh theo kh

g m th

bao g
ng và v n t c chuy

n d ng và công c

ng l c là l c có th

ng, còn th

ng l c, ph thu c vào chuy n v .

c tr

ng. Các l c ngoài tác d

h là l c không th .
iv ih b

i
(1.12)
th

ng ph i b ng không

1.14)
Th

bi u th qua ng su t và n i l

qua chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi

bi u th
ng

sau:
Nguyên lý th

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l c và
nd

lý th

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên

n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý

phát bi
Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng
th c x y ra khi th

n d ng là c c ti u.


Tr ng thái cân b ng l c có th là tr ng thái mà các l c tác d ng lên phân
t th

ng. Ta vi

V i ràng bu

ng vi

i d ng sau:

i d ng l c.

i v i d m ta có:

N i l c c n tìm mômen u n là hàm phân b theo chi u dài d m M(x) và ph i
th

u ki n liên k t

nh

u thanh).

c tr có ràng bu c. B ng cách dùng th a s Lagrange
bài toán không ràng bu c sau:

là th a s

n c a bài toán. Theo phép tính bi n phân

t phi m hàm (1.17) ta nh
Lagrange).

có th nguyên là chuy n v

gi a M và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

1.18) bi u th quan h


võng c a d

1.20

b ng c a d m vi t theo chuy n v nh
Nguyên lý công bù c

c

trên.

i

Khi dùng n là các chuy n v và bi n d ng thì có nguyên lý công bù c
Trong t t c các chuy n v
là chuy n v có công bù c
Chuy n v

ng h c có th (kh

n v th c

i.

ng h c có th là chuy n v th

h gi a chuy n v và bi n d ng và th

u ki n biên. Công bù b ng

tích c a ngo i l c và chuy n v tr
[Công ngo i l c

ng bi n d ng.

th

nd

V i ràng bu
L y ví d

i.

gi a chuy n v và bi n d ng.
i v i d m ch u u n, ta có
2

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

ng

võng. Tích phân th nh t

trong (1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th
hai là th

n d ng bi u th qua bi n d ng u n.

Thay t (1.22) vào (1.21), ta có

Thay d u c a (1.23) ta có


Khi y có giá tr

nh t

u mút d

u ki n c

bi u th c

(1.24) c c ti

1.25

ng c a d m ch u u n.

Nguyên lý công bù c

i d ng bi u th c (1.24

c s d ng r ng rãi

n t h u h n.
1.1.3. Nguyên lý công o
Nguyên lý công

c s d ng r t r

Gauss(1777-1855) thì m

c. Theo K.F.
c ho c tr c ti p ho c gián ti p

u rút ra t nguyên lý chuy n v o.
Xét

ch

m
X

X;

Y;

h t

Z

tr ng thái cân b ng ta có
0,
Y 0,
Z 0, (1.26)

là t ng hình chi u c a t t c các l c tác d ng lên ba tr c c a

các. Ta vi t bi u th c sau:

X U

Y V

Z W

0,

(1.27)

là th a s b t k .
T
vì các

c l i t (1.27) ta s nh

c (1.26) b i

là nh ng th a s b t k . Bây gi ta xem

là các

bi n phân c a các chuy n v o theo ba chi u c a h t

vuông góc. Chuy n

v o là chuy n v bé do nguyên nhân b t k
chuy n v o này ph i th

u ki n liên k t c a h .

Khi có chuy n v o thì v trí c a các l c tác d ng trên h có th
l n c a nó v n gi

(1.26)và(1.27)

Các

i
v y,các


x

x

u;

y

u
;
x

v
; ...
y

y

v; ...

.
:

X U

XU

Y V

YV

Z W

ZW

0,

(1.28)

0

(1.29)

Tr.261].
l

0

1 d2y
2 dx 2

2

l

qy dx 0
0

1 d2y
2 dx 2
EJ

2

qy dx 0
d4y
dx 4

q

0

(1.30)


1.1.4.

Lagrange:
a chuy

bi u th qua các t

c

t ng quát(các chuy n v t ng quát).

G i

là th

a h , các qilà các chuy n v t ng

quát và Qilà cá l c t

d
dt

Lagrange có d ng:

T
qi

T
qi

qi

Qi ,
(1.31)

:

qi
Lagrange.

T

. Qi
.
Lagrange
yi

i
i

1 2
myi dx

i 1 2
n

T

1
EJ
1 2

n
i

2

yi
x2

(1.32)

2

(1.33)
i

Lagrange


t

T

yi

t

T
yi

T
yi

T
yi

qi ,

yi

(1.34)

2

t

mi y i

mi

yi

mi y i

t2

(1.35)

0

1.5.
yi

i-1, i và i+1,

,

1
EJ
2
1
EJ
2
1
EJ
2

2

y

2

x2

i

2

2

y

x2

i 1

2

2

y

x2

i 1

y
1
EJ i 1
2
y
1

EJ i
2
y
1
EJ i
2

2 yi
x2
2

2 yi 1
x2
2 yi 1
x2

yi

2
1

yi
yi

2

2
2

yi. Ta tính

(1.34).


yi

2 yi 1

EJ
EJ

yi

4 yi

4 yi 1

2

2 yi 1
6 yi
x4

yi

4 yi

1

2 yi 1
x4

2

yi

2

yi

yi

EJ

x4

â

EJ

(1.35) và (1.37)

y
m 2i
t

2

m

y

t2

4

EJ

4

EJ

y

y

x4

i

y

x4

yi
(1.38)

qi

x4

2

i

Lagrange

2

yi

(1.37)

4
i

4

(1.37)

2 yi 1

i

q

(1.39)
d4y
EJ 4
dx

q

(1.40)

Lagrange

trên trình bày b
bài toán d m ch u u n làm ví d
ng l
cân b ng c a h .
1.2.

-

xây d
bi t cách s d
ud nv

y
th y b n


-

háp

1.

1.

1.

o

1.


1.

1.


2.
LÝ THUY T D

Trong ch

N BI N D

ng này

c tiên trình bàylý thuy t d m

thuy t d m Euler -

ng, lý

i thi u lý thuy t d m có xét bi n d ng

t ngang

nghiên c u n i l c và chuy n v c a h d mch u

u n có xét bi n d
2.1.

T NGANG

t ngang.

Lý thuy t d m Euler

Bernoulli

D m ch u u n là c u ki

c ti t di n nh

u l n so

v i chi u dài c a nó, trên m t c t ngang d m t n t i hai thành ph n n i l c là
mômen u n M và l c c t Q. T i tr ng tác d ng lên d m n m trong m t ph ng
có ch

ng trung bình c a d m và th ng góc v i tr c d
ng h p d m ch u u n thu n túy ph ng và u n ngang ph ng.

2.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng
D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m

ch có m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính
chính trung tâm.
ng su t trên m t c t ngang
Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu n túy
n hành thí nghi m sau:


c khi d m ch u l c ta
v ch lên m t ngoài d m nh ng
ng th ng song song và vuông
góc v i tr c d m t o nên nh ng ô
vuông, hình 2.1a. Sau khi d m bi n
d ng, hình 2.1c, ta th y r ng nh ng
ng song song v i tr c d m tr
thành nh

ng cong, nh ng

ng th ng vuông góc v i tr c
d m v n th ng và vuông góc v i
tr c d m. T
Hình 2.1. D m ch u u n thu n túy

gi thi
-

M t c t ngang d

u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n

d ng v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t
Bernoulli).
-

Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và
y xa nhau (gi thi t v các th d c).

Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:
-

V t li u có tính ch t liên t

ng nh

ng

-

Bi n d ng c a v t th là bi n d

-

Bi n d ng c a v t th do ngo i l c gây ra là nh so v

i tuy

i.
cc a

chúng.

-

c l p tác d ng
T hình 2.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i,

các th

i giãn ra. Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có th không

co, không giãn. Th này g i là th trung hòa. T p h p các th trung hòa g i là


l p trung hòa, giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g
N u ta xét m t m t c
d

ng trung hòa.

a d m thì sau khi b u n nó s cho hình

nh 2.2.
ng trung hòa c a m t c t
ngang là m
c

ng cong. Vì chuy n v
m trên m t c t ngang c a

d m là bé, nên ta coi r ng hình dáng
m t c t ngang d

i sau
Hình 2.2. M t c t ngang d m

khi bi n d ng.
ng trung hòa c a m t c
tr c ox trùng v

ng th ng và gi s l y

ng trung hòa.

Xét bi n d ng c

n d m dz

c c t ra kh i d m b ng hai m t c t
1-1 và 2-2. Sau bi n d ng hai m t c t
này làm v i nhau m t góc
trung hòa có bán kính cong là

và th
(hình

2.3). Theo tính ch t c a th trung hòa

Hình 2.3. Hai m t c t sau khi

ta có:

u n
(2.1)

Ta xét bi n d ng c a th ab cách th trung hòa m t kho ng là y, ta có:
(2.2)
T (2.2) ta suy ra:
(2.3)
Xét ng su t t

m b t k A(x,y) trên m t c
c oy là tr

v

ad m

i x ng c a m t c t ngang, tr c ox trùng

ng trung hòa c a m t c t ngang.