Toán tử dương trong không gian banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ TIẾN

TOÁN TỬ DƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ TIẾN

TOÁN TỬ DƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2017

1

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm giảng viên khoa Toán Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn
thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá
trình học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Phạm Thị Tiến


i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích
với đề tài "Toán tử dương trong không gian Banach và ứng dụng"
được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm và
nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được

chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Phạm Thị Tiến


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

i

Các kí hiệu

1

Lời mở đầu

2

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nón và thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4

5

2 Toán tử dương
2.1 Toán tử dương tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nén nón và toán tử mở rộng . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
26

3 Một số ứng dụng
3.1 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân cấp 2 . .
3.2 Phương trình tích phân Hammerstein trên nửa đường thẳng
3.3 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân trong không
gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
39
47

Kết luận

67

Tài liệu tham khảo

68

ii

57


1

Các kí hiệu

x
C[a, b]
max
C 1 [a, b]
Min
intP
B(x0 , r)
limx→∞ f (x)
A˜
supX f
l1
inf X f
diam(Ω)
conv(Ω)
iX (F, Ω)
Lp (I, m)
l∞
∂Ω
conv(Ω)
≤
lp

Chuẩn của x

Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b]
Giá trị lớn nhất
Tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên [a, b]
Giá trị nhỏ nhất
Phần trong của P
Hình cầu mở tâm x0 bán kính r
Giới hạn của hàm f khi x → ∞
Phức hóa của A
Cận trên đúng của f trên X
Không gian các dãy hội tụ về 0
Cận dưới đúng của f trên X
Đường kính của Ω
Bao lồi đóng của Ω
Chỉ số điểm cố định của F trên Ω
Không gian các hàm p-khả tích Lesbesgue trên I với hàm
trọng số m
Không gian các dãy
Biên của Ω
Bao lồi của Ω
Quan hệ thứ tự
Nhỏ hơn hoặc bằng
Không gian các dãy số mà tổng lũy thừa cấp p của các
hạng tử là hữu hạn


2

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các toán tử dương đóng vai trò quan trọng trong nhiều chủ

đề của Giải tích hàm. Những phương pháp dựa vào lý thuyết này rất
hiệu quả, chính xác và có nhiều ứng dụng rộng rãi (xem [3] và những tài
liệu dẫn trong đó).
Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng
của toán tử dương đã được quan tâm nhiều. Vì vậy, sau khi học được
các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
các kiến thức đã học và ứng dụng của chúng, dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Toán tử
dương trong không gian Banach và ứng dụng” để thực hiện luận
văn của mình.
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức cơ
bản về Không gian Banach, Nón và thứ tự bộ phận.
Chương 2 "Toán tử dương" trình bày một số khái niệm và tính chất
của toán tử dương tuyến tính, sự nén nón và toán tử mở rộng.
Chương 3 "Một số ứng dụng" đưa ra các bài toán giá trị biên cho
phương trình vi phân cấp 2, phương trình tích phân Hammerstein trên
nửa đường thẳng,bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân trong
không gian Banach.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trong
không gian Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu một cách hệ thống về lý thuyết toán tử dương và ứng dụng
của toán tử dương trong không gian Banach.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trong không gian
Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu.

3

Tìm hiểu các tài liệu, sách, báo liên quan đến kết quả đã có về toán
tử dương trong khôn gian Banach. Tổng hợp kiến thức và trình bày một
cách hệ thống.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài.
Hệ thống các kiến thức về một số tính chất và ứng dụng của toán tử
dương trong không gian Banach để góp phần làm phong phú hơn các
kết quả, sự hiểu biết về toán tử dương trong không gian Banach.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác
giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy
cô và bạn đọc.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản sẽ cần đến trong các
chương sau.

1.1

Không gian Banach

Mục đích của phần này là ta nhắc lại một số khái niệm về không gian
Banach. Chủ yếu được lấy từ [1].
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc
P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là · và

đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇐⇒ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);
2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu khôn gian định chuẩn
là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề của chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ đến điểm x ∈ X, nếu limn→∞ xn − x = 0. Ký hiệu
lim xn = x hay xn −→ x khi n −→ ∞.

n→∞

Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi
là dãy cơ bản, nếu
lim xn − xm = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
4


5

1.2

Nón và thứ tự bộ phận

Mục đích của phần này là cung cấp một vài thông tin về nón và thứ tự
bộ phận trong không gian Banach.

Định nghĩa 1.2.1. ([3], tr.9) Một tập P khác rỗng, P = {θ}, của không
gian Banach thực E gọi là một nón nếu P là đóng, lồi và
i) λx ∈ P với mọi x ∈ P và λ ≥ 0,
ii) Nếu x, −x ∈ P thì x = θ.
Rõ ràng, P + P ⊂ P . Nó được biết đến rằng mỗi nón sinh ra một
quan hệ thứ tự trong E như sau: Với x, y ∈ E và P là nón trong E ta
nói rằng
x y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P.
Hơn nữa, ta sẽ viết
x ≺ y nếu y − x ∈ P \ {θ}
và
x

y nếu y − x ∈
/ P.

Bây giờ ta đi đến nón được bổ sung một vài tính chất. Đầu tiên, ta thảo
luận về nón chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2. ([3], tr.10) Một nón P được gọi là chuẩn nếu tồn tại
γ > 0 sao cho nếu θ x y, thì x ≤ γ y .
Số γ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn của
P . Hiển nhiên, γ ≥ 1.
Nói cách khác, một nón là chuẩn nếu chuẩn trong E là nửa đơn điệu.
Khái niệm khác về nón chuẩn là rất hữu ích và sẽ thường xuyên được sử
dụng sau này là:
Bổ đề 1.2.1. ([3], tr.10) Một nón P là chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại
một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ P
x+y ≥δ x .
Chứng minh. Giả sử rằng P là nón chuẩn. Lấy x, y ∈ P . Từ
θ

x

x + y,


6

theo chuẩn của P ta có
x+y ≥

1
x .
γ

Bây giờ ta giả sử rằng tồn tại δ > 0 sao cho
x+y ≥δ x
với mọi x, y ∈ P . Nếu θ

x

y thì y − x ∈ P . Kết quả là

y = x+y−x ≥δ x ,
Điều đó có nghĩa rằng P là chuẩn.
Bây giờ đã sẽ đưa ra một vài ví dụ về nón chuẩn.
Ví dụ 1.2.1. Trong không gian Banach C[a; b] tất cả các hàm liên tục
trên [a; b] với chuẩn
x = max |x(t)|,
t∈[a;b]

xét tập
P := {x ∈ C[a; b] : x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b]}.
Dễ dàng kiểm tra P là nón trong C[a; b]. Quan hệ thứ tự cảm sinh P
được cho ở dưới
y nếu và chỉ nếu x(t) ≤ y(t) trên [a; b].

x
Do đó, nếu 0
số pháp γ = 1

x

y thì x ≤ y . Rõ ràng P là nón pháp với hằng

Ví dụ sau đây chỉ ra một nón không phải là nón pháp.
Ví dụ 1.2.2. Xét không gian Banach C 1 [0; 1] của các hàm khả vi liên
tục trên [0; 1] với chuẩn
x = max |x(t)| + max |x (t)|.
t∈[0;1]

t∈[0;1]

Đặt P = {x ∈ C 1 [0; 1] : x(t) ≥ 0 trên [0; 1]}.
Chắc chắn P là nón trong C 1 [0; 1]. Giả sử tồn tại γ > 0 thỏa mãn
0

x

y thì x ≤ γ y .

7

Đặt xn (t) = sin nπt + 1 và yn (t) ≡ 2 trên [0; 1]. Khi đó
0

xn

yn , xn = 2 + nπ và yn = 2

với mọi n ∈ N. Ở kết quả 2 + nπ ≤ 2γ với mọi n ∈ N, điều này dẫn đến
P không là nón pháp.
Bổ đề 1.2.2. ([3], tr.12) Cho P là nón trong E. Khi đó, với u ∈ P \ {θ}
tồn tại số thực dương σ(u) sao cho
x + u ≥ σ(u) x

với mọi x ∈ P.

Chứng minh. Cố định u ∈ P \ {θ}. Giả sử phản chứng rằng với n ∈ N
tồn tại xn ∈ P sao cho
1
xn + u <
xn .
(1)
n
Nếu dãy { xn } bị chặn thì từ (1) suy ra
lim = −u.

n→∞

Suy ra −u ∈
/ P . Điều này mâu thuẫn với tính đóng của P . Nếu { xn }
không bị chặn, ta có thể chọn dãy con (xnk ) ⊂ P \ {θ} thỏa mãn
lim xnk = ∞

k→∞

Khi đó, từ (1) ta nhận được với mọi k ∈ N
1
x nk + u
< .
x nk
nk
Ở đó
1−

u
1
<
x nk
nk

với mọi k ∈ N, điều đó là vô lý.
Dễ dàng chỉ ra σ(u) ≤ 1(xem [3], tr.12). Vì vậy, để chính xác, ta có
thể xác định σ(u) như là số thực dương lớn nhất thỏa mãn bổ đề 1.2.2
Hệ quả 1.2.1. ([3],tr.13) Cho P là nón trong E và u ∈ P \ {θ}. Nếu
σ(u) > 0 thỏa mãn
x + u ≥ σ(u) x
với mọi x ∈ P , thì với mọi λ > 0 có

x + λu ≥ σ(u) x .


8

Chứng minh. Với λ > 0. Từ bổ đề 1.2.2
x + λu = λ

1
1
x + u ≥ λσ(u) x = σ(u) x .
λ
λ

Ví dụ 1.2.3. Cho P là nón được xét đến trong ví dụ 1.2.2, thỏa mãn
P = {x ∈ C 1 [0; 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0; 1]}
cố định u(t) ≡ 1 trên [0; 1]. Khi đó σ(u) = 1
Tiếp theo, ta sẽ đề cập tới lớp quan trọng khác của nón.
Định nghĩa 1.2.3. ([3], tr.13) Nón P được gọi là nón khối nếu nó có
phần trong khác rỗng, tức là intP = ∅
Quan sát thấy nón P được xét ở ví dụ 1.2.1 là nón khối. Nó có phần
trong là tập tất cả các hàm x(t) ∈ C[a; b] mà min[a;b] x(t) > 0. Kết luận
tương tự cho hình nón trong ví dụ 1.2.2.
Bổ đề 1.2.3. ([3], tr.13) Cho P là nón khối trong E và x0 ∈ intP . Khi
đó với mỗi x ∈ E tồn tại β(x) > 0 thỏa mãn
−β(x)x0

x

β(x)x0 .

Chứng minh. Từ x0 ∈ intP , tồn tại r > 0 thỏa B(x0 , r) ⊂ P , ở đó
B(x0 , r) là hình cầu mở tâm tại x0 với bán kính r. Cho x ∈ E \ {θ}. Khi
đó
r
r
x0 −
x, x0 +
x ∈ B(x0 , r).
2 x
2 x
Vì thế
−

2 x
2 x
x0 ≤ x ≤
x0 .
r
r

Hệ quả 1.2.2. ([3], tr.14) Nếu P là nón khối trong E và x0 ∈ intP , thì
với mỗi x ∈ E tồn tại δ(x) > 0 thỏa mãn
x0 − δ(x)x ∈ P.


9

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.3, với mỗi x ∈ E tồn tại β(x) > 0 thỏa
mãn β(x)x0 − x ∈ P . Vì thế

x
∈ P.
x0 −
β(x)
Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.4. ([3], tr.14) Nón P được gọi là nón sinh, nếu E =
P − P , ở đó
P − P = {x ∈ E : x = u − v, u, v ∈ P }.
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu sự liên hệ giữa nón khối và nón sinh
Bổ đề 1.2.4. ([3],tr.14) Nếu P là nón khối thì P là nón sinh.
Chứng minh. Cho x0 ∈ intP . Khi đó tồn tại r > 0 thỏa mãn B(x0 , r) ⊂
P . Như trong bổ đề 1.2.3 ta có
r
r
x, x0 +
x ∈ B(x0 , r)
x0 −
2 x
2 x
với mọi x ∈ E \ {θ}. Nhưng
u=

x
r

x0 +

r
x
2 x

và v =

x
r

x0 −

r
x .
2 x

Khi đó u, v ∈ P và x = u − v, vì x ∈ P − P . Quan sát thấy θ ∈ P − P .
Do đó E = P − P , chứng minh kết thúc.
Từ bổ đề trên, các hình nón được xét trong ví dụ 1.2.1 và 1.2.2 là
sinh.Đặc biệt, với mọi x ∈ C[a; b] ta có x = u − v, ở đó
u(t) = max{x(t), 0}, v(t) = max{−x(t), 0}, t ∈ [a; b].
Ta kết thúc phần này với ví dụ về nón sinh với phần trong khác rỗng.
Ví dụ 1.2.4. Cho c0 là không gian Banach tất cả các dãy số thực
x = {xi } hội tụ về không với chuẩn
x = sup |xi |.
i∈N

Tập
P = {x ∈ c0 : xi ≥ 0i ∈ N}


10

là nón trong c0 . Ta thấy rằng với x ∈ c0 có thể biểu diễn ở dạng x = u−v,

ở đó
ui = max{xi , o}, vi = max{−xi , 0}, i ∈ N.
Do đó, P là nón sinh. Ta sẽ chỉ ra rằng P là nón khối. Với x = {xi } ∈ P .
Từ limi→∞ xi = 0, ta có
xi −
∀r > 0, ∃i0 ∈ N, ∀i > i0
i

r
2

< 0.

Đối với r > 0 tùy ý, đặt
yi =

xi ,
xi − 2r
i

i
,

=
i

1, 2, ..., i0 ,
> i0 .

Khi đó, y = {yi } ∈ c0 và

r
∀ |xi − yi | ≤ .
i∈N
2
Vì thế y ∈ B(x; r). Nhưng y ∈
/ P bởi vì yi < 0 với i > i0 . Từ x và r là
tùy ý, ta kết luận rằng intP = ∅.


Chương 2
Toán tử dương
2.1

Toán tử dương tuyến tính

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu các tính chất bán kính phổ của toán tử
tuyến tính bị chặn. Đặc biệt ta sẽ quan tâm tới ước lượng của bán kính
phổ và bán kính phổ địa phương với tổng và hợp thành của các toán tử
tác động trong không gian Banach được sắp thứ tự bộ phận.
Định nghĩa 2.1.1. ([3], tr.16) Cho P là nón trong E và A : E → E là
toán tử tuyến tính. Ta nói rằng A là toán tử dương nếu A(P ) ⊂ P .
Dễ dàng thấy rằng từ định nghĩa trên A(P ) ⊂ P tương đương với A
đơn điệu tăng, tức là, nếu x y thì Ax Ay
Định nghĩa 2.1.2. ([3], tr.16) Cho P là nón trong E và u0 ∈ P \ {θ}.
Toán tử tuyến tính dương A gọi là u0 -bị chặn trên nếu với mọi x ∈ P
đều có B(x) > 0 thỏa mãn Ax B(x)u0
Chứng minh của kết quả dứơi đây tương tự như trong Bổ đề 1.2.3
Bổ đề 2.1.1. ([3], tr.16) Giả sử P là nón khối trong E, u0 ∈ intP và
A là toán tử dương bị chặn. Khi đó A là u0 - bị chặn trên.
Ta kí hiệu L(E) là không gian Banach tất cả các toán tử tuyến tính

bị chặn từ E vào E.
Định nghĩa 2.1.3. ([3], tr.16) Cho A ∈ L(E). Số
r(A) = lim An
x→∞

được gọi là bán kính phổ của A.
11

1
n

(2)


12

Cần chú ý rằng giới hạn
lim An

1
n

x→∞

luôn tồn tại và
lim An

1
n

x→∞

= inf An
x∈N

1
n

.

Đây là kết quả của bất đẳng thức sau
Am+n ≤ Am . An , m, n ∈ N.
Điều đó có nghĩa dãy an = An là nhóm nhân tính, thỏa mãn
am+n ≤ am an , m, n ∈ N.
Nó có thể được chứng tỏ rằng với ε > 0 tồn tại chuẩn .
với chuẩn . thỏa mãn
r(A) ≤ A

ε≤

ε

tương đương

r(A) + ε.

Nhận xét. Bán kính phổ có thể được định nghĩa theo cách khác. Cho
E là không gian Banach phức và A ∈ L(E) . Kí hiệu σ(A) là mật độ
phổ của A. Khi đó số
r(A) = max {|λ| : λ ∈ σ(A)}

(3)

˜
được gọi là bán kính phổ của A. Với không gian Banach thực r(A) = r(A)
theo định nghĩa, trong đó A˜ là kí hiệu cho phức hóa của A. Nhắc lại rằng
phức hóa E˜ của không gian Banach thực E được xác định như không
gian phức gồm tất cả các cặp (x;y), biểu thị bởi x + iy, x, y ∈ E. Phép
cộng và phép nhân vô hướng được xác định một cách tự nhiên. Chuẩn
. E˜ trong E˜ được cho bởi
x + iy

˜
E

= max (cos t)x + (sin t)y .
[0;2π]

˜ xác định bởi
Bằng cách phức hóa A ∈ L(E) ta nhận được A˜ ∈ L(E)
˜ + iy) = Ax + iAy, x, y ∈ E.
A(x
Dễ dàng chỉ ra A˜ E˜ = A . Mật độ phổ của A được xác định như sau:
˜ . Có thể chỉ ra rằng
σ(A) = σ(A)
lim

n→∞

An

1
n

= max {|λ| : λ ∈ σ(A)} .


13

Chứng minh đẳng thức trên có thể được tìm thấy, (xem [3] trang 18).
Trong nghiên cứu của ta chỉ xét tới không gian Banach thực và sử dụng
công thức (2) là chủ yếu.
Từ (2) ta nhận ngay được các công thức dưới đây của r(A):
a) r(A) ≤ A ,
b) r(λA) = |λ|r(A) với mọi λ ∈ R,
c) r(Ak ) = [r(A)]k với mọi k ∈ N.
Trong trường hợp tổng quát, không dễ dàng tìm kiếm r(A) bởi (2).
do đó, để tính r(A) ta thường sử dụng về khái niệm bán kính phổ địa
phương của toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 2.1.4. ([3], tr.18) Cho A ∈ L(E) và x ∈ E. Số
r(A, x) = lim sup An x

1
n

n→∞

(4)

gọi là bán kính phổ địa phương của A tại x.

Dễ dàng xác nhận được r(A, x) ≤ r(A) với mọi x ∈ E. Ta hãy chỉ ra
rằng giới hạn
1
lim An x n
n→∞

có thể không tồn tại. Không giống như dãy { An } , dãy { An x } với
x cố định thuộc E, trong trường hợp tổng quát, không nhân con.
Ví dụ 2.1.1. ([3],tr.19) Với k, n ∈ N. Xét dãy
ak = e−2n
Ở đó 2n−1 ≤ k < 2n . Dễ thấy dãy {ak } là giảm. Hơn nữa, nếu kn = 2n−1
thì
1
lim (ak ) kn = e−2 ,
n→∞

trong khi với kn = 2n − 1. Khi đó, ta nhận
1

lim (akn ) kn = e−1 .

n→∞
1

Do đó dãy akk

là phân kỳ. Với x = {xk }, xác định bởi
xk = ak − ak+1 ,

14

Ở đó k ∈ N, ta có
∞

∞

(ak − ak+1 ) = a1 .

|xk | =
k=1

k=1

Ở đó x ∈ l1 . Cho A là toán tử dịch chuyển trên l1 , tức là,
Ax = (x2 , x3 , x4 , ...)
Với x = {xk } ∈ l1 . Khi đó
An x = (xn+1 , xn+2 , xn+3 , ...),
và

∞
n

|xn+k | = an+1

A x =
k=1

với mọi n ∈ N . Như là kết quả, giới hạn limn→∞ An x

1
n

không tồn tại.

Bây giờ ta chuyển qua một vài định lý quan trọng liên quan đến r(A)
và r(A, x). Đầu tiên ta nhắc lại kết quả sau đây, (xem [3],tr.19).
Định lý 2.1.1. ([3], tr.19) Cho A ∈ L(E). Nếu tồn tại a ≥ 0 thỏa mãn
r(A, x) ≤ a với mọi x ∈ E, Khi đó r(A) ≤ a.
Chứng minh. Giả sử
lim sup|An x

n→∞

1
n

≤ a với mọi x ∈ E.

Do đó với mỗi ε > 0 tùy ý và mỗi x ∈ E có 1 số δ(x) ≥ 1 thỏa mãn với
mọi n ∈ N
(a + ε)−n An x ≤ δ(x).
Theo định lý Banach - Steinhaus tồn tại δ ≥ 1 thỏa mãn
(a + ε)−n An ≤ δ với mọi n ∈ N.
Điều này cho thấy
lim sup An

n→∞
1

1
n

≤ a + ε.

Do chuỗi An n hội tụ, ta nhận được r(A) ≤ a + ε , vì ε > 0 tùy ý,
suy ra điều phải chứng minh.


15

Trong [3],tr.20, Danẽs đã đạt được sự cải thiện của định lý 2.1.1 . Cụ
thể, ông chứng minh rằng tập các phần tử x ∈ E với r(A, x) = r(A) là
tập thuộc phạm trù thứ hai trong E. Trong trường hợp đặc biệt,
r(A) = max r(A, x) : x ∈ E

(5)

Các chứng minh của (5) cùng được đưa ra trong [3],tr.20. Trong đó,
F¨orster và Nagy thu được mở rộng sau đây của (5) cho các toán tử dương
tương ứng với nón sinh.
Định lý 2.1.2. ([3],tr.20) Nếu P là nón sinh trong E và A ∈ L(E) là
toán tử dương thì
r(A) = max{r(A, x) : x ∈ P }.
Chứng minh. Theo (5) , ta có x0 ∈ E thỏa mãn r(A, x0 ) = r(A) . Từ P
là nón sinh, tồn tại u0 , v0 ∈ P thỏa mãn x0 = u0 = v0 . Do đó
An x0

1
n

= An (u0 − v0 )

1
n

1

≤ 2 n max

An u0

1
n

, An v0

1
n

với mọi n ∈ N . Vì vậy
r(a, x0 ) ≤ max{r(A, u0 ), r(A, v0 )} ≤ r(A),
suy ra r(A) = max{r(A, x) : x ∈ P }
Bây giờ ta đưa ra 2 điều kiện đủ để r(A, x) = r(A) . Các kết quả thảo
luận nói về toán tử tuyến tính dương bị chặn.
Định lý 2.1.3. ([3] trang 21) Cho nón P là nón sinh và nón pháp trong
E, u0 ∈ P \ {θ} và A ∈ L(E) là toán tử dương u0 - bị chặn trên. Thì
r(A, u0 ) = r(A).
Chứng minh. Rõ ràng r(A, u0 ) ≤ r(A). Vì vậy ta cần chỉ ra r(A) ≤
r(A, u0 ). Lấy u ∈ P . Khi đó tồn tại số β(u) > 0 thỏa mãn

Au ≤ β(u)u0 .
Vì A là toán tử dương và tăng, ta đạt được
An u ≤ β(u)An−1 u0


16

với mọi n ∈ N . Từ giả thiết, P là nón pháp, vì thế
An u ≤ γβ(u) An−1 u0
với mọi n ∈ N . Từ đó, ta nhận được r(A, u) ≤ r(A, u0 ) với mỗi u ∈ P .
Theo định lý 2.1.2,
r(A) = max{r(A, u) : u ∈ P } ≤ r(A, u0 ),
vậy chứng minh được hoàn thành.
Điều đáng nói là định lý 2.1.3 cũng có thể được suy ra trực tiếp từ
định lý 2.1.1. Như ta thấy, từ các giả thiết của định lý 2.1.3 nó cho thấy
rằng r(A, u) ≤ r(A, u0 ) với mỗi u ∈ P . Cho x ∈ E. Vì P là nón sinh,
nên tồn tại u, v ∈ P sao cho x = u − v . Như trong chứng minh của định
lý 2.1.2 ta nhận
r(A, x) ≤ max{r(A, u), r(A, v)}
Như vậy r(A, x) ≤ r(A, u0 ) với mỗi x ∈ E. Theo định lý 2.1.1,
r(A) ≤ r(A, u0 ) và có khẳng định của định lý 2.1.3
Định lý 2.1.4. ([3],tr.22) Cho P là nón khối và nón pháp trong E và
A ∈ L(E) là toán tử dương. Thì với mỗi x ∈ intP
r(A, x) = r(A).
Chứng minh. Từ x ∈ intP . Theo bổ đề 2.1.1, A là x- bị chặn trên. Từ
bổ đề 1.2.4 ta thấy P là nón sinh. Theo định lý 2.1.3, r(A, x) = r(A)
Bây giờ ta đi dự đoán bán kính phổ của tổng và tích của các toán tử
tuyến tính bị chặn. Trong chuyên khảo (xem [3] trang 23), định lý kinh
điển được đưa ra như sau.
Định lý 2.1.5. ([3], tr.22) Nếu A, B ∈ L(E) và AB = BA thì

r(AB) ≤ r(A)r(B)

(6)

r(A + B) ≤ r(A) + r(B).

(7)

và


17

Chứng minh. Vì A và B là giao hoán nên ta có (AB)n = An B n với mỗi
n ∈ N. Vì thế
1
n

r(AB) = lim (AB)n
1
n

An

n→∞

1
n

n→∞

n→∞

≤ lim

= lim An B n
1
n

Bn

= r(A)r(B).

Để chứng minh (7), đầu tiên quan sát thấy với mọi n ∈ N
n
n

(A + B)

n i n−i
AB
.
i

=
i=0

Ta lấy các số p và q thỏa mãn p > r(A) và q > r(B) . Khi đó, tồn tại số
nguyên K > 0 thỏa mãn với n ≥ K
1

n

An

< p và B n

1
n

< q.

Vì thế, tồn tại hằng số s và t thỏa mãn với mọi n ∈ N
1
n

An

1
n

≤ s và B n

≤ t.

Do đó, với n > 2K ta nhận
n−K
n

(A + B)

≤
i=0
K−1

<
i=0
K−1

=
i=0

n
i

n

A . B

i=n−K+1
n

i=0

n−K

i=K

+
n i n−i
pq +

i
n−K

i

n i n−i s
pq
i
p

+

n−i

i=n−K+1

n i n−i
sq +
i

n

≤

i

+
i=K
n−i

n
i

Ai . B n−i
n

i=n−K+1

n i n−i
pq
i

n i n−i t
pq
i
q

n i n−i
p q M,
i

ở đó
M = max

0≤i≤K−1

s
p

i

+ 1 + max

0≤i≤K−1

t
q

i

.

n i n−i
pt
i


18

Khi đó
(A + B)n < (p + q)n M.
Vì vậy
lim (A + B)n

n→∞

1
n

1

≤ lim (p + q)M n = p + q.
n→∞

Vì các số p, q là tùy ý, nên ta có đẳng thức (7)
Trong [3],tr.24, Danẽs đã đạt được kết quả tương tự sau của định lý
2.1.5 cho bán kinh phổ địa phương.
Định lý 2.1.6. ([3]tr.24) Nếu A, B ∈ L(E) và AB = BA thì với mọi
x∈E
r(AB, x) ≤ r(A, x)r(B)

(8)

r(A + B, x) ≤ r(A, x) + r(B).

(9)

và

Ví dụ 2.1.2. Trong không gian Euclide R2 ,xét toán tử
Ax = (x2 , 0), Bx = (0, x1 ),
ở đó x = (x1 , x2 ). Ta thấy AB = BA và r(A) = r(B) = 0. Với mọi n ∈ N
và x ∈ R2 ta có
(AB)n x = (x1 , 0), (A + B)2n x = (x1 , x2 ) và (A + B)2n−1 x = (x2 , x1 ).
Từ đó r(AB) = 1, r(A + B) = 1 và các bất đẳng thức (6) và (7) không
đúng trong trường hợp này. Hơn nữa, (8) không đúng với mọi x ∈ R2
với x1 = 0 và (9) chỉ được thỏa mãn cho x = (0, 0).
Ví dụ trên cho thấy điều kiện AB = BA trong định lý 2.1.5 và 2.1.6
là cần thiết. Tuy nhiên các giả thiết của giao hoán có thể làm yếu đi nếu
A và B là các toán tử dương. Bây giờ ta bàn đến 1 vài kết quả của loại

này. Nó dễ kiểm tra rằng r(AB) = r(BA) với A, B là các phần tử của
L(E). Vì thế trong các ước tính dưới đây, r(AB) là duy nhất.
Định lý 2.1.7. ([3],tr.24) Cho P là nón pháp và sinh trong E và A, B ∈
L(E) là các toán tử dương. Nếu BAx ABx với mỗi x ∈ P thì bất đẳng
thức (6) và (7) là đúng.


19

Chứng minh. Từ giả thiết ta thấy
(AB)n x

An B n x

với mọi x ∈ P và n ∈ N . Vì P là nón pháp, nên
(AB)n x ≤ γ An . B n . x .
Suy ra
r(AB, x) ≤ r(A)r(B)
với mỗi x ∈ P . Theo định lý 2.1.2, (6) là đúng. Để chứng minh (7), ta
quan sát
n
n i n−i
n
AB x
(A + B) x
i
i=0

với mỗi n ∈ N và x ∈ P . Vì P là nón pháp, ta được
n

n

(A + B) x ≤ γ
i=0

n
i

n
i

AB

n−i

x ≤γ
i=0

n
i

Ai . B n−i . x .

Điều này cho thấy
n
n

(A + B) x ≤ γ x
i=0

n i n−i
p q M,
i

ở đó p, q và M được xác định như trong chứng minh của định lý 2.1.5.
Vì thế với mỗi x ∈ P
r(A + B, x) ≤ r(A) + r(B),
từ đây ta có (7)
Tiếp theo ta nhắc lại kết quả liên quan đến bán kính phổ của tổng
các toán tử dương đạt được trong [3], tr.25. Nó được bắt đầu như sau.
Định lý 2.1.8. Cho P là nón pháp trong E và A, B ∈ L(E) là các toán
tử dương. Giả sử rằng tồn tại x0 ∈ P thỏa mãn r(A + B, x0 ) = r(A + B)
và
BAj B k x0 Aj B k+1 x0
với j = 1, 2, ..., k = 0, 1, ... .Khi đó (7) là đúng.


20

Chứng minh. Theo giả thiết ta nhận được với mọi n ∈ N
n

n i n−i
A B x0 .
i

n

(A + B) x0
i=0

Vì thế

n
n

(A + B) x0 ≤ γ
i=0

n
i

Ai . B n−i . x0 .

Tương tự như trong chứng minh của định lý 2.1.5 ta được
r(A + B, x0 ) ≤ r(A) + r(B),
theo đó ta nhận được (7)
Nhận xét. Với toán tử A và B được xét trong ví dụ 2.1.2 giả thiết
của định lý 2.1.8 không được thỏa mãn. Thật vậy, giả sử P là nón trong
không gian Euclide R2 . Để A(P ) ⊂ P, B(P ) ⊂ P và x0 = (x01 , x02 ) ∈ P .
Khi đó
BABx0 = (0, x01 ) ∈ P và AB 2 x0 = (0, 0).
Do vậy BABx0
Hơn nữa,

AB 2 x0 khi và chỉ khi (0, −x01 ) ∈ P , trong đó x01 = 0.

BAx0 = (0, x02 ) ∈ P và ABx0 = (x01 , 0) = (0, 0)
Vì thế BAx0 ABx0 khi và chỉ khi (0, −x02 ) ∈ P . Nghĩa là x02 = 0. Như
vậy, x0 = (0, 0) , nhưng sau đó r(a + B, x0 ) = r(A + B)

Bây giờ ta bàn đến trường hợp tổng quát của định lý 2.1.6 với toán
tử dương. Vì r(AB, x) có thể khác so với r(BA, x), nên ta sẽ dự đoán
cả hai.
Định lý 2.1.9. ([3],tr.26) Giả sử P là nón pháp trong E và A, B ∈ L(E)
là các toán tử dương. Nếu ABx BAx với mỗi x ∈ P , thì
r(A + B, x) ≤ r(A, x) + r(B),
r(AB, x) ≤ r(A, x)r(B) và r(BA, x) ≤ r(A, x)r(B)
với mỗi x ∈ P .