UNG DUNG DINH LI VIET TOAN ON THI VAO LOP 10 HAY

Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

---------------------------Định lý Viét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c
= 0 (a 0) th×:
b

x  x 2 
 1
a

c
 x .x 
 1 2 a

* Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt)
a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã a + b +
c = 0 th× phơng
trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn

c
a

nghiệm kia là:

x2 =
b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã a - b
+ c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn

c
a

nghiệm kia

là: x2 =

u v S
u.v P

* Nếu có hai số u và v thoả mÃn

điều kiện:

thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: x2 Sx + P = 0.
điều kiện để cã hai sè u, v lµ: S2 – 4P  0.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của
định lý Viét trong giải một số dạng toán.
-1-

h


I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều
kiện của tham số để bài toán thoả mÃn các yêu cầu đặt ra.

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x 1, x2 của
phơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mÃn điều kiện

x12 x22 1
Bài giải:
Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt
hoặc nghiÖm kÐp): m  0 ; ' ≥ 0
' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
'  0  m  4.
Víi 0  m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x 1; x 2
của phơng trình có liên hệ:
x1 + x 2 =

2( m  2)
;
m

x1.x2 =

m 3
m

Do ®ã: 1 = x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =

2(m  3)
4( m  2) 2
2
m
m

 m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m

 m2 - 10m + 16 = 0
 m = 2 hc m = 8
Giá trị m = 8 không thoả mÃn điều kiện 0  m  4
VËy víi m = 2 th× x12 x22 = 1
Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m 3) = 0. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt
1

1

x x2

1
thoả mÃn x x  5
1
2

-2-

h


Bài giải:

' ( (m 2))2 (m2 2m 3)  0(1)

(2)
Ta ph¶i cã:  x1.x2 0
 1 1 x1  x2
(3)
x x  5

2
 1
(1)  ' = m2 - 4m + 4 - m 2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0
 m<

7
6

(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1;
m-3
(3) 

x1  x2 x1  x2

 ( x1  x2 )(5  x1 .x2 ) 0
x1 .x2
5

 Trêng hỵp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2 m = 2 không thoả
mÃn điều kiện (1)
Trờng hỵp: 5 - x1.x2 = 0  x1.x2 = 5
Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5  (m - 2)(m + 4) = 0
 m 2 (lo¹i)

 m 4 (thoảmÃnĐ K)

Vậy với m = - 4 phơng trình đà cho có 2 nghiệm x 1, x2
phân biệt tho¶ m·n
x  x2
1

1

 1
x1 x 2
5

VÝ dơ 3: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4)
= 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x 1; x2 của phơng trình
thoả mÃn
x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào
m
Bài giải:

-3-

h


(1)
2( m  1)

 x1  x2 
m

(2)
m 4
 x1.x2 
m

a) Ta ph¶i cã: 
(3)
x

4
x

3
 1
2
 m 0


 (4)
2
  ' (  ( m  1)  m( m 4) 0
Từ (1) và (3) tính đợc: x2
Thay vào (2) đợc

m 2
5m 8
; x1
3m
3m

(m 2)(5m  8) m  4

m
9m 2

 2m2 - 17m + 8=0

Giải phơng trình 2m2 - 17m + 8 = 0 đợc m = 8; m =

1
thoả mÃn
2

điều kiện (4).
1
Vậy với m = 8 2 hoặc m = thì các nghiệm của
phơng trình thoả
mÃn x1 + 4x2 = 3.
b) Theo hệ thøc ViÐt:
x1 + x 2 = 2 +

2
m

x1 + x 2 = 1 -

4
m

Thay

(*)

2
= x1 + x2 - 2 vµo (*) đợc x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)

m

VËy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)
VÝ dô 4: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung:
x2 + 2x + m = 0

(1)

x2 + mx + 2 = 0

(2)
Bài giải:

Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 phơng trình khi
đó ta cã
x02  2 x0  m 0

x02  mx0  2 0
-4-

h


Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x0 = m 2
NÕu m = 2 c¶ hai phơng trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô
nghiệm
Nếu m 2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3
Víi m = - 3:

(1) lµ x2 + 2x – 3 = 0; cã nghiÖm x1 = 1 vµ

x2 = - 3
Vµ (2) lµ x2 - 3x + 2 = 0; cã nghiƯp x3 = 1 vµ x4 = 2
Rõ ràng với m = - 3 thì hai phơng trình có nghiệm
chung x = 1.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0
(1)
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có
nghiệm x1 = 2x2.
Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi
đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình
thoả mÃn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x 1, x2 mà không phụ thuộc vào
m.
Bài 3:
a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật
một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
-5-

h


x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0

(1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0

(2)

b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1)
là nghiệm của phơng trình (2) và ngợc lại.
II. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập phơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc
hai một ẩn số:

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho x1 =

3 1
;
2

x2 =

1
1 3

Lập phơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ: x1; x2
3 1
2

Ta cã: x1 =
1

3

1  3 1 

3





;

x2 =

1
1 3

=

3 1
2

Nªn x1.x2 =
x1 + x2 =

1
1
3 1
.
=

2
1 3
2
1
3 1
+
=
1 3
2

3

Vậy phơng trình bậc hai cã 2 nghiƯm: x1; x2 lµ x2 -

3 x+

1
=0
2

Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0
VÝ dô 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - 1 = 0

(1)

Không giải phơng trình (1), hÃy lập một phơng trình
bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1)
Cách giải:

-6-

h


Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình đà cho theo hÖ
thøc viÐt, ta cã:
x1 + x2 = -5;

x1.x2 = - 1

Gọi y1; y2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có:
y1 + y2 = x14 x24
y1..y2 = x14.x24
Ta cã:

x14  x24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727

x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1
Vậy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0
VÝ dơ 3: T×m các hệ số p và q của phơng trình: x2 +
px + q = 0 sao cho hai nghiÖm x 1; x2 của phơng trình thoả
x1 x2 5
3
3
x1 x2 35

mÃn hệ:

Các giải:
Điều kiện = p2 - 4q  0 (*) ta cã:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Tõ ®iỊu kiƯn:
  x1  x2  2 25
 x1  x2 5
 
 3
3
2
2
 x1  x2 35
  x1  x2  x1  x1 x2  x 2 35





  x1  x2  2  4x1x2 25
 

2
 5  x1  x2   2 x1 x2  x1 x 2 35





 p1  4 q 25
 2
 p q 7

Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 vµ p = - 1; q = 6

Cả hai cặp giá trị này đều thoả mÃn (*)

2) Bµi tËp:
-7-

h


Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
và

3+ 2

1
3 2

Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mÃn điều kiện:
Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và

x1
x2
+
=
x1 1
x2 1

k2 7
k2 4

Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x2 + mx +

n=0
Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n.
Iii. ứng dụng của định lý viét trong giải to¸n chøng minh.

1. C¸c vÝ dơ:
VÝ dơ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình: x2 + px
+ 1 = 0 và b, c là nghiệm của phơng trình x2 + qx + 2 = 0
Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Híng dÉn häc sinh giải. Đây không phải là một bài toán
chứng minh đẳng thức thông thờng, mà đây là một đẳng
thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phơng
trình và hệ số của các phơng trình đó. Vì vậy đòi hỏi
chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý
Viét vào trong quá trình biến đổi vế của đẳng thức, để
suy ra hai vế bằng nhau.
Cách giải:
a,b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
b,c là nghiệm của phơng trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo
định lý viét ta có:

-8-

h


 a b - p
 b  c - q
vµ 

 a.b1

 b.c2

Do ®ã: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3
(1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)

Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mÃn ®iỊu kiƯn:
a+b+c=-2

(1);

a2 + b 2 + c2 = 2

(2)
Chøng m×nh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn

4
3 ;0

khi biểu diễn trên trục số:
Cách giải:
Bình phơng hai vế của (1) đợc:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
 bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a 2 + 2a +
1
Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của

phơng trình:
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm thì ta phải có:
= (a+2)2 - 4(a2+2a+1)  0
 a(3a + 4)  0 -

4
a0
3

Chứng minh tơng tự ta đợc: -9-

4
4
b  0; -  c  0
3
3

h


2. Bµi tËp:
Bµi 1: Gäi a, b lµ hai nghiƯm của phơng trình bậc hai:
x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 +
qy + 1 = 0
Chøng minh hÖ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
Bµi 2: Chøng minh r»ng khi viÕt sè x = () 200 dới dạng thập
phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau
dấu phẩy là 9.
iii. áp dụng định lý viét giải phơng trình và hệ phơng

trình.

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:

5 x
x

x 1

5 x

x
=6
x 1


Hớng dÉn:
§KX§: {xR  x  - 1}
5 x

 u  x. x 1
Đặt:
5 x
x
x 1


u  ?
 

 u. ?

TÝnh: u, v, råi tõ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x R x - 1}
5 x

u x. x 1
Đặt:
5  x (*)
  x 
x 1



5 x
 5 x 
 u   x. x  1    x  x  1 

 

 

5

x
5

x





 u.  x.
. x 


x 1 
 x 1  

u, v là nghiệm của phơng trình:

u 5

u. 6

x2 - 5x + 6 = 0

 = 25 – 24 = 1
x1 =
-10-

5 1
=3
2

h


x2 =

5 1
=2
2

u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 th× v = 3
 u 3
th× (*) trë thµnh: x2 - 2x + 3 = 0


2


NÕu: 

' = 1 3 = - 2 < 0
Phơng trình vô nghiệm:
u 2
thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0


3


NÕu: 

Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phơng trình:
a)

x  y 11

 xy 31

b)

 x  y  yx 7
2
xy x2y 12

Bài giải:
a) x,y là nghiệm của phơng trình: x2 - 11x +31 = 0
=(-11)2 - 4.1.31 = 121 124 = 3 <0
Phơng trình vô nghiệm
Vậy hệ phơng trình đà cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S vµ xy = P
 S P 7
S.P12

Ta có hệ:

Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t2 7t +
12 = 0.
Giải phơng trình này đợc t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phơng
trình:
u2 - 4u + 3 = 0
-11-

h


 u = 1 vµ u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1)
+ NÕu S = 3 th× P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phơng
trình:
v2 3v + 4 = 0
Phơng trình này vô nghiệm vì = 9 - 16 = - 7 < 0
VËy hÖ ®· cho cã hai nghiƯm sè lµ:
(x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y =1)
2. Bµi tËp:
Bµi 1: Giải phơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
Bài2: Giải các hệ phơng trình sau:
x  y 9
a)
 2
2
 x  y 4
b)

 x  y 3
4
4
x y 17

V. Định lý viét với bài toán cực trị:

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
T×m m để x12 x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét:  = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m 2 - 8m + 9 = 4(m 1)2 + 5 > 0
Nên phơng trình đà cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
 x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

-12-

h


=4m2 - 6m + 5 = (2m DÊu “=” x¶y ra khi m =
VËy Min(x12 + x22) =

3 2
11
11
) +

2
4
4
3
4

11
3
khi m =

4
4

VÝ dơ 2: Gäi x1; x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Cách giải:
Để phơng trình ®· cho cã nghiƯm th×:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 
0
 - 5  m  - 1 (*)
Khi ®ã theo hƯ thøc ViÐt ta cã:

x1 + x 2 = - m - 1

m 2  4m  3
x1 .x2 =
2

Do ®ã: A = 

m 2  8m  7

2

Ta cã: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*)
thì:
(m + 1)(m + 7)  0.
9
 m 2  8m  7

9  (m  4) 2
Suy ra: A =
=

2
2
2

DÊu b»ng x¶y ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:

9
khi m = - 4, giá trị này
2

thoả mÃn điều kiện (*).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhÊt cña
A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y  0; x + y =

-13-

h


Cách giải:
A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1
Ta cã: x + y =  x2 + y2 = 10 - 2xy
 x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2
 x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2
Đặt : xy = t th× x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2

Do ®ã A = 100 - 40t + 2t 2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 40t +
101
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45
= (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45  45
Min(A) = 45  t = 2, khi đó xy = 2; x + y =

nên x và y

là nghiệm của phơng trình X2 - X + 2 = 0.
Tức là x =

10 2
; y =
2

10
2

2

hoặc x =

10
2

2

; y =

10 2
2

b) Tìm giá trị lín nhÊt:
2

2
 10 
5
5
 x y
 =   0t  
Ta cã: 0  xy  
 = 

 2
 2
 2 
 2 

(1)

ViÕt A díi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101.
Do (1) nªn t3 

125
125
; 2t  5  t3 + 2t - 40 
+ 5 - 40 <
8

8

0 cßn t  0 nên A 101
Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y =
hoặc x = ; y = 0
2. Bµi tËp:
Bµi 1: Gäi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
-14-

h


Tìm m để

x12 x22 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cđa biĨu thøc
A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bµi 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
(m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x 1; x2 của phơng
trình thoả mÃn 10x1x2 + x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị đó.

-15-

h