Đề đa HSG toán 7 tp tam kỳ 2009 2010

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ
PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 7
Thời gian: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)
Thực hiện tính:
a.

(-1).(-1)2.(-1)3...(-1)2010

b.

(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 20103)

Bài 2: (2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
219.27 3 + 15.4 9.9 4
6 9.210 + 1210

a.

A=

b.

B = 2 x 4 + 3 x 2 y 2 + y 4 + y 2 với x 2 + y 2 = 1

Bài 3: (2,0 điểm)
x+ y

z+x

a. Cho x 2 = yz (x ≠ y và x ≠ z). Chứng minh rằng: x − y = z − x
b. Cho

x y z
= =
và x 2 − y 2 + 2 yz = 171 . Tính x, y, z
2 3 4

Bài 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AN, BP, CQ là ba trung tuyến, G là trọng tâm. Trên tia
AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE. Chứng minh:
a. BE= 2QG
b.

4
( AN + BP + CQ > AB + AC + BC
3

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có số đo góc ABC bằng 2 lần số đo góc ACB và bằng 2 α ,
đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt AC tại D.
a. Chứng minh: DH=DC=DA
b. Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB. Chứng minh: B’C=B’A.

c. Chứng minh: CH=AE.
----------------------- />

HƯỚNG DẪN CHẤM-TAM KỲ
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a.
(-1).(-1)2.(-1)3...(-1)2010
= (-1)1+2+...+2010
= (-1)2010(2010+1):2
Do 2010(2010+1):2 là một số lẻ
Nên: (-1)2010(2010+1):2 = -1
b. Trong tích: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 20103)
có thừa số: 1000 - 103= 0
Nên: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 20103)=0
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a.

b.

219.27 3 + 15.4 9.9 4
A=
6 9.210 + 1210
219.39 + 3.5.218.38
= 9 9 10 10 20
2 .3 .2 + 3 .2
218.39.( 2 + 5)
7
1
=

=
= 19 9
2 .3 (1 + 6) 2.7 2

( 1,0 điểm)
( 1,0 điểm)

(1,0 điểm)

B = 2 x 4 + 3 x 2 y 2 + y 4 + y 2 với x 2 + y 2 = 1
= 2x 2 (x 2 + y 2 ) + y 2 (x 2 + y 2 ) + y 2
= 2x 2 + y 2 + y 2
= 2 x 2 + 2 y 2 = 2( x 2 + y 2 ) = 2

(1,0 điểm)

Bài 3: ( 2,0 điểm)
a.

x

z

- Từ x 2 = yz được : y = x
x

z

x

x+z

- Từ y = x được y = y + x
x+z

x

x−z

và y = y − x

x−z

- Suy ra y + x = y − x
x+ y x+z
x+ y z+x
=
⇒
=
y−x x−z
x− y z−x
x y
x2 y2
=
- Từ = được
2 3
4
9
2
2

y
y z
y
yz 2 yz
= . được
=
=
- Từ
9
3 4
9 12
24
2
2
x
−y
2 yz x 2 − y 2 + 2 yz 171
=
=
=
=
=9
- Kết hợp được :
4
−9
24
4 − 9 + 24
19
⇒

b.

- x2 = 4.9=36 được x = 6 và x = -6
* x = 6 được y = 9 và z= 12
* x = - 6 được y = -9 và z= -12
Bài 4: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,5 đ; phục vụ cho mỗi câu 0,25 đ)
a. Chứng minh BE=2QG: ( 0,75đ)
- Chứng minh: tg BNE= tgCNG
- Suy ra: BE=GC
- Do: GC=2QG (trọng tâm tam giác) nên: BE=2QG
/>
(1,0 điểm)

(1,0 điểm)

(Mỗi ý 0,25đ)


b. ( 0,75đ)
- Ta có: AG+BG>AB; BG+GC>BC; AG+GC>AC ( bất đẳng thức tg)
- Cộng theo vế có: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC
-

Hay:

2
3
4
(AN+BP+CQ)>AB+BC+AC
3

2. (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC

Vậy:

(Mỗi ý 0,25đ)

A
Q

P
G

B

N

C

E
Bài 5: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,25 đ)
A
D
B

C
H

B’

E
a.
- Tam giác BEH cân nên E = H
- ABH là góc ngoài nên E=H=

1
ABH= α
2

- BHE = DHC (Đối đỉnh) nên DHC =α
- Suy ra ∆DHC cân tại D nên DH=DC
- ∆HAD có : AHD = 900 -α
HAD = 900 - α (∆AHC vuông tại H)
- Suy ra ∆HAD cân tại D nên DH = DA.
- Suy ra DH = DC = DA.
b.
- ∆ ABB’ cân tại A do có trung tuyến là đường cao
- Suy ra AB’B = 2α
- Suy ra B’AC = BB’A - B’CA = α
- ∆ AB’C cân tại B’ nên B’C = B’A
c.
- Do AB’ = AB nên B’C = AB
- HB’= HB = BE nên AB + BE = B’C + B’H hay CH = AE
/>
(0,75 đ)

(0,5 đ)
(0,5 đ)