Chi tiết giao án toán lớp 8 full

HOÀNG V N TR

C

A. CH

NG

NG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC A TH C ..................... 9

I. NHÂN

N TH C V I A TH C, NHÂN A TH C V I

A TH C . 10

1. Tóm t t lý thuy t. ........................................................................................... 10
2. Ví d ................................................................................................................ 10
II. NH NG H NG

NG TH C ÁNG NH ............................................... 10

1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 .............................................................................. 10
2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2................................................................................ 10
3. A2 – B2 = (A + B)(A - B) ............................................................................... 10
4. (A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3AB2 + B3 .............................................................. 10
5. (A - B)3 = A3 - 3 A2B + 3AB2 - B3 ................................................................ 10
6. A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) ................................................................. 10
7. A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) .................................................................. 10
8. (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC ..................................... 10
9. (A - B + C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2BC + 2AC ........................................ 10

10. an + bn = (a + b)(an-1+ - an-2b + …. - a.bn-2 + bn-1), v i n l thu c N. .......... 10
11. an - bn = (a - b)(an-1+ + an-2b + …. + a.bn-2 + bn-1) ........................................ 10
III. PHÂN TÍCH A TH C THÀNH NHÂN T ............................................. 10
1. nh ngh a: phân tích đa th c thành nhân t (hay th a s ) là bi n đ i đa
th c đó thành tích c a nh ng đa th c. ............................................................... 10
2. Ph
IV. CHIA

ng pháp: .................................................................................................. 10
N TH C CHO

N TH C ......................................................... 11

1. nh ngh a: Gi s A và B là hai đ n th c, #0. Ta nói A chia h t cho B
n u tìm đ c m t đ n th c Q sao cho A= B.Q. ........................................... 11
2. Quy t c: ........................................................................................................... 11
V. CHIA A TH C CHO

N TH C .............................................................. 11

1. Quy t c: a th c A và đ n th c B (B#0). .................................................... 11
2. Chú ý: Tr ng h p A có th phân tích đa th c thành nhân t , th ng ta
phân tích tr c. ................................................................................................... 11


HOÀNG V N TR

NG

VI. CHIA A TH C M T BI N Ã S P X P ............................................... 11

1. Ph ng pháp: V i hai đa th c A và B c a cùng m t bi n (B#0), t n t i
duy nh t m t c p đa th c Q và R sao cho A= B.Q + R, trong đó R=0 ho c R
b c c a R nh h n b c c a B. ............................................................................ 11
B. CH

NG II : PHÂN TH C

I. PHÂN TH C

I S .............................................................. 12

I S ....................................................................................... 12

1. nh ngh a : M t phân th c đ i s là m t bi u th c có d ng A/B, trong đó
A, B là nh ng đa th c và B#0. ........................................................................... 12
2. Hai phân th c b ng nhau : cho hai phân th c A/B và C/D (B, D # 0). ...... 12
II. TÍNH CH T C B N C A PHÂN TH C .................................................. 12
1. Tính ch t : ...................................................................................................... 12
2. Quy t c đ i d u: n u đ i d u c t và m u c a phân th c thì đ c m t
phân th c b ng phân th c đã cho....................................................................... 12
III. RÚT G N PHÂN TH C ............................................................................... 12
1. Quy t c: Mu n rút g n m t phân th c đ i s ta ph i: .................................. 12
IV. QUY

NG M U TH C NHI U PHÂN TH C ...................................... 12

1. Quy đ ng m u th c:
th c hi n phép c ng và phép tr các phân th c
không cùng m u th c, ta c n bi n đ i các phân th c đã cho thành nh ng phân
th c có m u th c chung. Phép bi n đ i này g i là quy đ ng m u th c. ......... 12

2. Cách tìm m u th c chung (MTC): .............................................................. 12
3. Quy đ ng m u th c: ...................................................................................... 13
V. PHÉP C NG CÁC PHÂN TH C

I S .................................................... 13

1. C ng hai phân th c cùng m u: Mu n c ng hai hay nhi u phân th c cùng
m u ta c ng các t th c v i nhau, gi nguyên m u th c và rút g i các phân
th c và tìm đ c n u có th . .............................................................................. 13
2.C ng hai phân th c khác m u: Mu n c ng hai hay nhi u phân th c khác
m u ta quy đ ng các m u r i c ng các t th c v i nhau, gi nguyên m u th c
và rút g i các phân th c và tìm đ c n u có th . ............................................. 13
CÁC PHÂN TH C

I S ..................................................... 13

1. Phân th c đ i: Hai phân th c đ

c đ i nhau n u t ng c a chúng b ng 0. 13

VI. PHÉP TR


HOÀNG V N TR

NG

2. Phép tr : Mu n tr phân th c A/B cho phân th c C/D b ng cách ta c ng
A/B v i phân th c đ i c a C/D.......................................................................... 13
VII. PHÉP NHÂN CÁC PHÂN TH C

I S ................................................ 13

1. Quy t c: Mu n nhân 2 phân th c đ i s ta nhân các t th c v i nhau, các
m u th c v i nhau r i rút g n phân th c v a tìm đ c. .................................. 13
2. Các tính ch t: ................................................................................................. 13
VIII. PHÉP CHIA PHÂN TH C

T S ........................................................ 14

1. Phân th c ngh c đ o: Hai phân th c đ c g i là ngh ch đ o nhau n u tích
c a chúng b ng 1. ............................................................................................... 14
2. Phép chia phân th c đ i s : Mu n chia phân th c A/B cho phân th c C/D
#0, b ng cách ta nhân phân th c A/B v i phân th c ngh ch đ o c a C/D ...... 14
3. Chú ý: phép chia đ c th c hi n t trái sang ph i ho c đ i phép chia thành
phép nhân. ........................................................................................................... 14
IV. BI N
I CÁC BI U TH C H U T . GIÁ TR C A M T PHÂN
TH C. ..................................................................................................................... 14
1. Bi u th c h u t : ........................................................................................... 14
2. Giá tr c a m t phân th c: Giá tr c a phân th c ch xác đ nh v i đi u ki n
giá tr c a m u th c khác 0 ................................................................................ 14
C. PH
I. PH

NG TRÌNH B C NH T M T N ....................................................... 14
NG TRÌNH M T N ............................................................................. 14

1. nh ngh a: M t ph ng trình v i n x có d ng A(x) = B(x), trong đó v
trái A(x) và v ph i B(x) là hai bi u th c c a cùng m t bi n x ....................... 14

2. Gi i ph
3. Ph
II. PH

ng trình:......................................................................................... 14

ng trình t

ng: ......................................................................... 15

ng đ

NG TRÌNH B C NH T M T N ..................................................... 15

1. nh ngh a: Ph ng trình d ng ax + b = 0, v i a, b là 2 s đã cho và a #0,
đ c g i là pt b c nh t m t n. .......................................................................... 15
2. Hai quy t c bi n đ i: ..................................................................................... 15
3. G i ph
III. PH
1. Các b

ng trình ........................................................................................... 15

NG TRÌNH

A

C V PT B C NH T 1 N ....................... 15

c. ........................................................................................................ 15

HOÀNG V N TR

NG

2. Các pt đ c bi t ................................................................................................ 15
NG TRÌNH TÍCH ................................................................................ 16

IV. PH

1. Tính ch t c a phép nhân: Trong m t tích n u có m t th a s b ng 0 thì
tích đó b ng 0 và ng c l i. ............................................................................... 16
2. D ng t ng quát: ............................................................................................. 16
- A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 ho c B(x) = 0. ...................................................... 16
c gi i: ................................................................................................ 16

3. Các b
-B

c 1:

-B

c 2: Gi i pt và k t lu n .............................................................................. 16

VI. PH

a pt đã cho v d ng t ng quát: A(x).B(x) = 0 ............................. 16

NG TRÌNH CH A N

M U ......................................................... 16

1. i u ki n xác đ nh c a m t pt ...................................................................... 16
2. Các b

c gi i pt ............................................................................................. 16

VII. GI I BÀI TOÁN B NG CÁCH L P PH
1. Các b

NG TRÌNH..................... 16

c ......................................................................................................... 16

2. L u ý đi u ki n cho n .................................................................................. 16
3. Các d ng toán: ............................................................................................... 17
a. D ng 1: toán có n i dung s h c ................................................................. 17
b. D ng 2: Tu i .................................................................................................. 18
c. D ng toán chuy n đ ng ................................................................................ 18
d. D ng toán có n i dung công vi c ................................................................. 19
D. B T PH

NG TRÌNH B C NH T M T N ............................................ 22

I. LIÊN H GI A TH

T

VÀ PHÉP C NG ................................................. 22

1. B t đ ng th c: Ta g i h th c d ng a<b (hay a>b,; a<=b; a>=b) là b t đ ng
th c. ..................................................................................................................... 22
2. Tính ch t: Khi c ng cùng m t s vào 2 v c a m t b t đ ng th c ta đ c
b t đ ng th c m i cùng chi u v i b t đ ng th c đã cho. ................................. 22
II. LIÊN H GI A TH
1. Liên h bdt v i s d

T

VÀ PHÉP NHÂN ............................................... 23

ng: .................................................................................. 23

2. Liên h bdt v i s âm ......................................................................................... 23


HOÀNG V N TR

NG

3. Tính ch t b c c u c a th t : .......................................................................... 23
NG TRÌNH M T N ................................................................ 23

III. B T PH

1. Khái ni m: G i s A(x) và B(x) là 2 bi u th c ch a bi n x. Khi nói A(x) >
B(x) ho c A(x) < B(x) là m t bpt, ta hi u r ng ph i tìm các giá tr c a bi n x
đ giá tr c a A(x) l n h n ho c bé h n giá tri B(x) ........................................ 23

2. T p h p t t c các nghi m c a bpt là t p nghi m c a bpt. ....................... 23
3. B t ph

ng trình t

IV. B T PH

ng đ

ng là bpt có cùng t p h p nghi m............... 23

NG TRÌNH M T N ............................................................. 23

1. nh ngh a: B t pt d ng ax+b<0 (ho c ax+b>0, <=0,>=0) trong đó a và b
là hai s đã cho a#0 g i là bpt m t n. .............................................................. 23
2. Hai quy t c bi n đ i ....................................................................................... 23
V. PH
1.

NG TRÌNH CH A GIÁ D U TR TUY T

nh ngh a: Giá tr tuy t đ i c a a, ký hi u |a| đ

I .......................... 23

c đ nh ngh a nh sau: 23

2. Gi i bpt ch a d u giá tr tuy t đ i ............................................................... 24
3. M t s tính ch t quan tr ng ......................................................................... 24
E. CH

NG I: T

GIÁC ....................................................................................... 25

I. T giác ................................................................................................................. 25
1. nh ngh a: T giác ABCD là hình g m b n đo n th ng AB, BC, CD, DA,
trong đó b t k 2 đo n th ng nào c ng không n m trên cùng m t m t ph ng.
.............................................................................................................................. 25
2. T giác l i: là t giác luôn n m trong n a m t ph ng mà b là đ ng th n
ch a b t k c nh nào c a t giác. ...................................................................... 25
3.

nh lý: t ng b n góc c a m t t giác b ng 360 đ .................................... 25

II. HÌNH THANG ................................................................................................. 25
1. Hình thang là m t t giác có hai c nh đ i song song ................................. 25
2. Nh n xét :........................................................................................................ 25
3. Hình thang vuông .......................................................................................... 25
III. HÌNH THANG CÂN...................................................................................... 26
1. nh ngh a : Hình thang cân là hình thang có hai góc k m t đáy b ng
nhau ...................................................................................................................... 26


HOÀNG V N TR

NG

2. Tính ch t : ...................................................................................................... 26
3. D u hi u nh n bi t :

ch ng minh hình thang cân ta ph i ch ng minh
hình thang đó có m t trong các tính ch t sau :.................................................. 26
IV. D
NG TRUNG BÌNH C A TAM GIÁC,
NG TRUNG BÌNH
C A HÌNH THANG ............................................................................................ 26
1. nh ngh a :
ng trung bình c a tam giác là đo n th ng n i trung đi m
hai c nh c a tam giác. ......................................................................................... 26
2. Các đ nh lý : ................................................................................................... 26
3.

ng trung bình c a hình thang: ............................................................. 26

V. D NG HÌNH THANG B NG TH

C VÀ COMPA .............................. 27

1. Phân tích: Gi s đã d ng đ c hình th a mãn t t c các yêu c u c a bài
toán. C n c vào đó xét m i liên h gi a các b ph n, các y u t c a hình đ
đ nh ra nên d ng b ph n ho c y u t nào c a hình tr c sao cho t đó có th
d ng đ c hình c n d ng. .................................................................................. 27
2. D a vào b c phân tích trên, l n l t nêu rõ các phép d ng và th hi n các
phép d ng trên hình v . ...................................................................................... 27
3. Ch ng minh: B ng l p lu n , ch ng t r ng hình đã d ng th a mãn các yêu
c u c a bài toán ................................................................................................... 27
4. Bi n lu n: V i đi u ki n nào c a gi thi t thì các phép d ng đã nêu trên
th c hi n đ c. Khi đó có bao nhiêu nghi m hình ........................................... 27
VI.

I X NG TR C ......................................................................................... 27

1. Hai hình đ i x ng qua m t đ

ng th ng: .................................................. 27

2. Hình có tr c đ i x ng ................................................................................... 27
VII. HÌNH BÌNH HÀNH ..................................................................................... 28
1. nh ngh a: Hình bình hành là m t t giác có các c nh đ i song song hay
là hình thang cân có hai c nh bên song song. ................................................... 28
2. Tính ch t: ....................................................................................................... 28
3. Các d u hi u nh n bi t hình bình hành. .................................................... 28
VIII.

I X NG TÂM ........................................................................................ 28

1. Hai đi m đ i x ng qua m t đi m: Hai đi m g i là đ i x ng v i nhau qua
đi m O n u O là trung đi m c a đo n th ng n i hai đi m đó.......................... 28


HOÀNG V N TR

NG

2. Hai hình đ i x ng qua m t đi m ................................................................. 28
3. Tâm đ i x ng c a m t hình. ........................................................................ 28
IX. HÌNH CH

NH T ........................................................................................ 29

1. nh ngh a: Hình ch nh t là m t t giác có 4 góc vuông ( HCN c ng là
hình thang cân, hình bình hành) ......................................................................... 29
2. Tính ch t: ....................................................................................................... 29
3. D u hi u nh n bi t: ....................................................................................... 29
4. Áp d ng vào tam giác. ................................................................................... 29
X.
NG TH NG SONG SONG V I
NG TH NG CHO TR
C
.................................................................................................................................. 30
1. Kho ng cách gi a hai đ
2. Tính ch t đ

ng th ng song song .......................................... 30

ng th ng song song v i đ

ng th ng cho tr

c ................ 30

XI. HÌNH THOI .................................................................................................... 30
1.

nh ngh a: Hình thoi là t giác có b n c nh b ng nhau. .......................... 30

2. Tính ch t ......................................................................................................... 30
3. D u hi u nh n bi t hình thoi ....................................................................... 30
XII. HÌNH VUÔNG .............................................................................................. 31
1. nh ngh a: Hình vuông là m t t giác có b n góc vuông và b n c nh

b ng nhau. ........................................................................................................... 31
2. Tính ch t: Hình vuông có t t c các tính ch t c a hình ch nh t và hình
thoi. ...................................................................................................................... 31
3. D u hi u nh n bi t: ....................................................................................... 31
XIII. T NG H P CH
F. CH

NG I ........................................................................... 31

NG II. A GIÁC DI N TÍCH A GIÁC ............................................ 32

I. A GIÁC A GIÁC

U................................................................................ 32

1. nh ngh a: a giác l i là đa giác luôn n m trong m t n a m t ph ng mà
b là đ ng th ng ch a b t ký c nh nào c a đa giác ....................................... 32
2. a giác đ u là đa giác có t t c các góc và các c nh b ng nhau ................ 32
3. T ng s đo các góc c a hình n giác là: (n-2).180 đ suy ra s đo c a m t
góc đa giác đ u n c nh là: ((n-2).180)/n ............................................................ 32


HOÀNG V N TR
4. S đ

NG

ng chéo c a hình n giác là: n.(n-3)/2 ................................................ 32

II. DI N TÍCH HÌNH CH

NH T ................................................................... 32

1. Khái ni m: s đo c a m t ph n m t ph ng gi i h n b i m t đa giác đ c
g i là di n tích c a đa giác đó. ........................................................................... 32
2. Các công th c ................................................................................................. 33
C. CH
I.

NG III. TAM GIÁC

NG D NG ..................................................... 33

NH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC ...................................................... 33
1. T s c a hai đo n th ng:............................................................................. 33
2. o n th ng t l : ............................................................................................ 33

II.

NH LÝ

O VÀ H QU C A

NH LÝ TA LÉT ........................... 34

1. nh lí đ o : N u m t đo n th ng c t hai c nh c a m t tam giác và đ nh ra
trên hai c nh này nh ng đo n th ng t ng ng t l thì đ ng th ng đó song
song v i c nh còn l i c a tam giác. ................................................................... 34
2.H qu c a đ nh lí ta lét ................................................................................. 34
III. TÍNH CH T C A

1.

NG PHÂN GIÁC TAM GIÁC ......................... 35

nh lí : ........................................................................................................... 35

2. Chú ý ............................................................................................................... 35
IV. KHÁI NI M HAI TAM GIÁC
1.

NG D NG ......................................... 36

nh ngh a : ................................................................................................... 36

2. Tính ch t ......................................................................................................... 36
3.

nh lí : ........................................................................................................... 37

4. Chú ý ............................................................................................................... 37
V. CÁC TR

NG H P

NG D NG ........................................................... 37

1. C NH C NH C NH .................................................................................... 37
2. C NH GÓC C NH ....................................................................................... 38
3. GÓC GÓC ....................................................................................................... 38
VI. CÁC TR

1.

NG H P

NG D NG C A TAM GIÁC VUÔNG ........ 39

nh ngh a ...................................................................................................... 39

2. D u hi u ......................................................................................................... 40


HOÀNG V N TR
G. CH

NG IV. HÌNH L NG TR

I. HÌNH H P CH
1.

NG HÌNH CHÓP

U ................... 41

NH T ................................................................................. 41

nh ngh a : ................................................................................................... 41

2. Hình l p ph

ng ............................................................................................ 41

3. M t ph ng và đ
4. Hai đ
5.

NG

ng th ng .......................................................................... 42

ng th ng song song trong không gian........................................... 42

ng th ng vuông góc v i m t ph ng ...................................................... 43

6. Hai m t ph ng vuông góc ............................................................................. 44
7. Th tích hình h p ch nh t .......................................................................... 44
II. HÌNH L NG TR
1.

NG ............................................................................. 44

nh ngh a ...................................................................................................... 44

2. Chú ý ............................................................................................................... 45
3. Di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n ............................................ 45
4. Th tích hình l ng tr đ ng ......................................................................... 45
III. HÌNH CHÓP

U VÀ HÌNH CHÓP C T

U ..................................... 46

1. Hình chóp ....................................................................................................... 46
2. Hình chóp đ u ................................................................................................ 46
3. Hình chóp c t đ u.......................................................................................... 47
4. Di n tích xung quanh c a hình chóp đ u................................................... 47
5. Th tích hình chóp đ u.................................................................................. 47


HOÀNG V N TR

A. CH

NG

NG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC A TH C

I. NHÂN
N TH C V I A TH C, NHÂN A TH C V I A TH C
1. Tóm t t lý thuy t.
a. Mu n nhân m t đ n th c v i m t đa th c ta nhân đ n th c v i t ng
h ng t c a đa th c r i c ng các tích l i v i nhau:
A(B + C) = AB + AC
b. Mu n nhân m t đa th c v i m t đa th c ta nhân m i hang t c a đa
th c này v i t ng h ng t c a đa th c kia r i c ng các tích l i v i nhau.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
2. Ví d
1. 4x.(2x2 – 4x + 3)


HOÀNG V N TR

NG

II. NH NG H NG
NG TH C ÁNG NH
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
3. A2 – B2 = (A + B)(A - B)
4. (A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3AB2 + B3
5. (A - B)3 = A3 - 3 A2B + 3AB2 - B3
6. A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
8. (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
9. (A - B + C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2BC + 2AC
10. an + bn = (a + b)(an-1+ - an-2b + …. - a.bn-2 + bn-1), v i n l thu c N.
11. an - bn = (a - b)(an-1+ + an-2b + …. + a.bn-2 + bn-1)
III. PHÂN TÍCH A TH C THÀNH NHÂN T
1. nh ngh a: phân tích đa th c thành nhân t (hay th a s ) là bi n đ i đa
th c đó thành tích c a nh ng đa th c.
2. Ph ng pháp:
a. Ph ng pháp đ t nhân t chung
b. Ph ng pháp dùng h ng đ ng th c
c. Ph ng pháp nhóm h ng t
d. Ph i h nhi u ph ng pháp
IV. CHIA

N TH C CHO

N TH C

1. nh ngh a: Gi s A và B là hai đ n th c, #0. Ta nói A chia h t cho B
n u tìm đ c m t đ n th c Q sao cho A= B.Q.
2. Quy t c:
a. Tr ng h hai đ n th c thành 2 l y th a c a cùng m t bi n:
xm : xn = xm-n
(tr

b.Tr ng h p t ng quát: Mu n chia đ n th c A cho đ n th c B
ng h p A chia h t cho B) ta làm nh sau:
- Chia h s c a đ n th c A cho h s c a đ n th c B


HOÀNG V N TR

NG

- Chia t ng l y th a c a bi n A cho l y th a c a cùng bi n đó

trong B.

- Nhân k t qu tìm đ
V. CHIA A TH C CHO

c v i nhau.

N TH C

1. Quy t c: a th c A và đ n th c B (B#0).
Mu n chia đa th c A cho đ n th c B (tr ng h p các h ng t (các
bi n) c a A đ u chia h t cho B ta chia m i h ng t c a A cho B r i c ng k t qu

l i.
2. Chú ý: Tr
phân tích tr c.

ng h p A có th phân tích đa th c thành nhân t , th

ng ta

VI. CHIA A TH C M T BI N Ã S P X P
1. Ph ng pháp: V i hai đa th c A và B c a cùng m t bi n (B#0), t n t i
duy nh t m t c p đa th c Q và R sao cho A= B.Q + R, trong đó R=0 ho c R b c
c a R nh h n b c c a B.
- R=0 ta nói r ng đó là phép chia h t
- R#0 ta nói r ng phép chia có d
B. CH
NG II : PHÂN TH C
IS
I. PHÂN TH C
IS
1. nh ngh a : M t phân th c đ i s là m t bi u th c có d ng A/B,
trong đó A, B là nh ng đa th c và B#0.
- A đ c g i là t th c, B đ c g i là m u th c
b ng 1.
0).

- Chú ý : M i đa th c c ng đ

c coi nh m t phân th c v i m u th c

2. Hai phân th c b ng nhau : cho hai phân th c A/B và C/D (B, D #

- Ta nói A/B = C/D n u A.D = B.C


HOÀNG V N TR

NG

II. TÍNH CH T C B N C A PHÂN TH C
1. Tính ch t :
- N u nhân c và m u c a m t phân th c v i cùng m t đa th c
khác đa th c 0 thì đ c m t phân th c b ng phân th c đã cho :
A/B= AM/BM (M là m t đa th c khác đa th c 0)
2. Quy t c đ i d u: n u đ i d u c t và m u c a phân th c thì đ
m t phân th c b ng phân th c đã cho.

c

III. RÚT G N PHÂN TH C
1. Quy t c: Mu n rút g n m t phân th c đ i s ta ph i:
- Phân tích t và m u th c thành phân t (n u c n) đ tìm phân
t chung.
- Chia c t và m u cho nhân t chung gi ng nhau
IV. QUY
NG M U TH C NHI U PHÂN TH C
1. Quy đ ng m u th c:
th c hi n phép c ng và phép tr các phân
th c không cùng m u th c, ta c n bi n đ i các phân th c đã cho thành nh ng phân
th c có m u th c chung. Phép bi n đ i này g i là quy đ ng m u th c.
2. Cách tìm m u th c chung (MTC):
- Phân tích m u th c thành phân t .

- Ch n m t tích g m các nhân t chia h t cho các nhân t b ng
s
các m u th c (n u các nhân t này là nh ng s nguyên thì đó là BCNN c a
chúng), v i m i c s c a l y th a có m t trong các m u th c ta l y l y th a v i
s m cao nh t.
3. Quy đ ng m u th c:
- Phân tích các m u th c thành nhân t r i tìm MTC
- Tìm nhân t ph
- Nhân c t và m u v i nhân t ph t

ng ng.


HOÀNG V N TR

NG

V. PHÉP C NG CÁC PHÂN TH C
IS
1. C ng hai phân th c cùng m u: Mu n c ng hai hay nhi u phân
th c cùng m u ta c ng các t th c v i nhau, gi nguyên m u th c và rút g i các
phân th c và tìm đ c n u có th .
2.C ng hai phân th c khác m u: Mu n c ng hai hay nhi u phân
th c khác m u ta quy đ ng các m u r i c ng các t th c v i nhau, gi nguyên m u
th c và rút g i các phân th c và tìm đ c n u có th .
VI. PHÉP TR CÁC PHÂN TH C
IS
1. Phân th c đ i: Hai phân th c đ c đ i nhau n u t ng c a chúng
b ng 0.
2. Phép tr : Mu n tr phân th c A/B cho phân th c C/D b ng cách ta

c ng A/B v i phân th c đ i c a C/D
VII. PHÉP NHÂN CÁC PHÂN TH C
IS
1. Quy t c: Mu n nhân 2 phân th c đ i s ta nhân các t th c v i
nhau, các m u th c v i nhau r i rút g n phân th c v a tìm đ c.
2. Các tính ch t:
- Tính ch t giao hoàn
- Tính ch t k t h p
- Tính ch t phân ph i v i phép c ng
VIII. PHÉP CHIA PHÂN TH C
TS
1. Phân th c ngh c đ o: Hai phân th c đ c g i là ngh ch đ o nhau
n u tích c a chúng b ng 1.
2. Phép chia phân th c đ i s : Mu n chia phân th c A/B cho phân
th c C/D #0, b ng cách ta nhân phân th c A/B v i phân th c ngh ch đ o c a C/D
3. Chú ý: phép chia đ c th c hi n t trái sang ph i ho c đ i phép
chia thành phép nhân.


HOÀNG V N TR

NG

IV. BI N
I CÁC BI U TH C H U T . GIÁ TR C A M T PHÂN
TH C.
1. Bi u th c h u t :
- M t phân th c ho c m t bi u th c ch ch a phép toán c ng,
tr , nhân, chia và ch a bi n m u đ c g i là bi u th c h u t .
2. Giá tr c a m t phân th c: Giá tr c a phân th c ch xác đ nh v i

đi u ki n giá tr c a m u th c khác 0

C PH

NG TRÌNH B C NH T M T N
I PH

NG TRÌNH M T N
Đ

M

A

B

B

A

- H th c x = m (v i m là s nào đó) c ng là m t ph
Pt này có nghi m duy nh t là m.

ng trình.

- M t Pt có th có 1 nghi m, 2 nghi m, vô s nghi m ho c vô

nghi m.
G

- Cho ph

ng trình A(x) = B(x)

- Gi i Pt là đi tìm giá tr c a x đ các giá tr t
bi u th c b ng nhau. Giá tr tìm đ c là nghi m c a pt.
- T p h p t t c các nghi m c a pt đ
c ký hi u là S.

c a pt đó và đ
P

ng ng c a hai

c g i là t p h p nghi m

- Hai pt A(x) = B(x) và C(x) = D(x) là t
khi chúng có cùng t p h p nghi m.

ng đ

ng v i nhau


HOÀNG V N TR
II PH

NG

NG TRÌNH B C NH T M T N

Đ

P

H

Q

T

Q
G

III PH

T

-B

c 1: Chuy n v đ i d u: ax = -b

-B

c 2: Chia hai v cho a: x= -b/a

-B

c 3: K t lu n nghi m: S = {-b/a}

NG TRÌNH Đ A Đ

C

C

C V PT B C NH T

N

-B

c 1: Quy đ ng m u chung 2 v và b m u n u có.

-B

c 2: Khai tri n và b d u ngo c n u có

-B

c 3: Chuy n v các h ng t ( ch a n 1 v , h ng s 1 v ).

-B

c 4: Thu g n

-B

c 5: Chia hai v cho h s c a n

-B

c 6: k t lu n nghi m c a pt

- Pt có d ng 0x = b (b# 0): k t lu n: pt vô nghi m
- Pt có d ng 0x = 0 k t lu n pt có vô s nghi m hay S=R


HOÀNG V N TR
IV PH

NG

NG TRÌNH TÍCH
T

T

D
A

B

A

B

C
B
B

VI PH

Đ
G

A

NG TRÌNH CH A N

B

M U

Đ

- i u ki n xác đ nh c a m t pt (có ch a m u) là t p h p các
giá tr c a bi n làm cho các m u th c trong pt đ u khác 0.
C

- Tìm đi u ki n xác đ nh c a pt
- Quy đ ng m u c a 2 v và kh m u
- Gi i pt v a nh n đ

c

- K t lu n
VII GI I BÀI TOÁN B NG CÁCH L P PH
C

NG TRÌNH

- Ch n n s và đ t đi u ki n cho n
l

- Bi u di n các đ i l

ng đã bi t.

ng ch a bi t theo n và các đ i

- L p pt bi u th các m i quan h
B
K
L

d

ng.

G

- N u x bi u th s thì đi u ki n x là s nguyên và 0<= x<=9
- N u x bi u th s tu i, s s n ph m, s ng

i thì x nguyên


HOÀNG V N TR

NG

- N u x bi u th v n t c thì x >0.
C

- d ng toán có n i dung s h c
- D ng toán chuy n đ ng
- D ng toán có n i dung công vi c
- D ng toán có n i dung hình h c

D

a)
b)
c)
b)

1. Công th c c u t o s :
Ab (có g ch ngang trên đ u) = 10a + b (a,b thu c N, 00<=b<=9).
Abc =100a + 10b + c (a,b,c thu c N….).
2. Ví d :
Tìm m t s có 2 ch s , bi t ch s hàng ch c l n h n
ch s hàng đ n v là 5. N u đ i ch 2 ch s cho nhau
thì đ c m t s m i b ng 3/8 s ban đ u:
G i:
1. Cách 1: L p ph ng trình
a. L p b ng ra nháp.
i.
S hàng ch c
S
Công

hàng
th c c u
đ nv t os
S ban
X
X-5
10X + X đ u
5
S m i
Ph ng
trình

X-5

X

10(X-5) + X
=3/8[10X + (x5)]
b. G i s c n tìm có ch s hàng ch c là X
c. (đi u ki n X thu c N sao, 5d. Khi đó ch s hàng đ n v là X-5

10(X-5) +
X


HOÀNG V N TR

NG

e. Do đó, só c n tìm có d ng X(X-5) (g ch trên
đ u)=10X + X-5
f. S m i có d ng (x-5)X=10(X-5) + X
g. Do gi thi t ta có: Pt
D

T

a)

1. Tính tu i c a hai m con hi n nay bi t cách đây 4
n m tu i m g p 5 l n tu i con và sau đay 2 n m tu i m
g p 3 l n tu i con
Cách 4 n m

Hi n t i

Sau đây 2
n m

Tu i con

X-4

X

X+2

Tu i me

5(X-4)

3(X+2) - 3(X+2)
2

Ph ng
trình

3(X+2)-5(X4)=6

b)

D

1. Lý thuy t
a) M i quan h gi a quãng đ ng v n t c và th i
gian: S=V.T.
b) V n t c xuôi dòng = V th c + V n c
c) V t c ng c dòng = V th c - V n c
d) V xuôi - V ng c = 2 V n c
2. Ví d 1: M t ô tô và m t xe máy hai đ a đi m A và
B cách nhau 180 Km, kh i hành cùng m t lúc và đi ng c
chi u nhau. Chúng g p nhau sau 2h. Bi t v n t c c a dòng
n c l n h n xe máy là 10km/h. Tính v n t c c a m i xe.
a) L p B ng:
b)
S
V
T

HOÀNG V N TR

NG

V o to 2X

X

2

V xe
may

X -10

2

2(X-10)
2X + 2(-10)=180

III.
S

V

T

V o to 2X

X

2

V xe
may

Y

2

2Y

2X + 2Y=180;
X-10=Y
3. Ví d 2: M t ng i đi xe máy t A đ n B dài 90 km. khi
đ n B ng i đó ngh 30 phút r i quay tr l i A v i v n t c l n
h n v n t c lúc đ u đi là 9 km/h. th i gian k t lúc đi t A tr
v A là 5h. Tinh v n t c xe máy t A t i B.
f.
S
V
T
A to B

90 X

90/x

B to A

90 Y

90/Y

90/X + 1/2 +90/Y =5;
X+9=Y
S

V

T

A to B

90 X

90/x

B to A

90 X+9

90/(X+9)

90/X +1/2
+90/(X+9)=5
D

1. Toán n ng su t

a) Các đ i l ng tham gia:
N ng su t X th i gian = T ng s S n ph m
i. Toàn b kh i l ng công vi c (coi là 1 ph n).
ii. N ng su t (kh i l ng công vi c làm đ c trong m t
đ n v th i gian (1 ngày, 1 gi )


HOÀNG V N TR

NG

iii. Th i gian hoàn thành công vi c.
b) M i quan h : n u th i gian hoàn thành công vi c là x ngày, x
gi :
i. N ng su t = 1/x
2. Toán ph n tr m:
a) N u t ng s n ph m là x thì t ng s n ph m v t m c a% tính
là: (100+a)%X.
3. Toán liên quan đ n ngày công:
S ng i * s ngày hoàn thành = s ngày công th .
Ví d : M t đ i công nhân hoàn thành công trình h t 420
ngày công th . Tính s ng i c a hai đ i, bi t n u v ng 5 ng i thì s ngày hoàn
thành công vi c t ng thêm 7 ngày
Gi i:

Th1
Th2
Pt

S ng

x
x-5

i

S ngày
hoàn thành
công vi c
S ngày công th
420/x
420/(x-5)
420/x + 7 = 420/(x-5)

4. Ví d 2: Theo k ho ch m t cong nhân ph i hoàn thành 60
s n ph m trong m t th i gian quy đ nh. Nh ng do c i ti n k thu t
m i gi ng i công nhân đó đã làm thêm đ c 2 s n ph m. Do đó
ch ng nh ng hoàn thành s m h n qui đ nh 30 phút mà còn v t
m c 3 s n ph m. H i theo k ho ch m i gi ng i đó ph i hoàn
thành bao nhiêu s n ph m.

420
420


HOÀNG V N TR

NG

5. Ví d 3:
Trong tháng đ u, hai tôt công nhân th c hi n đ c 800 chi ti t máy.

Sau tháng 2 t 1 v t m c 15% và t 2 v t m c 20%. Do đó cu i tháng
c hai t s n xu t đ c 945 chi ti t máy. H i trong tháng đ u m i t công
nhân s n xu t đ c bao nhiêu chi ti t máy.


HOÀNG V N TR

NG

e. D ng toán có n i dung hình h c
1. Công th c tính chu vi.
a. Tam giác: a+b+c
2. Công th c tính di n tích
D. B T PH
NG TRÌNH B C NH T M T N
I. LIÊN H GI A TH T VÀ PHÉP C NG
1. B t đ ng th c: T
T

K

- N u a<=b thì a+c <= b+c
- N u a>=b thì a+c >= b+c


HOÀNG V N TR

NG

II. LIÊN H GI A TH T VÀ PHÉP NHÂN

1. Liên h bdt v i s d ng:

K
T

- N u a<=b thì a.c <= b.c

2. Liên h bdt v i s âm

K
3. Tính ch t b c c u c a th t :

- N u a
III. B T PH
NG TRÌNH M T N
1. Khái ni m: G
A
B
A

K

B

A
A

B

2. T p h p t t c các nghi m c a bpt là t p nghi m c a bpt.
3. B t ph ng trình t ng đ ng là bpt có cùng t p h p nghi m
IV. B T PH
NG TRÌNH M T N
1. nh ngh a: B
2. Hai quy t c bi n đ i

Q
Q

K
- Gi nguyên chi u bpt n u s đó d
-

V. PH

ng.

i chi u bpt n u s đó âm

NG TRÌNH CH A GIÁ D U TR TUY T
1. nh ngh a: Giá

|a| = a n u a>=0 hoac =-a n u a<0.

I

B

HOÀNG V N TR

NG

2. Gi i bpt ch a d u giá tr tuy t đ i

-B

c 1: áp d ng đ nh ngh a đ b d u

-B

c 2: G i bpt không d u

-B

c 3: Ch n nghi m

-B

c 4: K t lu n

3. M t s tính ch t quan tr ng

a. |A| <=B  -B <= A <= B

B. |A|>=B  A>=B, ho c A<= -B
c. |A| >=|B|  A2 – B2>= 0  (A-B)(A+B)>= 0
d. N u có nhi u d u giá tr tuy t đ i ta có th xét đ b d u