LUẬN văn sư PHẠM vật lý GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG và PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THEO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG và sử DỤNG PHẦN mềm MAPLE 13

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Ngành SƯ PHẠM VẬT LÝ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THEO
PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG VÀ
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE 13

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

Th.S Trần Minh Quý

Trần Nguyễn Khánh Vân
MSSV: 1070285
Lớp: Sư phạm Vật Lý – K33

GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
Nguyễn Thị Thúy Hằng
Trịnh Thị Ngọc Gia

Cần Thơ, tháng 05/ 2011


LỜI CÁM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài luận văn “Giải phương trình sóng và
phương trình truyền nhiệt theo phương pháp truyền thống và sử dụng phần
mềm Maple 13” tôi đã gặp rất nhiều khó khăn nhưng với sự cố gắng nổ lực của bản
thân, sự chỉ bảo tận tâm của quý thầy cô, sự giúp đỡ chân thành của các bạn và sự
động viên của gia đình, tôi đã hoàn thành tốt đề tài luận văn của mình. Vì vậy, tôi
xin gởi lời cám ơn chân thành đến:
Thầy Trần Minh Quý đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn, đóng góp những ý kiến
quý báu, và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành đề tài luận văn của mình
một cách tốt nhất, sự động viên khích lệ của Thầy giúp tôi hoàn thành tốt luận văn
đúng thời hạn.
Thầy Vương Tấn Sĩ với sự giảng dạy và chỉ dẫn nhiệt tình, tận tụy, truyền đạt
những kinh nghiệm quý báu giúp tôi có thêm tự tin khi hoàn thành luận văn.
Cô Nguyễn Thị Thúy Hằng và cô Trịnh Thị Ngọc Gia đã nhiệt tình đóng góp ý
kiến để tôi khắc phục, sửa chữa thiếu sót và hoàn thành đề tài.
Quý thầy, cô trong Bộ môn Sư phạm Vật Lý, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học
Cần Thơ đã truyền đạt những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo điều
kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi luôn ủng hộ, động viên tinh thần trong suốt
thời gian tôi thực hiện đề tài.
Các bạn sinh viên lớp Sư phạm Vật Lý và lớp Sư phạm Vật Lý – Công Nghệ
Khóa 33 đã ủng hộ và đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng luận văn của tôi cũng không tránh
khỏi những thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến chân thành của quý thầy cô và
các bạn để đề tài hoàn chỉnh hơn.
Thay lời cám ơn, tôi kính chúc quý thầy cô, gia đình, các bạn lời chúc sức
khỏe, hạnh phúc.
Cần Thơ, tháng 5 năm 2011

Trần Nguyễn Khánh Vân

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

MỤC LỤC

Phần I: Mở đầu................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2
4. Giới hạn của đề tài ......................................................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 3
6. Các bước thực hiện đề tài ............................................................................... 3
Phần II: Nội dung ............................................................................................... 4
Chương 1: Giới thiệu chung............................................................................... 4
1.1 Đại cương về các phương trình vật lý toán cơ bản .......................................... 4
1.2 Các định nghĩa................................................................................................ 5
1.2.1 Phương trình vi phân ................................................................................. 5
1.2.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai............................................... 5
1.2.1.2 Xác định dạng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính

cấp hai với hệ số là hằng...................................................................... 5
1.2.2 Phương trình đạo hàm riêng ...................................................................... 6
1.3 Các phương trình vật lý toán cơ bản ............................................................... 7
1.4 Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai .......................... 7
1.4.1 Nếu AC – B2 > 0 ....................................................................................... 8
1.4.2 Nếu AC – B2 < 0 ....................................................................................... 8
1.4.3 Nếu AC – B2 = 0 ....................................................................................... 8
1.5 Việc đặt đúng đắn các bài toán đối với phương trình vật lý toán ..................... 8
1.6 Bổ túc về giải tích ........................................................................................... 9
1.6.1 Xét chuỗi hàm ........................................................................................... 9
1.6.2 Xét tích phân phụ thuộc tham số y ............................................................ 11

GVHD: ThS Trần Minh Quý

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.6.3 Nếu hàm f(x) liên tục trên toàn trục x ........................................................ 13
1.7 Chuỗi Fourier ................................................................................................. 13
1.7.1 Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier ................................................................ 13
1.7.1.1 Định nghĩa 1 ........................................................................................ 13
1.7.1.2 Định lý ................................................................................................ 13
1.7.1.3 Định nghĩa 2 ........................................................................................ 14
1.7.2 Khai triển Fourier của một hàm số ............................................................ 14
1.7.2.1 Định lý Dirichler ................................................................................. 14

1.7.2.2 Khai triển Fourier của hàm chẵn, lẻ ..................................................... 14
1.7.2.3 Khai triển Fourier của hàm f(x) trên đoạn [0, π]................................... 14
1.7.2.4 Khai triển Fourier của hàm f(x) trên đoạn [-l.l] .................................... 15
1.7.2.5 Khai triển Fourier của hàm f(x) trên đoạn [0,l] .................................... 15
1.7.2.6 Khai triển Fourier của hàm f(x) trên [a,b] ............................................ 16
1.8 Thành lập các phương trình đạo hàm riêng cơ bản .......................................... 17
1.8.1 Phương trình dao động của dây ................................................................. 17
1.8.1.1 Thành lập phương trình dao động của dây ........................................... 17
1.8.1.2 Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên .............................................. 19
1.8.2 Phương trình truyền nhiệt.......................................................................... 21
1.8.2.1 Thiết lập phương trình ......................................................................... 21
1.8.2.2 Điều kiện ban đầu, điều kiện biên ........................................................ 24
1.8.3 Phương trình Laplace ................................................................................ 25
1.8.3.1 Xét quá trình truyền nhiệt trong một vật thể đẳng hướng,
đồng chất và không có nguồn nhiệt ..................................................... 25
1.8.3.2 Xét chuyển động thế của chất lỏng không nén được ............................ 26
1.8.3.3 Phương trình cân bằng của màng trong quá trình dừng ........................ 26
1.9 Giới thiệu về Maple ........................................................................................ 27
1.9.1 Giao diện và môi trường tính toán ............................................................. 30

GVHD: ThS Trần Minh Quý

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.9.1.1 Cụm xử lý (Execution Group) ............................................................. 30
1.9.1.2 Lệnh và kết quả tính toán của Maple (Command and Output) ............. 30
1.9.1.3 Mục (Section) ...................................................................................... 31
1.9.1.4 Đồ thị (Graph) ..................................................................................... 32
1.9.1.5 Siêu liên kết (Hyperlink) ..................................................................... 32
1.9.1.6 Văn bản và đoạn văn bản (Text và paragraph) ..................................... 32
1.9.2 Các phím tắt hay dùng............................................................................... 33
1.9.3 Các phép toán ........................................................................................... 33
1.9.4 Các hàm toán học thông dụng ................................................................... 33
1.9.5 Các lệnh trực tiếp ...................................................................................... 34
1.9.5.1 Khai triển, đơn giản, phân tích và biến đổi một biểu thức đại số .......... 34
1.9.5.2 (Bất) phương trình, hệ (bất) phương trình ............................................ 37
1.9.5.3 Giới hạn – đạo hàm – tích phân ........................................................... 38
1.9.5.4 Tính tích phân một lớp ........................................................................ 39
1.9.6 Đồ thị trong Maple ................................................................................... 40
1.9.6.1 Đồ thị trong không gian hai chiều ........................................................ 40
1.9.6.2 Đồ thị ba chiều .................................................................................... 41
1.9.6.3 Đồ thị động.......................................................................................... 42
1.9.7 Một số ví dụ .............................................................................................. 43
Chương 2: Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo phương
pháp truyền thống .............................................................................................. 48
2.1 Phương pháp đưa về dạng chính tắc ................................................................ 48
2.1.1 Nghiệm D’Alambert của phương trình sóng một chiều. Ý nghĩa vật lý ..... 48
2.1.1.1 Phương trình sóng một chiều ............................................................... 48
2.1.1.2 Ý nghĩa vật lý nghiệm D’Alambert ...................................................... 51
2.1.2 Nghiệm tổng quát phương trình sóng một chiều ........................................ 52
2.1.3 Đường đặc trưng ....................................................................................... 54

GVHD: ThS Trần Minh Quý

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

2.2. Phương pháp tách biến ................................................................................... 54
2.2.1 Tách biến với phương trình đạo hàm riêng cấp 1 ....................................... 55
2.2.2 Bài toán truyền sóng. Tách biến với phương trình Hyperbolic................... 55
2.2.2.1 Dao động dây đàn hồi hữu hạn ............................................................ 55
2.2.2.2 Tách biến với bài toán truyền sóng ...................................................... 56
2.2.2.3 Công thức tổng quát với phương trình truyền sóng .............................. 57
2.2.2.4 Bài toán có điều kiện biên bằng không ................................................ 57
2.2.2.5 Bài toán có điều kiện biên khác không................................................. 83
2.2.2.6 Dao động màng chữ nhật ..................................................................... 89
2.3 Bài toán truyền nhiệt. Tách biến với phương trình Parabolic........................... 97
2.3.1 Bài toán truyền nhiệt: phương trình Parabolic ........................................... 97
2.3.2 Tổng quan phương pháp tách biến............................................................. 100
2.3.3 Giải bài toán truyền nhiệt tổng quát........................................................... 101
2.3.4 Tổng kết bài toán truyền nhiệt ................................................................... 102
2.3.5 Bài toán Cauchy đối với truyền nhiệt một chiều trong thanh vô hạn .......... 103
2.3.6 Bài toán có điều kiện biên bằng không ...................................................... 106
2.3.7 Bài toán có điều kiện biên khác không ...................................................... 117
2.3.8 Phân bố nhiệt trong không gian nhiều biến ................................................ 129
Chương 3: Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt
bằng phần mềm Maple ..................................................................... 133
3.1 Giải phương trình truyền sóng ........................................................................ 133
3.1.1 Dao động ngang của một sợi dây căng đàn hồi .......................................... 133

3.1.1.1 Thiết lập phương trình ......................................................................... 133
3.1.1.2 Bài toán ............................................................................................... 134
3.1.2 Dao động của một sợi dây dài vô hạn ........................................................ 136
3.1.2.1 Giải bài toán Cauchy ........................................................................... 136
3.1.2.2 Vẽ dạng của sợi dây............................................................................. 139

GVHD: ThS Trần Minh Quý

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

3.1.3 Dao động của một sợi dây hữu hạn ........................................................... 140
3.1.3.1 Thành lập phương trình ....................................................................... 140
3.1.3.2 Một số bài toán .................................................................................... 143
3.1.4 Dao động cưỡng bức của sợi dây............................................................... 149
3.1.5 Dao động của màng chữ nhật .................................................................... 155
3.2 Giải phương trình truyền nhiệt ........................................................................ 161
3.2.1 Thiết lập phương trình............................................................................... 161
3.2.2 Bài toán..................................................................................................... 162
3.2.2.1 Bài toán 1 ........................................................................................... 162
3.2.2.2 Bài toán 2 ............................................................................................ 164
Phần III: Kết luận .............................................................................................. 167

Tài liệu tham khảo

GVHD: ThS Trần Minh Quý

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một ngành trong Toán học dùng cho Vật lý. Lý
thuyết về việc tìm nghiệm cũng đã được nghiên cứu từ rất lâu. Tuy nhiên việc áp
dụng cụ thể lý thuyết chung vào từng bài toán cụ thể thì lại không được nhắc đến
trong các giáo trình của môn Phương pháp toán lý, hoặc có nhắc đến cũng chỉ dưới
các dạng bài toán đơn lẻ với số lượng và các dạng điều kiện cụ thể cho bài toán là
chưa đầy đủ.
Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình
đào tạo giáo viên Tru n g h ọ c p hổ thôn g chuyên ngành Vật lý. Giúp cho sinh
viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn
bản chất của quá trình truyền sóng và quá trình truyền nhiệt trong vật chất. Học
phần này có liên quan đến nhiều môn học khác như: điện và từ, điện động lực,
nhiệt động lực, vật lý thống kê, cơ học lượng tử,… Việc nghiên cứu học phần này
là cơ sở nghiên cứu các môn học khác. Bên cạnh đó học phần này có nhiều
dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải đòi hỏi sinh viên phải lựa
chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng. Cụ thể là bài tập phần truyền
s ó n g v à t r u yề n nhiệt có các phương pháp giải như: P h ư ơ n g p h á p đ ổ i
b i ế n s ố , phương pháp tách biến Fourier, khai triển chuỗi Fourier, phương pháp
biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel... Vì thế việc nghiên cứu

này c ò n gặp nhiều khó khăn.
Đối với một số dạng bài tập nhiều chiều, khi giải bằng phương pháp đổi
biến số, phương pháp tách biến Fourier, phương trình Laplace,... thì việc tìm
nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp, trong khi đó nếu dùng phương pháp
giải bằng máy tính, cụ thể là sử dụng các phần mềm toán học thì việc tìm nghiệm
của bài toán là đơn giản hơn nhiều.
Ngày nay, cùng với những thành tựu tuyệt vời trong lĩnh vực công nghệ
thông tin, người ta đã xây dựng nhiều phần mềm để hỗ trợ cho công tác học tập
và nghiên cứu. Một thực tiễn đã được biết từ lâu là những bài toán đặt ra trong
thực tiễn thường không được giải quyết bằng những mẹo tính toán thủ công mà
phải dùng đến năng lực tính toán của máy tính điện tử. Các phần mềm tính toán ra
đời nhằm đáp ứng yêu cầu của thực tiễn, đưa các tính toán phức tạp (cả phổ thông
lẫn cao cấp) trở thành công cụ làm việc dễ dàng cho mọi người.

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 1

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

Và một trong các phần mềm tính toán hiện đại đó là Maple, phần mềm
này đã làm cho việc giải các bài toán trở nên đơn giản và nhanh chóng góp phần
làm tăng hiệu quả làm việc của chúng ta trong học tập, nghiên cứu và giảng dạy.
Maple là phần mềm do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường đại

học Waterloo làm ra với mục đích giải quyết mọi công việc liên quan đến tính
toán, đây là phần mềm có khả năng tính toán trên số thực lẫn số phức, Maple có thể
giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,…. Đặc biệt là khi phương
trình đạo hàm riêng được ứng dụng rất nhiều trong Vật lý.
Mỗi phương pháp giải bài toán đều có những ưu điểm và hạn chế riêng. Vì
thế để tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp giải toán này tôi đã quyết định chọn đề
tài “Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo phương pháp truyền
thống và sử dụng phần mềm Maple 13 ”. Qua đề tài này hy vọng sẽ góp được phần
nhỏ các phương pháp vào giải phương trình vật lý nói riêng và toán học nói chung.
Đề tài đã đưa ra một hệ thống tương đối đầy đủ các dạng bài tập cho việc tìm
nghiệm của các phương trình như phương trình dao động của sợi dây, phương trình
truyền nhiệt. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi nhiều sai sót
mong nhận được nhiều đóng góp của quý thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn
thiện đề tài và giúp ích nhiều cho việc học tập và nghiên cứu sau này.

2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài nhằm phục vụ cho việc dạy và học môn Vật lý đạt hiệu quả cao nói
chung, phần giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt nói riêng.
- Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Vật lý và làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên và sinh viên thông qua việc sử dụng phần mềm Maple 13 để giải các
bài toán về phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt.
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong
nghiên cứu vật lý.
- Hệ thống lại các dạng bài toán về phương trình sóng và phương trình truyền
nhiệt.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp giải bài toán về dao động của dây vô hạn, hữu hạn,
dao động của màng chữ nhật.
- Nghiên cứu phương pháp giải các dạng bài toán về truyền nhiệt trong thanh

vô hạn, hữu hạn (có nguồn và không có nguồn).

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 2

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

- Nghiên cứu giải các dạng bài toán về phương trình sóng và phương trình
truyền nhiệt bằng phần mềm Maple 13.

4. Giới hạn của đề tài
Do kiến thức và thời gian thực hiện đề tài có giới hạn nên việc giải các bài tập về
phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo phương pháp truyền thống và sử
dụng phần mềm Maple 13 còn nhiều hạn chế và chưa thật hoàn thiện, chỉ sử dụng
phương pháp tách biến và khai triển chuỗi Fourier là chủ yếu.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài tiệu, các thông tin có liên quan, phân tích tài liệu, thông tin thu
được và chọn lọc thông tin phù hợp.
- Nghiên cứu, tìm hiểu rõ các thành phần, cách sử dụng Maple 13 và các bài
toán sẽ trình bày trong đề tài.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
- Tổng hợp các yêu cầu của đề tài, các ý kiến đóng góp để xây dựng đề tài

hoàn chỉnh lẫn nội dung và hình thức.

6. Các bước thực hiện đề tài
- Nhận đề tài, xác định nội dung cần thực hiện.
- Nghiên cứu đề tài, tham khảo các tài liệu có liên quan và nhờ giáo viên
hướng dẫn hướng dẫn thực hiện đề tài.
- Lập đề cương chi tiết của luận văn, thông qua giáo viên hướng dẫn.
- Tiến hành viết đề tài, trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
- Viết bản thảo, nộp giáo viên hướng dẫn và tham khảo ý kiến của giáo viên
hướng dẫn.
- Sửa chữa, hoàn chỉnh luận văn và báo cáo.

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 3

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG
1.1. Đại cương về các phương trình vật lý toán cơ bản
Trong lĩnh vực cơ học ứng dụng, người ta thường phân chia phương trình vi
phân từng phần thành 3 loại:
- Phương trình hyperbolic: ví dụ như bài toán động lực học, bài toán lan

truyền sóng.
- Phương trình elliptic: ví dụ như phương trình của lý thuyết đàn hồi, phương
trình Laplace.
- Phương trình parabolic: ví dụ như bài toán truyền nhiệt.
Mỗi dạng phương trình vi phân từng phần đều có những đặc trưng riêng.
Trong trường hợp phương trình hyperbolic, tính đều đặn của hàm nghiệm phụ
thuộc trực tiếp vào tính đều đặn của dữ liệu đầu vào. Đặc biệt, khi các điều kiện
biên biến thiên đột ngột, điều đó sẽ dẫn đến các hàm nghiệm cũng biến thiên đột
ngột (ví dụ: trường hợp của điều kiện biên theo thời gian hoặc không gian trong bài
toán lan truyền sóng). Trong trường hợp phi tuyến, hàm nghiệm có thể biến thiên
đột ngột mặc dù các điều kiện biên vẫn biến thiên đều đặn. Đối với các bài toán
được mô hình hóa bởi phương trình hyperbolic, thông tin được lan truyền với một
vận tốc hữu hạn, ví dụ như vận tốc truyền sóng.
Đối với phương trình elliptic, những tính chất đặc trưng của nó hoàn toàn
ngược lại với phương trình hyperbolic. Mặc nhiên, các hàm nghiệm biến thiên rất
đều đặn, không có các biến thiên đột ngột. Thậm chí khi các điều kiện biên không
liên tục, những ảnh hưởng của nó cũng nhanh chóng tắt trong một phạm vi nhỏ,
(điều này tương đương với qui tắc Saint Venant trong cơ học). Các điều kiện biên
tại bất cứ điểm nào cũng tác động một cách toàn bộ và gần như tức thì đến nghiệm
của bài toán.Tuy nhiên, hàm nghiệm của phương trình elliptic cũng có thể không
liên tục, không khả vi (trường hợp cơ học rạn nứt), tuy nhiên những điều kiện bất
bình thường đó khó có thể được miêu tả một cách tự nhiên đối với một phương
trình elliptic.
Còn các tính chất của phương trình parabolic gần như là trung gian giữa
phương trình hyperbolic và elliptic.

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 4

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

Các phương trình vi phân từng phần mô phỏng các hiện tượng vật lý được
phân loại nhằm mục đích phán đoán trước ứng xử của nó đối với các điều kiện bất
bình thường (singularity) có thể xảy ra, từ đó chúng ta chọn những phương pháp số
hợp lý để có thể giải bài toán một cách hiệu quả nhất.

1.2. Các định nghĩa
1.2.1. Phương trình vi phân
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm
và các đạo hàm của nó.
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong
phương trình đó.
Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình.
Nếu hàm phải tìm là một biến thì ta có phương trình vi phân thường. Nếu hàm
phải tìm là nhiều biến thì ta có phương trình đạo hàm riêng.
1.2.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:
y ''  a1 ( x). y '  a 2 ( x). y  f ( x)

(1.1)

Trong đó a1(x), a2(x), f(x) là các hàm của biến độc lập x.
Nếu f(x) ≡ 0 thì (1.1) trở thành y ''  a1 ( x). y '  a 2 ( x). y  0

(1.2)

(1.2) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của
(1.1).
Nếu f(x) ≠ 0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất.
1.2.1.2. Xác định dạng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính
cấp hai với hệ số là hằng
a. Phương trình thuần nhất
Dạng: y ''  p. y '  q. y  0 (p, q  R)

(1.3)

Phương pháp:
- Lập phương trình đặc trưng: k2 + pk + q = 0
- Giải phương trình đặc trưng trên tập số phức

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 5

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

+ TH1: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt

k1 ≠ k2  nghiệm tổng quát của (1.3) là y  c1 .e k x  c2 .e k x
1

2

+ TH2: Phương trình đặc trưng có nghiệm kép
k1 = k2 = k0  nghiệm tổng quát của (1.3) là y  c1  c2 .x e k x
0

+ TH3: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp
k1, k2 = α ± β  nghiệm tổng quát của (1.3) là y  ex c1 . cos x  c2 .sin x 
b. Phương trình không thuần nhất
Dạng: y ''  p. y '  q. y  f ( x) (p, q  R)

(1.4)

Phương pháp:
- Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất
- Tìm nghiệm riêng Y của phương trình (1.4)
- Lấy y = y + Y thì được nghiệm của phương trình (1.4)
1.2.2. Phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa 1: Một phương trình liên hệ hàm phải tìm u của nhiều biến độc lập
và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình đạo hàm riêng.
Định nghĩa 2: Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm phải tìm u có mặt
trong phương trình gọi là cấp của phương trình.
Ví dụ:

u
 2u
 a 2 2 ; a  R, u = u (x,t)

t
x
 2 u  2u  2u


 0 , u = u (x,y,z)
x 2 y 2 z 2
2
 2u
2  u
; a  R, u = u(x,t)

a
t 2
x 2

là các phương trình đạo hàm riêng cấp hai.
Định nghĩa 3: Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu nó là
bậc nhất đối với hàm phải tìm u và các đạo hàm riêng của nó.
Định nghĩa 4: Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là mọi hàm sao cho
khi thế vào phương trình đã cho ta được đồng nhất thức.

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 6

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.3. Các phương trình vật lý toán cơ bản
- Phương trình dao động của dây (hay phương trình sóng một thứ nguyên):
2
 2u
2  u

a
t 2
x 2

(1.5)

- Phương trình truyền nhiệt:
u
 2u
 a2 2
t
x

(1.6)

- Phương trình Laplace:
 2u  2u

0
x 2 y 2

(1.7)

Đó là các phương trình đạo hàm riêng cấp hai, tuyến tính. Nhiều bài toán khác
nhau của vật lý, kỹ thuật đưa đến các phương trình đó. Người ta gọi đó là những
phương trình vật lý toán cơ bản.

1.4. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai
biến độc lập
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong đó
hàm chưa biết phụ thuộc vào hai biến độc lập x,y là:
A

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B

C
D
E
 Fu  G ( x, y )
2
2
xy
x

y
x
y

(1.8)

Chú ý rằng: nếu viết y thay vào biến t thì phương trình dao động của dây có
dạng: a 2

 2u  2u

0
x 2 y 2

(1.9)

Còn phương trình truyền nhiệt viết thành: a 2

 2 u u

0
x 2 y

(1.10)

Vậy phương trình dao động của dây (1.9), phương trình truyền nhiệt (1.10) và
phương trình Laplace (1.7) là những dạng đặc biệt của phương trình (1.8).
Trong phương trình (1.9) hệ số của hai đạo hàm cấp hai theo x và theo y trái
dấu nhau; trong phương trình (1.10) không có đạo hàm cấp hai theo một biến.
Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình có dạng (1.8) nhờ những

phép biến đổi thích hợp có thể đưa về một trong ba dạng sau:

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 7

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.4.1. Nếu AC – B2 > 0 trong một miền nào đó, thì bằng các phép biến đổi thích
hợp có thể đưa phương trình (1.8) trong miền ấy về dạng:
 2u  2u
u
u

 D1
 E1
 F1u  G1 ( , )
2
2





(1.11)

Trong trường hợp này, phương trình (1.8) gọi là phương trình loại elliptic.
Phương trình elliptic đơn giản nhất là phương trình Laplace (1.7)
 2u  2u

0
 2  2

(1.12)

Nghĩa là D1  E1  F1  G1  0
1.4.2. Nếu AC – B2 < 0 trong một miền nào đó, thì phương trình (1.8) trong miền
ấy có thể đưa về dạng:
 2u  2u
u
u

 D2
 E2
 F2 u  G 2 ( , )
2
2





(1.13)

Trong trường hợp này, phương trình (1.8) gọi là phương trình loại hypebolic.
Phương trình hypebolic đơn giản nhất là phương trình dao động của dây (1.9).
 2u  2u

0
 2  2

(1.14)

Nghĩa là D2  E 2  F2  G 2  0
1.4.3. Nếu AC – B2 = 0 trong một miền nào đó, thì phương trình (1.8) trong miền
ấy có thể đưa về dạng:
 2u
u
u
 D3
 E3
 F3u  G3 ( , )
2




(1.15)

Trong trường hợp này, phương trình (1.8) gọi là phương trình loại parabolic.
Phương trình parabolic đơn giản nhất là phương trình truyền nhiệt (1.10).

1.5. Việc đặt đúng đắn các bài toán đối với phương trình vật lý toán
Các phương trình (1.9), (1.10), (1.7) đều có vô số nghiệm. Để xác định

nghiệm của các phương trình ấy ta phải đặt thêm các điều kiện phụ.
Các phương trình hyberbolic và parabolic xuất hiện khi nghiên cứu các quá
trình thay đổi theo thời gian t (tức là quá trình không dừng). Nếu quá trình ấy xảy ra
trong một khoảng bị chặn của biến không gian x (chẳng hạn, khi xét dao động của

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 8

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

một đoạn dây bị chặn, sự truyền nhiệt trong một thanh hữu hạn), thì để xác định
nghiệm ta phải đặt thêm hai loại điều kiện phụ sau:
- Điều kiện ban đầu: cho biết trạng thái lúc t = 0
- Điều kiện biên: cho ta biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều
kiện biên đặt ra gọi là bài toán hỗn hợp.
Nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn    x   , thì để xác định
nghiệm người ta chỉ đặt các điều kiện ban đầu. Bài toán đó gọi là bài toán Cauchy.
Còn phương trình elliptic xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình không đổi
theo thời gian (tức là quá trình dừng). Trong phương trình ấy không có biến thời
gian, cả hai biến x, y đều là biến không gian. Để xác định nghiệm của phương trình
này, người ta chỉ đặt điều kiện biên. Bài toán đó gọi là bài toán biên.
Trong các bài toán trên, ta phải đặt các điều kiện phụ (điều kiện ban đầu, điều

kiện biên) sao cho nghiệm của bài toán đó tồn tại và duy nhất. Hơn nữa, vì các điều
kiện biên, điều kiện ban đầu của các bài toán xuất phát từ vật lý, kỹ thuật được xác
định bằng đo thực nghiệm, nghĩa là chỉ được xác định một cách xấp xỉ, nên ta đòi
hỏi rằng sai số nhỏ của các điều kiện phụ chỉ kéo theo sai số nhỏ của nghiệm. Nói
cách khác, ta còn đòi hỏi rằng nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục
vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Các bài toán đặt ra sao cho nghiệm của
nó tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ gọi là các bài toán
đặt đúng đắn.

1.6. Bổ túc về giải tích
Sau đây là một số mệnh đề bổ túc về chuỗi hàm và tích phân mà chúng ta sẽ
thừa nhận.
1.6.1. Xét chuỗi hàm


u1 ( x)  u 2 ( x)  ...  u n ( x)  ...   u k ( x)

(1.16)

k 1



Chuỗi hàm đó gọi là hội tụ tại điểm x0 nếu chuỗi

u

k

( x0 ) hội tụ. Điểm x0 gọi

k 1

là điểm hội tụ của chuỗi hàm (1.16). Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi
hàm gọi là miền hội tụ của nó.

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 9

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

Giả sử sn(x) là tổng của n số hạng đầu tiên của mỗi chuỗi hàm (1.16). Người ta
gọi nó là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm đó. Gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm (1.16)
trong miền hội tụ của nó. Điều đó có nghĩa là với mọi số ε > 0 cho trước, bé bao
nhiêu tùy ý, có thể tìm được một số N sao cho khi n >N ta có |u(x) – sn(x)| < ε. Số N
ấy, nói chung, phụ thuộc vào ε và vào x.
Nếu với mọi ε > 0 cho trước, có thể tìm được một số N không phụ thuộc x sao
cho khi n > N ta có |u(x) – sn(x)| < ε với mọi x thuộc một khoảng nào đó, ta nói rằng
chuỗi hàm (1.16) hội tụ đều trong khoảng ấy.
Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm: Nếu với mọi x  [a,b] ta có |u k(x)|  ak,


trong đó ak là những số dương và nếu chuỗi số

a

k

hội tụ thì chuỗi hàm (1.16) hội

k 1

tụ đều trong khoảng [a,b].
Người ta chứng minh được rằng:
Mọi chuỗi lũy thừa
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + … đều hội tụ trong miền hội tụ của nó.
Hoặc:
Nếu hàm f(x) liên tục và đạo hàm liên tục từng khúc trong khoảng [-π,π], có
các giá trị tại hai mút bằng nhau f(-π) = f(π), thì chuỗi Fourier của nó
ao 
  (a n cos nx  bn sinnx)
2 n 1

Trong đó
an 

bn 

1

1




 f ( x) cos nxdx





 f ( x) sin nxdx



hội tụ đều tới f(x) trong khoảng [-π,π].
Các chuỗi hàm hội tụ đều có các tính chất sau:


1.6.1.1. Nếu các hàm uk(x) liên tục, chuỗi hàm

u

k

( x) hội tụ đều trong

k 1

khoảng [a,b], thì tổng của nó là một hàm liên tục trong [a,b].

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 10

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13



1.6.1.2. Nếu các hàm uk(x) liên tục, chuỗi hàm

u

k

( x) hội tụ đều trong

k 1

[a,b]

khoảng
x

và

x

 u ( x)dx   u
1

a

a

có

tổng

bằng

u(x)

thì

hàm

chuỗi

x
2

( x) dx ...   u n ( x) dx ... cũng hội tụ đều trong khoảng [a,b] và có tổng
a

x

bằng  u( x)dx .
a

Người ta nói rằng với các điều kiện đã nêu, ta có thể lấy tích phân từng số


hạng chuỗi hàm

u

k

( x) .

k 1



1.6.1.3. Nếu các hàm uk(x) khả vi liên tục, chuỗi hàm

u

k

( x) hội tụ và có

k 1



tổng bằng u(x), chuỗi hàm

u

'
k

( x) hội tụ đều trong khoảng [a,b] thì hàm u(x) cũng

k 1

khả vi liên tục trong khoảng ấy và ta có u x' ( x)  u ' ( x)  u ' ( x)  ...  u ' ( x )  ... .
1

2

k

Ta nói rằng với các điều kiện trên, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi


hàm

u

k

( x) .

k 1

Chú thích: Người ta cũng định nghĩa sự hội tụ đều của chuỗi các hàm nhiều
biến. Các mệnh đề đã phát biểu trên cũng có thể mở rộng cho trường hợp chuỗi các
hàm nhiều biến.
1.6.2. Xét tích phân phụ thuộc tham số y
b

(1.17)

I ( y )   f ( x, y) dx
a

Nếu hàm dưới dấu tích phân f (x,y) liên tục trong hình chữ nhật
a  x  b, c  y  d  thì I (y) là một hàm liên tục của y trong khoảng [c,d]. Nếu ngoài
ra f y' ( x, y ) cũng liên tục trong hình chữ nhật trên thì ta có với mọi y  [c,d]
b

I ' ( y )   f ' ( x, y )dx
a

Ta nói rằng khi đó có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân biểu thức (1.17).

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 11

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.6.2.1. Giả sử hàm f(x,y) xác định với x  a , y  [c,d] và giả sử tồn tại tích
phân


I ( y) 

(1.18)

 f ( x, y )dx
a
A

Theo định nghĩa, ta có I ( y )  lim F ( A, y ) , trong đó F ( A, y)   f ( x, y )dx , A>a.
A 

a

Nói cách khác, với mọi số ε >0 cho trước, có thể tìm được một số N sao cho khi A >


N, ta có I ( y)  F ( A, y) 

A



 f ( x, y )dx   f ( x, y )dx   f ( x, y)dx  
a

a

A

Số N đó, nói chung, phụ thuộc ε và y.
Nếu với mọi số ε > 0 cho trước, có thể tìm được một số N không phụ thuộc y


sao cho ta có

 f ( x, y )dx  

với mọi y  [c,d], ta nói rằng tích phân (1.18) hội tụ

A

đều đối với y  [c,d].
Tiêu chuẩn hội tụ đều: Nếu với x  a , y  [c,d] ta có f ( x, y )  f ( x) , trong đó
hàm f(x) khả tích trong khoảng [α,+∞], thì tích phân (1.18) hội tụ đều đối với
y  [c,d].
Ta có mệnh đề sau:
Nếu hàm f(x,y) liên tục với x  a , y  [c,d] và nếu tích phân (1.18) hội tụ đều
đối với y  [c,d] thì tích phân đó là một hàm liên tục của y trong khoảng đó. Nếu


ngoài ra f y' ( x, y ) cũng liên tục với x  a , y  [c,d] và nếu tích phân

f

'
y

( x, y) dx hội

a

tụ đều đối với y  [c,d] thì ta có với mọi y  [c,d].


I ' ( y) 

f

'
y

( x, y )dx

a

1.6.2.2. Người ta cũng định nghĩa tương tự như vậy sự hội tụ đều của tích phân
b

(1.19)

I ( y )   f ( x, y )dx
a

Khi hàm dưới dấu tích phân f(x,y) dần tới vô cùng tại một trong hai mút a và
b. Trong trường hợp này ta cũng có những kết quả tương tự như đối với tích phân
(1.18).

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 12

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.6.3. Nếu hàm f(x) liên tục trên toàn trục x, có thể khai triển thành chuỗi Fourier
trong mọi khoảng  l, l  và thỏa mãn điều kiện




f ( x) dx  



thì nó có thể khai triển dưới dạng


f ( x) 

 A( ) cosx  B( ) sin xd , -∞ < x < +∞

(1.20)



Trong đó
A( ) 

1
2





f ( ) cos d , B ( ) 



1
2



 f ( ) sin d

(1.21)



Tích phân (1.20), trong đó A(α), B(α) được tính bởi các công thức (1.21) gọi
là tích phân Fourier của hàm f(x).

1.7. Chuỗi Fourier
1.7.1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier:
1.7.1.1. Định nghĩa 1:
Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng:
ao 
  (a n cos nx  bn sinnx)
2 n 1

1.7.1.2. Định lý:
Nếu chuỗi lượng giác trên hội tụ đều trên [-π, π] về hàm f(x) thì các hệ số a0,
an, bn được tính bởi công thức:
a0 

1




 f ( x)dx





an 

1
f ( x) cos nxdx
 


1
bn   f ( x) sin nxdx
 

GVHD: ThS Trần Minh Quý

n = 0, 1, 2,…
(1.22)
n = 1, 2,…

Trang 13

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

1.7.1.3. Định nghĩa 2:
Cho hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2π, khả tích trên [-π, π], chuỗi lượng giác
ao 

  (a n cos nx  bn sinnx) trong đó các hệ số an, bn được tính theo công thức (1.22)
2 n 1

được gọi là hệ số Fourier của hàm f(x).
Như vậy tương ứng với hàm f(x) khả tích trên [-π, π], ta có chuỗi Fourier của
hàm f(x) và ta viết:
f(x) ~

ao 
  (an cos nx  bn sinnx)
2 n1

1.7.2. Khai triển Fourier của một hàm số
Ứng với hàm f(x) khả tích trên [-π, π] thì chuỗi Fourier của hàm f(x) chưa
chắc đã hội tụ và trong trường hợp hội tụ thì tổng của nó chưa chắc đã bằng f(x).
1.7.2.1. Định lý Dirichler:
Nếu f(x) tuần hoàn chu kỳ 2π, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-π, π] thì
chuỗi Fourier của hàm f(x) hội tụ từng điểm trên đoạn đó và tổng của chuỗi đó
bằng:
 f(x), nếu f(x) liên tục tại x, -π < x < π


1
f ( x  )  f ( x  ) nếu x là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f(x), -π < x < π
2



1
 f ( )  f ( ) , x = ± π

2





1.7.2.2. Khai triển Fourier của hàm chẵn, lẻ
Nếu f(x) là hàm chẵn trên đoạn [-π, π] thì f ( x) sin nx là hàm lẻ trên đoạn [-π,
π] nên bn = 0. Vậy f(x) ~

ao 
  a n cos nx .
2 n1

Nếu f(x) là hàm lẻ trên đoạn [-π, π] thì f ( x) cos nx là hàm lẻ trên đoạn [-π, π]


nên an = 0. Vậy f(x) ~

b

n

sin nx .

n 1

1.7.2.3. Khai triển Fourier của hàm f(x) trên đoạn [0, π]
Ta thác triển hàm f(x) trên cả đoạn [-π, π] rồi sử dụng công thức (1.22).
Có ba cách thác triển

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 14

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

 Thác triển chẵn
x  0,  

 f ( x)
 f ( x)

Đặt F ( x)  

x    ,0

Khi đó F(x) là hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2π và F(x) ≡ f(x) trên [0, π].
 Thác triển lẻ
x  0,  

 f ( x)
 f (  x )

Đặt F ( x )  

x    ,0 

Khi đó F(x) là hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2π và F(x) ≡ f(x) trên [0, π].
x  0, 

 f ( x)
0

 F ( x)  

x    ,0

Khi đó F(x) tuần hoàn, chu kỳ 2π và F(x) ≡ f(x) trên [0, π].
1.7.2.4. Khai triển Fourier của hàm f(x) trên đoạn [-l.l]
Để tìm chuỗi Fourier của hàm f(x) trên đoạn [-l.l], tuần hoàn chu kỳ 2l, ta

 tl 
dùng phép đổi biến t  x và xét hàm F (t )  f ( x)  f   , khi đó F(t) xác định trên
l
 
[-π,π], tuần hoàn chu kỳ 2π, và ta khai triển Fourier của hàm F(t) trên [-π,π]. Từ
khai triển Fourier của hàm F(t) trên [-π,π], ta suy ra khai triển Fourier của f(x) trên
đoạn [-l.l] là:
f(x) ~

ao 
n
n

  (an cos
x  bn sin
x)
2 n 1
l
l

trong đó
l

1
a 0  .  f  x dx
l l
l

1
n
a n  . f  x . cos
xdx
l l
l

n = 0, 1, 2, …

l

1
n
bn  . f  x .sin
xdx

l l
l

n = 1, 2, …

1.7.2.5. Khai triển Fourier của hàm f(x) trên đoạn [0,l]
Ta thác triển hàm f(x) trên cả đoạn [-l.l] và trở lại bài toán khai triển Fourier
của hàm tuần hoàn chu kỳ 2l trên đoạn [-l.l].

GVHD: ThS Trần Minh Quý

Trang 15

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt theo
phương pháp truyền thống và sử dụng phần mềm Maple 13

 Thác triển chẵn
x  0, l 

 f ( x)
 f ( x)

Đặt F ( x)  
Khi đó f(x) ~

x   l ,0

ao 
n
  an cos
x
2 n1
l
l

2
l

Trong đó an  . f  x . cos
0

n
x.dx
l

 Thác triển lẻ
x  0, l 

 f ( x)
 f (  x )

Đặt F ( x )  


Khi đó f(x) ~

b

n

sin

n 1

2
l

x   l ,0

nx
l

l

Trong đó bn  . f  x .sin
0

n
x.dx
l

1.7.2.6. Khai triển Fourier của hàm f(x) trên [a,b]
Để có khai triển Fourier của hàm f(x) trên [a,b], ta đặt hàm F(t) trùng với f(x)
trên [a,b] và áp dụng lý thuyết của chuỗi Fourier cho hàm F(t). Có ba cách xác định
hàm F(t).

 F(t) là hàm chẵn, chu kỳ 2l, với l = b – a
Khi đó f(x) ~

ao 

  a n cos n
x  a 
2 n1
ba

Trong đó a n 

2
xa
. f  x . cos n
.dx
b  a a
ba

b

 F(t) là hàm lẻ, chu kỳ 2l, với l = b – a


Khi đó f(x) ~

b

n

sin n

n 1


x  a 
ba

b

2
xa
Trong đó bn 
. f  x . sin n
.dx
ba a
ba

 F(t) tuần hoàn chu kỳ 2l, với l 

GVHD: ThS Trần Minh Quý

ba
.
2

Trang 16

SVTH: Trần Nguyễn Khánh Vân