00 oxy NC cac tinh chat hinh phang oxy p2

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

CÁC TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG OXY (P2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

• Tính chất 1: [ĐVH1]
Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có CD = 2 AB . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D
xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường
thẳng qua BM.
Chứng minh
Cách 1: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp.
Hạ BE ⊥ DC , E ∈ DC . Theo bài ta có ME là đường trung bình trong ∆DEC ⇒ ME / / DH ⇒ ME ⊥ AC

Mặt khác ABE = 900 (theo cách dựng)

Chứng minh được 5 điểm A,B,M,E,D nội tiếp trong một đường tròn là tâm của hình vuông ABED. Khi
đó tứ giác ABMD nội tiếp có tổng 2 góc đối bằng 1800 từ đó suy ra được DM ⊥ BM .
Cách 2: Dựa vào tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.Kẻ MI // AB
(1)

⇒ MI ⊥

AD (vì AB

⊥

AD) (2)

Lại có DH ⊥ AC (giả thiết ) ⇒ DI ⊥ AM (3)
Từ (2) và (3) suy ra I là trực tâm của ∆ADM ⇒ AI ⊥ DM (*) . Mặt khác : Trong

△ DHC có :

 MI / / DC / / AB
1
suy ra MI là đường trung bình ⇒ MI = CD ⇒ MI = AB ( 4 ) .Từ (1) và (4)

2
 MH = MC
là hình bình hành suy ra BM // AI

(**)

Từ (*) , (**) suy ra BM ⊥ DM (điều phải chứng minh)
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !

⇒ ABMI


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Cách 3 : Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. Kẻ BE ⊥ DC tại E. Dễ dàng
chứng minh được ABDE là hình chữ nhật. Suy ra AB = DE = EC . ( trong tam giác vuông trung tuyến
ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy ).

 ED = EC
⇒ EM là đường trung bình ⇒ EM ⊥ HC ⇒ ∆AME là tam giác vuông
Trong ∆DHC có : 
 MH = MC
tại M . Gọi O là trung điểm của AE ⇒ O cũng là trung điểm của BD ⇒ MO là đường trung tuyến trong
tam giác BDM (1).
Trong tam giác vuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ MO =

1
AE Mà AE =
2

BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
Nên MO =

1
BD .Từ (1) và (2) suy ra ∆BDM là tam giác vuông tại M hay BM ⊥ DM tại M (điều phải
2

chứng minh).

Mở rộng: Cho hình chữ nhật ABCD , gọi K là điểm đối xứng của D qua C và N là hình chiếu vuông góc
của C lên AK. Chứng minh rằng DN ⊥ BN .
• Tính chất 2: [ĐVH1]
Cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC và K là hình chiếu vuông góc

của C lên DN. Chứng minh rằng:

a) AM ⊥ DN

b) AK ⊥ MK
Chứng minh
a) Ta có: ∆ADM = ∆DCN ⇒ DAH = NDC .
Mặt khác ADH + NDC = 900 ⇒ ADH + DAH = 900 do vậy
AHD = 900 hay AH ⊥ HD .

1
b) Ta có: KM = DM = CD ⇒ ∆MDK cân tại M do vậy H là
2
trung điểm của DK suy ra D và K đối xứng nhau qua AM do đó
AKM = ADM = 900 ⇒ AK ⊥ KM

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

• Tính chất 3: [ĐVH1]
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi N và M lần lượt là trung điểm của HD
và BC. Chứng minh MN vuông góc với AN.
Chứng minh
Kẻ NI / / AD / / BC ta có I là trung điểm của AH khi đó NI
là đường trung bình của tam giác AHD ta có:

NI / / =

1
BC = BM nên BMNI là hình bình hành.

2

 NI ⊥ AB
⇒ BI / / MN ⊥ AN .
Dễ thấy 
 AI ⊥ BD
Mở rộng 1: Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK, HI vuông góc với AC. M ,
N lần lượt là trung điểm của IC và AK . Chứng minh MN vuông góc với BI.

Mở rộng 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. E , F , M lần lượt là trung
điểm của AB, DH, BH .Chứng minh AM vuông góc với EF .
Chứng minh
Gọi N là trung điểm của CH .
Ta chứng minh được tứ giác BEFN là hình bình hành ( vì
BE / / = FN ) suy ra EF //NB
Mặt khác BN ⊥ AM (chứng minh bài trước ☺))).
Vậy ta có AM ⊥ EF (điều phải chứng minh )

Mở rộng 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC . E , F , M , N lầm lượt là trung
điểm của AB , DH , HC , AD . Chứng minh EF ⊥ MN (tương tự chứng minh 2 bài trên ).
• Tính chất 4: [ĐVH1]
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD,AB lấy lần lượt các điểm E , F sao

cho AE = AF , H là hình chiếu của A trên BE chứng minh CH ⊥ HF .

Chứng minh
Gọi K = AH ∩ CD , chứng minh được ∆ADK = ∆BAE
Chứng minh được AFKD là hình chữ nhật.
Khi đó tứ giác HBCK nội tiếp đường tròn đường kính BK.
Lại có tứ giác KFBC nội tiếp đường tròn đường kính BK.

Do đó 4 điểm C,H,F,B thuộc cùng một đường tròn hay tứ giác
CHFB nội tiếp. Khi đó CHF + EBC = 1800 ⇒ CHF = 900

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

• Tính chất 5: [ĐVH1]
Cho hình thoi ABCD, phân giác trong góc BAC cắt BD tại E, đường thẳng CE cắt đường thẳng AD tại
điểm M . Chứng minh rằng AM = AC .
Chứng minh
Do ABCD là hình thoi nên BD là phân giác góc ABC.
Dễ thấy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( giao
điểm 3 đường phân giác) do đó CM là phân giác góc BCA
Khi đó ta có: BCM = MCA = CMA suy ra tam giác AMC cân
tại A ta có AM = AC .
• Tính chất 6: [ĐVH1]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC, phân giác góc BAE cắt
cạnh BC tại F , đường thẳng qua F và vuông góc với AE cắt cạnh CD tại K. Tính góc KAF.
Chứng minh

Gọi M = KF ∩ AE ta có: ∆AMF = ∆ABF ( cạnh huyền –góc nhọn )
Do vậy AM = AB = AD .
Khi đó ∆AMK = ∆ADK từ đó suy ra KAF = 450 .

• Tính chất 7: [ĐVH1]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , gọi E là điểm thuộc cạnh BC, K là điểm thuộc tia

đối của tia DC sao cho BE = DK , phân giác trong góc KAE cắt cạnh CD tại F . Chứng minh rằng:
AF ⊥ KE và ∆EAK vuông.

Chứng minh
Ta có: ∆ABE = ∆ADK do đó: AE = AK , tam giác AEK là tam giác
cân tại A nên AF là phân giác đồng thời là đường cao suy ra
AF ⊥ KE .

Lại có ∆ABE = ∆ADK ⇒ BAE = DAK do đó
EAK = EAD + DAK = 900 suy ra tam giác EAK vuông tại A.

• Tính chất 8: [ĐVH1]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E trên tia đối của
tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF . Chứng minh rằng ∆DEF vuông cân tại D.
Chứng minh

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

 DFC = AED
Ta có ∆DCF = ∆DAE ⇒ 
 DE = DF
Khi đó tứ giác BEFD là tứ giác nội tiếp do
có DFC = AED
Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác BEFD khi đó

K là trung điểm của cạnh huyền EF .
Do vậy EDF = 900 ⇒ DE ⊥ DF hay tam giác DEF
vuông cân tại D.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD, các
điểm H (−2;3) và K (2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD. Xác định toạ độ
các đỉnh A, B, C, D của hình vuông ABCD.

Lời giải:
Ta có: EHAK là hình chữ nhật do vậy dễ dàng tìm được A ( −2; 4 ) .
Khi đó : AH : x = −2; AK : y = 4 .
Giả sử BD: a ( x − 2 ) + b ( y − 3) = 0 ( a 2 + b 2 > 0 ) .

đó:

Khi
cos ( BD; AB ) = cos 450 =
Với

a = b
⇔ 2a 2 = a 2 + b 2 ⇔ 
.
a2 + b2
 a = −b
a

a=b

chọn

 B ( −2;7 )
a = b = 1 ⇒ BD : x + y − 5 = 0 ⇒ 
⇒ C (1;7 )
 D (1; 4 )
 B ( −2; −1)
Với a = −b chọn a = 1 ⇒ b = −1 ta có: BD : x − y + 1 = 0 ⇒ 
⇒ C ( 3; −1) .
 D ( 3; 4 )
Vậy B ( −2;7 ) ; C (1;7 ) ; D (1; 4 ) hoặc B ( −2; −1) ; C ( 3; −1) ; D ( 3; 4 ) .

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1; 2) có góc ABC = 300 , đường
thẳng d : 2 x − y − 1 = 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các điểm B
và C.

Lời giải:

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Ta có: ABC = 300 suy ra ABH = 600 .
Lại có: AB sin 600 = AH = d ( A; d ) =
Do

vậy

AB =

( t − 1) + ( 2t − 3)
2


t =
⇔

t =


2

=

2
.
15

Gọi

1
5

B ( t ; 2t − 1)

ta

có:

4
15

 7 2
1 
7
1
+
B  ; −

5 5 3
5 5 5 3

⇒
 7 2
7
1
1 
−
B  ; −

5 5 3
 5 5 5 3

1 
11
2
7 2

Với B  ; −
⇒ BC : x + 2 y − +
= 0 ⇒ AC ⇒ C .

5 5 3
5 5 5 3

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5; −7) , điểm C thuộc đường
thẳng có phương trinh x − y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng AB có phương
trình 3 x − 4 y − 23 = 0 . Tìm tọa độ điểm B và C, Biết B có hoành độ dương.

Lời giải:
Gọi I là tâm hình chữ nhật, M là trung điểm của AB. Khi đó AI cắt DM
tại trọng tâm G của tam giác ABD.

 4t + 23 
Do vậy AC = 3 AG . Gọi G 
; t  ; C ( u; u + 4 ) ta có:
 3



 4t + 23 
− 5
u = 1
u − 5 = 3 
 11

⇒ C (1;5 ) ; G  ; −3  .
 3

⇔

3

t = −3
u + 11 = 3 ( t + 7 )

d = 9
3d + 5 3d − 43
 3d − 23 
Gọi D  d ;
.
=0⇔ 
3
 ta có: DA.DC = 0 ⇔ ( d − 5 )( d − 1) +
d = −
4 
4
4

5

Với d = 9 ⇒ D ( 9;1) ⇒ B ( −3; −3) ( ko _ tm ) .
3
 3 31 
 33 21 
Với d = − ⇒ D  − ; −  ⇒ B  ;  .
5
 5 5
 5 5 

 33 21 
Vậy B  ;  ; C (1;5 ) ; D ( 9;1) .
 5 5 

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(1;-2), đường tròn đường kinh
AC có phương trình (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 9 = 0 cắt cạnh AB tại M sao cho AB = 3 AM . Tìm tọa độ

điểm B.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Lời giải:
Đường tròn đường kính AC có tâm I ( 3; −2 ) là trung điểm của
AC.
Do vậy C ( 5; −2 ) ⇒ BC : x = 5 . Đặt AM = a ⇒ AB = 3a .
Khi đó: AM . AB = AC 2 ⇔ a.3a = 16 ⇔ a =

4
. Gọi B ( 5; t )
3

 t = −2 − 4 2
2
Ta có: AB = 3a = 4 3 = 16 + ( t + 2 ) ⇔ 
t = −2 + 4 2

(

)

(

Do vậy B 5; −2 − 4 2 hoặc B 5; −2 + 4 2

)

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác trong kẻ từ A
3

là D  2; −  , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
2


 1 
I  − ;1 . Tìm tọa độ đỉnh B và C.
 2 

Lời giải
Gọi M là giao điểm của AD với ( C ) ⇒ IM ⊥ BC
3

Đường thẳng AD qua A ( 2;6 ) và D  2; −  nên đường
2

thẳng AD : x = 2
 1 

Đường tròn ( C ) ngoại tiếp ∆ABC có tâm I  − ;1 và
 2 
2

1
125
2

bán kính R = IA ⇒ ( C ) :  x +  + ( y − 1) =
2
4

5

Ta có M = AD ∩ ( C ) ⇒ M ( 2; −4 ) ⇒ IM =  ; −5 
2

3

Đường thẳng BC qua D  2; −  và vuông góc với IM
2

nên đường thẳng BC : x − 2 y − 5 = 0
2

11 
125
2

Do B ∈ BC ⇒ B ( 2t + 5; t ) . Ta có IB = IA ⇒  2t +  + ( t − 1) =

2
4


t = 0 ⇒ B ( 5;0 ) ⇒ C ( −3; −4 )
⇔ 5t 2 + 20t = 0 ⇔ 
t = −4 ⇒ B ( −3; −4 ) ⇒ C ( 5; 0 )
Vậy B ( 5; 0 ) , C ( −3; −4 ) hoặc B ( −3; −4 ) , C ( 5;0 )

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là

I ( 6;1) . Đường thẳng AH có phương trình x + 2 y − 3 = 0 . Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và
C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE: x – 2 = 0 và điểm
D có tung độ dương.
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Lời giải
Đường thẳng BC qua I ( 6;1) và vuông góc với đường
thẳng AH nên đường thẳng BC : 2 x − y − 11 = 0
Do C ∈ BC ⇒ C ( a; 2a − 11) ⇒ B (12 − a;13 − 2a )

D ∈ DE : x − 2 = 0 ⇒ D ( 2; b )
Ta có DH = (1; −b ) , BH = ( a − 9; 2a − 13)
Mà D, H , B thẳng
hàng ⇒

a − 9 2a − 13
9b + 13
=
⇔a=
1
−b
b+2

DC = ( a − 2; 2a − b − 11) , mà HD ⊥ CD ⇒ DH .DC = 0
⇒ a − 2 − b ( 2a − b − 11) = 0 ⇔ b 2 + 11b − 2ab + a − 2 = 0 ⇔ b 2 + 11b − 2b

9b + 13 9b + 13
+
−2=0
b+2
b+2

b = −1( l )
2
⇔ b3 − 5b 2 + 3b + 9 = 0 ⇔ ( b − 3) ( b + 1) ⇔ 
⇒ B ( 4; −3) , C ( 8;5 ) , D ( 2;3)
b
=
3
⇒
a
=
8


Đường thẳng AC qua D ( 2;3) và C ( 8;5 ) nên đường thẳng AC : x − 3 y + 7 = 0
Ta có A = AH ∩ AC ⇒ A ( −1; 2 )
Vậy A ( −1; 2 ) , B ( 4; −3) , C ( 8;5)

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5.
Chân đường cao hạ từ B, C, A của tam giác ABC lần lượt là D(4; 2), E(1; -2) và F. Tìm tọa độ tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác DEF, biết rằng A có tung độ dương.

Lời giải
Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn
Ta có xAB = BCA (do Ax là tiếp tuyến)
AED = BCA (do tứ giác BCDE nội tiếp)

⇒ xAB = AED ⇒ Ax / / ED , mà
AI ⊥ Ax ⇒ AI ⊥ DE

Đường thẳng DE qua D ( 4; 2 ) và E (1; −2 ) nên
đường thẳng DE : 4 x − 3 y − 10 = 0
Đường thẳng AI qua I ( 2;1) và vuông góc với
đường thẳng ED ⇒ AI : 3 x + 4 y − 10 = 0
Do A ∈ AI : 3x + 4 y − 10 = 0 ⇒ A ( 2 + 4t ;1 − 3t )

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

t = 1( l )
Ta có IA = 5 ⇒ 16t 2 + 9t 2 = 25 ⇔ t 2 = 1 ⇔ 
⇒ A ( −2; 4 )
t
=
−
1

Ta có: EDH = ECB (do tứ giác BCDE nội tiếp) và FDH = ECB (do tứ giác FCDH nội tiếp)

⇒ EDH = FDH ⇒ DH là phân giác trong của EDF
Tương tự ta cũng chứng minh được EH là phân giác trong của FED
⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Đường thẳng EC qua E (1; −2 ) và vuông góc với AB nên đường thẳng EC : x − 2 y − 5 = 0
Đường thẳng BD qua D ( 4; 2 ) và vuông góc với AC nên đường thẳng BD : 3 x − y − 10 = 0
Ta có H = EC ∩ BD ⇒ H ( 3; −1)
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF là H ( 3; −1)

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy là AD và BC, biết rằng AB = BC,
AD = 7. Đường chéo AC có phương trình x – 3y – 3 = 0; điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD. Tìm tọa

độ đỉnh D biết rằng đỉnh B(1;1).
Gọi M là trung điểm của AC ⇒ BM ⊥ AC
Đường thẳng BM qua B (1;1) và vuông góc với

Lời giải

AC nên đường thẳng BM : 3 x + y − 4 = 0
3 1

Ta có M = BM ⊥ AC ⇒ M  ; − 
2 2
Do A ∈ AC ⇒ A ( 3a + 3; a ) ⇒ C ( −3a; −1 − a )

Ta có CB = ( 3a + 1; a + 2 ) , MA = ( 3a + 5; a + 5 )
3a + 1 a + 2
=
⇔ a =1
3a + 5 a + 5
⇒ A ( 6;1) , C ( −3; −2 )

Mà BC / / AM ⇒

Đường thẳng AD qua A ( 6;1) và M ( −2; −5 ) nên đường thẳng AD : 3 x − 4 y − 14 = 0

Do D ∈ AD : 3 x − 4 y − 14 = 0 ⇒ D ( 6 + 4t ;1 + 3t ) .

 7
 58 26 
t = 5 ⇒ D  5 ; 5 


Ta có AD = 7 ⇒ 16t 2 + 9t 2 = 49 ⇔ 

7
 2 16 
t = − ⇒ D  ; − 
5
5
5


 58 26 
 2 16 
Vậy D  ;  hoặc D  ; − 
5
 5 5 
5

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( K ) : x 2 + y 2 = 4 và hai điểm A(0; 2), B(0; -2). Điểm
C và D (C khác A và B) là hai điểm thuộc đường tròn (K) và đối xứng nhau qua trục tung. Biết rằng giao

điểm E của hai đường AC và BD nằm trên đường tròn ( K1 ) : x 2 + y 2 + 3 x − 4 = 0 , hãy tìm tọa độ điểm E.
Lời giải:
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Ta có: PT đường thẳng AB là x = 0 . Mặt khác đường tròn ( K ) có
tâm là O ( 0;0 ) ; R = 2 ⇒ AB là đường kính.
Lại có: C ; D đối xứng nhau qua Oy nên CD ⊥ Oy ⇒ CD / / AB .

Khi đó ABCD là hình thang cân nội tiếp đường tròn ( K ) . Gọi
E = AC ∩ BD ta có EAB là tam giác cân tại E nên EO ⊥ AB

 E (1; 0 )
.
Do vậy E thuộc Oy. Khi đó E = ( K1 ) ∩ Oy ⇒ 

 E ( −4;0 )
Vậy E (1; 0 ) hoặc E ( −4;0 ) là các điểm cần tìm.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D (4;5) . Điểm M là trung điểm của
đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x − 8 y + 10 = 0 . Điểm B nằm trên đường thẳng 2 x + y + 1 = 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C biết rằng C có tung độ nhỏ hơn 2.

Lời giải:
Gọi I là tâm hình chữ nhật, M là trung điểm của AD. Khi đó DI
cắt CM tại trọng tâm G của tam giác ACD.
Do vậy BD = 3GD . Gọi G ( 8u − 10; u ) ; B ( t ; −2t − 1) ta có:

t = 2
4 − t = 3 (14 − 8u )

 10 5 
⇔
5 ⇒ B ( 2; −5 ) ; G  ;  .

 3 3
u = 3
6 + 2t = 3 ( 5 − u )

C ( 8v − 10; v )

Gọi

ta

có:

 11
 38 11 
v = 5 ⇒ C  5 ; 5  ( loai )
CB.CD = 0 ⇔ ( 8v − 12 )( 8v − 14 ) + ( v + 5 )( v − 5 ) = 0 ⇔ 


v = 1 ⇒ C ( −2;1)
Với C ( −2;1) ⇒ A ( 8; −1)
Vậy A ( 8; −1) ; B ( 2; −5 ) ; C ( −2;1) ; .

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn (C) có phương
trình x 2 + y 2 − 10 y − 25 = 0 . I là tâm đường tròn (C), đường thẳng BI cắt đường tròn (C) tại M(5; 0).
 −17 −6 
Đường cao kẻ từ C cắt đường tròn (C) tại N 
;  . Tìm tọa độ A, B, C biết hoành độ điểm A
 5 5 
dương.

Lời giải:

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Do tam giác ABC cân nên tâm I ( 0;5) của đường tròn ( C ) thuộc

trung tuyến BE. Do I là trung điểm của BM nên B ( −5;10 )

Phương trình đường thẳng BM: x + y − 5 = 0 .
Gọi H = BM ∩ CD là trực tâm tam giác ABC .
Ta có : ABM = ACD ( cùng phụ với góc ABC ) do đó AN = AM
Khi đó : AN = AM , lại có IN = IM nên IA là trung trực của MN
Phương trình IA là: 7 x + y − 5 = 0 . Gọi A ( t ;5 − 7t ) ( t > 0 ) .
Ta có: IA = R = 5 2 ⇔ 50t 2 = 50 ⇒ t = 1 ⇒ A (1; −2 )

Điểm C đối xứng với A qua BM nên C ( 7; 4 )

Đáp số: A (1; −2 ) ; B ( −5;10 ) ; C ( 7; 4 ) là các điểm cần tìm.
2 2
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G  ;  , tâm đường tròn ngoại
3 3
tiếp I (1; −2) , điểm E (10;6) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và điểm F (9; −1) thuộc đường
thẳng BC. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết B có tung độ bé hơn 2.

Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC. Phương trình đường thẳng GE hay
 x = 3 + 7t
AM là: 4 x − 7 y + 2 = 0 hoặc 
. Gọi M ( 3 + 7t ; 2 + 4t ) ta
 y = 2 + 4t
có:
IM ⊥ MF ⇒ IM .FM = 0 ⇔ ( 7t + 2 )( 7t − 6 ) + ( 4t + 4 )( 4t + 3) = 0 .
2
7

 x A − 3 = −2. 3

⇔ t = 0 ⇒ M ( 3; 2 ) . Lại có: GA = −2GM ⇒ 
 y − 2 = −2. 4
 A 3
3
⇒ A ( −4; −2 ) . Lại có BC : x + 2 y − 7 = 0 ⇒ B ( −2b + 7; b ) ( b < 2 )
Do IA = IB = R ⇒ ( 6 − 2b ) + ( b + 2 ) = 25 ⇒ b = 1 ⇒ B ( 5;1) ; C (1;3)
2

2

Vậy A ( −4; −2 ) ; B ( 5;1) ; C (1;3) .

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !