Đề thi thử toán THPTQG 2018 trường THPT chuyên đại học vinh – nghệ an lần 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 26 trang )
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2018 – LẦN 1
Bài thi: TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 06 trang)
Mã đề thi 132
Họ và tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh: ................................
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A, B như hình vẽ bên.
Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
1
A. − + 2i.
B. −1 + 2i.
2
1
C. 2 − i.
D. 2 − i.
2
Câu 2: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) = cos 2x là
1
1
A. 2sin 2x + C .
B. sin 2x + C .
C. sin 2x + C .
D. − sin 2x + C .
2
2
Câu 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có cạnh bên AA h và diện tích của tam giác ABC bằng
S . Thể tích của khối hộp ABCD.A B C D bằng
1
2
A. V Sh.
B. V Sh.
C. V Sh.
D. V 2Sh.
3
3
Câu 4: Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
A. Đồng biến trên khoảng (0; 2).
B. Nghịch biến trên khoảng (−3; 0).
C. Đồng biến trên khoảng (−1; 0).
D. Nghịch biến trên khoảng (0; 3).
Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần
gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. R h.
B. R 2h.
C. h 2R.
D. h 2R.
x 2t
Câu 6: Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của đường thẳng :
y 1 t là
z 1
A. m(2; 1; 1).
B. n(2; 1; 0).
C. v(2; 1; 0).
D. u(2; 1; 1).
Câu 7: Cho k , n (k < n ) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Ank = k !.C nk .
B. C nk =
n!
.
k !.(n − k )!
C. C nk = C nn −k .
D. Ank = n !.C nk .
Câu 8: Giả sử a , b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. log(10ab ) 2 =+
(1 loga + logb ) .
B. log(10ab ) 2= 2 + 2log(ab ).
C. log(10ab ) 2 =2 (1 + log a + logb ) .
D. log(10ab ) 2= 2 + log(ab ) 2 .
2
Câu 9: Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ?
Trang 1/6 - Mã đề thi 132
A. y = x .
B. y =
x
.
x +1
C. y = sin x .
D. y =
x
.
x +1
Câu 10: Cho hàm số y = f (x ) xác định và liên tục trên
[ −2; 3]
và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho?
A. Đạt cực tiểu tại x = −2.
B. Đạt cực đại tại x = 1.
C. Đạt cực tiểu tại x = 3.
D. Đạt cực đại tại x = 0.
Câu 11: Ðường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. y = x 2 − 3x + 1.
B. y =x 4 − 3x 2 + 1.
C. y =
−x 4 + 3x + 1.
D. y =x 3 − 3x 2 + 1.
y
x
O
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm
A. P (1; 0; 3).
B. Q(0; 2; 0).
C. R(1; 0; 0).
D. S (0; 0; 3).
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng () : x 2y z 1 0
( ) : 2x 4y mz 2 0. Tìm m để hai mặt phẳng () và ( ) song song với nhau.
A. m 1.
B. m 2.
C. m 2.
D. Không tồn tại m.
(
) (
và
)
Câu 14: Phương trình ln x 2 + 1 .ln x 2 − 2018 =
0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
x 0,=
x 1,=
y 0 và=
y
Câu 15: Cho hình phẳng ( D ) được giới hạn bởi các đường=
2x + 1. Thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức
1
1
0
0
A. V π ∫ 2x + 1dx . =
B. V π ∫ ( 2x + 1)dx .
=
C.
V
=
∫ ( 2x + 1)dx .
C.
2
.
2
B.
2.
3
D.
.
3
D.
=
V
∫
2x + 1dx .
0
0
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A B C có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại A, AB AA a (tham khảo hình vẽ bên). Tính
tang của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (ABB A).
A.
1
1
A
C
B
6
.
3
C'
A'
B'
Câu 17: Cho hàm số
=
f (x ) log 3 (2x + 1). Giá trị của f ′(0) bằng
2
B. 0.
C. 2ln 3.
.
ln 3
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO a (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD ) bằng
A.
A.
5a
.
5
B.
D. 2.
S
A
2a
.
2
D
O
B
C
Trang 2/6 - Mã đề thi 132
6a
D. 3a.
.
3
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; 1). Mặt phẳng () đi qua M và chứa trục Ox có
C.
phương trình là
A. y 0.
B. x z 0.
D. x y z 0.
C. y z 1 0.
0. Giá trị của z1 − z 2 bằng
Câu 20: Gọi z1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 8z + 25 =
A. 8.
Câu 21: Đồ thị hàm số y =
B. 5.
x +1
C. 6.
D. 3.
có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
x 2 −1
B. 3.
A. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 22: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để
0 có hai nghiệm phân biệt là
phương trình x 2 + bx + 2 =
5
1
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
3
6
3
2
4
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =1 + x +
trên đoạn [ −3; − 1] bằng
x
A. 5.
B. −4.
C. −6.
D. −5.
1
Câu 24: Tích phân
∫
0
4
A. .
3
dx
bằng
3x + 1
3
B. .
2
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Câu 25: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ′(x ) = x 2 − 2x , ∀x ∈ . Hàm số y = −2 f (x ) đồng biến trên
khoảng
A. (0; 2).
B. (2; + ∞).
C. (−∞; − 2).
D. (−2; 0).
Câu 26: Cho (P ) : y = x 2 và A −2;
nhất là
A.
5
.
4
B.
(
1
. Gọi M là một điểm bất kì thuộc (P ). Khoảng cách MA bé
2
2 3
.
3
)
C.
2
.
2
D.
5
.
2
9
Câu 27: Cho khai triển 3 − 2x + x 2 = a 0x 18 + a1x 17 + a 2x 16 + + a18 . Giá trị của a15 bằng
A. 218700.
D. −174960.
C. −804816.
B. 489888.
Câu 28: Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x ≥ 9x + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ . Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. a ∈ 103 ; 104 .
B. a ∈ 102 ; 103 .
C. a ∈ 0; 102 .
D. a ∈ 104 ; + ∞ .
(
(
(
)
1
2
0
0
( )
=
=
Câu 29: Cho f (x ) liên tục trên
và f (2) 16,
∫ f (2x )dx 2. Tích phân ∫ xf ′ x dx bằng
A. 30.
B. 28.
C. 36.
Câu 30: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử
dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra
bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa
của viên gạch bằng
800
A. 800cm2 .
B.
cm2 .
3
D. 16.
Trang 3/6 - Mã đề thi 132
C.
400
cm2 .
3
D. 250cm2 .
x 1 y 2 z 3
và mặt phẳng
1
2
1
() : x y z 2 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (), đồng thời
vuông góc và cắt đường thẳng d ?
x 1 y 1 z
x 2 y 4 z 4
.
.
A. 2 :
B. 4 :
3
2
1
1
3
2
x 5 y 2 z 5
x 2 y 4 z 4
.
.
C. 3 :
D. 1 :
3
2
1
2
3
1
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Gọi M , N
A
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
lần lượt là trung điểm của AC và B C (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B D bằng
A.
5a.
C. 3a.
D.
B
5a
.
5
B.
D
M
C
A'
a
.
3
B'
D'
N
C'
Câu 33: Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính
nhỏ hơn 4, 5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards
đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình
vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5, 4 cm và chiều cao
của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4, 5 cm. Bán kính của viên billiards đó
bằng
A. 2, 7 cm.
B. 4,2 cm.
C. 3, 6 cm.
D. 2, 6 cm.
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−10;10) để hàm số y = m 2x 4 − 2 ( 4m − 1) x 2 + 1 đồng biến
trên khoảng (1; + ∞) ?
A. 15.
B. 6.
C. 7.
2
Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z=
A. 1.
B. 4.
D. 16.
2
z +z ?
C. 2.
D. 3.
Câu 36: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên
. Bảng biến thiên của hàm số y = f ′(x ) được cho như
hình vẽ bên. Hàm số y = f 1 −
khoảng
A. (2;4).
x
+ x nghịch biến trên
2
B. (0;2).
Trang 4/6 - Mã đề thi 132
C. (−2;0).
D. (−4; −2).
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x y 2z 2 0, đường thẳng
1
x 1 y 2 z 3
d:
và điểm A ; 1; 1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (), song
2
1
2
2
song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt phẳng (Oxy ) tại điểm B. Độ dài
đoạn thẳng AB bằng
A.
7
.
2
21
.
2
B.
C.
(
Câu 38: Cho hàm số f (x ) thỏa mãn f ′(x )
)
2
7
.
3
D.
3
.
2
′(0) 1.
(0) f=
) 15x 4 + 12x , ∀x ∈ và f=
+ f (x ).f ′′(x=
Giá trị của f 2 (1) bằng
A.
9
.
2
B.
5
.
2
C. 10.
D. 8.
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y = x 3 + (a + 10)x 2 − x + 1 cắt trục hoành
tại đúng một điểm?
A. 9.
B. 10.
C. 11.
D. 8.
Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật OMNP với M (0; 10), N (100; 10) và P (100;0). Gọi
S là tập hợp tất cả các điểm A(x ; y ), (x , y ∈ ) nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP . Lấy ngẫu
nhiên một điểm A(x ; y ) ∈ S . Xác suất để x + y ≤ 90 bằng
169
473
845
86
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
101
1111
200
500
3
Câu 41: Giả sử a ,b là các số thực sao cho x 3 + y=
a .103z + b.102z đúng với mọi các số thực dương x , y , z
z và log(x 2 + y 2 ) =+
thỏa mãn log(x + y ) =
z 1. Giá trị của a + b bằng
A.
31
.
2
B.
29
.
2
C. −
31
.
2
D. −
Câu 42: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1
1
π
′
=
=
f
(
x
)
dx
,
f
(
x
)
cos
π
xdx
. Tính
∫
2 ∫0
2
0
1
1
2
A. π .
B.
1
π
25
.
2
và f (0) + f (1) =
0. Biết
1
∫ f (x )dx .
0
.
C.
2
π
.
D.
(
3π
.
2
)
Câu 43: Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x 2 − x + 2 + a ln x 2 − x + 1 ≥ 0 nghiệm đúng với
mọi x ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a ∈ ( 2;3].
B. a ∈ (8; +∞).
Câu 44: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD ). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và
M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD (tham khảo
S
N
2 39
.
39
B.
3
.
6
M
G
D
A
hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng
(GMN ) và (ABCD ).
A.
D. a ∈ ( −6; −5].
C. a ∈ ( 6;7 ].
H
B
C.
2 39
.
13
C
D.
13
.
13
Trang 5/6 - Mã đề thi 132
Câu 45: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ′(x ) =−
(x 1)2 (x 2 − 2x ), với mọi x ∈ . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (x 2 − 8x + m ) có 5 điểm cực trị?
A. 15.
B. 17.
C. 16.
D. 18.
Câu 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A B C có đáy ABC là tam
A
giác vuông, AB BC a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC )
và (AB C ) bằng 600 (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp
B .ACC A bằng
a3
.
A.
3
a3
.
B.
6
3
C.
a
.
2
C
B
C'
A'
3
D.
3a
.
3
B'
Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; 2),
B(5; 10; 9) và mặt phẳng
() : 2x 2y z 12 0. Điểm M di động trên mặt phẳng () sao cho MA, MB luôn tạo với () các
góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn () cố định. Hoành độ của tâm đường tròn () bằng
A. 4.
B.
9
.
2
C. 2.
D. 10.
Câu 48: Cho đồ thị (C ) : =
y x 3 − 3x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b ∈ (−10; 10) để có đúng một tiếp tuyến của
(C ) đi qua điểm B (0; b ) ?
A. 2.
B. 9.
C. 17.
D. 16.
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () : x z 3 0 và điểm M (1; 1; 1). Gọi A là điểm
thuộc tia Oz , B là hình chiếu của A lên (). Biết rằng tam giác MAB cân tại M . Diện tích của tam giác
MAB bằng
A. 6 3.
B.
3 3
.
2
C.
3 123
.
2
D. 3 3.
1 và z1 − z 2 =
2. Giá trị lớn
Câu 50: Giả sử z1 , z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz + 2 − i =
nhất của z1 + z 2 bằng
A. 4.
-----------------------------------------------
B. 2 3.
C. 3 2.
D. 3.
----------- HẾT ----------
Trang 6/6 - Mã đề thi 132
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Mã đề
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
132
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Đáp án
A
C
D
C
A
B
D
A
B
D
B
B
D
D
B
A
A
B
A
C
B
A
B
D
A
D
C
A
B
C
C
D
A
D
D
D
A
D
B
C
B
C
C
C
A
A
C
C
B
A
Mã đề
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2018
MÔN TOÁN
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Đáp án
A
C
D
D
B
D
B
B
D
B
D
B
D
B
B
D
A
A
C
A
B
A
D
D
B
C
B
A
D
C
A
A
C
B
D
B
A
B
C
C
D
C
C
A
B
A
C
C
C
A
Mã đề
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
357
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Đáp án
A
D
D
C
B
B
B
C
A
C
B
D
B
D
D
C
C
D
B
B
D
C
B
A
C
C
C
A
C
A
A
D
B
D
D
A
A
B
D
D
B
C
B
A
A
A
A
C
D
D
Mã đề
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
485
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Đáp án
B
D
B
D
C
C
B
A
C
B
D
B
C
B
C
D
D
C
B
A
A
B
A
C
A
A
C
C
A
A
D
C
B
D
B
A
A
D
A
A
C
B
B
D
C
D
D
B
B
D
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – NGHỆ AN – LẦN 1 – NĂM 2018
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên.
Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
1
A. 2i .
B. 1 2i.
2
1
C. 2 i.
D. 2 i.
2
Hướng dẫn giải
2 1 1 3
Nhìn vào trục tọa độ, ta có A 2;1 ; B 1;3 nên trung điểm của AB có tọa độ
;
hay
2
2
1
; 2 . Chọn A.
2
Câu 2: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) cos 2 x là
1
A. 2sin 2 x C.
B. sin 2 x C.
C. sin 2 x C.
2
1
D. sin 2 x C.
2
Hướng dẫn giải
1
1
cos 2 xdx 2 cos 2 xd (2 x) 2 sin 2 x C . Chọn C.
Câu 3: Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên AA ' h và diện tích tam giác ABC bằng S.
Thể tích của khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng
1
2
A. V Sh.
B. V Sh.
C. V Sh.
D. V 2Sh.
3
3
S ABCD 2S ABC
Hướng dẫn giải
2S V S ABCD . AA ' 2Sh . Chọn D.
Câu 4: Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số đó?
A. Đồng biến trên khoảng (0;2).
B. Nghịch biến trên khoảng (-3;0).
C. Đồng biến trên khoảng (-1;0).
D. Nghịch biến trên khoảng (0;3).
Hướng dẫn giải
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Chú ý rằng f ( x) đồng biến trên a; b khi và chỉ khi đồ thị hàm số đi lên trên a; b . Chọn C.
Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
C. h 2R.
B. R 2h.
A. R h.
D. h 2R .
Hướng dẫn giải
Stp S xq 2Sd , theo đề bài, Stp 2 S xq , do đó S xq 2Sd 2S xq S xq 2Sd 2 Rh 2. R 2 h R
Chọn A.
x 2t
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng : y 1 t là
z 1
A. m 2; 1;1 .
B. n 2; 1; 0 .
C. v 2; 1;0 .
D. u 2;1;1 .
Hướng dẫn giải
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ 2;1;0 .
Chọn B.
Câu 7: Cho k , n k n là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Ank k !.Cnk .
B. Cnk
n!
.
k !. n k !
C. Cnk Cnn k .
D. Ank n !.Cnk .
Hướng dẫn giải
n!
n!
; Cnk
Chú ý các công thức: Ank
. Chọn D.
k ! n k !
n k !
Câu 8: Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. log 10ab 1 log a log b .
B. log 10ab 2 2 log ab .
C. log 10ab 2 1 log a log b .
D. log 10ab 2 log ab .
2
2
2
2
2
2
Hướng dẫn giải
log 10ab 2log10ab 2 log10 log a log b 2 1 log a log b 2 1 log ab 2 log ab
2
Chọn A.
Câu 9: Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên R?
x
A. y x .
B. y
C. y sin x.
.
x 1
D. y
x
.
x 1
Hướng dẫn giải
Hàm số y
x
không liên tục tại x 1 . Chọn B.
x 1
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
2
Câu 10: Cho hàm số y f ( x ) xác định và liên tục trên
[ 2;3] và có bảng xét dấu như hình bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho?
A. Đạt cực tiểu tại x 2.
C. Đạt cực tiểu tại x 3.
B. Đạt cực đại tại x 1.
D. Đạt cực đại tại x 0.
Hướng dẫn giải
f ( x) xác định tại x 0 , không có đạo hàm tại x 0 và f '( x) đổi dấu, f '( x) 0 khi x 2;0 và
f '( x) 0 khi x 0;1 nên f ( x) đạt cực đại tại x 0. Chọn D.
Câu 11: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. y x2 3x 1.
B. y x4 3x2 1.
C. y x4 3x 1.
D. y x3 3x2 1.
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung nên hàm số là hàm chẵn. Chọn B.
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm
A. P 1;0;3 .
B. Q 0;2;0 .
C. R 1;0;0 .
D. S 0;0;3 .
Hướng dẫn giải
Gọi điểm đó là H 0; b;0 Oy . Ta có HM 1; 2 b;3 . Vectơ chỉ phương của Oy : u 0;1;0
HM .u 0 1.0 2 b .1 3.0 0 b 2 . Do đó H 0; 2;0 . Chọn B.
Lưu ý: Hình chiếu vuông góc của điểm M a; b; c lên trục Ox là a;0;0 ; Oy là 0; b;0 ; Oz là
0;0;c .
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : x 2 y z 1 0 và : 2 x 4 y mz 2 0.
Tìm m để hai mặt phẳng và song song với nhau.
A. m 1.
B. m 2.
C. m 2.
D. Không tồn tại m.
Hướng dẫn giải
Hai mặt phẳng và song song với nhau khi và chỉ khi
2 4 m 2
(vô lý). Chọn D.
1 2 1 1
Câu 14: Phương trình ln x 2 1 .ln x 2 2018 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
x 0
2
ln x 2 1 0
x
1
1
2
x 2019
ĐK: x 2 2018 . Phương trình tương đương với:
2
ln x 2018 0
x 2018 1
x 2019
x 0 không thỏa mãn điều kiện. Chọn D.
Câu 15: Cho hình phẳng D được giới hạn bởi các đường x 0, x 1, y 0 và y 2 x 1 . Thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox được tính theo công thức
1
A. V 2 x 1dx.
1
B. V 2 x 1 dx.
0
0
1
C. V 2 x 1 dx.
1
D. V 2 x 1dx.
0
0
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên a; b . Khi đó thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm
b
số y f ( x ) , trục hoành và các đường thẳng x a; x b là V f 2 x dx . Chọn B.
a
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A, AB AA ' a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng
BC’ và mặt phẳng ABB ' A ' .
A.
2
.
2
B.
6
.
3
C.
2.
D.
3
.
3
Hướng dẫn giải
Hình chiếu vuông góc của điểm C’ lên mặt phẳng ABB ' A ' là điểm A’. Do đó góc giữa đường thẳng
BC’ và mặt phẳng ABB ' A ' là góc C’BA’. Tam giác C’BA’ vuông tại A’ nên
tan C ' BA '
C ' A'
a
2
. Chọn A.
BA ' a 2
2
Câu 17: Cho hàm số f ( x) log3 2 x 1 . Giả trị của f '(0) bằng
A.
2
.
ln 3
B. 0.
C. 2ln 3.
D. 2.
Hướng dẫn giải
2
2
f '( x)
f '(0)
. Chọn A.
ln 3
2 x 1 ln 3
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 2a, tâm O, SO a (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng
A.
5a
.
5
B.
2a
.
2
C.
6a
.
3
D.
3a.
Hướng dẫn giải
OS, OC, OD là các đường thẳng đôi một vuông góc. Do đó:
1
1
1
1
1
1
1
2
a 2
. Chọn B.
2 2 2 2 h
2
2
2
2
h
OS
OC OD
a 2 a 2a
a
2
Câu 19: Trong không gian Oxyz cho điểm M 1;0; 1 , mặt phẳng đi qua M và chứa trục Ox có
phương trình là
A. y 0.
B. x z 0.
C. y z 1 0.
D. x y z 0.
Hướng dẫn giải
OM 1;0; 1 ; u Ox 1;0;0 n OM ; u Ox 0; 1;0 . Ngoài ra đi qua O 0;0;0 nên
phương trình mặt phẳng : 0 x 0 1 y 0 0 z 0 0 y 0 . Chọn A.
y 0
Chú ý: Trục Ox có phương trình
nên mặt phẳng chứa trục Ox có phương trình by cz 0
z 0
( b 2 c 2 0 ). Thay tọa độ điểm M vào phương trình, ta tìm được c 0 . Chọn b 1 ra được phương
trình mặt phẳng : y 0.
Câu 20: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 8 z 25 0. Giá trị của z1 z2 bằng
A. 8.
B. 5.
C. 6.
D. 3.
Hướng dẫn giải
z 4 3i
Ta có: z 2 8 z 25 0
. Do đó z1 z2 6i 6 . Chọn C.
z 4 3i
Câu 21: Đồ thị hàm số y
x2 1
B. 3.
A. 1.
TXĐ: ; 1 1; .
lim
x
x 1
x 1
x2 1
lim
x
có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
C. 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải
1
x 1 nên y 1 là 1 đường tiệm cận ngang.
1
1 2
x
1
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
lim
1
x 1 nên y 1 là 1 đường tiệm cận ngang.
lim
2
x
1
x 1
1 2
x
1
x 1
x
lim
x 1
x 1
x 1
lim
0 nên x 1 không phải là đường tiệm cận.
x 1. x 1 x1 x 1
lim
x 2 1 x1
x 1
lim
nên x 1 là đường tiệm cận đứng. Chọn B.
x 1
x2 1
x 1
Lưu ý: Đồ thị hàm số y
có dạng như hình bên dưới.
x2 1
x 1
Câu 22: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để
phương trình x 2 bx 2 0 có hai nghiệm phân biệt là
1
5
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
6
3
2
3
Hướng dẫn giải
b là số chấm xuất hiện trên mặt súc sắc nên b 1; 2;3; 4;5;6 .
Phương trình x 2 bx 2 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi b 2 8 0 b 2 8 . Do đó
1 2
b 3; 4;5;6 . Xác suất cần tính là: P 4. . Chọn A.
6 3
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x
B. 4.
A. 5.
4
trên đoạn 3; 1 bằng
x
C. 6.
D. 5.
Hướng dẫn giải
4 x 2 x 2
Hàm số liên tục trên 3; 1 có y ' 1 2
, trên 3; 1 , y ' 0 x 2 . Do đó
x
x2
Miny Min y(3); y(2); y(1) y 1 4 . Chọn B.
1
Câu 24: Tích phân
0
dx
bằng
3x 1
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
A.
4
.
3
3
.
2
B.
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Hướng dẫn giải
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
1
1 t
2
3x 1 d 3x 1 t dt . 1 . Chọn D.
30
30
3
3
2 0
Lưu ý: Dùng máy tính để giải nhanh hơn.
Câu 25: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm f '( x) x2 2 x, x R . Hàm số y 2 f ( x) đồng biến trên
khoảng
A. 0; 2 .
B. 2; .
C. ; 2 .
D. 2;0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 f x ' 2 f '( x) 2 x x 2 .
x
2 f ( x) '
0
0
2
0
Do đó hàm số y 2 f ( x) đồng biến trên 0; 2 . Chọn A.
1
Câu 26: Cho P : y x 2 và A 2; . Gọi M là 1 điểm bất kỳ thuộc P . Khoảng cách MA bé nhất là
2
A.
5
.
4
Giả sử M a; a
B.
2
2 3
.
3
2
.
2
C.
D.
5
.
2
Hướng dẫn giải
là điểm thuộc mp P . Ta có:
2
1
1
17
AM a 2 a 2 a 2 4a 4 a 4 a 2 a 4 4a
2
4
4
2
a 4 2a 2 1 2a 2 4a 2
a
5
4
2
1 2 a 1
2
2
5
5
.
4
2
Dấu bằng xảy ra khi a 1 , hay M 1;1 . Chọn D.
Lưu ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của AM, có thể khảo sát hàm số f (a) a 4 4a
17
trên R.
4
Câu 27: Cho khai triển 3 2 x x 2 a0 x18 a1 x17 a2 x16 ... a18 . Giá trị của a15 bằng
9
A. 218700.
B. 489888.
C. 804816 .
D. 174960.
Hướng dẫn giải
Dễ thấy a15 là hệ số của x3 trong khai triển 3 2x x 2 .
9
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
3 2 x x C .3 x
9
2 9
k 0
k
9
9k
2
2 x C9k .39k . Cki . x 2
k
9
k
k 0
i 0
k i
9
k
. 2 .xi . C9k .39k.Cki . 2 .x 2 k i
i
i
k 0 i 0
Ta cần tìm các bộ số i; k thỏa mãn i, k N , 0 i k 9 và 2k i 3 .
Ta có 3 2k i i , ngoài ra 2k chẵn nên i lẻ, do đó i 1 hoặc i 3 .
i 1 k 2; i 3 k 3 . Hệ số của x3 là: C92 .392.C21 . 2 C93 .393.C33 . 2 804816. Chọn C.
1
3
Câu 28: Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x 9 x 1 nghiệm đúng với mọi x R .
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a 103 ;104 .
B. a 102 ;103 .
C. a 0;102 .
D. a 104 ; .
Hướng dẫn giải
e 1
a 1
eln a 1
eln a 1
eln a 1
Lưu ý: lim
1, do đó lim
lim
ln a.lim
ln a.lim
ln a
x 0
x 0
x 0
x 0 x ln a
x 0 ln a x
x
x
x
Giả sử a là số thực dương để bất phương trình a x 9 x 1 nghiệm đúng với mọi x R .
a x 1
a x 1
Ta có: a x 9 x 1 đúng với mọi x 0
ln a , do đó
9 đúng với mọi x 0 . Mà lim
x 0
x
x
ln a 9 a e9 . (1)
ax 1
a x 1
x
a
9
x
1
ln a , do đó
Lại có:
đúng với mọi x 0
9 đúng với mọi x 0 . Mà lim
x 0
x
x
ln a 9 a e9 . (2)
Từ (1) và (2) suy ra a e9 . Thay a e9 vào, bất phương trình tương đương với e9 x 9 x 1 (3).
Đặt 9x t , bất phương trình tương đương với et t 1 0 (4).
Xét f (t ) et t 1 , f '(t ) et 1 , f '(t ) 0 t 0 . Ta có bảng biến thiên:
0
t
f '(t )
0
x
x
x
x
x
f (t )
0
Qua đó ta thấy f (t ) 0 t R . Vậy a e9 là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài. Chọn A.
Câu 29: Cho f ( x) liên tục trên R và f (2) 16,
A. 30.
Theo đề bài:
0
2
0
0
f (2 x)dx 2. Tích phân xf ' x dx
C. 36.
B. 28.
1
1
bằng
D. 16.
Hướng dẫn giải
2
2
2
dt
1
f (2 x)dx 2 , đặt 2x t dx . Do đó f (t )dt 2 f (t )dt 4 f ( x)dx 4
2
20
0
0
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
2
2
2
2
0
0
xf '( x)dx xd f ( x) xf ( x) 0 f ( x)dx 2 f (2) f ( x)dx 2.16 4 28. Chọn B.
2
0
0
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Câu 30: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử
dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn
cạnh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của
viên gạch bằng
800 2
A. 800cm 2 .
B.
cm .
3
400 2
C.
D. 250cm 2 .
cm .
3
Hướng dẫn giải
Gọi một cạnh hình vuông là AB (A, B là các
đỉnh). I là tâm hình vuông. O là trung điểm của
AB.
Xét hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O,
A 20;0 , B 20;0 , I 0; 20 .
Parabol P đi qua 3 điểm A, B, I cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ là 20 và 20 nên phương trình
P : a x 20 x 20 a x 2 400 . Vì P
1
. Do đó
20
20
1
1
1600
P : 20 x 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và AB: S 20 x2 dx
20
20
3
20
qua I 0; 20 nên 400a 20 a
Tổng diện tích phần tô đậm bằng tổng diện tích của 4 hình tạo bởi 4 parabol và các cạnh hình vuông, trừ
1600
1600
1600
đi diện tích hình vuông. Do đó: Stô đậm 4S 402 4.
(cm2 )
3
3
1
400
Diện tích mỗi cánh hoa: S S tô đậm
cm2 . Chọn C.
4
3
x 1 y 2 z 3
và mặt phẳng
1
2
1
: x y z 2 0 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng , đồng
Câu 31: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
thời vuông góc và cắt đường thẳng d?
x2 y4 z4
A. 2 :
.
1
3
2
x 5 y 2 z 5
C. 3 :
.
3
1
2
x 1 y 1 z
.
3
1
2
x2 y4 z4
D. 1 :
.
2
3
1
B. 4 :
Hướng dẫn giải
Gọi đường thẳng cần tìm là .
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng , đồng thời vuông góc với d có vectơ chỉ phương:
u ud ; n 1; 2;1 ; 1;1; 1 3; 2; 1 , loại đáp án A.
Gọi giao điểm của với d là A 1 t; 2 2t;3 t . Vì
A 1 t 2 2t 3 t 2 0 t 1 . Do đó A 2; 4; 4 . Điểm A này thuộc 3 và không
thuộc 1 và 4 . Chọn C.
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AC và B ' C ' (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách
giữa hai đường thẳng MN và B ' D ' bằng
A.
5a.
C. 3a.
5a
.
5
B.
D.
a
.
3
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Xét hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là u , đường thẳng d 2 có
vectơ chỉ phương v . M là điểm bất kỳ thuộc d1 , N là điểm bất kỳ thuộc d 2 . Khi đó, khoảng cách giữa
d1 và d 2 là:
d1; d2 .MN
d1; d2
.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CD chéo nhau là:
AB; CD . AD
AB; CD
Trở lại bài toán, giả sử a 1 , xét hệ tọa độ Oxyz với A ' 0;0;0 ; D ' 1;0;0 ; B ' 0;1;0 ; A 0;0;1 .
1 1
1 1 1
1
Khi đó: M ; ;1 ; N ;1;0 . Ta có: B ' D ' 1; 1;0 ; MN 0; ; 1 ; MD ' ; ; 1
2 2 2
2 2
2
MN ; B ' D ' .MD ' 1
. Chọn D.
Khoảng cách giữa MN và B ' D ' được tính bằng công thức: d
3
MN ; B ' D '
Câu 33: Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính
nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó
tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ
bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5, 4cm và chiều cao của
mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm . Bán kính của viên billiards đó bằng
A. 2, 7cm.
B. 4, 2cm.
C. 3, 6cm.
D. 2, 6cm.
Hướng dẫn giải
Gọi bán kính của khối cầu là r (cm). Theo đề bài: 0 r 4,5 .
Thể tích phần nước có trong cốc: V1 R 2 h .5, 42.4,5 131, 22
cm .
3
Vì khối cầu tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng nên chiều cao mực nước sau khi
dâng: h ' 2r . Do đó tổng thể tích của nước và khối cầu: V2 R 2 h ' .5, 42.2r 58,32 r cm3 .
4
Thể tích khối cầu: V V2 V1 58,32 r 131, 22 . Ngoài ra V r 3 , do đó ta có phương trình:
3
4 3
4
r 58,32 r 131, 22 r 3 58,32r 131, 22 0 , giải ra, ta thấy chỉ có nghiệm r 2, 7 thỏa
3
3
mãn điều kiện 0 r 4,5 . Chọn A.
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 10;10 để hàm số y m2 x 4 2 4m 1 x 2 1 đồng biến
trên khoảng 1; ?
A. 15.
B. 6.
C. 7.
D. 16.
Hướng dẫn giải
y ' 4m x 4 4m 1 x 4 x m x 4m 1 . Hàm số đồng biến trên 1; khi và chỉ khi y ' 0
với mọi x 1; và chỉ bằng 0 tại các điểm hữu hạn.
2 3
2
2
m2 x 2 4m 1 0 với mọi x 1; (1)
-
Với m 0 , thỏa mãn.
4m 1
4m 1
với mọi x 1;
1
2
m2
m
m 2 3
m 2 4m 1 0
m 0
m 2 3
Mà m 10;10 và m nguyên nên m9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0; 4;5;6;7;8;9 . Chọn D.
-
Với m 0 , 1 x 2
Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z z ?
2
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Với z a bi , ta có: z a b 2abi ; z a 2 b 2 ; z a bi .
2
2
2
2
2
a 2b 0
Ta có: z z z a b 2abi a b a bi 2b a i 2ab b 0
b 2a 1 0
Nếu b 0 , ta có a 0 z 0 .
1
b
1
2
Nếu a
, ta có 2 số phức z thỏa mãn. Chọn D.
1
2
b
2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 36: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R .
Bảng biến thiên của hàm số y f '( x) được cho như hình vẽ
x
bên. Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng
2
A. 2; 4 .
B. 0; 2 .
C. 2;0 .
D. 4; 2 .
Hướng dẫn giải
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
x
1 x
x 1
Ta có: f 1 x ' f ' 1 . 1 1 f ' 1 . Do đó
2 2
2 2
2
x
1 x
x
f 1 2 x ' 0 1 2 f ' 1 2 0 f ' 1 2 2 .
x
x
Nhận thấy với x 4; 2 ,1 2;3 nên f 1 2 , do đó với x 4; 2 thì hàm số
2
2
x
y f 1 x nghịch biến. Chọn D.
2
: 2 x y 2 z 2 0 ,
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
đường thẳng
x 1 y 2 z 3
1
và điểm A ;1;1 . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng , song song
1
2
2
2
với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng cắt mặt phẳng Oxy tại điểm B. Độ dài đoạn
d:
thẳng AB bằng
A.
7
.
2
B.
21
.
2
C.
7
.
3
D.
3
.
2
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và đi qua điểm M . Khoảng cách từ điểm S tới
đường thẳng d được tính theo công thức: d S / d
SM ; u
.
u
Lời giải:
Vì B thuộc mp Oxy , giả sử B a; b;0 . B B mp 2a b 2 0 b 2 2a
Điểm M 0;0; 1 là 1 điểm thuộc đường thẳng d.
MB a; b;1 . Theo đề bài, M d M / d 3
2b 2 1 2a 2a b
2
có 1 2a
2
2
MB; ud
3
ud
2
3 2b 2 1 2a 2a b 81 . Thế b 2 2a vào, ta
2
2
2
3
1 2a 3
a 1
9
. Với a 1 b 4 B 1; 4;0 . Với a 2 b 2
1 2a 3
a 2
B 2; 2;0 . Do đó AB
7
. Chọn A.
2
Câu 38: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ' x f x . f '' x 15x 4 12 x, x R và f 0 f ' 0 1.
2
Giá trị của f 2 1 bằng
A.
9
.
2
B.
5
.
2
C. 10.
D. 8.
Hướng dẫn giải
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
f ( x). f ''( x)dx f ( x).d f '( x) f ( x). f '( x) f '( x).d f ( x) f ( x). f '( x) f '(x) dx
Do đó f ( x) f ''( x)dx f '( x) dx f ( x). f '( x) C f ( x) f ''( x) f '( x) f ( x). f '( x) C
Mà f ( x) f ''( x) f '( x) 15 x 12 x dx 3x 6 x C . Do đó f ( x). f '( x) 3x 6 x C
2
Xét
2
2
2
4
5
5
2
2
Thay x 0 vào, ta có f (0). f '(0) C C 1 . Do đó f ( x). f '( x) 3x5 6 x2 1 .
1
Xét
0
1
Mà
1
f 2 ( x)
f 2 (1) f 2 (0) 1 2
1
f ( x). f '( x)dx f ( x).d f ( x)
f (1) .
2 0
2
2
2
0
1
1
f ( x). f '( x)dx 3x5 6 x 2 1 dx
0
0
1
1 7
7
. Do đó f 2 1 f 2 1 8 . Chọn D.
2
2 2
2
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y x3 a 10 x 2 x 1 cắt trục hoành
tại đúng một điểm?
A. 9.
B. 10.
C. 11.
D. 8.
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Số giao điểm của đồ thị hàm số y f ( x ) với trục hoành là số nghiệm của phương trình
f ( x) 0 .
1 1
Ta có: x3 a 10 x 2 x 1 0 x3 10 x 2 x 1 ax 2 x 10 2 a (do x 0 không là
x x
nghiệm).
2
1 1
1 2 x3 x 2 x 1 x x 2
Xét hàm số f ( x) x 10 2 ; f '( x) 1 2 3
x x
x
x
x3
x3
Ta có bảng biến thiên của f ( x) :
x
0
1
f '( x)
+
||
0
||
f ( x)
11
Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f ( x) a có đúng một nghiệm khi và chỉ khi a 11 a 11
Mà a là số nguyên âm nên a 10; 9; 8;...; 1 . Chọn B.
Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật OMNP với M 0;10 , N 100;10 và P 100;0 . Gọi
S là tập hợp tất cả các điểm A x; y , x, y Z nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu
nhiên một điểm A x; y S . Xác suất để x y 90 bằng
A.
169
.
200
B.
845
.
1111
C.
86
.
101
D.
473
.
500
Hướng dẫn giải
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Theo đề bài, ta có x, y Z ;0 x 100;0 y 10 . Do đó x có 101 cách chọn, y có 11 cách chọn nên
không gian mẫu: n 101.11 1111 .
Gọi X là biến cố chọn được điểm A thỏa mãn điều kiện đề bài và thỏa mãn x y 90 .
Nhận với với y y0 0;10 , x 90 y0 nên x 0;1; 2;...;90 y0 , do đó x có 91 y0 cách chọn.
10
Do đó: n A 91 y0 91 90 89 ... 81 946 .
0
Xác suất cần tính:
n A
n
946 86
. Chọn C.
1111 101
Câu 41: Giả sử a, b là các số thực sao cho x3 y3 a.103 z b.102 z đúng với mọi các số thực dương x,y,z
thỏa mãn log x y z và log x 2 y 2 z 1 . Giá trị của a b bằng
A.
31
.
2
B.
29
.
2
C.
31
.
2
D.
25
.
2
Hướng dẫn giải
log x y z
x y 10 z
2
Ta có:
2 xy x y x 2 y 2 102 z 10 z 1
2
2
2
z 1
2
log x y z 1 x y 10
102 z 10 z 1
3
1
3
3
3
3
3z
x y x y 3xy x y 10 3.
.10 z 103 z 103 z 102 z 1 .103 z 102 z 1
2
2
2
2
1
1
29
103 z 15.102 z . Do đó a ; b 15 nên a b
. Chọn B.
2
2
2
1
Câu 42: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết
1
f x dx 2 ,
2
0
1
1
f '( x) cos xdx 2 . Tính f ( x)dx.
0
0
A. .
B.
1
C.
.
2
.
D.
3
.
2
Hướng dẫn giải
Dùng phương pháp tích phân từng phần, ta có:
1
1
1
0
0
0
f '( x) cos xdx cos xd ( f ( x)) f ( x) cos x
1
f ( x)sin xdx
0
1
f ( x) sin x
2
0
2
1
0
0
f ( x)sin xdx f (1) f (0) f ( x)sin xdx
1
. Do đó:
2
1
1
1
0
0
2
1
1 1
dx f x dx 2 f ( x)sin xdx sin 2 x dx 2. 0 , mà
2
2 2
0
f ( x) sin x
1
1
0 nên
f ( x) sin x
2
0 . Dấu bằng phải xảy ra nên f ( x) sin x .
0
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Do đó
1
1
0
0
2
f ( x)dx sin xdx . Chọn C.
Câu 43: Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x 2 x 2 a ln x 2 x 1 0 nghiệm đúng với
mọi x R . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2;3
B. a 8; .
C. a 6;7 .
D. a 6; 5.
Hướng dẫn giải
2
1 3 3
Đặt x 2 x 1 t , ta có t x với mọi x R .
2 4 4
Ta có: x 2 x 2 a ln x 2 x 1 0 (1) t 1 a ln t 0 (2).
3
Để (1) đúng với mọi x R thì 2 đúng với mọi t ; . Xét hàm f (t ) t 1 a ln t .
4
a ta
f '(t ) 1
t
t
3
3
Nếu a 0 , ta có f '(t ) 0 với mọi t ; nên f (t ) đồng biến trên ;0 . Do đó:
4
4
3
3 3
3
3
3
f (t ) f 1 a ln . Để 2 đúng với mọi t ; thì 1 a ln 0
4
4 4
4
4
4
7
7
3
4
a ln a
6, 08 .
4
3
4
ln
4
Giả thiết yêu cầu tìm số thực a lớn nhất nên a 6;7 . Chọn C.
Câu 44: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác
SAB và M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD (tham khảo hình
vẽ bên). Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng GMN và ABCD .
A.
2 39
.
39
B.
3
.
6
C.
2 39
.
13
D.
13
.
13
Hướng dẫn giải
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ABCD . Gắn hệ trục tọa độ Oxyz , với H 0;0;0 ;
3
1
1
1
1
S 0;0;
; A ;0;0 ; B ;0;0 ; C ;1;0 ; D ;1;0 . Gọi n1 ; n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến
2
2
2
2
2
của các mặt phẳng (GMN );( ABCD) cos GMN ; ABCD
n1.n2
n1 n2
1 1 3 1 1 3
1 1 3
3
1
Dễ dàng tìm được G 0;0;
;
M
;
;
;
N
;
;
GM
; ;
; MN ;0;0
6
2
4 2 4 4 2 4
4 2 12
n1.n2
2 39
3 1
n1 GM ; MN 0;
; . Ngoài ra n2 0; 0;1 cos GMN ; ABCD
24 4
13
n1 n2
Chọn C.
Câu 45: Cho hàm số y f ( x ) có f '( x) x 1 x 2 2 x với mọi x R. Có bao nhiêu giá trị nguyên
2
dương của tham số m để hàm số y f ( x2 8x m) có 5 điểm cực trị?
A. 15.
B. 17.
C. 16.
D. 18.
Hướng dẫn giải
2
2
f x 2 8 x m ' f ' x 2 8 x m . 2 x 8 x 2 8 x m 1 x 2 8 x m 2 x 2 8 x m . 2 x 8
2 x 2 8 x m 1 x 2 8 x m x 2 8 x m 2 x 4
2
Rõ ràng các phương trình x2 8x m 0; x2 8x m 1 0; x2 8x m 2 0 có các nghiệm khác
nhau, do đó để hàm số y f ( x2 8x m) có 5 điểm cực trị thì phương trình x 2 8 x m 0 và
x 2 8 x m 2 0 đều có 2 nghiệm phân biệt khác 4.
2
2
1 4 m 0; 4 8.4 m 0
Điều này xảy ra khi:
m 16
2
2
2 4 m 2 0; 4 8.4 m 2 0
Mà m nguyên dương nên có 15 giá trị. Chọn A.
Câu 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác
vuông, AB BC a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ACC ' và
AB ' C '
bằng 60o (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối chóp
B '. ACC ' A ' bằng
a3
A.
.
3
a3
.
C.
2
B.
D.
a3
.
6
3a3
.
3
Hướng dẫn giải
1
2
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, ta có: VB '. ACC ' A' V VB '. ABC V V V .
3
3
Gọi M là trung điểm của A’C’ B ' M A ' C ' .
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Gọi N là hình chiếu của M lên AC ' AC ' MNB ' .
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (AC’C) và (AB’C’) là góc MNB ' .
a 2
B'M
a 6
MN
2
tan MNB '
6
6
a
MN
MN
2
tan AC ' A '
6
C'N
2
MC '2 MN 2 a 3
3
AA '
2
2
2
AA '
.A ' C '
. 2a a
A'C '
2
2
2
2
2 a3 a3
a 2 a3
V AA '.S ABC a. . Do đó VB '. ACC ' A ' V .
3
3 2
2
3
2
Chọn A.
Ta có: B ' M
Câu 47: Trong không gian Oxyz cho hai điểm
A 10;6; 1 , B 5;10; 9
và mặt phẳng
: 2 x 2 y z 12 0. Điểm M di động trên mặt phẳng sao cho MA, MB luôn tạo với các góc
bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn cố định . Hoành độ của tâm đường tròn bằng
A. 4.
B.
9
.
2
D. 10.
C. 2.
Hướng dẫn giải
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phẳng . Ta có:
AH d A; P
2.10 2.6 2 12
6; BK d B; P
22 22 12
2.5 2.10 9 12
22 22 12
Vì MA, MB luôn tạo với các góc bằng nhau nên sin AMH sin BMK
3
AH BK
MA 2MB
AM BM
Gọi I là 1 điểm bất kỳ. Khi đó:
2
MI IB
2
MA2 MA MI IA MI 2 IA2 2MI .IA
MB MB
2
2
2
4 MB 2 MA2 3MI 2 4 IB 2 IA2 2 MI 4 IB IA
MI IB 2MI .IB
2
2
10 34 34
Chọn điểm I sao cho IA 4 IB I ; ;
, ta có
3 3 3
IA2 4 IB 2
3MI 2 4 IB 2 IA2 0 MI 2
40 . Mà M nên M thuộc đường tròn giao của mặt
3
cầu tâm I, bán kính R 40 và mặt phẳng . Do đó tâm K của C là hình chiếu của I lên .
K 2;10; 12 . Chọn C.
Câu 48: Cho đồ thị C : y x3 3x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b 10;10 để có đúng một tiếp tuyến
của C đi qua điểm B 0; b ?
A. 2.
B. 9.
C. 17.
D. 16.
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
Hướng dẫn giải
y ' 3x 6 x . Tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x0 là:
2
y y ' x0 x x0 y0 3x02 6 x0 x x0 x03 3x02 . Tiếp tuyến này đi qua điểm B 0; b khi và chỉ
khi b 3x02 6 x0 . x0 x03 3x02 2 x03 3x02 b (1).
Cần tìm các giá trị nguyên b 10;10 để 1 có đúng 1 nghiệm x0 .
Xét hàm số f ( x) 2 x3 3x 2 ; f '( x) 6 x 2 6 x 6 x x 1 , ta có bảng biến thiên:
x
f '( x)
+
0
0
0
1
0
f ( x)
1
b 1 b 1
Để phương trình 1 có đúng 1 nghiệm x0 thì
. Mà b 10;10 nên
b 0
b 0
b 9; 8;...; 1; 2;3; 4;...9 . Chọn C.
Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : x z 3 0 và điểm M 1;1;1 . Gọi A là điểm thuộc
tia Oz , B là hình chiếu của A lên . Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB
bằng
A. 6 3 .
B.
3 3
.
2
C.
3 123
.
2
D. 3 3.
Hướng dẫn giải
Giả sử A 0;0; c , vì A tia Oz nên c 0 ; B nên B a; b; a 3 . Ta có: AB a; b; a c 3 và
n 1;0; 1 .
Vì AB cùng phương với n
a a c 3
c 2 a 3
3
nên ta có: 1
a
1
2
b 0
b 0
Do đó, A 0;0; 2a 3 ; B a;0; a 3 .
MA2 12 12 2a 3 1 2a 4 2 4a 2 16a 16 2 4a 2 16a 18
2
2
MB 2 a 1 12 a 4 a 2 2a 1 1 a 2 8a 16 2a 2 10a 18 .
2
2
a 0
3
Theo đề bài, MA MB 2a 2 6a 0
. Vì a a 3 .
2
a 3
Do đó: A 0;0;3 ; B 3;0;0 , do đó SMAB
1
3 3
MA; MB
.Chọn B.
2
2
Câu 50: Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1 z2 2. Giá trị lớn nhất
của z1 z2 bằng
A. 4.
B. 2 3.
C. 3 2.
D. 3.
Xem Video chữa bài trên YouTube tại: />About Me:
Tham khảo thêm nhiều đề tại website: />Anh Đức – Cựu học sinh khối THPT chuyên Toán – Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN
SĐT: 0984207270
