HSG toán 9 tam dương 2016 2017 lần 3

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN 3
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
---------------------Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1 (2,0 điểm).
� a  2  2 �� a  2
a  7 �� 3 a  2  1
1 �
.

:

�
�
��
�.
��3  a  2 11  a ��a  3 a  2  2
a2 �
� 3
��
��
�
�2
y2
�x  xy  3  2017
�

�2 y 2
b) Cho x, y, z là các số thực sao cho x �0; y �0, x � z thỏa mãn điều kiện: �z   1009
3
�
2
�x  zx  z 2  1008
�
�
2z y  z

Chứng minh rằng:
x
xz

a) Rút gọn biểu thức P  �
�

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n, x1 , x2 ,K , xn thỏa mãn:
1 1
1
 L   1
x1 x2
xn
b) Tìm tất cả số nguyên dương x và số nguyên tố p thỏa mãn đẳng thức:

x1  x2  L  xn  5n  4 và

x5  x 4  1  p 2

Câu 3 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp
tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp
tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng
nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I ).
a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh: KB = KD.
b) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔIBD .
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

9
x

2



2x

 1 0.

2

2x  9

�x2  y2  2 x2 y2
�
b) Giải hệ phương trình: �
( x  y)(1  xy)  4 x2 y2
�

Câu 5 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

4a 2   b  c 
4b 2   c  a 
4c 2   a  b 


�3.
2a 2  b 2  c 2 2b 2  c 2  a 2 2c 2  a 2  b 2
== HẾT ==
Giám thị không giải thích gì thêm!
2

2

2