Phân tích ổn định của thanh bằng phương pháp chuyển vị cưỡng bức (Luận văn thạc sĩ0

B

GIÁO D
O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

N

PHÂN TÍCH

NH C A THANH B NG
NV

NG B C

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU

C S K THU T

NG D N KHOA H C

TS. PH

T

H i Phòng, 2017

i


M CL C
Trang
M

U .......................................................................................................... 1
: T NG QUAN V PHÂN TÍCH

NH K T C U

CÔNG TRÌNH................................................................................................. 3
1.1. T m quan tr ng c a vi c nghiên c u

nh công trình .......................... 3

1.2 Nguyên lý c c tr Gauss.............................................................................. 5
c tr Gauss v
c c tr

ch

m..................... 6

iv

ck tc uh

thanh .................................................................................................................. 7

1.3. Khái ni m

nh và m t

nh công trình ........................................... 8

xây d ng bài toán

nh công trình hi n nay .......... 12

c ............................................................................ 12
ng l c h c..................................................................... 12
ng ....................................................................... 13
1.5. M t s nh n xét........................................................................................ 14
:

LÝ THUY T PHÂN TÍCH

NH K T C U
NV

NG B C ..... 15

n t h u h n .................................................................. 15
2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v ......... 16

2.1.2. Cách xây d ng ma tr

c ng c a ph n t ch u u n......................... 38

2.1.3 Cách xây d ng ma tr

c ng t ng th c a k t c u ........................... 40

pháp chuy n v

ng b c trong phân tích bài toán

nh c a

thanh ch u nén ................................................................................................. 44
2.2.1

nh thanh ch u nén .......................................................................... 44
nv

ng b c........................................................ 46

ii


:M TS

VÍ D PHÂN TÍCH
NV

NH THANH CH U
NG B C .................... 50

3.1 Phân tích

nh c a thanh ch

u ngàm

u kh p.................... 50

3.2 Phân tích

nh c a thanh ch

u ngàm

u ngàm................... 53

3.3 Phân tích

nh c a thanh ch

u ngàm

t .......... 56

3.4 Phân tích

nh c a thanh ch

u ngàm

u t do .................. 59

3.5 Phân tích

nh c a thanh ch

u kh

ng

u kh p c

nh.... 63

K T LU N VÀ KI N NGH ...................................................................... 66
TÀI LI U THAM KH O ............................................................................ 67

iii


M
Lý do l a ch

U

tài
kinh t xã h i ngày càng phát tri n, thu nh p c a

i dân ngày m t nâng cao do v y ngày càng có nhi u các công trình nhà

cao t

t kh

ng sinh ho t và nhu c

l

c xây m i nh m ph c v cho các ho t

ng th

is

i trí c

Vì v y, v

t ra cho các k

ph

c yêu c u c a m thu t ki n trúc v

mb

các công trình này ph
bình

i dân.

t k cho các công trình này ngoài vi c

mb

c kh

ng c a các h th ng k thu

quan tr ng nh t là

ul

làm vi c

m b o an toàn cho

i làm

vi c ho c sinh ho t bên trong công trình. M t trong nh ng yêu c
nh c a các k t c u

n

tr thành m t trong nh ng n i dung b t bu c

ph i tính toán và ki m tra trong quá trình thi t k công trình.
Bài toán
tâm

nh c a k t c

c r t nhi u tác gi quan

t nhi

.C

ng d a

nh: T
d

ng và T

id

id

c; T

ng l c h c.

Nh m có m
bài toán

i

c l c t i h n cho

nh, lu

h pv

c tr Gauss

nv

ng b c k t

gi i bài toán

i

i cho bài toán

i

cho k t c u công trình.
M

u
Nh

c a k t c u h thanh,trong n i dung lu

trình bày m

gi i khác so v
ngoài

n

nh

c

c

.
ng và ph m vi nghiên c u

Lu

t p trung kh o sát bài toán

thanh ch u nén d c tr c v

u ki n liên k

1

ic am ts k tc u
u khác nhau.


u
D

nv

ng b c

ng th i k t h p v

pháp nguyên lý c c tr Gauss c

cl c

t i h n trong bài toán k t c

i.

c và th c ti n c
V

tài

nh l c t i h n trong bài toàn n

i có r t nhi u

c trình bày trong nhi u tài li
c và th c ti n c

c

tài lu

c

là gi i thi u m t cách gi
trong bài toán

i
i thanh ch u nén.

B c c c a lu
Ngoài

-

:

: Trình bày

:

theo

.
-

:T

-

:

phân tích

hân tích
bài toán:
.

2

theo


T NG QUAN V PHÂN TÍCH

NH K T C U CÔNG TRÌNH

1.1. T m quan tr ng c a vi c nghiên c u
V

u ki n

nh công trình

nh cho k t c u là m t trong nh

u

ki n b t bu c khi tính toán thi t k k t c u công trình. N u khi tính toán thi t
k ch

u ki n b

u ki n c

b o công trình a
nhi

d ng. Trong th c t có r t

ng h p khi k t c u ch u l

nén u

m

c bi

i v i k t c u ch u nén ho c

ng th i, tuy t i tr ng tác d

c um

n giá tr t i tr ng làm k t

u ki n b n ho

u ki n bi n d

tc u

chuy n sang v trí cân b ng m i khác tr ng thái cân b

thái cân b ng m i này n i l c trong k t c

u. T i tr ng

t nhanh làm cho k t c u

nhanh chóng b phá ho i. L ch s v công ngh xây d ng cho th y, không ít
các s c s p công trình x y ra t
i thi t k

c khác nhau do khi thi t k có th
v hi

m t

nh c a k t c u.
c us

Nga là cây c u dàn h

thanh biên trên m t
h y do m t

phá h y do h

u Menkhienxtein

Th

phá

nh [2, 8].
ch a khí Hamburg b phá h y do thanh ghép ch u nén b m t

nh.

u Quebec ( ba nh p v i chi u dài hai nh p

u c u là 152,2m, chi u dài nh p gi a là 548,64m) trong quá trình thi công
l p d ng nh p gi a c
c ub s

d

ic ac

n

t

nh làm cây
t n n, ch

còn 11 công nhân s ng sót (hình 1.1) [2, 8, 17].

3


u dàn Mujur

Nga b phá h y do thanh ghép b nén m t n

nh. Ngày 07 tháng 11 n

u Tacoma M b m t

nh vì tác d ng

c a gió sau 4 tháng 6 ngày k t khi hoàn thành xong [2, 8].
u
x 109,73m sau tr

c 91,44m

tl nm ts

c u mái dàn nhanh chóng b s

m t

nh làm k t

(hình 1.2) [17].

Hình 1.1 C

u Hartford 1978

Ngoài ra, trong kho ng th i gian t 1951-1977 t
k t c u thép b phá h y, trong s

nh t ng th ho c m t

9 công trình

ng h p là do nguyên nhân m t

nh c c b chi m 29% [17].

Ngày nay do kinh t ngày càng phát tri

u ki n s ng c

i dân

ngày m t nâng cao vì v y ngày càng có nhi u công trình cao t ng, công trình
kh

l n xây d

c bi t do công ngh v t li u ngày càng phát tri n do

t li u m i ngày càng ch u l c t

c các c u

ki n c a k t c u ngày càng nh g n và m

c nghiên c u tính

toán

nh cho k t c u công trình là m t v

r t c n thi

th c ti n.
V

nghiên c u

nh k t c

cb

th c nghi m do Piter van Musschefnbroek công b

4

u t công trình nghiên c u
nk t


L c t i h n t l ngh ch v

lu n r

u dài thanh

i

t n n móng cho vi c
nghiên c u lý thuy t bài toán
k

nh. K t qu nghiên c u c

u

c ch p nh n và ngay c v

c ng c a c t

t l thu n v i di n tích m t c t ngang và không ph thu c vào chi u dài thanh.
Nh ng quan ni m c a Culông d a trên các k t qu thí nghi

i v i các c t

g và c t s t có chi

ng phá ho i

i ng n, nh

ng nh thua t i tr ng Euler do v t li u b phá ho i ch không ph i do m t
u tiên gi i thích th

s phù

h p gi a lý thuy t

nh c a Euler và k t qu th c nghi m v i gi thuy

b n xem v t li

i [2, 8].

n cu i th k XIX v

nghiên c u

nh m

c phát tri n m nh

m qua các c ng hi n c a các nhà khoa h
n nay có r t nhi u các công trình
nghiên c u v

nh cho k t c u công trình [8].

1.2 Nguyên lý c c tr Gauss
Nhà toán h
iv

ch

tùy ý ch u

ng b t k

th v i chuy
ra v

ng c a h ch

m:
m i th

m s x y ra m t cách phù h p nh t có

ng c a h

ng x y

ng ràng bu c t i thi u n

các tích kh

ng ch

là kh

ng ràng bu c l y b ng t ng

m v i bì

v trí khi chúng hoàn toàn t
G i

m có liên k t

ng ch

l ch v trí ch

m so v i

[1].
m,

là v trí c a nó, Bi là v trí sau th i

ng l c ngoài và v n t c
v trí có th (ràng bu c b i liên k

ng ràng bu

5

u th

m gây ra, Ci là
c vi


Z

m i Bi C i

2

min (1.1)

i

Do h c n tính và h hoàn toàn t

u ch u l c gi ng nhau, nên trong

bi u th

ng b c không xu t hi n l c tác d

d

i thi

1.2

ng ràng bu c có

c tr Gauss v
Xét h ch

là ph

m có liên k t tùy ý

ch

m t th

m

mb tk

c quán tính f i c a h t i th

ng lên h

i

v i h hoàn toàn t do l c quán tính f 0i c a nó b ng v i ngo i l c (ch s
chân ký t ch r ng ký t
cùng kh

h

ng h p này hoàn toàn t do có

ng và cùng ch u tác d ng l c ngoài gi

có liên k t).

y, các l c tác d ng lên h có liên k t g m các l c f i
f 0i

m i .ri và các l c

mi .r0i (thay cho ngo i l c). Theo nguyên lý chuy n v

gi (liên k
th

id

ng th c) và không gi (liên k

u ki n c

h

i v i liên k t
i d ng b

ng

tr ng thái cân b ng là:
Z

fi

f 0i ri

(1.2)

0

i

nh

c bi u th c (1.2) c n xem các chuy n v

cl

iv i

l c tác d ng. Cho nên bi u th c (1.2) có th vi t:
Z

fi

f 0i ri

(1.3)

min

i

N

nv o

th

u ki n liên k

tính thì ta có th dùng v n t c o

ah c n

ng bi
Z

fi

f 0i ri

(1.4)

0

i

hay: Z

fi

f 0i ri

min (1.5)

i

trong bi u th c (1.4), (1.5) v n t c c a ch

6

ng bi n phân.


Cu i cùng khi chuy n v o

th

u ki n liên k

h c n tính thì ta có th dùng gia t c o

a

ng bi n phân, ta có:
Z

fi

0 1.6)

f 0i ri

i

hay: Z

fi

f 0i ri

(1.7)

min

i

Ta bi

i thu n túy v m t toán h c bi u th c (1.7):
Z

fi

f 0i ri

min

fi

f 0i ri

r0i

fi

f 0i

i

Z

min

i

Z
i

fi
mi

f 0i
mi

min

Z
i

Z
i

f
mi i
mi

f 0i

2

min (1.8)

2

r0i

min

(1.9)

Hai bi u th c (1.8), (1.9) là hai bi u th
ti u Gauss v

1
fi
mi

ng dùng c a nguyên lý c c

ng bi n phân là gia t c.

Các bi u th c (1.3), (1.5), (1.7) và (1.9
ng ràng bu c chuy

ng c

1.2

c g i là

c n tính.
c tr

i v i bài toán

ck tc u

h thanh
c tr
d ng tr c ti p nguyên lý c c ti
- So sánh chuy
toàn t

ng c

i chuy

c hi

-

b ng cách:
ng c a nó khi hoàn

c tr c
nv

liên k t không gi , xem liên k t gi

ov ib

ng ràng bu c.
ng th

ng h p riêng.

7

iv i


Nh ng n i dung trên là n i dung t ng quát c
c c tr Gauss.
c k t c u h thanh ch u t i tr
bi n d

ng su t và

nh lu t Hooke thì m i quan h gi a n i l c và bi n d ng

c vi

Mx

EI x .

x

;

;

;
(1.10)

;
y theo (1.9)
d

N

;

EA.

z

ng ràng bu c c a bài toáncó th

c vi

i

i thi
l( 0 )

Mx

Z

M0x
EI x

0
l( 0 )

Qx Q0 x
GA

0

l( 0 )

. x dz

My

EI y

0
l( 0 )

dz
xz

M0 y

Qy

. y dz

0
l( 0 )

Q0 y

dz
yz

GA

0

l( 0 )

0

Mz M0z
. dz
GI
N

N0
EA

z

dz

min

(1.11)
trong

là h s t p trung ng su t ti p do l c c t gây ra t i tr c d m [2].
c Gau

các nghiên c

c r t nhi u h c viên cao h
gi i quy

c nhi u bài toán khác nhau trong

t cách ti p c n khác so v i cách ti p c n c
c trình bày trong m t s
1.3. Khái ni m

nh và m t

c hi n nay.

nh công trình

M t cách hình dung t t nh t v khái ni m

ng h p

viên bi c ng trên các m t ph ng c ng, m t c u c ng lõm và l i (hình 1.3)

a)

b)

Hình 1.3 Tr ng thái

c)

nh và m t
8

nh c a viên bi


T

ng h p a: M t c u lõm, s cân b ng c a viên bi là

vì kích nó ra kh i v trí cân b

u) r i th ra thì nó s tr v v

u ho c lân c n v

u có ma sát).

ng h p b: M t c u l i, s cân b ng là không
kích viên bi ra kh i v trí cân b
l iv

nh b i

nh, b i vì

u r i th bi ra thì viên bi s không tr

u n a.
ng h p c: Kích viên bi ra kh i v trí cân b

trên m

n khi ng ng chuy

ng, nó có v trí cân b ng m i khác v i

tr ng thái cân b
b

ng h p này ta nói r ng tr ng thái cân

u là phi

nh (không phân bi t).
ng thái cân b ng c a viên bi. Suy r

i v i các tr ng thái cân b ng c

ph c t p, ví d tr ng thái

ng su t và bi n d ng, tr ng thái n i l c và chuy n v ho c là tr
ng.

Tr l i (hình 1.3a). Khi l ch kh i v trí cân b ng, tr ng tâm c a viên bi lên
cao, th

ng thái cân b ng

t i thi u.

nh là tr ng thái có th

(hình 1.3b), khi l ch v i tr s nh , tr ng tâm c a viên bi gi m, th

a nó gi m. Tr ng thái cân b ng không

nh ng v i th

n.

(hình 1.3c) khi l ch ra kh i v trí cân b ng, tr ng tâm c a viên bi không thay
i, tr ng thái cân b ng là phi
bi

nh ho c không phân bi t.
c tr ng thái cân b ng c

có

nh hay

ra kh i v trí cân b

u

không thì ta kích thích nó ra kh i v trí cân b
s m t

nh c

c a nó và ki m tra xem nó có t n t i tr ng thái cân b ng m i không. N
c tr ng thái cân b ng m i khác v i tr ng thái cân b
là m t
h

nh và l c gi cho h
ng h

c l i là h

u thì h

tr ng thái cân b ng m i này g i là l c t i
nh.

9


n

nh c

n

nh c a tr ng thái cân b ng, mà

tr ng thái cân b ng là nghi m c
nh c

n

n n

nh c a nghi m c

y khi nghi m c
thái cân b ng là

ng là

nh thì tr ng

nh, còn nghi m c

ng không

nh thì tr ng thái cân b ng là không

nh.

Cách xây d ng bài toán

ra kh i v trí cân b ng và xem

có t n t i tr ng thái cân b ng m i không, n u t n t i tr ng thái cân b ng m i
thì tr ng thái cân b

u là không

gi i bài toán
không

nh

ng h p không c n

n cùng chúng ta v n có th bi

c h có

nh thông qua các tiêu chí v s cân b ng

nh sau:

- Tiêu chí
c ak tc

nh

i d ng

c [8, 17]

c, s cân b ng

c th hi n b

c son

ki n cân b

c d ng cân b
kh

nh v

d ng cân b

nh hay

này ta c n kh o sát h

u

nh hay không
tr ng thái l ch kh i

u. Gi s tr ng thái l ch này s cân b ng có th
c v nguyên t c có th tìm giá tr P* c a l c t

th c hi

cc ah

tr ng thái l

u ki n cân b ng

i chi u v i giá tr P c a l

tr ng

u.
+ N u P > P*: l c c n gi cho h
thái l

tr ng thái l ch không th gi h

l ch, h không th tr v tr ng thái cân b ng ban
ng không

nh.

+ N u P < P*: l c c n gi cho h
thái l

tr ng

tr ng thái l ch có th gi h

c, h ph i tr v tr ng thái cân b

nh.

+ N u P = P*: l c c n gi cho h
cân b ng là phi

tr ng thái l ch b ng l

nh.

10

tr ng
ng n


ng h p khi s cân b ng
c v nguyên t c ta c
th c chuy

l

cân b ng là không

l ch gi m thì s cân b ng là không

- Tiêu chí

nh

b ng

id

chuy

vào l c tác d ng trên h

ng c a h . N

còn n

tr ng thái l ch không th th c hi n

i d ng

nh.

ng l c h c [8, 17]: Tiêu chí c a s cân

ng h

c xây d

ng

ng c a h sau khi l ch kh i d ng cân b

lo

i b nhi u lo

nh

u b ng m t nhi u

u sau khi nhi u lo n m

t t d n hay tr v tr ng thái cân b

ng

ng thì cân b ng là

c l i là cân b ng không

nh.

th c hi n ta c n kh o sát chuy

ng bé c a h

lân c n v trí cân

b ng:
+ N u chuy
cân b ng là

ng t t d n ho

u hòa (khi không k

n l c c n) thì

nh.

+ N u chuy

ng không tu n hoàn (xa d n tr

ns

nc

chuy

u), mang

ng thì cân b ng là không

nh.
- Tiêu chí

i d ng

ng [8, 17]: Ngo i l c có khuynh

u tr ng thái l ch, th
n

a ngo i l c

v tr ng thái cân b

m t

n d ng c a h

u t c là h

áp d ng tiêu chu n

nh v

N uh

nguyên lý Lejeune-

c l i thì h
ng v n d ng

tr ng thái cân b ng

t giá tr c c ti u so v i t t c v trí c a h
cân b

u v i nh ng chuy n v vô cùng bé. N u h

b ng không

nh thì th

thái cân b ng phi

t giá tr c

nh thì th

lân c n v trí
tr ng thái cân
i. N u h

i .

11

nh thì th

tr ng


Theo nguyên lý Lejeune-Dirichlet, n u g i U là th

n và T

là công c a ngo i l c thì:
+N u U

Th

tr ng thái cân b ng

nh

+N u U

Th

tr ng thái cân b ng không

+N u U

Th

tr ng thái cân b ng phi

Ngoài ra tiêu chí v
c a th

nh
nh

di

u ki n c c tr

n [8].

1.4

ng bài toán

1.4

nh công trìnhhi n nay

h c
Khi gi i bài toán

th c hi n qua các

8, 15, 17, 18, 19]:
c 1: T o cho h nghiên c u m t d ng cân b ng l ch kh i d ng cân b ng
u.
c 2: Xác

nh tr s l c t i h n (tr s l c c n thi t gi cho h

b ng m i, l ch kh i d ng cân b

u). L c t i h

d ng cân

nh t

nh).
i nghiên c u có th v n d ng n i dung nói trên khi áp d ng: P
pháp thi t l p và gi
P

P

c; P

nv;P

sai phân h u h n; P
P

u;
n h p; P

P
-Galerkin; P

m;

n.

Trong th c t , áp d
c a bài toán

it

tìm nghi m chính xác
ng g p nhi

th c hi n

c [8].
1.4

ng l c h c

Khi gi i bài toán

nh

ng có th th c hi n qua các

[8, 15, 17, 18, 19]:

12


c 1:L p và gi i
c 2: X

ng riêng c a h .

nh l c t i h n b ng cách bi n lu n tính ch t nghi m c a chuy n

ng: n

ng c a h

cân b

không ng ng theo th i gian thì d ng

u là không

v trí cân b

c l i, n u h

u ho c t t d n thì là d

1.4

ng bé quanh
nh.

ng
Khi gi i bài toán

ng có th th c hi n
[8, 15, 17, 18, 19]:

c 1: Gi thi
b

c d ng bi n d ng c a h

tr ng thái l ch kh i d ng cân

u.
c 2: Xu t phát t d ng bi n d

d ng và công c a ngo i l
c 3: T

thi t, l p bi u th c th

vi

n

u ki n t i h n c a h .

u ki n t i h

nh giá tr c a l c t i h n.

Có th v n d

ng b ng cách áp d ng: Tr c

ti p nguyên lý Lejeune-Dirichlet; P

-Ritz; P

Timoshenko.
Do gi thi

c bi n d ng c a h nên k t qu l c t i h

ng là g

t qu l

ym

v

c a l c t i h n chính xác.

chính xác c a k t qu

thu c vào kh

ng ph

n d ng c a h

c ch n càng g n v

tr ng thái l ch: hàm chuy n

i th c c a thanh thì k t qu càng chính

xác. Theo cách làm này thì hàm chuy n v ch
ki n biên hình h

c

c càng t

c th a mãn càng nhi
t ph i th

u
u ki n

c[8, 15, 17, 18, 19].
ng l i c a ba lo

ng;

ng)
h b

t k t qu

i v i h không b

13

iv i


ng d

n k t qu

i ta ph i s d ng các

ng l c h c[8, 15, 17, 18, 19].
H b o toàn t c là nh ng h ch u l c b o toàn. L c b o toàn có tính ch t
8]:
-

bi n thiên công c a l c b ng vi phân toàn ph n c a th

- Công sinh ra b i các l c trên các chuy n v h u h n không ph thu c
ng di chuy n c a l c mà ch ph thu c vào v

m

t cu i c a l c.
- Tuân theo nguyên lý b

ng.

S xu t hi n c a ma sát n i do quan h
d

i hay ma sát ngo i s

n h l c không b o toàn.

1.5. M t s nh n xét
Qua các phân tích các ph n trên c
các cách gi i bài toán
khác cho bài toán

m t, nh m làm phong phú cho

nh k t c
nh,lu

t cách ti p c n

s t p trung nghiên c u m t s v

1) D a trên ph

n v c

nguyên lý c c tr Gauss xây d

sau:

ng b c k t h p ph

c ph

i cho bài toán

nh

cho k t c u công trình.
2) D a trên

nv

nh, nh m cung c

ng b c trong phân tích bài toán

i nghiên c u tính toán

n khi phân tích l c t i h n trong bài toán
3) Trên c s c

nv

nh.
ng b c k t h p v i ph n m m

Matlab 7.0 vi

nh thanh ch u nén d c

tr c d a trên cách xây d
4) Phân tích

n t h u h n.

nh m t s thanh ch u nén d c tr c v

khác nhau d

háp chuy n v

d ng lên các thanh. K t qu
th

nh có m t cách

u ki n biên

ng b

nh l c t i h n tác

c so sánh v i các k t qu c a

tin c y c

trong lu

14

.

i


LÝ THUY T PHÂN TÍCH

NHK T C U CÔNG TRÌNH
NV

NG B C

lý thuy t c
chuy n v

ng b c trong vi c phân tích các bài toán
t s khái ni

h

ng th i, trong

nc

nt h u

ph c v cho vi c xây d

nh l c t i h n cho các

thanh ch u nén theo cách xây d ng b

2.1

n t h u h n

nt h uh n
n t h u h n là m
tìm d ng g

c bi t có hi u qu

am

t trong mi

nh V c a nó.

n t h u h n không tìm d ng x p x c a hàm c n
tìm trên toàn mi n V mà ch trong t ng mi n con

xác

ph n t ) thu c mi n

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý

và k thu

nh trên các mi n ph c t p g m

nhi u vùng nh

c tính hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh

u ki n

i t tr c quan phân tích k t c u, r
phát bi u m t cách ch t ch và t

c

n phân hay
c x p x trên m i ph n t .

n t h u h n chia k t c u công trình thành m t s
h u h n các ph n t .Các ph n t
ng t

c n i v i nhau t

nh ph n t (th m trí t

m trên biên ph n t ) g

v y vi c tính toán k t c
k tc

c

tính toán trên các ph n t c a

t n i các ph n t này l i v

15

c l i gi i c a m t k t


c u công trình hoàn ch

uh
n nh (ph n t ) và các tr ng thái chuy n v

chuy n v ) v.v

nh t

t i các nút c

ng

m nút sai phân. S khác bi t c a hai
uh

c các chuy n v

m n m gi

nh b ng n i

suy tuy

h uh

c chuy n

v t i các nút c a ph n t

nh b ng hàm n i

suy (hàm d ng).
V

c v t r n bi n d ng, tu

t lí c a hàm n i

suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:
- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v
bi u di n g

ng c n tìm và hàm n i suy

ng phân b c a chuy n v trong ph n t .

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a

ng su t hay n i l c trong ph n t .
- Mô hình h n h

ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t. Các hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a c

chuy n v l n ng su t trong ph n t .
Hi n nay, khi áp d

nt h uh

ng s d
S

gi i các bài toán

n t h u h n theo mô hình chuy n v .

trình bài n

n t h u h n theo mô hình

chuy n v .
2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v
ph n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n

chuy n v
m

ng c n tìm. Chuy n v

c l y x p x trong d ng

n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ). Trình t
ph n t h u h n - mô hình chuy n v g m
c sau:

16


c 1. R i r c hoá mi n kh o sát
Mi n kh

ng nghiên c u)

c chia thành các mi n con hay

còn g i là các ph n t có hình d ng hình h c thích h p. Các ph n t
coi là liên k t v i nhau t i các nút n m t

nh hay biên c a ph n t . S nút

c a ph n t không l y tu ti n mà ph thu c vào hàm chuy n v
Các ph n t

c

ng có d ng hình h

nh ch n.

n (hình 2.1)

Hình 2.1 D ng hình h

n c a ph n t

c 2. Ch n hàm x p x
M t trong nh

ng c

n t h u h n là x p x hoá

ng c n tìm trong m i mi

u này cho phép ta kh

vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm nghi m t i các
nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t
x px

c tìm b ng vi c d a vào hàm

n.

Gi thi t hàm x p x (hàm chuy n v )
i tho

u ki n h i t

i v i vi c tính
ng ch

id

th c. Bi u di n hàm x p x theo t p h p giá tr các thành ph n chuy n v và có
th c

o hàm c a nó t i các nút c a ph n t . Hàm x p x

ch

c

c vì các lý do sau:

-

t ph

t t h p tuy n tính c
c tho mãn yêu c

c l p tuy

Galerkin.

17

c thì
u c a Ritz,


- Hàm x p x d

c

xây d

ng d tính toán, d thi t l p công th c khi

a ph n t h u h n và tính toán b ng máy tính.

c bi t là d

o hàm, tích phân.

- Có kh

chính xác b

(v lý thuy

b cc

cx px

c b c vô cùng s cho nghi m chính xác). Tuy nhiên, khi

th

ng l

c x p x b c th p mà thôi.

T p h p các hàm x p x s xây d ng nên m

ng chuy n v

nh

m t tr ng thái chuy n v duy nh t bên trong ph n t theo các thành ph n chuy n
v nút. T

ng chuy n v s

nh m t tr ng thái bi n d ng, tr ng thái ng

su t duy nh t bên trong ph n t theo các giá tr c a các thành ph n chuy n v
nút c a ph n t .
Khi ch n b c c
- Các

cx px c

c x p x c n tho

u sau:

u ki n h i t

u quan tr ng

n t h u h n là m

m b o khi

c ph n t gi m thì k t qu s h i t
-

cx px

n nghi m chính xác.

c ch n sao cho không m

- S tham s c

ng hình h c.

c x p x ph i b ng s b c t do c a ph n t ,

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t . Yêu c u này cho kh
n

c c a hàm x p x theo giá tr

các thành ph n chuy n v t

m nút c a ph n t .

c 3. Xây d
tr

ng c n tìm, t c là theo giá tr

ng trong t ng ph n t , thi t l p ma
i tr ng nút F e c a ph n t th e.

c ng

thi t
e

,

18


(2.1)

u

Ta có:

N

(2.2)

e

[N] - g i là ma tr n hàm d ng, ch a các to
c a ph n t và các bi n c

c:

N

N - ma tr n ch

Theo lý thuy

B

e

e

i quan h gi a ng su t và bi n d ng :

Thay (2.3) vào (2.4), ta

(2.4)

c:
{ } = [D][B]{ }e

n
Xét

(2.3)

o hàm c a hàm d ng.

D

Th

m nút

mb

Thay (2.2) vào (2.1), ta

B

c

ec

(2.5)

a ph n t

ng h p ph n t ch ut i tr ng t p trung t i nút

( ng v i

chuy n v nút { }e ) và ch u t i tr ng phân b trên b m t ph n t
t

m M b t kì là q

qx
.
qy

Thi t l p bi u th c tính th
ngo i l c We và th

n

ec

a ph n t theo công c a

n d ng Uec a ph n t
e

= Ue - We

(2.6)

Công ngo i l c We (không xét l c th
We

T
e

Pn

c tính:
u

e

T

q dS

S

T (2.2), ta có:
Thay vào bi u th c tính công ngo i l c We

19

c:


T

We

Pn

e

T
e

N

e

T

(2.7)

q dS

S

n d ng Uec

Th

1
2V

Ue

T

c tính:

dV

Thay (2.3) và (2.5) vào bi u th c tính th

n d ng Uec a ph n t ,

ta có:

1
2

Ue
Thay (2.7) và (2.8) vào (2.6
Ue

e

1
2

We

T

B

e

T

T

T

B

e

D B dV

(2.8)

e

V

c th

n c a ph n t :
T

D B dV

e

Pn

e

T
e

N

e

V

T

q dS

S

(2.9)
t:

K

B

e

T

(2.10)

D B dV

V

[K]e- g i là ma tr
([B]T

c ng ph n t . Vì [D] là ma tr

ix
t:

F

e

Pn

là ma tr

e

N

e

T

q dS

Pn

Pq

e

i x ng nên tích

i x ng.
e

(2.11)

S

{F}e -

i tr ng nút c a ph n t

t i nút ph n t {Pn}e và ngo i l

c xây d ng b i ngo i l

t

t trong ph n t qui v nút {Pq}e
(2.12)

Thay (2.11) và (2.12) vào (2.9), ta
e

1
2

20

c:
T
e

K

T
e

e

e

F

e

(2.13)


Thi t l p

ng

Theo nguyên lí d ng th
t

u ki n cân b ng c a ph n t

m nút :
e

0

e

0

(2.14)

e

Ti n hành l

o hàm riêng l

t v i t ng chuy n v nút và cho b ng

ph n t có m chuy n v nút):
e
1
e
2

e

0

...

e

(2.15)

e
m

Thay

etheo

X

T

ma tr n

(2.13) vào (2.15) vàáp d ng phép l

A X

X
2A X ;

X

K
Suy ra :

F ee

- ma tr

K

e

e

e

e

F

T

X
F

e

iv i

B
B

0

c:

(2.16)
(2.17)

e

t i tr ng nút c a ph n t th e xét trong h to

;

y n v nút c a ph n t th e xét trong h t
c ng c a ph n t th e xét trong h t
ng c a ph n t th e.

21

;

.


c 4. Ghép n i các ph n t xây d

ng c a toàn

h .
Gi s h k t c

c r i r c hoá thành m ph n t . Theo (2.17) ta vi t
ng cho t t c m ph n t trong h to

t ng ph n t . Sau khi chuy n v h t

riêng c a

chung c a toàn k t c u, ti n t i g p

ng c a t ng ph n t trong c h
cân b ng cho toàn h k t c u trong h t

c

chung:
(2.18)

Do th t các thành ph

n v nút {

khác v i th t
ýx

n v nút {

tr

e

u

e

c áp d

nh v ph n t [H]e

c a t ng ph n t

a toàn h k t c u, nên c

trí c a t ng thành ph

Vi c s p x

e

mã, hay s d ng ma

thi t l p các ma tr n t ng th

i tr ng nút

t ng th c a toàn h k t c u.
Áp d ng ma tr

nh v ph n t

Gi s h k t c
h là n. Vé

H

e

c r i r c hoá thành m ph n t . S b c t do c a toàn
n v nút t ng th có d ng:
(2.19)

V i ph n t th e, s b c t do là ne, có vé
chung là

. Các thành ph n c a

n v nút trong h t a

n m trong s các thành ph n c a

bi u di n quan h gi

'

= [H]e '
(ne x1)

(2.20)

(ne x n) (n x 1)
nh v c a ph n t e, nó cho th y hình nh s p x p
e - là ma tr

các thành ph n c

trong

' .

22