BG13 bai toan ve diem va duong tron p2

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

BG13. BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN (P2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 3)2 + ( y − 1) 2 = 4, d : x + y + 5 = 0 Tìm điểm M trên sao cho qua
M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) và độ dài AB lớn nhất?
Hướng dẫn:
Dễ dàng tìm được H = AB ∩ MI ⇒ MA2 = MI 2 − IA2 = 2t 2 + 6t + 41
1
1
1
2t 2 + 6t + 45
4
2
Từ hệ thức
= 2+

→ AH =

→ AB 2 = 4 AH 2 = 1 + 2
2
2
2
AH
AI

AM
4(2t + 6t + 41)
2t + 6t + 41

 3 7
Từ đó dễ dàng tìm được đáp án M  − ; − 
 2 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x + 1)2 + y 2 = 5, N (1; −3). Tìm điểm M trên d : 4 x + y − 3 = 0 sao
cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ N tới AB
lớn nhất?

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 20 = 0, A(5; −6). Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB,
AC tới (C) (với B, C là các tiếp điểm). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Ta dễ chứng minh được tam giác ABC đều, suy ra tâm nội tiếp trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.

1 
Dễ dàng tìm được H  ; 0  , H = BC ∩ AI ⇒ G ( 2; −2 )
2 
Khi đó (C ) : ( x − 2)2 + ( y + 2) 2 =

25
4

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + ( y − 2)2 = 3, N (0; −1). Tìm điểm M trên d : 2 x − 3 y + 2 = 0 sao
cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N.

1 
Đ/s: M  ;1 tuy nhiên điểm này không thỏa mãn dk nhé!

2 

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0, d : x + y − 2 = 0. Biết d cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt A, B. Tìm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi lớn nhất?

(

Đ/s: M 2 + 2; 2 + 2

)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1. Cho đường tròn (C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4, N (1; −1). Tìm điểm M trên d : x + y + 2 = 0 sao cho qua
M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N.
Lời giải:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Xét điểm A ( x; y ) là tiếp điểm. Suy ra A thuộc đường tròn: x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 có tâm I (1; −2 ) & R = 2
⇒ IA = ( x − 1; y + 2 )
Điểm M thuộc d : x + y + 2 = 0 ⇒ M ( m; −m − 2 ) ⇒ MA = ( x − m; y + m + 2 )
Do MA là tiếp tuyến ⇒ MA ⊥ IA ⇒ MA.IA = 0 ⇔ ( x − 1)( x − m ) + ( y + 2 )( y + m + 2 ) = 0

⇔ x 2 − ( m + 1) x + y 2 + ( m + 4 ) y + 3m + 4 = 0

 x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0

Khi đó tọa độ điểm A thỏa mãn hệ:  2
⇔ (1 − m ) x + my + 3m + 3 = 0
2
 x − ( m + 1) x + y + ( m + 4 ) y + 3m + 4 = 0
Suy ra A, B thuộc đường thẳng (1 − m ) x + my + 3m + 3 = 0

Mặt khác điểm N (1; −1) ∈ AB → 1 − m − m + 3m + 3 = 0 ⇔ m = −4 ⇒ M ( −4; 2 )

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M ( −4; 2 )

Bài 2. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 1 = 0, N (2; −1). Tìm điểm M trên d : 2 x − y + 1 = 0 sao cho
qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N.
Lời giải:
Giả sử tọa độ tiếp điểm A ( x; y ) . Suy ra A thuộc đường tròn: x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 1 = 0 có tâm

I ( 3; −1) & R = 3 ⇒ IA = ( x − 3; y + 1)
Điểm M thuộc d :2 x − y + 1 = 0 ⇒ M ( m; 2m + 1) ⇒ MA = ( x − m; y − 2m − 1)
Do MA là tiếp tuyến ⇒ MA ⊥ IA ⇒ MA.IA = 0 ⇔ ( x − 3)( x − m ) + ( y + 1)( y − 2m − 1) = 0

⇔ x 2 − ( m + 3) x + y 2 − 2my + m − 1 = 0

 x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 1 = 0
Khi đó tọa độ điểm A thỏa mãn hệ:  2
⇔ ( 3 − m ) x − 2 ( m + 1) y + m − 2 = 0
2
 x − ( m + 3) x + y − 2my + m − 1 = 0
Suy ra A, B thuộc đường thẳng ( 3 − m ) x − 2 ( m + 1) y + m − 2 = 0

Mặt khác điểm N ( 2; −1) ∈ AB → 2 ( 3 − m ) + 2 ( m + 1) + m − 2 = 0 ⇔ m = −6 ⇒ M ( −6; −11)

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M ( −6; −11)

Bài 3. Cho đường tròn (C ) : x 2 + ( y + 1) 2 = 2, d : x − 2 y − 4 = 0 . Tìm điểm M trên d để qua M có thể kẻ được
hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 1.
Lời giải:
Cách 1: Đường tròn ( C ) có tâm I ( 0; −1) & R = 2
Giả sử điểm M thuộc đường thẳng d có tọa độ M ( 2m + 4; m ) , H là giao điểm của AB và MI
Ta có: S MAIB

1
2 R. MI 2 − R 2
= . AB.MI = AI . AM ⇔ AB =
2
MI

x2 − 2
2 2 x2 − 4
; xét ∆ v MAI : ∆ v MAI : MI .MH = AM 2 ⇒ MH =
x
x
2
2
2 x − 4. x − 2
1
Theo bài: S MAB = .MH . AB = 1 ⇔
= 1 → t = x2 , ( t > 0 )
2
2
x
3

2
2
⇔ 2t − 13t + 24t − 16 = 0 ⇔ ( t − 4 ) ( 2t − 5t + 4 ) = 0 ⇔ t = 4 ⇒ x = 2
Đặt: MI = x > 0 ⇒ AB =

 M ( 2; −1)
 m = −1


⇒ MI = 4 ⇔ ( 2m + 4 ) + ( m + 1) = 4 ⇔
⇒
 m = − 13  M  − 6 ; − 13 
  5 5 
5

2

2

2

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

 6 13 
Vậy tọa độ các điểm M cần tìm là: M ( 2; −1) / M  − ; − 

 5 5
Cách 2: Ta sử dụng công thức tỉ lệ diện tích theo đường cao.
S
AM 2
1
AM 2
Ta có MAB =
⇔
=
⇔ AM 2 = 2
SMAIB MI 2
AI . AM AM 2 + AI 2
 m = −1
⇔ MI − R = 2 ⇔ ( 2m + 4 ) + ( m + 1) − 2 = 2 ⇔ 
 m = − 13
5

 6 13 
Vậy tọa độ các điểm M cần tìm là: M ( 2; −1) , M  − ; − 
 5 5
2

2

2

2

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + y 2 = 1 . Gọi I là tâm của (C). Xác
định toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO = 300.

Lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I (1;0 ) & R = 1

Giả sử điểm M thuộc đường tròn ( C ) có tọa độ M ( x; y ) thì x 2 + y 2 − 2 x = 0
Ta có: nIM = ( y;1 − x ) , nOM = ( y; − x ) . Để góc IMO = 300.

⇔ cos IMO = cos 30 =
o

y 2 − x (1 − x )
y 2 + (1 − x ) . x 2 + y 2
2

=

x
3
3
3
3
↔
=
⇔ x= ⇒ y=±
2 x + y − 2 x = 0 1. 2 x
2
2
2
2

2

3 3 3
3
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là: M  ;
,
;
−



2 2  2
2 

 

(C ) : x 2 + y 2 − 8 x + 6 y + 21 = 0
Bài 5. Cho đường tròn và đường thẳng 
.
d : x + y − 1 = 0
Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm trên d.
Lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4; −3) & R = 2 .
Nhận xét tâm I thuộc đường thẳng d nên suy ra A, I, C đều thuộc d
Điểm A thuộc d : x + y − 1 = 0 → A ( a;1 − a )

 a = 2  A ( 2; −1)
2
Do hình vuông ABCD ngoại tiếp ( C ) nên : IA = 2 R = 2 2 ⇔ 2 ( a − 4 ) = 8 ⇔ 
⇒
 a = 6  A ( 6; −5 )

C ( 6; −5 )
Mà C là điểm đối xứng A qua tâm I của đường tròn ⇒ 
C ( 2; −1)
BD ⊥ AC → đường thẳng BD đi qua I có phương trình: x − y − 7 = 0

Lập luận tương tự trên ta tìm được tọa độ B và D lần lượt là: B ( 2; −5 ) / B ( 6; −1) , D ( 6; −1) / D ( 2; −5 )
Vậy có 2 cặp tọa độ các đỉnh hình vuông là:
A ( 2; −1) / ( 6; −5 ) , B ( 2; −5 ) / ( 6; −1) , C ( 6; −5 ) / ( 2; −1) , D ( 6; −1) / ( 2; −5)

(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0
Bài 6. Cho đường tròn và đường thẳng 
.
d : x − y + 3 = 0
Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp
xúc ngoài với (C).
Lời giải:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Đường tròn ( C ) có tâm I (1;1) & R = 1

Giả sử M thuộc d : x − y + 3 = 0 có tọa độ: M ( m; m + 3)

Đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn ( C ) và tiếp xúc ngoài với ( C ) nên ta có:
 M (1; 4 )
m = 1

2
2
⇒
IM = RI + RM = 3 ⇔ ( m − 1) + ( m + 2 ) = 9 ⇔ 
 m = −2  M ( −2;1)
Vậy có 2 tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài: M (1; 4 ) , M ( −2;1)
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0.
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính
của đường tròn (C).
Lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;3) & R = 5
Giả sử điểm M thuộc d : 2 x − y + 3 = 0 có tọa độ: M ( m; 2m + 3)

 M ( −4; −5)
 m = −4


Để MI = 2 R = 10 ⇔ ( m − 2 ) + 4m = 100 ⇔ 5m − 4m − 96 = 0 ⇔
⇒   24 63 
24
m =
;
M
  5 5 
5

 24 63 
Vậy tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: M ( −4; −5 ) / M  ; 
 5 5 
2

2

2

Bài 8. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 8 = 0 và đường thẳng (∆) : 2 x − 3 y − 1 = 0 . Chứng minh rằng
(∆) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam
giác ABM lớn nhất.
Lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I ( −1; 2 ) & R = 13
Do d ( I ; ( ∆ ) ) =

−2 − 6 − 1

9
< R = 13 nên ( ∆ ) luôn cắt đường tròn ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B.
13
13
Giả sử M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 8 = 0
=

1
1
22
Ta có: S∆ABM = . AB.d ( M , ( ∆ ) ) = . R 2 − d 2 ( I , ( ∆ ) ) .d ( M , ( ∆ ) ) =
.d ( M , ( ∆ ) )
2
2
13
Mà ta lại có:

2 x − 3 y − 1 2 ( x + 1) − 3 ( y − 2 ) − 9 Bunhiacopxki 1 
4
2
2
d ( M , ( ∆ )) =
=
≤
2 2 + 32 . ( x + 1) + ( y − 2 ) − 9  =

13
13
13 
13
Vậy diện tích tam giác ABM đạt GTLN khi:
( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 13
x = 1
 x = −3
4
4 22

⇔ d ( M , ( ∆)) =
⇒ SMax∆ABM =
⇔  x +1 y − 2
⇔
∨
13
13
=
 y = −1  y = 5


−3
 2
Vậy có 2 tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: M (1; −1) , M ( −3;5 )

(

)

Bài 9. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 3 = 0, d : x + y − 3 = 0. Biết d cắt đường tròn tại hai điểm phân
biệt A, B. Tìm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi lớn nhất?
Lời giải:
Giải hệ phương trình gồm ( C ) & d ta tìm được tọa độ 2 điểm: A ( 3;0 ) , B (1; 2 )
Vì A, B cố định nên để tam giác MAB có chu vi lớn nhất thì P = MA + MB đạt GTLN
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

( C ) : ( x − 1)

2

 x = 1 + 2 sin α
+ y 2 = 4 , do M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ ∃α ∈ [ 0; 2π ] , 
,
 y = 2 cos α

Từ đó ta có: P =
Bunhiacopxki

Lại có: P

MOON.VN – Học để khẳng định mình

≤

( 2sin α − 2 )

2

+ 4 cos 2 α + 4sin 2 α + ( 2 cos α − 2 ) = 2 2
2

(

1 − 2sin α + 1 − 2 cos α

π

2 2 2 ( 2 − sin α − cos α ) = 4 2 − 2 sin  α +  ≤ 4 2 + 2
4


Vậy MA+MB đạt GTLN bằng 4 2 + 2
 1 − sin α = 1 − cos α
sin α = cos α
5π


⇔ 

⇔ 
⇔α=
⇒ M 1 − 2; − 2
π
π
sin
α
1
+
=
−
4
sin
α
+
=
−
1



 

4
4
 
 

(

(

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ: M 1 − 2; − 2

)

)

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

)