Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp bài toán biên ELLIPTIC không tuyến tính bằng phương pháp biến phân (tt0
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (349.38 KB, 47 trang )
DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1. TS Nguyễn Thành Chung: Chủ nhiệm đề tài.
2. Th.S Phạm Hồng Minh: Thành viên tham gia.
3. Th.S Trần Hồng Nga: Thành viên tham gia.
1
Mục lục
Lời mở đầu
1
2
3
Bài toán biên elliptic không tuyến tính trong miền bị chặn với
cận tăng trưởng dưới tới hạn dạng tổng quát
5
1.1
Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Sự tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Bài toán biên elliptic kiểu Kirchhoff trong không gian OrliczSobolev
25
2.1
Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2
Một vài tính chất cơ bản về không gian Orlicz-Sobolev . . . 28
2.3
Nghiệm yếu trong không gian Orlicz-Sobolev . . . . . . . . 31
Kết luận
42
Tài liệu tham khảo
43
2
LỜI MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, những mô hình về các bài toán ổn định độc lập
thời gian trong các ngành khoa học kỹ thuật khác nhau sẽ dẫn đến các bài
toán biên elliptic trong phương trình đạo hàm riêng. Việc nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của lớp các bài toán này sẽ trả lời nhiều câu hỏi liên quan, từ
các vấn đề xuất hiện trong nội tại ngành toán học cho đến các ngành khoa
học kỹ thuật khác, xem [20]. Có nhiều phương pháp được các nhà toán học
trên thế giới đưa ra dùng để nghiên cứu bài toán biên elliptic, chẳng hạn
phương pháp toán tử đơn điệu, phương pháp bậc tôpô, phương pháp nghiệm
trên nghiệm dưới, phương pháp biến phân. . . Mỗi phương pháp có những
ưu điểm và hạn chế riêng, dó đó chỉ được áp dụng cho một lớp các bài toán
cụ thể. Trong đề tài này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm
yếu của một lớp bài toán biên elliptic bằng phương pháp biến phân, xem
[29, 30].
Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm yếu của một bài
toán biên elliptic nào đó, ta quy về tìm điểm tới hạn của một phiếm hàm
trong một không gian hàm thích hợp. Phiếm hàm này sẽ thỏa mãn một số
điều kiện để có thể khả vi (theo một nghĩa nào đó) và áp dụng các kết quả
biến phân nhằm thu được nghiệm của bài toán. Có nhiều nhà toán học trên
thế giới quan tâm nghiên cứu nghiệm (yếu) của bài toán biên elliptic, đặc
biệt ở một số nước như Mỹ, Pháp, Rumani, Nhật Bản, Hàn Quốc, Trung
Quốc, Singapore, xem [5, 6, 8, 31].
Ở Việt Nam, có một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu các bài toán
biên elliptic không tuyến tính như D.M. Đức với nghiên cứu bài toán elliptic
3
không đều kiểu Laplacian dựa vào tính khả vi yếu của phiếm hàm trong công
trình [17], N.M. Chương với nghiên cứu bài toán elliptic (hệ Hamilton) liên
quan đến toán tử Grushin [14], N.M. Trí với nghiên cứu dáng điệu nghiệm
của bài toán elliptic suy biến mạnh [34], H.Q. Toàn với nghiên cứu bài toán
elliptic liên quan đến điều kiện cộng hưởng [33], N.Q. Anh với nghiên cứu
bài toán biên elliptic trên đa tạp [28]. Những kỹ thuật biến phân được sử
dụng trong các công trình trên khá phong phú, tùy thuộc vào cấu trúc của
bài toán elliptic được xét.
Đề tài tập trung nghiên cứu một số bài toán biên elliptic không tuyến
tính với biên Dirchlet trong miền bị chặn. Chúng tôi cũng quan tâm nghiên
cứu các bài toán elliptic kiểu Kirchhoff liên quan. Đây là những mô hình bài
toán có nhiều ý nghĩa trong vật lí toán, đặc biệt là trong việc nghiên cứu bài
toán truyền sóng. Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, bố cục
của đề tài bao gồm 2 chương chính:
Chương 1 trình bày sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp bài toán elliptic
với biên Dirchlet trong miền bị chặn có biên Lipschitz.
Chương 2 dành để trình bày sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp bài
toán kiểu Kirchhoff trong không gian Orlicz-Sobolev.
Những kết quả được trình bày trong đề tài này đã được công bố trong
các công trình [11, 12]. Nội dung đề tài có sử dụng một số kiến thức về giải
tích hàm và không gian Sobolev, đọc giả có thể tìm thấy trong một số sách
hoặc báo được liệt kê ở phần tài liệu tham khảo. Mặc dù đã dành nhiều thời
gian và công sức để thực hiện, song đề tài vẫn còn nhiều hạn chế. Rất mong
nhận được sự góp ý Hội đồng đánh giá và của quý thầy cô, bạn đọc để nội
dung đề tài hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
4
Chương 1
Bài toán biên elliptic không
tuyến tính trong miền bị
chặn với cận tăng trưởng
dưới tới hạn dạng tổng quát
Trong chương này, sử dụng phương pháp biến phân chúng tôi nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp bài toán biên elliptic không tuyến tính với
vế phải có cận tăng dưới tới hạn dạng tổng quát. Bài toán được xét trong
miền bị chặn có biên Lipschitz, nhằm đảm bảo các điều kiện cần thiết để
dùng được các kết quả về định lí nhúng trong không gian Sobolev. Nội dung
của chương này dựa trên kết quả nghiên cứu của chúng tôi đã được công bố
trong bài báo [12].
5
1.1
Giới thiệu bài toán
Trong mục này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu
cho một lớp bài toán biên elliptic có dạng
D p u g x, u , x 2 W,
u
trong đó W
¥, g : W
RN (N
0,
(1.1)
x 2 ¶ W,
2) là một miền bị chặn có biên Lipschitz, 1 < p <
R ! R là một hàm số liên tục thỏa mãn cận tăng dưới tới hạn.
Bài toán (1.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học trong những
năm trở lại đây. Những công cụ khác nhau đã được sử dụng như phương
pháp toán tử đơn điệu, phương pháp tôpô, phương pháp nghiệm trên nghiệm
dưới, ... Tuy nhiên, kể từ khi hai nhà toán học người Italia là Ambrosetti và
Rabinowitz đề xuất định lí Qua núi vào năm 1973 (xem [2]), lý thuyết điểm
tới hạn đã trở thành một trong những công cụ chính để tìm nghiệm yếu của
các phương trình và hệ phương trình elliptic kiểu biến phân. Để áp dụng
định lí này, các nhà toán học phải dùng đến một trong những điều kiện rất
quan trọng (do Ambrosetti và Rabinowitz đề xuất và được gọi là điều kiện
Ambrosetti và Rabinowitz, viết tắt là (A-R)). Điều kiện này được ấn định
lên biểu thức phi tuyến g như sau:
(A-R) Tồn tại các hằng số q > p và R > 0 sao cho ta có:
0 < q G x,t
trong đó G x,t
t
0g
g x,t t,
8jtj
R,
hầu khắp nơi x 2 W,
x, s ds.
Điều kiện này đảm bảo rằng phiếm hàm năng lượng J liên kết với bài
toán (1.1) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale (để ngắn gọn, chúng ta thường
6
gọi là điều kiện (PS), tức là với mọi dãy fum g thỏa mãn J um bị chặn và
J 0 um ! 0 khi m ! ¥ đều sẽ tồn tại một dãy con hội tụ theo chuẩn. Rõ
ràng, nếu điều kiện (A-R) được thỏa mãn thì sẽ tồn tại hai hằng số dương
d1 , d2 sao cho:
G x,t
d1 jtjm
d2 ,
8 x,t 2 W
R.
Từ đây có thể suy ra biểu thức phi tuyến g là p-trên tuyến tính tại
¥
theo nghĩa sau đây:
lim
jtj!
G x,t
¥ jtj p
¥.
Trong những năm gần đây, có nhiều nhà toán học xem xét bài toán (1.1)
trong trường hợp biểu thức phi tuyến g không thỏa mãn điều kiện kiểu (AR), có thể kể ra đây một vài nghiên cứu về chủ đề này, chẳng hạn đọc giả có
thể xem trong các bài báo [16, 24, 27]. Trong bài báo [27], O.H. Miyagaki
và đồng tác giả đã nghiên cứu bài toán (1.1) trong trường hợp nửa tuyến tính,
tức là p
2, bằng cách đề xuất điều kiện trên tuyến tính đối với hàm g. Tuy
nhiên điều kiện này chỉ thỏa mãn theo nghĩa địa phương, tức là tồn tại hằng
số t0 > 0 sao cho:
g x,t
tăng với t
t
t0 và giảm với t
t0 ,
8x 2 W.
Sử dụng định lí Qua núi với điều kiện (PS) trong bài báo [2], các tác giả
trên đã chứng minh được sự tồn tại ít nhất một nghiệm không tầm thường.
Kết quả này được mở rộng cho toán tử tổng quát hơn dạng p-Laplace
Dpu
bởi nhà toán học G. Li và đồng nghiệp trong bài báo [24]. Chú ý rằng trong
các bài báo [24, 27], các tác giả cần đến điều kiện về tốc độ tăng trưởng dưới
tới hạn
7
(F0’) jg x,t j
jtjr
C 1
trong đó p
Np
N p
1
với mọi t 2 R, hầu khắp nơi x 2 W, r 2 1, p ,
nếu 1 < p < N và p
¥ nếu p
N.
Trong các bài báo gần đây [22, 23], nhà toán học Y.Y. Lan và đồng
nghiệp đã nghiên cứu bài toán (1.1) bằng cách giới thiệu một kiểu tổng quát
của điều kiện tăng trưởng dưới tới hạn, ở đó r
p . Dùng định lí Qua núi
trong công trình [2], các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại ít nhất một
nghiệm yếu không tầm thường đối với bài toán (1.1) mà không cần dùng
đến điều kiện kiểu (A-R).
Trong mục này, chúng tôi sẽ xem xét mở rộng kết quả của Y.Y. Lan được
nói ở trên. Bài toán được quan tâm nghiên cứu ở đây có thể xem như một
dạng nhiễu của bài toán được đề xuất bởi Y.Y. Lan và đồng nghiệp trong
các bài báo [22, 23]. Cụ thể, xét bài toán (1.1) trong trường hợp g x, u
l jujq 2 u
f x, u , tức là:
D p u l jujq 2 u
u
trong đó W
RN (N
0,
f x, u ,
x 2 W,
(1.2)
x 2 ¶ W,
2) là một miền bị chặn có biên Lipschitz, 1 < q < p,
l là một tham số dương, f : W
R ! R là một hàm số liên tục thỏa mãn
điều kiện tăng trưởng dạng tổng quát theo nghĩa sau:
(F0) limjtj!
f x,t
¥ jtj p 1
0 đều hầu khắp nơi theo x 2 W.
Đặc biệt, như trong các bài báo [22, 23], chúng tôi không dùng điều kiện
kiểu (A-R) đối với biểu thức phi tuyến f , xem điều kiện (F4) cũng như các
ví dụ và bình luận liên quan trong các bài báo của Y.Y. Lan và đồng nghiệp
[22, 23]. Dùng định lí Qua núi [2] kết hợp với nguyên lí biến phân Ekeland
[19], chúng tôi chứng minh được bài toán (1.1) có ít nhất hai nghiệm yếu
8
không tầm thường. Kết quả này là một sự mở rộng tự nhiên từ các kết quả
trước đó đối với bài toán elliptic trong đó có sự kết hợp các yếu tố trên và
dưới tuyến tính [3]. Liên quan đến chủ đề này, chúng tôi giới thiệu bài báo
thú vị [18], trong đó các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho
một lớp bài toán elliptic không tuyến tính với các biểu thức vế phải có dạng
trên tuyến tính và dưới tuyến tính theo nghĩa địa phương.
Đối với bài toán (1.2), chúng tôi giới thiệu các giả thiết sau đây lên biểu
thức phi tuyến f :
(F1) Tồn tại một hằng số dương t > 0 sao cho F x,t
x 2 W và với mọi t 2 0,t , trong đó F x,t :
0 với hầu khắp nơi
t
0
f x, s ds.
(F2) lim supjtj!0 Fjtjx,tp < l1 đều với hầu khắp nơi x 2 W, trong đó l1 là giá
trị riêng thứ nhất của toán tử
(F3) limjtj!
F x,t
¥ jtj p
Dp.
¥ đều với hầu khắp nơi x 2 W.
1, C > 0 sao cho:
(F4) Tồn tại các hằng số q
q H x,t
C
H x, st
với mọi t 2 R, x 2 W, s 2 0, 1 , trong đó:
H x,t
f x,t t
pF x,t .
Chú ý rằng có nhiều hàm số f x,t thỏa mãn các giả thiết nêu trên, chẳng
hạn hàm số:
f x,t
jtj p 2t log 1
jtj
thỏa mãn tất cả các điều kiện (F0)-(F4). Để chi tiết hơn, đọc giả có thể tham
khảo thêm trong các bài báo [22, 23].
9
Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm nghiệm yếu của bài toán (1.2) trong
không gian Sobolev thông thường W01,p W được trang bị chuẩn:
j uj p dx
kuk
1
p
.
W
1.2
Sự tồn tại nghiệm yếu
Trong mục này, chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh một kết quả liên
quan đến sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (1.2) với các giả thiết được nêu
ra trong mục 1.1. Trước hết chúng ta định nghĩa nghiệm yếu đối với bài toán
(1.2).
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng u 2 W01,p W là một nghiệm yếu của bài toán
(1.2) nếu
j uj p
2
u v dx
W
jujq 2 uv dx
l
W
f x, u v dx
0
W
với mọi v 2 W01,p W .
Kết quả chính của chúng tôi trong chương này được thể hiện thông qua
định lí sau đây.
Định lý 1.1. Giả thiết rằng các điều kiện (F0)-(F4) thỏa mãn. Khi đó, tồn
tại một hằng số l > 0 sao cho với mọi giá trị l 2 0, l , bài toán (1.2) có
ít nhất hai nghiệm yếu không tầm thường.
Chúng ta sẽ dùng kí hiệu ci với i là các số tự nhiên để chỉ các số thực
dương nói chung được xác định trong các biểu thức từ đây trở về sau. Như
chúng ta sẽ thấy, để chứng minh bài toán (1.2) có ít nhất hai nghiệm yếu
không tầm thường chúng ta sẽ dùng phương pháp biến phân mà cụ thể ở đây
10
là định lí Qua núi [2] và nguyên lí biến phân Ekeland [19], được phát biểu
trong các mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach, J 2 C1 X, R thỏa mãn
điều kiện (PS), J 0
0 và
a với mọi u 2 X thỏa
(i) Tồn tại hằng số r > 0, a > 0 sao cho J u
mãn kuk
r.
(ii) Tồn tại e 2 X, kek > r sao cho J e < 0.
Đặt
c
inf max J g t ,
g2G t2 0,1
với G
fg 2 C 0, 1 , X : g 0
0, g 1
eg. Khi đó c là một giá trị tới
hạn của J, tức là tồn tại điểm tới hạn u0 của J theo nghĩa J 0 u0
J u0
0 và
c.
Khi nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu của một phiếm hàm, để thay thế
cho điều kiện (PS), năm 1978, G. Cerami [7] đã đề xuất một điều kiện
khác thường được gọi là điều kiện Cerami, viết tắt là (Ce): Một phiếm hàm
J 2 C1 X, R gọi là thỏa mãn điều kiện (Ce) nếu với mọi dãy fum g thỏa
mãn fJ um g bị chặn và kJ 0 um k 1
kum k ! 0 khi m ! ¥ đều trích
được một dãy con hội tụ theo chuẩn. Nhiều nhà toán học sau đó đã cải tiến
bổ đề biến dạng theo điều kiện (Ce) và chứng minh được định lí "Qua núi"
cũng đúng trong trường hợp phiếm hàm J thỏa mãn điều kiện (Ce), chẳng
hạn xem [32].
Chúng ta sẽ tìm nghiệm yếu của bài toán (1.2) bằng cách tìm điểm tới
hạn của phiếm hàm J : W01,p W ! R được xác định bởi công thức:
J u
1
p
j uj p dx
W
l
q
11
jujq dx
W
F x, u dx.
W
Từ các giả thiết của hàm số f chúng ta có thể thấy J 2 C1 W01,p W , R và
đạo hàm của J được cho bởi công thức:
J0 u v
j uj p
2
u v dx
jujq 2 uv dx
l
W
W
f x, u v dx
W
với mọi hàm u, v 2 W01,p W . Từ đây đến hết chương 1, chúng ta sẽ giả thiết
tất cả các điều kiện của bài toán (1.2) thỏa mãn như trong phát biểu định lí
1.1.
Bổ đề 1.1. Tồn tại một hằng số l > 0 sao cho với mọi l 2 0, l , ta có
thể chọn a, r > 0 để J u
a với mọi u 2 W01,p W thỏa mãn kuk
r.
Chứng minh. Từ các giả thiết (F0) và (F2), với mọi e > 0, tồn tại c e > 0
phụ thuộc vào e, sao cho
F x,t
1
l1
p
e jtj p
c e jtj p
(1.3)
với mọi t 2 R và hầu khắp nơi x 2 W. Từ đó, sử dụng định lí nhúng Sobolev,
ta có:
J u
l
1
F x, u dx
j uj p dx
jujq dx
p W
q W
W
1
l
1
juj p dx c e
kuk p
c1 kukq
l1 e
p
q
p
W
1
l1 e
l
1
kuk p
c1 kukq c e kuk p
p
l1
q
e
l
c1 kukq p c e kuk p p kuk p ,
pl1 q
juj p dx
W
(1.4)
trong đó c e và c1 là các hằng số dương.
Với mỗi l > 0, chúng ta xét hàm số gl : 0, ¥ ! R được xác định bởi
công thức:
gl t
l q
c1 t
q
p
12
c e tp
p
.
(1.5)
Chúng ta thấy rõ ràng gl t là một hàm số liên tục trên 0, ¥ . Vì p >
p > q > 1, nên suy ra:
lim gl t
lim gl t
(1.6)
¥.
t! ¥
t!0
Từ đó, chúng ta có thể tìm được t > 0 sao cho 0 < gl t
mint2 0,
¥
gl t ,
ở đó hằng số t được xác định bởi phương trình:
0
l c1
q
q
gl0 t
p tq
p 1
ce p
p tp
p 1
hay
t
l c1 p q
qc e p
p
1
p
q
.
Với một vài tính toán đơn giản suy ra:
c2 .l
gl t
p
p
p
q
! 0 khi l ! 0 .
(1.7)
Từ các liên hệ (1.5), (1.6) và (1.7), tồn tại hằng số l > 0 sao cho với mọi
l 2 0, l , ta có thể chọn hằng số a > 0 và r > 0 sao cho J u
với mọi u 2 W01,p W thỏa mãn kuk
a >0
r.
Bổ đề 1.2. Tồn tại một hàm f 2 W01,p W , f > 0 sao cho J tf !
¥ khi
t ! ¥.
Chứng minh. Từ giả thiết (F3), suy ra với mọi M > 0 tồn tại một hằng số
cM
c M > 0 phụ thuộc vào M, sao cho:
F x,t
Mjtj p
cM ,
với hầu khắp nơi x 2 W,
8t 2 R.
(1.8)
Chọn f 2 C0¥ W sao cho f > 0, từ (1.8) và định nghĩa của phiếm hàm J, ta
13
có:
J tf
1
1
j tf j p dx l
jtf jq dx
F x,tf dx
p W
Wq
W
1
l
ktf k p M jtf j p dx
jtf jq dx cM jWj
p
q W
W
lt q
p 1
p
p
t
kf k
M jf j dx
jf jq dx cM jWj,
p
q W
W
(1.9)
trong đó t > 0 và jWj được kí hiệu là độ đo Lebesgue của miền W.
Từ liên hệ (1.9) và giả thiết 1 < q < p, nếu M đủ lớn sao cho:
1
kf k p
p
thì ta có limt!
¥J
tf
jf j p dx < 0,
M
W
¥.
Bổ đề 1.3. Tồn tại hàm số y 2 W01,p W , y > 0 sao cho J ty < 0 với mọi
giá trị t > 0 đủ nhỏ.
Chứng minh. Ta lấy hàm y 2 C0¥ W sao cho y > 0, từ định nghĩa của
phiếm hàm J và điều kiện (F1) ta có với mọi giá trị t 2 0, kyk t¥
L
đủ
W
nhỏ,
J ty
1
j tyj p dx
p W
tp
lt q
kyk p
p
q
l
q
jtyjq dx
W
F x,ty dx
W
(1.10)
jyjq dx.
W
Từ liên hệ (1.10), ta lấy
0
lp
q
W jyj dx
qkyk p
1
khi đó ta được J ty < 0 với mọi 0 < t < min d p q , kyk t¥
L
đã được chứng minh.
14
. Bổ đề 1.3
W
Bổ đề 1.4. Phiếm hàm J thỏa mãn điều kiện Cerami (viết tắt là (Ce)).
W01,p W là một dãy Ce của phiếm hàm J,
Chứng minh. Giả sử fum g
tức là,
J um ! c,
kJ 0 um k 1
kum k ! 0 khi m ! ¥,
điều này suy ra:
c
J 0 um um
o1,
J um
o1,
(1.11)
trong đó o 1 ! 0 khi m ! ¥.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng fum g bị chặn trong không gian W01,p W .
Thật vậy, bằng phản chứng, giả thiết rằng kum k ! ¥ khi m ! ¥. Đặt wm
um
kum k
ta có wm 2 W01,p W với kwm k
1. Khi đó tồn tại hàm w 2 W01,p W sao
cho dãy fwm g hội tụ yếu đến một hàm w nào đó trong không gian W01,p W
và
wm x ! w x ,
wm ! w
hầu khắp nới trong W,
mạnh trong không gian Lr W ,
m ! ¥,
m ! ¥,
1
(1.12)
r(1.13)
jwm j pp
c3 .
(1.14)
Đặt W6 : fx 2 W : w x 6 0g. Nếu x 2 W6 thì suy ra từ liên hệ (1.12) rằng
limm!¥ wm x
limm!¥ ukummxk
w x và như vậy jum x j
jwm x jkum k !
¥ khi m ! ¥ với hầu khắp nơi x 2 W6 .
Dùng điều kiện (F3) ta có:
F x, um x
m!¥ jum x j p
lim
¥,
a.e. x 2 W6 .
(1.15)
Điều này có nghĩa là:
F x, um x
jwm x j p
m!¥ jum x j p
lim
¥,
15
hầu khắp nơi x 2 W6 .
(1.16)
Lại bởi điều kiện (F3), tồn tại hằng số t0 > 0 sao cho:
F x,t
>1
jtj p
(1.17)
với hầu khắp nơi x 2 W và với mọi jtj > t0 > 0. Vì hàm số F x,t liên tục
t0 ,t0 , tồn tại một hằng số dương c4 sao cho:
trên miền W
jF x,t j
với mọi x,t 2 W
(1.18)
c4
t0 ,t0 . Từ liên hệ (1.17) và (1.18) tồn tại hằng số
c5 2 R sao cho:
F x,t
với mọi x,t 2 W
(1.19)
c5
R. Từ liên hệ (1.19), với hầu khắp nơi x 2 W và với mọi
m nguyên dương, ta có:
F x, um x
kum k p
c5
0
hay:
F x, um x
jwm x j p
p
jum x j
c5
kum k p
8x 2 W,
0,
8m.
(1.20)
Dùng liên hệ (1.11) và định lí nhúng Sobolev, tồn tại một hằng số c6 > 0 sao
cho:
c
J um
o1
l
1
F x, um dx
j um j p dx
jum jq dx
p W
q W
W
1
l c6
kum k p
kum kq
F x, um dx o 1 ,
p
q
W
o1
điều này kết hợp với giả thiết 1 < q < p suy ra
F x, um dx
W
1
kum k p
p
l c6
kum kq
q
c
o 1 ! ¥ khi m ! ¥.
(1.21)
16
Chúng ta cũng có:
kum k p
p
F x, um dx
W
p
F x, um dx
lp
q
W
pc
o 1 > 0 với m đủ lớn .
jum jq dx
pc
o1
(1.22)
W
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng jW6 j
0. Thật vậy, nếu jW6 j 6
0,
khi đó bởi các liên hệ (1.20), (1.21), (1.22) và bổ đề Fatou, ta có:
¥ jW6 j
¥
lim inf
W6
m!¥
lim inf
W6
m!¥
lim inf
m!¥
lim inf
m!¥
lim inf
m!¥
lim inf
m!¥
lim inf
m!¥
W6
F x, um x
jwm x j p dx
p
jum x j
W6
F x, um x
jwm x j p
p
jum x j
c5
kum k p
dx
F x, um x
jwm x j p
p
jum x j
c5
kum k p
dx
lim sup
m!¥
F x, um x
c5
p
jw
x
j
dx
m
jum x j p
kum k p
W
c5
F x, um x
dx
lim
sup
dx
p
kum k p
W kum k
W
m!¥
F x, um x
dx
kum k p
W
W F x, um x dx
.
p W F x, um dx pc o 1
c5
dx
kum k p
(1.23)
Từ các liên hệ (1.21) và (1.23), ta có
¥
1
,
p
đây là một mâu thuẫn. Điều này chỉ ra rằng jW6 j
0 và như vậy w x
0
hầu khắp nơi trong W.
Vì hàm số t 7! J tum liên tục theo biến t 2 0, 1 , với mỗi giá trị m tồn
tại hằng số tm 2 0, 1 sao cho:
J tm um :
max J tum ,
t2 0,1
17
m
1, 2, ...
(1.24)
Rõ ràng ta có, tm > 0 và J tm um
Nếu tm < 1 thì
Nếu tm
1 thì
c>0
d
dt J tum jt tm
J 0 um um
J 0.um .
J 0
0, từ đây J 0 tm um tm um
0.
o 1 . Vì vậy,
J 0 tm um tm um
o1.
Bây giờ ta cố định một số nguyên dương k
(1.25)
1 và xác định dãy các hàm
fvm g bởi công thức:
vm
1
p
2pkuk k p
Theo định lí hội tụ bị chặn và w
wm ,
1, 2, ...
m
(1.26)
0 ta có:
lim
m!¥ W
jvm jq dx
(1.27)
0.
Hơn nữa, từ (F0), với mọi giá trị e > 0, tồn tại hằng số c e > 0 sao cho:
jF x,t j
Đặt d
e
2c e
1
ejtj p
c3
> 0, E
E
8t 2 R, hầu khắp nơi x 2 W.
ce ,
W, jEj < d ta có
F x, vm dx
E
jF x, vm j dx
c e dx
E
e
2
từ đó f
WF
1
e
2c3
E
jvm j p dx
e
,
2
x, vm dx : m 2 Ng đồng liên tục tuyệt đối. Theo định lí hội tụ
Vitali ta có:
F x, vm dx !
W
F x, 0 dx
0
khi m ! ¥.
W
Vì kum k ! ¥ khi m ! ¥, chúng ta có thể tìm được mk
2pkuk k p
0<
kum k
k sao cho:
1
p
< 1,
18
8m > mk .
(1.28)
Từ đó, sử dụng các liên hệ (1.24), (1.26)-(1.28), suy ra:
J tm um
2pkuk k p
kum k
J
1
p
um
J vm
1
p
1
p
l
q
j vm j p dx
W
kuk k p . 2p
p
p
jvm jq dx
W
.j wm j p dx
W
2kuk k p
l
q
jvm jq dx
W
F x, vm dx
W
l
q
jvm jq dx
W
F x, vm dx
W
F x, vm dx
W
kuk k p
(1.29)
với mọi m > mk
k đủ lớn.
Mặt khác, sử dụng điều kiện (F4) và liên hệ (1.25), với mọi m > mk > k
19
đủ lớn, ta có
J tm um
1 0
J tm um tm um o 1
p
1
l
j tm um j p dx
jtm um jq dx
F x,tm um dx
p W
q W
W
1
l
1
j tm um j p dx
jtm um jq dx
f x,tm um tm um dx o 1
p W
p W
p W
1 1
1
l
jtm um jq dx
H x,tm um dx
p q W
p W
1
q H x, um C dx o 1
p W
1
l
q
j um j p dx
jum jq dx
F x, um dx
p W
q W
W
q
j um j p dx l jum jq dx
f x, um um dx
p W
W
W
1 1
qC jWj
lq
jum jq dx
o1
q p W
p
1 1
qC jWj
q 0
J um um l q
jum jq dx
o1
q J um
p
q p W
p
q 0
1 1
qC jWj
q J um
J um um l q c7
kum kq
o1.
p
q p
p
J tm um
(1.30)
Từ các liên hệ (1.29) và (1.30), ta suy ra rằng với mọi m > mk > k đủ lớn,
kuk k p
q J um
q 0
J um um
p
l q c7
1
kum kq
p
q J um
1
q
1
kum kq
p
qC jWj
p
o1
qC jWj
p
o1
hay
kuk k p
l q c7
1
q
q 0
J um um
p
(1.31)
20
1 là số nguyên lớn tùy ý và m > mk > k. Trong liên hệ (1.31),
Để ý rằng k
cho k ! ¥ ta có m ! ¥ vế trái của (1.31) dần đến
¥ vì q < p. Trong khi
đó, vế phải của (1.31), có J um ! c và qp J 0 um um ! 0 khi m ! ¥. Như
vậy ta thu được mâu thuẫn. Điều này chỉ ra rằng dãy fum g bị chặn trong
không gian W01,p W .
Vì không gian Banach W01,p W là phản xạ nên tồn tại hàm u 2 W01,p W
sao cho, chuyển qua dãy con nếu cần thiết (vẫn kí hiệu fum g), ta có dãy
fum g hội tụ yếu đến u trong không gian W01,p W và hội tụ mạnh đến hàm u
trong không gian Lr W , 1
L p W và ta có jum j pp
r < p . Hơn nữa, fum g hội tụ yếu đến u trong
c8 . Từ điều kiện (F0), với mọi e > 0, tồn tại hằng
số c e > 0 phụ thuộc vào e sao cho:
1
ejtj p
2c8
j f x,t tj
Đặt d
e
2c e
> 0, E
E
8t 2 R,
ce ,
W, jEj < d ta có
f x, um um dx
E
j f x, um um j dx
c e dx
E
e
2
từ đó ta có f
W
hầu khắp nơi x 2 W.
1
e
2c8
E
jum j p dx
e
,
2
f x, um um dx : m 2 Ng đồng liên tục tuyệt đối. Áp dụng định
lí hội tụ Vitali ta có được:
f x, um um dx !
W
f x, u u dx khi m ! ¥.
(1.32)
W
Lại dùng điều kiện (F0), với mọi e > 0 tồn tại hằng số c e > 0 sao cho
j f x,t j
1
ejtj p
2c9 c10
1
ce ,
21
8t 2 R,
hầu khắp nơi x 2 W,
trong đó,
1
p
p
jum j p dx
c9
,
8m;
juj p dx
c10 :
W
.
W
Áp dụng bất đẳng thức H¨older, với mọi tập E
1
p
c e juj dx
c e jEj
juj p dx
p
E
W, ta có:
1
p
1
p
c e jEj
p
E
1
p
E
1
p
jum j
p
1
p
juj dx
E
jum j dx
p
p
juj dx
c10 ,
1
p
c9 c10 .
E
p
p
e
2c10 c e
Đặt d
E
1
W, jEj < d ta có
> 0, E
f x, um u dx
E
j f x, um uj dx
c e juj dx
E
e
2
từ đó f
W
1
e
2c9 c10
E
jum j p
1
juj dx
e
,
2
f x, um um dx : m 2 Ng đồng liên tục tuyệt đối. Áp dụng định lí
hội tụ Vitali ta được:
f x, um u dx !
W
f x, u u dx khi m ! ¥.
(1.33)
W
Từ (1.31) và (1.33) ta có:
f x, um um
u dx ! 0 khi m ! ¥.
(1.34)
W
Chúng ta cũng có
jum jq 2 um um
W
jum jq 1 jum
u dx
uj dx
W
jum jq dx
W
q 1
q
jum
ujq dx
1
q
! 0 khi m ! ¥.
W
(1.35)
22
Vì J 0 um um
u ! 0 khi m ! ¥, từ các liên hệ (1.33) và (1.35) ta có:
j um j p
2
um
u dx ! 0 khi m ! ¥,
um
W
điều này suy ra dãy fum g hội tụ mạnh đến hàm u trong không gian W01,p W
và phiếm hàm J thỏa mãn điều kiện (Ce).
Chứng minh Định lí 1.1. Theo các Bổ đề 1.1, 1.2 và 1.4, tồn tại hằng số
l > 0 sao cho với mọi l 2 0, l , phiếm hàm J thỏa mãn tất cả các giả
thiết của định lí Qua núi. Khi đó tồn tại hàm u1 là điểm tới hạn không tầm
c > 0 và như vậy ta có u1 là một
thường của phiếm hàm J với J u1
nghiệm yếu không tầm thường của bài toán (1.2).
Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu thứ hai u2 2 W01,p W
sao cho u2 6 u1 . Thật vậy, bởi (1.4), phiếm hàm J bị chặn dưới trên hình cầu
Br 0 .
Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài báo [19] cho phiếm hàm
J : Br 0 ! R, suy ra tồn tại một hàm ue 2 Br 0 sao cho:
J ue <
inf J u
e,
u2Br 0
J ue < J u
eku
ue k,
u 6 ue .
Theo các Bổ đề 1.1 và 1.2, ta có:
inf
J u
R > 0 và
u2¶ Br 0
inf J u < 0.
u2Br 0
Chọn e > 0 sao cho:
0
0
inf
J u
u2¶ Br 0
inf J u .
u2Br 0
J u và như vậy, ue 2 Br 0 .
23
Xét phiếm hàm I : Br 0 ! R xác định bởi công thức I u
eku
J u
ue k. Rõ ràng ue là một điểm cực tiểu của phiếm hàm I và như vậy:
I ue
tv
t
I ue
0
với mọi giá trị t > 0 đủ nhỏ và với mọi v 2 Br 0 . Các thông tin trên chỉ ra
rằng:
J ue
tv
t
J ue
ekvk
0.
Cho t ! 0 , ta thu được
J 0 ue , v
Để ý rằng hàm
ekvk.
v cũng thuộc vào hình cầu Br 0 , vì vậy thay v bởi hàm
v, ta được:
J 0 ue , v
ek
vk
hay
J 0 ue , v
điều này giúp ta có kJ 0 ue k
e.
Do đó, tồn tại một dãy hàm fum g
J um ! c
ekvk,
Br 0 sao cho:
inf J u < 0 và J 0 um ! 0 trong W
1,p
W khi m ! ¥.
u2Br 0
(1.36)
Từ Bổ đề 1.4, dãy fum g hội tụ mạnh đến một hàm u2 2 W01,p W nào đó
khi m ! ¥. Hơn nữa, vì J 2 C1 W01,p W , R , bởi (1.11) suy ra J u2
J 0 u2
c và
0. Như vậy, u2 là một nghiệm yếu không tầm thường của bài toán
(1.2).
Cuối cùng, ta cũng thấy rằng u1 6 u2 vì J u1
lí 1.1 được chứng minh.
24
c>0>c
J u2 . Định
Chương 2
Bài toán biên elliptic kiểu
Kirchhoff trong không gian
Orlicz-Sobolev
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của
một lớp bài toán elliptic không tuyến tính kiểu Kirchhoff trong không gian
Orlicz-Sobolev. Khác với chương 1, bài toán ở đây tổng quát hơn về mặt
toán tử và không gian. Chúng tôi xét bài toán trong trường hợp dưới tuyến
tính. Do đó không thể dùng định lí qua núi trong trường hợp này, mà phải
dùng nguyên lí biến phân của G. Bonanno [4]. Nội dung chính của chương
này được trình bày dựa vào kết quả nghiên cứu của chúng tôi đã được công
bố trong bài báo [11].
25
