LUẬN văn sư PHẠM vật lý hàm BESSEL và ỨNG DỤNG TRONG vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

HÀM BESSEL VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VẬT LÝ
Tóm tắt Luận văn Tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn:
Th.S GVC Trần Minh Quý

Sinh viên thực hiện:
Lý Thị Yạ
Lớp: SP Vật Lý 02 – K34
Mã số sinh viên: 1080259

Cần Thơ, năm 2012


]

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Trần Minh Quý
đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi hoàn thành tốt luận
văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn thầy Dương Quốc Chánh Tín
và cô Nguyễn Thị Thúy Hằng đã đóng góp ý kiến để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến cô Trịnh Thị
Ngọc Gia đã nhiệt tình giúp đở và cho tôi mượn sách
trong quá trình tôi làm luận văn.

Tôi xin cảm ơn tất cả những người Thầy, Cô, bạn
bè và người thân đã giúp đở và ủng hộ tôi trong quá
trình tôi thực hiện luận văn.
Do kiến thức của tôi còn hạn chế nên đề tài không
tránh khỏi những sai sót, kính mong quý Thầy, Cô và
bạn bè đóng góp ý kiến để tôi thực hiện và bổ sung
cho luận văn được hoàn thiện hơn.
Chân thành cảm ơn và kính chúc sức khỏe quý
Thầy, Cô và các bạn.
Sinh viên thực hiện
Lý Thị Yạ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1
2. Mục đích của đề tài....................................................................................................2
3. Các phương pháp và phương tiện thực hiện đề tài ....................................................2
4. Các bước thực hiện đề tài ..........................................................................................2
5. Giới hạn của đề tài.....................................................................................................3

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
1.1. Phương trình Bessel..............................................................................................4
1.2. Phương trình Bessel có tham số ...........................................................................8
CHƯƠNG 2. HÀM BESSEL
2.1. Hàm Bessel loại 1 .................................................................................................9
2.2. Hàm Bessel loại 2 ...............................................................................................13
2.3. Tính chất truy hồi của hàm Bessel .....................................................................14
2.3.1. Tính chất truy hồi của hàm Bessel loại 1 ......................................................14

2.3.2. Tính chất truy hồi của hàm Bessel loại 2 ......................................................16
2.4. Tính chất trực giao của hàm Bessel....................................................................17
2.5. Tính chất trực giao thứ hai của hàm Bessel .......................................................21
2.6. Khai triển một hàm tùy ý vào hàm Bessel..........................................................23
2.7. Công thức tiệm cận của hàm Bessel...................................................................24
2.8. Hàm sinh của hàm Bessel...................................................................................29
2.9. Hàm Bessel hạng bán nguyên ............................................................................34
2.10. Hàm Bessel ảo ..................................................................................................37
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG
3.1. Bài toán dao động ...............................................................................................39
3.1.1. Dao động của màng tròn................................................................................39
3.1.2. Dao động với biên độ nhỏ của một sợi chỉ treo một đầu ..............................49
3.1.3. Dao động của quả cầu có biên gắn chặt ........................................................54
3.2. Bài toán truyền nhiệt ..........................................................................................57
3.2.1. Truyền nhiệt trong thanh hình trụ..................................................................57
3.2.2. Truyền nhiệt trong quả cầu có bề mặt duy trì nhiệt độ không ......................61
3.3. Bài toán điện thế trong tọa độ trụ .......................................................................63
3.4. Nhiễu xạ ánh sáng ..............................................................................................67
3.4.1. Nhiễu xạ Fraunhofer......................................................................................72
3.4.2. Nhiễu xạ Fresnel............................................................................................74
3.4.3. Nhiễu xạ qua đĩa tròn chắn sáng ...................................................................80


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lý được coi là một môn khoa học cơ bản nhất của khoa học tự nhiên. Vật lý

giải quyết những thành phần cơ bản nhất của vật chất và các tương tác giữa chúng
cũng như nghiên cứu về các nguyên tử và việc tạo thành phân tử và chất rắn. Vật lý
còn được xem là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật lý chi phối tất cả các
ngành khoa học tự nhiên khác. Vật lý có quan hệ mật thiết với Toán học, các lý thuyết
vật lý là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học, và sự xuất hiện của
Toán học trong các thuyết Vật lý cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học
khác. Sự khác biệt giữa Vật lý và Toán học là ở chỗ, Vật lý luôn gắn liền với thế giới
tự nhiên, trong khi Toán học lại biểu diễn các mô hình trừu tượng độc lập với thế giới
tự nhiên. Tuy vậy, sự khác biệt không phải lúc nào cũng rõ ràng. Thực tế có một
ngành nghiên cứu thuộc lĩnh vực trung gian giữa Toán học và Vật lý, đó là Vật lý
Toán - ngành học phát triển các cấu trúc toán học để phục vụ cho các lý thuyết Vật lý.
“Một nhà Vật Lý đôi khi cần biết Toán nhiều hơn là biết Lý”, đó là câu nói nổi tiếng
của nhà Vật lý lý thuyết người Liên Xô cũ – Landau từng nói. Quả thực vậy, để học
tốt Vật lý thì chúng ta cần phải học Toán thật tốt, nhưng đồng thời Vật lý cũng gợi mở
cho Toán những hướng đi mới hay những cách tiếp cận thú vị đến các định lý và các
bài toán trong Toán học thuần túy.
Một trong những kiến thức quan trọng của Vật lý toán là hàm Bessel. Hàm Bessel
là một trong những hàm đặc biệt mà ta thường gặp khi giải phương trình vật lý toán
trong miền hữu hạn bằng phương pháp tách biến Fourier. Vào năm 1824, nhà toán
học - nhà thiên văn nguời Đức Friedrich Wilhelm Bessel (1784 -1846) đã công bố loại
hàm đặc biệt này. Nó là nghiệm của phương trình vi phân hạng hai sau đây (còn gọi là
phương trình Bessel):

d 2 y 1 dy 
k2

 1  2
x dx 
dx 2
x


 y  0


Hàm Bessel thường được ứng dụng để giải các bài toán về rung động, điện trường,
sự dẫn nhiệt và dòng chất lỏng, nhiễu xạ ánh sáng,…đặc biệt là những bài toán có đối
xứng trụ. Hàm Bessel và ứng dụng của nó được rất nhiều tài liệu trình bày nhưng
trình bày ngắn gọn và rời rạc (trừ tài liệu nước ngoài).
Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật lý”
để nghiên cứu kỹ về cách thiết lập phương trình, đặc điểm, tính chất cũng như ứng
dụng của hàm đặc biệt này trong Vật lý.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 1

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
- Tìm hiểu cách thiết lập phương trình Bessel.
- Tìm hiểu đặc điểm, tính chất của hàm Bessel.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm Bessel trong Vật lý.
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Xây dựng phương trình Bessel thông qua bài toán dao động của màng tròn, tìm

nghiệm dưới dạng chuỗi của phương trình này ta được hàm Bessel.
- Sử dụng các phép tính đạo hàm, tích phân để xây dựng một số tính chất truy hồi
và tính trực giao của hàm Bessel.
- Dùng các tính chất của phép tính giới hạn và phương pháp gần đúng để tìm công
thức tiệm cận của hàm Bessel.
- Sử dụng phương pháp tách biến Fourier trong giải các bài toán về dao động,
truyền nhiệt và bài toán điện thế trong tọa độ trụ.
- Dùng các định lý về cực trị hàm số và phương pháp đồ thị để khảo sát sự nhiễu
xạ ánh sáng.
- Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ vẽ đồ thị các hàm Bessel, đồ thị cường độ
nhiễu xạ.
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Nhận đề tài
- Tìm tài liệu liên quan đến đề tài để tham khảo, sắp xếp thời gian thực hiện công
việc cụ thể.
- Lập đề cương chi tiết.
- Viết nội dung, tiếp thu ý kiến của Giáo viên hướng dẫn và chỉnh sửa.
- Viết tóm tắt đề tài.
- Báo cáo, hoàn chỉnh luận văn.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 2

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

5. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
- Chỉ tìm hiểu kỹ những đặc điểm, tính chất của hàm Bessel loại I.
- Chỉ tìm hiểu những ứng dụng của hàm Bessel loại I trong các bài toán cơ, nhiệt,
điện, quang đơn giản. Cụ thể là:
+ Phần cơ: Khảo sát bài toán dao động của màng tròn, của quả cầu có biên gắn
chặt, của sợi chỉ trong trường hợp dao động với biên độ nhỏ.
+ Phần nhiệt: Khảo sát bài toán truyền nhiệt trong thanh hình trụ và trong quả cầu
có bề mặt duy trì nhiệt độ không.
+ Phần điện: Khảo sát sự phân bố điện thế và ở đây chỉ khảo sát trong tọa độ trụ.
+ Phần quang: Khảo sát sự nhiễu xạ ánh sáng.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 3

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
1.1. PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
Xét dao động của một màng tròn. Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q
trên mặt phẳng x, y có tâm ở gốc tọa độ. Nếu ta dùng tọa độ cực thì phương trình
của đường tròn của màng sẽ là r  q .
y

r


o

q

x

Độ lệch của một điểm của màng u là hàm của r ,  và t :

u  u (r ,  , t )
Điều kiện biên bây giờ có dạng:

u r q  0

(1.1)

Trong tọa độ cực, toán tử Laplace hai chiều có dạng:

1   u  1   2 u
u  u" xx u" yy 
r   
r r  r  r 2   2





Do đó, phương trình dao động của màng trong tọa độ cực có dạng:

u"tt a 2 u"xx u" yy   0


hay

 2u
1  2u 
2  1   u 

a
r

 r r  r  r 2  2   0
t 2





1
1

'
u"tt  a 2  ru 'r   2 u"   0
r
r


GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 4

(1.2)

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

Các điều kiện trong tọa độ cực có dạng:

u t 0  f r ,  ,

u't

t 0

 F r ,  

(1.3)

Dùng phương pháp tách biến Fourier, ta có thể viết nghiệm của phương trình (1.2)
biểu diễn sóng đứng trên màng tròn dưới dạng:

u r ,  , t   R r   T t 
 u"tt  RT " , u ' r  R 'T , u"  R "T

Thay vào phương trình (1.2) ta được:
'
1
1

RT "  a 2  rR 'T  2 R"T   0
r
r






Chia hai vế phương trình (1.4) cho RT , ta được:

1

'

rR '

T"
1 "
 a2  r
 2 0
T
r 
 R



1

'

rR '

T"
1 "

 a2  r
 2 
T
r 
 R



(1.4)

Từ đẳng thức này, ta thấy vế trái của đẳng thức này không phụ thuộc vào r và  ,
1

'
 r rR '
T"
1 "
và 
 2  không phụ thuộc
còn vế phải không phụ thuộc vào t, do đó

T
R
r 



vào r,  và t. Ta có thể đặt:
T"
 v 2 a 2
T
1
rR'' 1 "
r
 2
 v 2
và
(1.5)
R
r 
trong đó v là hằng số.

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 5

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

Phương trình (1.5) có thể viết lại dưới dạng:
1

rR''


"
 r 2  r
 v2 

 R



Từ đẳng thức này, ta cũng có nhận xét là vế trái của đẳng thức không phụ thuộc
vào r và vế phải không phụ thuộc vào  nên cả hai vế của đẳng thức không phụ thuộc
vào r và  , nghĩa là:

1

'


rR
'


"

 r 2  r
 v 2   const

 R



Đặt hằng số là  , ta có:

 "   0

(1.6)

1

rR''


 r 2  r
 v2   
(1.7)
 R



Ta sẽ giải phương trình (1.6) với điều kiện tuần hoàn là:
   2     
(1.8)
Phương trình (1.6) chỉ có nghiệm không đồng nhất bằng không với một giá trị
đặc biệt của  . Thật vậy, phương trình đặc tính của phương trình (1.6) là:

p2    0
Tùy theo dấu của  , ta sẽ có các trường hợp sau đây:
a/   k 2 : nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là:

    C1e k  C 2 e  k
trong đó C1 và C2 là các hằng số tùy ý.
Dựa vào điều kiện tuần hoàn (1.8), ta có:

C1e k   2   C2 e  k   2   C1e k  C2 e  k
 C1  C2  0
Vậy trong trường hợp này, phương trình chỉ có nghiệm không.
b/   0 : phương trình (1.6) có nghiệm tổng quát là:

    C1  C2
Hệ chỉ có nghiệm thỏa điều kiện tuần hoàn khi C1  C2  0 . Trong trường hợp
này, phương trình cũng chỉ có nghiệm thuần nhất bằng không.
2
c/    k : nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 6

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

    C1 cosk   C2 sink 
Vì hàm cos và sin tuần hoàn với chu kỳ là 2 nên nghiệm này thỏa điều kiện
tuần hoàn.
Vậy, phương trình (1.6) có nghiệm không đồng nhất bằng không là:

    C1 cosk   C2 sink 
trong đó C1 và C2 là các hằng số tùy ý và    k 2
Thành thử đối với hàm R(r), ta có phương trình:
1

'


rR
'


 r2  r
 v 2   k 2
 R



hay
 2 k2 
1
R" R' v  2  R  0
r
r 


Bây giờ, ta đưa vào biến số mới x  vr và đặt:
 x
Rr   R   y
v
Ta có:
dR dy dy dx
dy
R' 


v
dr dr dx dr
dx

R" 

dR '
d  dy 
d 2 y dx
d2y
v  v 2
 v2 2
dr
dr  dx 
dx dr
dx

Do đó, ta nhận được phương trình vi phân đối với hàm y  x  :

d 2 y v dy  2 v 2 k 2

v
 v
 v  2
dx 2 x dx 
x
2


 y  0


hay

d 2 y 1 dy  k 2 

 1  2  y  0
(1.9)
dx 2 x dx 
x 
Phương trình (1.9) được gọi là phương trình Bessel. Nó là một phương trình vi
phân hạng hai có hệ số thay đổi. Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel. Vì hàm
Bessel đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các
miền hình trụ, vì vậy hàm Bessel còn có tên là HÀM TRỤ.
1.2 PHƯƠNG TRÌNH BESSEL CÓ THAM SỐ
Giả sử hàm y  x  là một nghiệm nào đó của phương trình (1.9). Ta hãy xét
hàm y  y   x  và đặt t  x
Rõ ràng rằng:
GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 7

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

d2y
dy
t

t
 t2  k2 y  0
2
dt
dt



2



(1.10)

Nhưng

dy 1 dy
d2y 1 d2y


và

dt  dx
dt 2 2 dx 2
Vì vậy, khi thay biểu thức này vào phương trình (1.10), ta có:

d2y
dy
x
 x  2 x 2  k 2 y  0
(1.11)
2
dx
dx
Như vậy, nếu hàm y  x  là nghiệm của phương trình (1.9) thì hàm
y  y   x  là nghiệm của phương trình:
x 2 y" xy ' 2 x 2  k 2 y  0
(1.12)
Phương trình (1.12) được gọi là phương trình Bessel có tham số  .



2



GVHD: Th.s Trần Minh Quý





Trang 8

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

CHƯƠNG 2: HÀM BESSEL
2.1. HÀM BESSEL LOẠI I
Ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel:
x 2 y" xy ' x 2  k 2 y  0
Ta sẽ tìm nghiệm phương trình này dưới dạng chuỗi lũy thừa:







(2.1)

c0  0

y   cn x n

(2.2)

n 0

Để tìm các hệ số của chuỗi, ta lấy các đạo hàm:
dy 
y' 
  ncn x n 1
dx n 0

(2.3)

dy ' 
y" 
  cn nn  1x n2
dx n2

(2.4)

Thay (2.2), (2.3) và (2.4) vào (2.1) sau khi nhân với x2, ta được:






 nn  1cn x n   ncn x n  x 2  k 2
n2

n 1



 c x

n

n

0

n 0

Thu gọn phương trình trên ta được:
2
 k c0  1 k 2 c1x  c0  4  k 2 c2 x2





  
 c  9  k c x  ... c



 

 n2  k 2 cn xn  0
Chuỗi trên chỉ bằng không khi các hệ số của x bằng không. Tức là:

 k 2 c0  0
k: là số nguyên không âm
2

1

1  k c  0
n  k c  c

3

n2

3

2

2

1
2

n

n2

0

 Nếu k=0, từ (2.6) suy ra :

n=2,3,4…
c0 bất kỳ

(2.5)
(2.6)
(2.7)

c1  0
cn  

cn2
n2

Cụ thể là:

c2  

c0
c0
c2
,
c

0
,
c



3

4
22
42 22 .42

Tổng quát:

c2 m 1

m

c2 m1  0
GVHD: Th.s Trần Minh Quý

c0
c0
m




1
2
2
22.42...2m
22mm! 
(m = 0, 1, 2 …)

Trang 9

SVTH: Lý Thị Yạ

Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với k = 0
m



y  c0  1 

x2m
2m

2

m 0

2

m ! 

c0 J0  x 

Trong đó:
2m

 x

 
m  


x2m
m
 2


J0  x     1  2m


1

2
m ! 2
2 m !  m  0
m0
được gọi là hàm Bessel loại I hạng không.
Nếu k = 1 thì từ (2.5), (2.6), (2.7) ta rút ra c0  0 ,

 
2

cn2  n 1 cn  0

c1

(2.8)

là tùy ý và

n =2, 3 …;

Cụ thể là:
c2  0, c3 

c1
,
2.4

c4 0, c5 

c3
c1

4.6  2.4 4.6 

Tổng quát:

c2m 0
m

c2m1  1

c1
c
m
 1 2m 1
2.44.6...2m2m2

2 m ! m1!

m  0, 1, 2,...
Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với k = 1:

x2m1
yc1 1 2m
 2c1 J1 x 
2 m ! m1 !
m 0


m

Trong đó:
2m1

 x
m
m  
2m1


x
2
J1 x  21 2m1
 1  
m!m1!
2 m!m1 ! m  0
m 0

(2.9)

được gọi là hàm Bessel loại một hạng một.
 Nếu k =2,3,… thì từ (2.5), (2.6), (2.7) ta rút ra c0 = 0, c1 = 0,
ck-1 = 0, ck là tùy ý, ck+1 = 0

ck2 

ck

k22 k2

ck  4  

c k 2
2

k  4

k



ck
;ck3  0
2. 2k2


2

c k 2
4  2k  4 



ck

22k  2  42k  4 

Tổng quát:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 10

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

ck
22k  2   4 2k  4 ...2m 2k  2m 
ck
k ! ck
m
m
 1  2 m

 1  2 m
2 m !k 1 k  2 ...k  m 
2 m !k  m !
(m = 0, 1, 2 …)
Thành thử ta có nghiệm riêng của phương trình Bessel khi k = 2,3,…là:
m

ck 2 m  1 

x2mk
yk!ck 1 2m
2k k!ck Jk  x 
2 m!m k !
m0


m

Trong đó:
2 m k

 x
m
m  
2 m k


x
2
J k  x    1  2m k

   1   
(2.10)
m! m  k  !
2
m! m  k  ! m  0
m0
được gọi là hàm Bessel loại một hạng k
 Nếu k = 0,1 ta lại có các biểu thức (2.8) và (2.9), Vậy (2.10) xác định hàm
Bessel loại một tất cả các hạng k = 0, 1, 2, … Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (2.10) là hội
tụ và thỏa mãn phương trình Bessel (2.1).
Biểu thức (2.10) của hàm Bessel loại một hạng k có thể biểu diễn qua hàm Gamma
  .
2mk

J k  x 

m



  1 

m 0

1

 x
 
2
 m  1    m  k  1) 

J 0 x 

0.8

J 1 x 

0.6

J 2 x  J x 
3

J 4 x 

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đồ thị hàm Bessel loại I J k x 
GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 11

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

 Nếu ta thay k bởi –k thì phương trình Bessel (2.1) không thay đổi, lúc đó ta
được nghiệm riêng thứ hai của hàm Bessel là:

2 m k

J k  x  

m



  1 

m 0

 x
 
2
 m  1    m  k  1) 

Hàm Bessel có nhiều ứng dụng trong Vật lý và kỹ thuật nên đã được nghiên cứu
nhiều và có những bảng chi tiết về các giá trị của chúng (xem phụ lục 2, 3, 4).
*Nhận xét:
 Nếu k không phải là số nguyên thì các nghiệm riêng J k  x  và J  k  x  là độc lập
tuyến tính vì khi x  0 thì J k  x   0 như x k , còn J  k x    như x  k
J x 
 f ( x)  const ). Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của phương
(hay k
J k x 
trình Bessel là:
y  x   C1 J k  x   C 2 J  k  x 
 Nếu k là số nguyên n thì hàm J k  x  và J  k  x  là phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy,
khi k=n thì với m=0,1…,n-1 thì đại lượng (m-k+1) nhận các giá trị nguyên âm hay

bằng không, đối với các giá trị này m  k  1   . Điều này được suy ra từ công
thức:
0  

1

0

Như vậy, n hạng tử đầu tiên của khai triển J  k  x  bằng không.
Do đó:
2mn
 x
 

m
2
J  n  x     1
m!m  n  1
mn
Đặt m=n+l và thay vào biểu thức (2.11), ta được:

(2.11)

2l  n

 1  1  x 

2
J n  x   
l 0  n  l  1 l  1

n

l

n

  1 J n  x 
hay
k

J k  x    1 J  k  x 

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 12

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

Vậy nếu k là số nguyên dương n thì nghiệm J k  x  và J  k x  là phụ thuộc tuyến
tính.
2.2. HÀM BESSEL LOẠI II
Do khi k là số nguyên dương thì J k  x  và J  k  x  là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy ta
cần xây dựng một nghiệm tồng quát của phương trình:
x 2 y" xy ' x 2  k 2 y  0
(2.12)

được dùng cho mọi giá trị k
Nghiệm đó có thể xây dựng như sau:
J  x  cos k  J  k  x 
Yk  x   k
sin k
Đặc biệt Yk x    khi x  0
Vì Yk x  là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm riêng của phương trình (2.12) nên





Yk x  cũng là nghiệm của phương trình này.
Tuy nhiên khi k=n thì Yn x  có dạng

0
0

Do vậy, ta định nghĩa:

Yn x   lim Yk x   lim
k n

k n

J k x  cosk   J k x 
sin k 

Quy tắc L’Hospital cho ta:


J k x cosk   J k x 

k
Yn x   lim
k n

sink 
k


cosk  J k x   J k x sin k   J k x 
k
k
 lim
k n
 cosk 

1

k 
J k x    1
J k x 

k n  k
k



 lim

Nếu trong biểu thức cuối cùng, ta thay vào chuỗi của hàm J k  x  và J  k  x  , rồi vi
phân chúng theo k thì sau hàng loạt phép biến đổi, ta sẽ có:

Yn  x  

 x  1 n 1 n  m  1!  x 
J n  x ln   
 

m!
 2   m 0
2
2

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

2 mn



1






Trang 13

k 0

 1k  x 

2k n

2
k!k  n !

  k  1  k  n  1 
 k  1  k  n  1 



SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

0.6

Y0  x 

Y1  x 

0.4

Y2  x  Y  x 
3

Y4  x 

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đồ thị hàm Bessel loại II Yk x 
2.3. CÁC TÍNH CHẤT TRUY HỒI CỦA HÀM BESSEL
2.3.1 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel loại I
Hàm Bessel loại I J k  x  có các tính chất truy hồi sau:
d k
x J k  x   x k J k 1  x 

dx
hay ta có thể viết dưới dạng khác:
k
J k 1  x   J k  x   J ' k  x 
x
2 mk
 x
 

m
2
Chứng minh: Ta có biểu thức: J k  x     1
m!m  k  1
m 0

nên suy ra:



GVHD: Th.s Trần Minh Quý



Trang 14

(2.13)

(2.14)

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý
2 mk

d k
d  k
m
x J k x  
x  1

dx
dx m0





 x
 
d 
x 2 m2 k
m
2
   1 2 m k
m! m  k  1 dx m0
2
m! m  k  1
2 m  k 1



m

   1
m 0


x 2 m 2 k 1
k
 1m

x


2 m  k 1
2
m! m  k 
m 0

Công thức (2.13) đã được chứng minh.
Ta lại có:
d k
x J k  x   kx k 1 J k  x   x k J ' k  x 
dx
Thay vào (2.13) ta được:
k
J k 1  x   J k  x   J ' k  x 
x
Biểu thức trên chính là biểu thức (2.14).
d k
x J k  x    x  k J k 1  x 

dx
hay có thể viết dưới dạng khác:
k
J k  x   J k 1  x   J ' k  x 
x
Chứng minh:



 x
 

2
 x k J k 1  x 
m! m  k 







(2.15)

(2.16)

2 m k

d k
d  k
m
x J k x  
x  1

dx
dx m0





 x

 
2
m!m  k  1


d 
x 2m
x 2 m1
m
m
 1 2 m k 1

  1 2 2mk m!m  k  1  
dx m0
m  1!m  k  1
2
m 1

Thay m bởi m+1, ta thu được:

d k
x 2 m1
m
x J k x      1 2 m k 1
dx
2
m!m  k  1  1
m 0







 x

k

  1

m 0

m

x 2 m k 1
2 2 m k 1 m!m  k  1  1

  x k J k 1 x 
Công thức (2.15) đã được chứng minh.
Ta lại có:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 15

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

d k
x J k  x    kx  k 1 J k  x   x  k J ' k  x 
dx
Do đó, thay vào (2.15) ta được:
k
J k  x   J k 1  x   J ' k  x 
x
Mặt khác, nếu ta lấy (2.14) trừ (2.16), ta thu được:
2k
J k x 
 J k 1 x   J k ! x  
x
Nếu ta lấy (2.14) cộng (2.16), ta thu được:
 J k 1  x   J k !  x   2 J ' k  x 





2.3.2 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel loại II
Hàm Bessel loại II cũng có các tính chất tương tự như hàm Bessel loại I:


d k
x Yk  x   x k Yk 1  x 
dx





(2.17)

hay ta có thể viết dưới dạng khác:
k
Yk 1  x   Yk  x   Y 'k  x 
(2.18)
x
Chứng minh:
Để chứng minh công thức (2.17), ta thay k bởi -k vào (2.15), ta được:
d k
x J k  x    x k J k 1  x 
(2.19)
dx
1
Nhân (2.13) với cot gk và (2.19) với
rồi trừ kết quả cho nhau, ta sẽ có:
sin k
d  k J k  x  cos k  J  k  x  
k J k 1  x  cos k  J  k 1  x 
x

x

dx 
sin k
sin k







 xk

J k 1  x  cosk  1  J  k 1  x 
sin k  1

Do đó, ta suy ra:
d k
x Yk  x   x k Yk 1  x 
dx
Vậy (2.17) đã được chứng minh.
Ta lại có:





d k
x Yk  x   kx k 1Yk  x   x k Y 'k  x 
dx





Thay vào (2.17), ta suy ra:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 16

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

kx k 1Yk  x   x k Y ' k  x   x k Yk 1  x 
k
 Yk 1  x   Yk  x   Y ' k  x 
x
Đây chính là công thức (2.18).
d k
x Yk  x    x k Yk 1  x 

dx
hay
k
Yk  x   Yk 1  x   Y 'k  x 
x
Chứng minh:
Ta thay k bởi -k vào (2.13) ta thu được:
d k
x J k  x   x k J k 1  x 

dx









Nhân (2.15) với cot gk và (2.22) với

(2.20)

(2.21)

(2.22)

1
rồi trừ kết quả cho nhau, ta sẽ có:
sin k

d  k J k  x cos k  J k  x  
  J  x cos k  J k 1  x  
x
 x k  k 1



dx 

sin k
sin k



J  x cosk  1  J k 1  x 
  x k k 1
sin k  1
Do đó, ta suy ra:
d k
x Yk  x    x k Yk 1  x 
dx
Vậy (2.20) đã được chứng minh.
Ta cũng có:
d k
x Yk  x    kx k 1Yk  x   x k Y 'k  x 
dx
Thay vào (2.20), ta suy ra:
k
Yk  x   Yk 1  x   Y 'k  x 
x
Ngoài ra, nếu lấy (2.18) trừ (2.21), ta thu được:









 Yk 1  x   Yk 1  x  

2k
Yk  x 
x

Nếu lấy (2.18) cộng (2.21), ta thu được:
 Yk 1  x   Yk 1  x   2Y 'k  x 
2.4. TÍNH CHẤT TRỰC GIAO THỨ NHẤT CỦA HÀM BESSEL
Giả sử 1 ,  2 , ...,  n ,... là các nghiệm dương của phương trình J k x   0 , trong
đó 1   2  ...   n  ... .Ta sẽ chứng minh rằng:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 17

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

0
x

 x 
0 xJ k   i L  J k   j L dx   L2 J '  2  L2 J 2 K 1  
k

i
i

2
2
Trong đó L là hằng số dương nào đó.
L





i  j 
i  j 


 x 
Tức là ta chứng minh rằng hàm  x J k   i , i  1,2,3... lập thành một họ trực
 L 

 x
giao trên đoạn 0, L  . Hay nói cách khác, các hàm J k  i  lập thành một họ trực
 L
giao với trọng số x trên đoạn 0, L  .
Xét phương trình:
d2y
dy
x2 2  x  p2 x2  k 2 y  0
(2.23)
dx

dx
Với p là một hằng số khác 0.
Đây là phương trình Bessel tham số p hạng k có nghiệm là J k  px 
Do đó, ta suy ra được:
2
dJ  px 
2 d J k  px 
x
x k
 p 2 x 2  k 2 J k  px   0
(2.24)
2
dx
dx
Chia hai vế phương trình (2.24) cho x, ta có:
d 2 J k  px  dJ k  px   2
k2 
x

  p x   J k  px   0
dx 2
dx
x 










d  dJ k  px    2
k2 


x
 p x   J k  px   0
dx 
dx  
x 

(2.25)

Từ phương trình (2.25), ta lấy hai giá trị p1 và p2 , ta sẽ có hai phương trình tương
ứng là:
d  dJ k  p1 x    2
k2 
x
  p1 x   J k  p1 x   0
(2.26)
dx 
dx  
x 
d  dJ k  p2 x    2
k2 
x
  p2 x   J k  p2 x   0
dx 

dx  
x 

(2.27)

Bây giờ, ta lấy phương trình (2.26) nhân với J k  p2 x  và phương trình (2.27)
nhân với
được:

J k  p1 x 

rồi

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

trừ

hai

vế

phương

Trang 18

trình

cho

nhau,

ta

thu

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý

d  dJ k  p1 x  
d  dJ k  p 2 x  
2
2
x
J k  p2 x 
x
J k  p1 x   p1  p 2 xJ k  p1 x J k  p 2 x   0




dx 
dx 
dx 
dx 
d  dJ k  p1 x  
d  dJ k  p 2 x  

2
2


 p 2  p1 xJ k  p1 x J k  p 2 x  
x
J
p
x

x
J k  p1 x 
k
2
dx 
dx 
dx 
dx 










2

2



 p 2  p1 xJ k  p1 x J k  p 2 x  

dJ  p x 
d  dJ k  p1 x 

x
J k  p 2 x   x k 2 J k  p1 x 

dx 
dx
dx


Lấy tích phân từ 0 đến L phương trình trên, ta thu được:
L

p

2
2

 p1

2

 

dJ k  p1 x 
dJ k  p 2 x   








xJ
p
x
J
p
x
dx

x
J
p
x
p

J
p
x
p

1

k
1
2
 k 2

0 k 1 k 2
d  p1 x 
d  p2 x 
 
o



L

 L p1 J k  p2 L J 'k  p1 L   p2 J k  p1 L J 'k  p2 L 
Chú ý rằng nếu k  -1 , hàm J k x  có tất cả các nghiệm thực. Vì ta có:

(2.28)

2 m k

x
 

m
2
J k  x     1
m!m  k  1
m 0

Sẽ có từng cặp nghiệm giống nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng khác nhau về dấu,
nên ta chỉ xét nghiệm dương. Giả sử p1 

j
i
và p2 
, trong đó  i và  j là hai
L
L

nghiệm dương khác nhau của phương trình J k x   0 . Do đó, có thể suy ra:
 Với i  j :
Thay p1 

p

j
i
và p2 
vào biểu thức (2.28), ta thu được:
L
L
L

2
2

 p1

2

 xJ  
k

0

Vì



i

x 
x
 J k   j dx   i J k  j J 'k  i    j J k  i J 'k  j   0
L  L





i 2   j 2
p 2  p1 
0
L2
2

2

L

Nên ta suy ra:

 xJ
o

k

 x  x
  i  J k   j dx  0
 L  L

 Với i  j :

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 19

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Giả sử p 

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý


với  là nghiệm dương của phương trình J k x   0
L

Trong (2.28), thay p1  p, cho p 2  p và coi p2 là biến số, ta có:

p

L

2
2

p

2

 xJ  px J  p x dx  L pJ  p L J '
k

k

k

2

2

k

 pL   p2 J k  pL J 'k  p2 L 

0

L

  xJ k  px J k  p2 x dx 
0

LpJ k  p2 L J 'k  pL 
2
p2  p 2

Khi p 2  p , vế phải có dạng bất định

0
, áp dụng quy tắc L’Hospital, ta có:
0

d
LpJ k  p2 L J 'k  pL 
LpJ k  p 2 L J ' k  pL 
dp 2
lim
 lim
2
p2  p
p2  p
d
2
p2  p 2
p2  p 2
dp 2





L2 pJ ' k  p 2 L J ' k  pL  L2
2
 lim

J ' k  pL 
p2  p
2 p2
2
L

L2
2
0 xJ k  px dx  2 J 'k  pL 
2

Vậy:
L

hay

L2
 x
2
0 xJ k   L dx  2 J 'k  
2

(2.29)

Theo tính chất truy hồi của hàm Bessel, ta có:
k
J k  x   J k 1  x   J ' k  x 
x
Nếu thay x   , ta được:

k

J    J k 1    J 'k  
 k
 J 'k     J k 1  
Do đó, công thức (2.29) có thể viết lại dưới dạng:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 20

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý
L

L2
L2

 x
2
2
0 xJ k   L dx  2 J 'k    2 J k 1  
2

Như vậy, ta đã chứng minh được công thức trực giao:

0

 x  x
0 xJ k  i L  J k   j L dx   L2 J '  2  L2 J  2
k
i
k 1
i

2
2
L

i  j 
i  j 

Với i ,  j là 2 nghiệm dương của phương trình J k x   0
2.5. TÍNH CHẤT TRỰC GIAO THỨ HAI CỦA HÀM BESSEL
Nếu cho điều kiện:
 J k x    xJ 'k x   0, k  1

(2.30)

L

x
L2   2   2 k 2  2
2 
xJ
dx

k
0  L  2 1   2  2  J k  

(2.31)


i
, p2  j
L
L
trong đó  i ,  j là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình (2.30), tức là:

Trong đó  là nghiệm dương của phương trình (2.31), giả sử p1 

 J k  p1L   p1 J 'v  p1L  0
 J k  p2 L   p2 J 'k  p2 L  0
Nhân phương trình trên với J k  p 2 L  và phương trình dưới với

J k  p1 L  , rồi trừ cho

nhau ta thu được:

p1 J 'k  p1LJ k  p2 L  p2 J 'k  p2 LJ k  p1L  0
* Khi i  j :
L

 xJ  p x J  p x dx  L p J '  p L J  p L   p J '  p L J  p L   0
k

1

k

2

1

k

1

k

2

2

k

2

k

1

0

Trong trường hợp này, ta cũng có tính chất trực giao của các hàm Bessel:
L

 xJ

k

o

 x  x
  i  J k   j dx  0, i  j
 L  L

Chú ý rằng, nếu k  -1 và


 k  0 thì nghiệm của phương trình là thực.


* Khi i  j :

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 21

SVTH: Lý Thị Yạ


Luận Văn Tốt Nghiệp

Giả sử k 

Hàm Bessel và ứng dụng trong Vật Lý


, trong đó  là nghiệm của phương trình (2.30), theo công thức
L

(2.31), ta đặt p1  p, cho p 2  p và coi p2 là biến số, ta có:
L pJ k  p2 L J 'k    p2 J k  J 'k  p2 L 
L

 xJ  px J  p x dx 
k

k

2

2

p2  p 2

0

Khi p 2  p , vế phải có dạng bất định

L  J 'k

x
2 
o xJ k   L dx 
(2.32)

2

L

0
, áp dụng quy tắc L’Hospital, ta có:
0

   J 'k  J k    J k   J k  


2p

Theo phương trình Bessel:
 k2 
1

J k    J ' k    1  2  J k    0

  

Nhân phương trình trên với J k   , ta được:
 k2 
J k  J k     J k  J ' k      1  2  J 2 k  
  

Như vậy, công thức (2.32) có dạng:
L


x
L2  2
k2  2 
2 



xJ

dx

J
'


1

 k
o k  L 
  2  J k  

2 



Từ phương trình (2.30), suy ra:

J ' k    


J k  


Thay ngược lên trên, ta có công thức trực giao:

GVHD: Th.s Trần Minh Quý

Trang 22

SVTH: Lý Thị Yạ