luận văn sư phạm vật lý ứng dụng thuyết nhiễu loạn trong hiệu ứng zeemann

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
˜ v ™









Đề tài:

ỨNG DỤNG THUYẾT NHIỄU LOẠN TRONG
HIỆU ỨNG ZEEMANN

Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SP Vật Lí – Tin Học K31

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Xuân Tư Võ Thị Bé Thảo
Giáo viên phản biện: MSSV: 1050318
Trần Minh Quý Lớp: SP Lí – Tin K31
Nguyễn Thị Thúy Hằng



Cần Thơ
2009

LỜI CẢM ƠN!
Ñ*Ð

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường
Đại Học Cần Thơ, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm, các
thầy cô trong bộ môn Vật Lí, các thầy cô ở các phòng ban
đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Xuân Tư
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, đôn đốc và tạo điều kiện
để em hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn các bạn cùng lớp đã,quan tâm, động
viên, hỗ trợ để tôi có thêm nghị lực hoàn thành luận văn
này.
{|{|{




NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
˜-™

………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Cần Thơ, ngày….tháng….năm 2009.
Giáo viên hướng dẫn

Nguyễn Xuân Tư


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
˜-™

………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Cần Thơ, ngày….tháng….năm 2009.
Giáo viên phản biện

MỤC LỤC
…–-—…

TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU………………………………………………… vii
Phần I: MỞ ĐẦU.………… …………………………………………………………viii
1. Lí do chọn đề tài….……………………………………………………………… viii
2. Các giả thuyết của đề tài……………………… ………………………………………….viii
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………………… viii
4. Các bước thực hiện đề tài …………………………………………………………… ix
Phần II: NỘI DUNG ………………………………………………………………… 1
Chương 1. SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT BIỂU DIỄN ……………………………………1
1.1 Biểu diễn các trạng thái lượng tử…….……………………………………………………1
1.1.1. Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”) …………………………………….2
1.1.2. Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”)……………………………….2
1.1.3. Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng ………………………………………………….3
1.2. Dạng toán tử trong các biểu diễn …………………………………………………………3
1.2.1. Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng……………………………………… 5
1.2.2. Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng ……………………………………….6
1.2.3. Toán tử tọa độ trong biểu diễn xung lượng…………………………………………… 7
1.3. Biểu diễn giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận ………………….…8
1.4. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian, phương trình Heisenberg viết dưới dạng
ma trận…………………………………………………………………………………………9
Chương 2. NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA NGUYÊN TỬ HIDRÔ……………13

2.1. Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm ………………………………………13
2.1.1. Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ điển …………13
2.1.2. Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học lượng tử……….14
2.1.3. Hamiltonian lượng tử của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm …………… 16
2.2. Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô ……………………………………16
2.2.1. Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô… ……………………………….16
2.2.2. Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô ………………………………………17
2.2.3. Kết luận ……………………………………………………………………………… 22
Chương 3. LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN ………………………………………………… 24
3.1. Bài toán nhiễu loạn dừng ……………………………………………………………… 24
3.2. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến…………………………………………………26
3.2.1. Trong gần đúng bậc 0 (không có nhiễu loạn)………………………………………….27
3.2.2. Trong gần đúng bậc một……………………………………………………………….28
3.2.3. Trong gần đúng bậc hai… …………………………………………………………….29
3.3. Lí thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến……………………………………………………31
Chương 4. HIỆU ỨNG ZEEMANN VÀ NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ HIDRO TRONG
TỪ TRƯỜNG……………………………………………………………………………… 35
4.1. Hiệu ứng Zeeman ……………………………………………………………………… 35
4.2. Năng lượng của nguyên tử Hidro trong từ trường ……………………………………36
4.3. Ứng dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann …………………….37
4.3.1. Trị riêng của toán tử năng lượng của nguyên tử Hidro đặt trong từ trường ngoài ……37
4.3.2. Tìm hàm sóng tương ứng với năng lượng bị tách ra khi đặt trong từ trường ngoài … 46
Phần III: KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………………… 49
1. Kết quả đạt được………………………………………………………………………… 49
2. Nhận xét – kiến nghị………………………………………………………………………49
2.1. Nhận xét………………………………………………………………………………….49
2.2. Kiến nghị…………………………………………………………………………………50
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………….51

TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
˜&™

Tên đề tài: “Ứng dụng thuyết nhiễu loạn trong hiệu ứng Zeemann”.
Khi nghiên cứu đề tài, tôi đã nghiên cứu các nội dung sau:
Chương 1. Sơ lược về lí thuyết biểu diễn.
¨ 1.1. Biểu diễn các trạng thái lượng tử.
ù 1.1.1. Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”).
ù 1.1.2. Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”).
ù 1.1.3. Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng.
¨ 1.2. Dạng toán tử trong các biểu diễn.
ù 1.2.1. Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng.
ù 1.2.2. Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng.
ù 1.2.3. Toán tử tọa độ trong biểu diễn xung lượng.
¨ 1.3. Biểu diễn giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận.
¨ 1.4. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian, phương trình Heisenberg
viết dưới dạng ma trận.
Chương 2. Năng lượng và hàm sóng cửa nguyên tử Hidrô.
¨ 2.1. Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm.
ù 2.1.1. Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ
điển.
ù 2.1.2. Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học lượng
tử.
ù 2.1.3. Hamiltonian lượng tử của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm.
¨ 2.2. Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô.
ù 2.2.1. Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô.
ù 2.2.2. Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô.
Chương 3. Lí thuyết nhiễu loạn.
¨ 3.1. Bài toán nhiễu loạn dừng.

¨ 3.2. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến.
ù 3.2.1. Trong gần đúng bậc 0 (không có nhiễu loạn).
ù 3.2.2. Trong gần đúng bậc một.
ù 3.2.3. Trong gần đúng bậc hai.
¨ 3.3. Lí thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến.
Chương 4. Hiệu ứng zeemann và năng lượng nguyên tử Hidro trong từ trường.
¨ 4.1. Hiệu ứng Zeeman.
¨ 4.2. Năng lượng của nguyên tử Hidro trong từ trường.

¨ 4.3. Ứng dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann.
ù 4.3.1. Trị riêng của toán tử năng lượng của nguyên tử Hidro đặt trong từ trường
ngoài.
ù 4.3.2. Tìm hàm sóng tương ứng với năng lượng bị tách ra khi đặt trong từ trường
ngoài.

Phần I:
MỞ ĐẦU
Chương 1. Lí do chọn đề tài
Từ khi đặt nền mống cho khoa học, các nhà Vật Lí học đã đưa ra một hệ thống lý
thuyết dựa trên nền tảng vững chắc của cơ học Newton và lý thuyết điện từ của Maxwell.
Vật Lí học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm. Nó là hệ thống lý thuyết hoàn
chỉnh và chặt chẽ. Nhưng đến thế kỉ XIX, vật lí học cổ điển không thể giải thích các hiện
tượng vật lí như: bức xạ của vật đen tuyệt đối, sự tách vạch quang phổ của nguyên tử
Hidro trong từ trường ngoài….
Sự ra đời của cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở đầu tiên giúp con người tìm
hiểu và chinh phục thế giới vi mô. Ngày nay, một trong những đối tượng nghiên cứu
quan trọng của vật lí hiện đại là thế giới vi mô. Chính vì vậy, môn cơ học lượng tử đã trở
thành một học phần quan trọng không thể thiếu đối với sinh viên chuyên ngành vật lí.
Trong thời gian học môn này có một vấn đề đã thật sự thu hút tôi. Đó là khi đặt
nguyên tử Hidro trong từ trường ngoài thì mức năng lượng của nó bị tách thành nhiều

mức khác nhau và gây ra sự tách vạch quang phổ. Hiện tượng đó được gọi là “hiệu ứng
Zeemann”. Vấn đề này có đề cập đến trong chương trình học, nhưng chưa đáp ứng những
vấn đề mà tôi cần biết như: mức năng lượng và hàm sóng của nó được tính cụ thể như thế
nào? Để giải quyết vấn đề trên, tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài: “ứng dụng
thuyết nhiễu loạn trong hiệu ứng Zeemann”.
Chương 2. Các giả thuyết của đề tài
v Nắm vững lí thuyết nhiễu loạn
v Hiểu lí thuyết biểu diễn.
v Vận dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann.
Chương 3. Phương pháp nghiên cứu
Đây là một đề tài thuần túy về lí thuyết. Do đó phương pháp nghiên cứu chủ yếu là
phương pháp lí thuyết:
v Phương pháp toán học.
v Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết.
v Phương pháp gần đúng.
Chương 4. Các bước thực hiện đề tài
Nghiên cứu lí thuyết: lí thuyết nhiễu loạn và lí thuyết biểu diễn.


Tìm hiểu về hiệu ứng Zeemann. Vận dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài
toán hiệu ứng Zeemann.
Tìm mức năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô khi đặt trong từ
trường.
Viết báo cáo.
Bảo vệ luận văn.



Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 1

Phần II:
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1.
SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT BIỂU DIỄN
1.1. Biểu diễn các trạng thái lượng tử
1.1.1. Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”)
Để biểu diễn trạng thái của hệ lượng tử, người ta sử dụng hàm ),( tr
a
r
Y .
Trong đó chỉ số a xác định trạng thái của hệ lượng tử ( trạng thái a). Dó đó, chỉ số a
được gọi là chỉ số trạng thái.
Việc mô tả trạng thái nhờ hàm sóng phụ thuộc tọa độ được gọi là hàm sóng trong
biểu diễn tọa độ hay “ r – biểu diễn”. Bình phương mođun hàm sóng trong biểu diễn tọa
độ bằng mật độ xác xuất tìm thấy hạt ở tọa độ đang xét. Đầu tiên ta nghiên cứu trạng thái
ở một thời điểm nhất định nên trong biểu diễn hàm sóng ta không cần viết phần phụ
thuộc vào thời gian mà chỉ cần viết phần phụ thuộc tọa độ )(r
a
r
Y mà thôi.
Nếu toán tử
L
ˆ
biểu diễn biến số động lực L thì các hàm riêng của nó lập thành một
hệ đầy đủ:
å
=Y
n
nna

rUCr )()(
r
r

Với
n
C : hệ số phân tích
)(rU
n
r
: hàm riêng của toán tử
L
ˆ
.
Các hàm riêng này là đã biết, do đó nếu ta biết được tất cả các hệ số
n
C thì hàm
sóng )(r
a
r
Y hoàn toàn xác định. Nghĩa là tập hợp các hệ số của
n
C hoàn toàn có thể thay
thế cho )(r
a
r
Y để mô tả trạng thái của hệ. Ta nói rằng tập hợp các hệ số
n
C là hàm sóng
của hệ ở trạng thái a trong “L – biểu diễn”.

Như vậy, để mô tả trạng thái của hệ lượng tử ta có thể mô tả bằng hàm sóng trong
biểu diễn tọa dộ hay trong các biểu diễn khác.
Sau đây ta sẽ xét hàm sóng trong biểu diễn xung lượng và biểu diễn năng lượng.

1.1.2. Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”)
Để đơn giản, ta xét trạng thái của hạt chuyển động trong từ trường ngoài, năng
lượng của hạt là âm và do đó giá trị của năng lượng là gián đoạn.



Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 2

Nếu
n
E : là trị riêng của toán tử năng lượng.
)(rU
n
r
: là hàm riêng tương ứng trị riêng
n
E .
Thì theo tính chất của hệ hàm riêng ta có:
å
=Y
n
nna
rUCr )()(
r
r

Các hệ số phân tích
n
C là hàm sóng mô tả trạng thái a của hạt trong “E – biểu diễn”.
Do đó, ta kí hiệu: )(
nac
EC
j
= .
Bây giờ ta chuyển đổi hàm sóng trong “E - biểu diễn” sang “r – biểu diễn” và ngược
lại, đồng thời tìm điều kiện để chuẩn hóa hàm sóng trong “E – biểu diễn”.

1.1.2.1. Chuyển đổi hàm sóng trong “E - biểu diễn” sang “r – biểu diễn” và
ngược lại
Từ tính chất đầy đủ của hệ hàm riêng, ta có công thức chuyển đổi hàm sóng trong
“E - biểu diễn” sang “r – biểu diễn” là:
å
=Y
n
nnaa
rUEr )().()(
r
r
j
(1.1)
Và ngược lại, ta có thể chuyển đổi hàm sóng trong sau: “r – biểu diễn” sang “E -
biểu diễn” như
Nhân hai vế của (1.1) với )(
*
rU

m
r
rồi lấy tích phân hai vế ta được:
òò
å
=Y )()()()()()()(
**
rdrUrUErdrrU
nm
n
naam
r
r
r
r
r
r
j
(1.2)

ò
å
=Y
n
mnnaam
ErdrrU
dj
)()()()(
*
r

r
r

Với
nmkhi
nmkhi
mn
¹
=
=
0
1
d

(1.2) trở thành
ò
Y= )()()()(
*
rdrrUE
amma
r
r
r
j
(1.3)
(1.3)chính là dạng chuyển đổi hàm sóng trong : “r – biểu diễn” sang “E - biểu diễn”.

1.1.2.2. Điều kiện chuẩn hóa trong “E – biểu diễn”
Nếu hàm sóng trong biểu diễn tọa dộ được chuẩn hóa thì:
1)()()(

*
=
ò
rdrr
aa
r
r
r
yy
(1.4)

)()()(
***
rUEr
mm
m
aa
r
r
å
=Þ
jy


Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 3

Mà:
å
=Y

n
nnaa
rUEr )().()(
r
r
j

Thay vào (1.4) ta được:
å
å
ò
=
m n
nmnama
rdrUrUEE 1)()()()()(
**
r
r
r
jj

å
å
å
=Û
=Û
m
mama
m n
mnnama

EE
EE
1()(
1)()(
)
*
*
jj
djj

å
=Û
m
ma
E 1)(
2
j
(1.5)
Biểu thức (1.5) chính là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng trong “E – biểu diễn”.

1.1.3. Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng
Trị riêng của toán tử xung lượng có phổ liên tục nên hàm riêng ứng với trị riêng
P
r

của toán tử
P
ˆ
r
trong “ r – biểu diễn” được viết tắt là: )(r

P
r
r
Y và hàm được chuẩn hóa về
hàm delta. Tức là:
ò
¢
-
=YY
PPPP
rdrr
rrrr
r
r
r
d
)()()(
*

Tương tự như trong “ E – biểu diễn”, hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lượng tử
trong “ P – biểu diễn” cũng được viết là )(p
a
r
j

Do đó công thức chuyển đổi hàm sóng từ “P – biểu diễn” sang “ r – biểu diễn” như
sau:
pdrpr
P
aa

r
r
r
r
r
ò
Y=Y )()()(
j

Và từ công thức hệ số tích phân ta có công thức chuyển trạng thái từ “r – biểu
diễn” sang “P – biểu diễn” như sau:
ò
YY= )()()()(
*
rdrrp
a
P
a
r
r
r
r
r
j

Với:
),(
2
3
2

1
)(
rP
i
P
er
r
r
h
r
h
r
÷
ø
ö
ç
è
æ
=Y
p

1.2. Dạng toán tử trong các biểu diễn
Cho các toán tử tuyến tính
A
ˆ
tác dụng lên hàm )(r
a
r
Y (trạng thái a) sẽ cho
hàm )(r

b
r
Y (trạng thái b) như sau:
)()(
ˆ
rr
ba
r
r
Y=YA (1.6)
Xét phương trình (1.6) trong “ L – biểu diễn”.

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 4

Phân tích )(r
a
r
Y và )(r
b
r
Y theo hàm riêng )(rU
n
r
của toán tử
L
ˆ
.
å
å

=Y
=Y
n
nnbb
n
nnaa
rULr
rULr
)()()(
)()()(
rr
r
r
j
j

Trong đó )(L
a
Y , )(L
b
Y là hàm sóng mô tả trạng thái a và trạng thái b trong
“ L – biểu diễn”.
Thay vào (1.6) ta được:
å
å
=A
n n
nnbnna
rULrUL )()()()(
ˆ

r
r
jj
(1.7)
Nhân hai vế phương trình (1.7) với )(
*
rU
m
r
và lấy tích phân theo
r
r
ta được:
[
]
)()()()()()()(
ˆ
)(
**
rdrUrULLrdrUrU
nmn
n n
bnanm
r
r
r
r
r
r
å

ò
å
ò
=A
jj

Đặt
ò
A=A
)(
*
)()(
ˆ
)(
ˆ
r
nmmn
rdrUrU
r
r
r
r



å
å
=A
n n
nbmnnamn

LL )()(
jdj


å
=AÛ
n
mbnamn
LL )()(
jj
(1.8)
Phương trình (1.8) mô tả tác dụng của toán tử
A
ˆ
trong “ L – biểu diễn”.
Nếu ta kí hiệu:
)(
nan
La
j
= ; )(
mbm
Lb
j
=
(1.8)
å
=AÛ
n
mnmn

ba
Với m, n là chỉ số hàm riêng của toán tử
L
ˆ
. Nếu
L
ˆ
có k hàm riêng thì ta có:
å
=
=A
k
n
mnmn
ba
1
(m=1,2,3,….k)

Ta có hệ phương trình:

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
==A++A+A+A
==A++A+A+A
==A++A+A+A

)(

)2(
)1(
332211
22323222121
11313212111
kmbaaaa
mbaaaa
mbaaaa
kkkkkkk
kk
kk
(1.9)
Các hệ số
mn
A đặc trưng cho toán tử
A
ˆ
, được gọi là phần tử ma trận
A
ˆ
trong “L –
biểu diễn”. Như vậy, toán tử
A
ˆ
được biểu diễn bằng một ma trận vuông có số hàng bằng
số cột, bằng số hàm riêng hoặc trị riêng k của toán tử
L
ˆ

.

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 5

kkkk
k
k
AAA
AAA
AAA
=A=A




)(
ˆ
21
22221
11211

Hàm sóng )(
na
L
j
và )(
mb
L
j

trong “L – biểu diễn” được biểu diễn dưới dạng ma
trận k hàng, một cột.
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
==
k
nan
a
a
a
La

))(()(
2
1
j

ú
ú
ú

ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
==
k
mbm
b
b
b
Lb

))(()(
2
1
j

Ta thấy (1.9) là dạng khai triển của phương trình ma trận:

))(())()((
mbna
LL
jj
=A
Hay phương trình biến đổi hàm sóng có dạng:

)()(
ˆ
mbna
LL
jj
=A (1.10)
Với )(),(,
ˆ
mbna
LL
jj
A là các ma trận.
Bây giờ ta xét toán tử
A
ˆ
trong biểu diễn của chính nó.
Lúc này )(rU
n
r
là hệ hàm riêng của toán tử
A
ˆ
. Ta sẽ có:
)()()(
)()(
ˆ
)(
*
*
rdrUrU

rdrUrU
nmnmn
nmmn
rrr
r
r
r
ò
ò
A=A
A=A

nmkhi
nmkhi
n
mn
mnnmn
¹
=A
=AÞ
A=AÞ
0
d

Vậy, trong biểu diễn của chính mình, toán tử
A
ˆ
là một ma trận chéo (chỉ có các
phần tử trên đường chéo chính là khác 0). Các phần tử ma trận là trị riêng của toán tử.
Tức là:

k
A
A
A
=A=A
00

0 0
0 0
)(
ˆ
2
1

Sau đây ta nghiên cứu toán tử năng lượng trong biểu diễn của chính nó.

1.2.1. Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng
Lập luận tương tự như trên ta có:

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 6

ò
H=H )()(
ˆ
)(
*
rdrUrU
nmmn
r

r
r


mnnmn
E
d
=HÞ
Nghĩa là trong biểu diễn năng lượng, toán tử
H
ˆ
là một ma trận chéo, có các phần
tử trên đường chéo là trị riêng của năng lượng.

k
E
E
E
HH
000

0 0
0 0
)(
ˆ
2
1
==

Ta thấy rằng trong biểu diễn năng lượng, toán tử năng lượng chỉ là phép nhân với

năng lượng. Thật vậy:
Tương tự như (1.10) phương trình biến đổi hàm sóng cho ta:
)()(
ˆ
EE
ba
jj
=H (1.11)
Mặt khác, theo (1.8) ta có:

å
=H
n
mbnamn
EE )()(
jj
(1.12)
Trong
å
H
n
namn
E )(
j
tất cả các số hạng đều bằng 0 trừ số hạng có m=n.
(1.12)
)()(
)()()(
mbmam
mammammb

EEE
EEEE
jj
j
j
j
=Û
=
H
=
Û


Hay )()( EEE
ba
jj
= (1.13)
Từ (1.11) và (1.13) suy ra:
)()(
ˆ
EEE
aa
jj
=H
Nghĩa là
H
ˆ
chỉ là phép nhân với năng lượng.

1.2.2. Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng

Phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng
là:
)()(
ˆ
pp
ba
r
r
r
jj
=R
Mặt khác, mối liên hệ các hàm sóng trong biểu diễn xung lượng cho ta:
ò
¢
R=
¢
P
a
PP
b
pdpp
r
rr
r
r
r
)()(
jj

Trong đó:

Lun vn tt nghip Ngnh SP Vt Lớ Tin Hc K31
SVTH: Vừ Th Bộ Tho 7

ũ ũ
Â
-R=YYR=YRY=R
ÂÂÂ
r r
PPPPPP
pprdrrrdrr
r r
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
)()()()(

)(
**
d

ũ
Â
R
Â
=
Â
-R=
Â
ị
P
aab
ppdpppp
r
r
r
r
r
r
r
r
r
)()()()(
jdjj

Hay )()( pp
ab
r
r
r

jj
R=
T ú ta suy ra:
)()(

pp
aa
r
r
r
r
jj
R=R
Tc l trong biu din xung lng, toỏn t xung lng ch l phộp nhõn vi xung
lng m thụi. Ta lu ý rng toỏn t xung lng cú ph liờn tc nờn nú l mt ma tn
chộo liờn tc trong biu din xung lng.

1.2.3. Toỏn t ta trong biu din xung lng
Xột ht chuyn ng trờn trc ox. Trong p
x
biu din phng trỡnh bin i hm
súng ca toỏn t ta x

.
l:

)()(

xbxa
ppx

jj
= (1.14)
Mi liờn h hm súng cho ta:
ũ
Â
C=
Â
X
xx
P
xxaPPxb
dppp )()(
jj

Vi
ũ
YY=C
ÂÂ
dxxxx
x
xxx
P
PPP
)(

)(
*


Trong biu din ta :

)()(

xxxx
xX
PP
Y=Y
M ta cú:

h
h
xip
P
x
X
ex
p
2
1
)( =Y


ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
ả

ả
-=Y
h
h
h
xiP
x
P
X
X
e
p
ixx
p
2
1
)(

)(x
p
i
X
P
x
Y
ả
ả
-= h
ũ ũ
YY

ả
ả
-=
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
Y
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
ả
ả
-Y=Cị
ÂÂÂ
)( )(
**
)()()()(
x x
P
P
x
P

x
PPP
dxxx
p
idxx
p
ix
X
X
X
XXX
hh


Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 8

)(
¢
-
¶
¶
-=
xx
x
pp
p
i
d
h

Đưa vào biểu thức )(
¢
xb
p
j
ta được:
ò
-
¶
¶
-=
X
P
xxx
x
xaxb
dppp
p
ipp )())(()(
''
djj
h

[
]
ò
=
X
P
xxxa

ppdpi )()(
'
dj
h

ò
-
¶
¶
=
xxx
x
xa
Pxxxaxb
dppp
p
p
ipppip
X
)(
)(
)()()()(
'''
d
j
djj
hh
Chú ý rằng tích phân lấy theo p
x
và trong miền biến thiên của p

x
có chứa giá
trị
'
x
p .
Như vậy thì số hạng đầu của vế phải bằng không (theo tính chất hàm delta).
)()(
'
'
'
xa
x
xb
p
p
ip
jj
¶
¶
=Þ h
Hay )()(
xa
x
xb
p
p
ip
jj
¶

¶
= h
So sánh với (1.14) ta được:
x
p
ix
¶
¶
= h
ˆ

Tương tự các toán tử tọa độ khác ta có:
z
y
x
p
iz
p
iy
p
ix
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=

h
h
h
ˆ
ˆ
ˆ

Từ đó ta dễ dàng suy ra:
P
ir
r
r
h
r
Ñ=
ˆ
.
1.3. Biểu diễn giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận
Giá trị trung bình
L
của toán tử
L
ˆ
ở trạng thái a biểu diễn bởi hàm sóng
Y
có
dạng.
Nếu xét hàm sóng đã chuẩn hóa thì:
ò
YY=

)(
*
)()(
ˆ
)(
r
aa
rdrLrL
r
r
r
r
(1.15)
Trong “M – biểu diễn” )(r
a
r
Y có thể viết dưới dạng:

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 9

å
=Y
m
mma
rUCr )()(
r
r

Thay vào (1.15) ta được:

ò
å
å
=
n m
mmnn
rdrUCLrUCL )()(
ˆ
)(
*
*
r
r
r


åå
å
å
ò
=
=
n m
nmmn
n m
mnmn
LCC
rdrULUCC
*

***
)()(
ˆ
r
r
(1.16)
Vậy (1.16) có thể viết dưới dạng ma trận:
))()((
*
aa
LL
jj
=
Trong đó (L), )(
*
a
j
, )(
a
j
là những ma trận biểu diễn toán tử và các hàm sóng trong
“M – biểu diễn”. Chúng có dạng:
kkkk
k
k
LLL
LLL
LLL
L

)(
21
22221
11211
=
Với các phần tử được tính:
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
==
=
ò
)(

)(
)(

))(()(
)()(
ˆ
)(
2
1
)(
*
ka
a
a
aa
r
jiij
M
M
M
M
rdrULrUL
j
j
j
jj
r
r
r
r

Và ))( )()(())(()(
*

2
*
1
***
kaaaaa
MMMM
jjjjj
== .

1.4. Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian, phương trình Heisenberg
viết dưới dạng ma trận.
Trong các phần trước, ta xét sự biến đổi trạng thái theo tọa độ, tức là sự phụ thuộc
của hàm sóng theo tọa độ. Bây giờ ta xét sự biến đổi hàm sóng theo thời gian.
Ta phân tích hàm sóng ),( tr
r
Y
theo các giá trị của )(rU
n
r
.

å
=Y
n
nn
rUtCtr )()(),(
r
r
(1.17)
Trong đó: )(rU

n
r
là phần phụ thuộc vào tọa độ.
Sự phụ thuộc vào thời gian thể hiện )(tC
n
, phương trình Schrodinger có dạng:


Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 10

),(),(
ˆ
tr
t
itr
n
r
h
r
Y
¶
¶
=YH
Thay vào (1.17) ta có:
å
¶
¶
=YH
n

nnn
rUtC
t
itr )()(),(
ˆ
r
h
r

Nhân hai vế với )(
*
r
m
r
Y và lấy tích phân theo r:
å
ò
å
ò
¶
¶
=H
n n
nmnnmn
rdrUrUtC
t
ixdrUrUtC )()()()()()(
ˆ
)()(
**

r
r
r
h
r
r

å
¶
¶
=H
n
mnmn
tC
t
itC )()( h
Với m=1,2…
Hay
å
=H
n
mnmn
tC
dt
d
itC )()( h (1.18)
(vì C
m
chỉ phụ thuộc thời gian)
Nếu U

n
(r) là các hệ hàm riêng của toán tử năng lượng thì (1.18) trở thành:
dt
tdC
itCE
m
mm
)(
)( h=

)0(ln)(ln
)(
)(
m
m
m
m
m
m
C
tiE
tC
dt
iE
tC
tdC
+-=Û
-=Û
h
h

h
tiE
mm
m
eCtC
-
=Û ).0()( (1.19)
Vậy ở trạng thái dừng hàm sóng phụ thuộc thời gian có dạng (1.19)
Bây giờ ta sẽ tìm phương trình Heisenberg viết dưới dạng ma trận.
Lấy đạo hàm của )(L theo công thức (1.16) theo thời gian:
åå åå åå
++
¶
¶
=
n m n m n m
m
nmnmnm
n
m
nm
n
dt
dC
LCCL
dt
dC
C

t
L
C
dt
Ld
*
*
*
(1.20)
Theo (1.18):
å
å
-=H
=H
l
n
lnl
l
m
lml
dt
dC
iC
dt
dC
iC
*
**
h
h

Vì
H
ˆ
là toàn tử liên hợp, nên
ln
*
H=H
nl

Nên:


Lun vn tt nghip Ngnh SP Vt Lớ Tin Hc K31
SVTH: Vừ Th Bộ Tho 11

ồ
-=H
l
n
l
dt
dC
iC
*
*
ln
h
Thay cỏc giỏ tr vo (1.20):
S hng 2:

ồồ ồồồ
H-=
n m n m l
mnmlmnm
n
CLC
i
CL
dt
dC
ln
*
*
1
h

S hng 3:
ồồ ồồồ
H=
n m n m l
lnmmln
m
nmn
CLC
idt
dC
LC
**
1
h

Hoỏn v 2 ch s l v n trong s hng th 2, ta c:
ồồ ồồồ
H-=
n m n m l
mlmnllmnm
n
CLC
i
CL
dt
dC
*
*
1
h

Hoỏn v 2 ch s l v m trong s hng th 3, ta c:
ồồ ồồồ
H=
n m n m l
mnllmn
m
nmn
CLC
idt
dC
LC
**
1

h


ồồồồồ ồồồ
H+H-
ả
ả
=ị
n m l
mlmnln
n m n m l
mlmnlnm
nm
n
CLC
i
CLC
i
C
t
L
C
dt
Ld
***
11
h
h

ồồ ồ
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
H-H+
ả
ả
=
n m
m
l
lmnllmnl
nm
n
CLL
it
L
C
dt
Ld
)(
1
*
h


m

nm
n m l
n
CLL
it
L
C
ồồ ồ
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
H-H+
ả
ả
= ))
1
*
h

Trong ú L v H l nhng ma trn biu din cỏc toỏn t
L

v
H

.
Theo cụng thc tr trung bỡnh:

YY=
dt
Ld
dt
Ld
*

Vy ta cú phng trỡnh ma trn:
nm
nm
LL
idt
dL
dt
Ld
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
H-H+=
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ

(
1
h
(1.21a)
Hay
nm
nm
nm
LL
idt
dL
dt
Ld
)(
1
H-H+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
=
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố

ổ
h
(1.21b)
(1.21a) v (1.21b) chớnh l phng trỡnh Heisenberg vit di dng ma trn.



Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 12

Lý thuyết biểu diễn mà chúng ta vừa sơ lược ở phần trên là một trong những phần
quan trọng của cơ học lượng tử. Nó là nền tảng để nghiên cứu những lý thuyết khác, một
trong số đó là lý thuyết nhiễu loạn. Ta sẽ nghiên cứu một phần lý thuyết đó ở phần sau.

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 13

Chương 2.
NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA NGUYÊN TỬ HIDRÔ
2.1. Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm
Do toán tử
H
ˆ
và
2
ˆ
L

giao hoán với nhau trong trường thế xuyên tâm, nên bài toán
thế xuyên tâm trở thành bài toán tìm các trạng thái riêng đồng thời của cả Hamiltonian và
các toán tử momen xung lượng quỹ đạo.
Rất nhiều bài toán xuyên tâm lượng tử trong thực tế cũng là các bài toán hệ hai hạt.
Nhưng ta mới chỉ biết cách giải chính xác phương trình Schrodinger đối với hệ một hạt.
Do vậy, ta phải tìm cách biến đổi bài toán hai hạt về bài toán một hạt.
2.1.1. Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ
điển
Hamiltonian đối với chuyển động ba chiều trong trường thế xuyên tâm hai hạt có
dạng:
( )
21
2
2
2
1
2
1
22
rrV
mm
r
r
r
r
-+
R
+
R
=H

Để nghiên cứu chuyển động của hai hạt này, ta thay tọa độ
21
,rr
r
r
bởi tọa độ khối
tâm G.
21
211

mm
rmrm
r
G
+
+
=
r
r
r
(2.1)
Và tọa độ tương đối:
21
rrr
r
r
r
-= (2.2)
Chuyển động của hệ một hạt (m
1

,m
2
) được nghiên cứu bởi chuyển động của khối
tâm có khối lượng bằng khối lượng toàn phần của hệ M=(m
1
+m
2
) và chuyển động tương
đối của hạt có khối lượng
0
e
bằng khối lượng rút gọn của hệ:
21
21
0
.
mm
mm
+
=
e

Trong thế xuyên tâm:
(
)
21
)( rrVrV
r
r
-=

Từ (2.1) và (2.2) suy ra:



Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 14

21
1
2
21
2
1
.
mm
m
rr
r
mm
m
rr
G
G
+
-=
+
+=
rr
r
r

r

Do đó xung lượng toàn phần của hệ
G
R
r
được xác định bởi:
212211
R+R=+==R
r
r
r
r
r
r
rmrmrM
GG
(2.3)
Và xung lượng tương đối
R
r
của hai hạt:
21
2112
.
mm
pmpm
r
+
-

==R
r
r
r
&
r
m

Hay:
2
2
1
1
mm
R
-
R
=
R
r
r
r
m
(2.4)
Sử dụng các biến mới này, Hamiltonian được viết lại dưới dạng:
)(
22
0
2
2

rV
M
G
r
r
r
+
R
+
R
=H
e
m
(2.5)
Đó là Hamiltonian của hai hạt chuyển động độc lập.
2.1.2. Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học
lượng tử
Trong cơ học lượng tử, chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của hệ
hai hạt được xác định bởi toán tử tọa độ khối tâm
G
R
ˆ
r
và toán tử tọa độ tương đối
R
ˆ
r
có
dạng tương ứng (2.1) và (2.2):
21

21
211
ˆ

ˆ
rrR
mm
rmrm
R
G
rr
r
r
r
-=
+
+
=

Các toán tử tọa độ
1
ˆ
r
r
,
1
ˆ
R
r
,

2
ˆ
R
r
,
2
ˆ
r
r
mô tả vị trí và xung lượng của hệ hai hạt thỏa mãn
các hệ thức giao hoán:
[
]
h
i
x
=RC
11
ˆ
,
ˆ
;
[
]
h
i
x
=RC
22
ˆ

,
ˆ


Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 15

Tương tự đối với các thành phần khác của )
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
(
1111
zyxr
r
và )
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
1111 zyx
pppp v.v…
Các toán tử xung lượng toàn phần
G
R

r
và xung lượng tương đối
R
r
có dạng tương tự
(2.3) , (2.4):
21
2112
21
.
mm
pmpm
G
+
-
=R
R+R=R
rr
r
r
r
r
(2.6)
Từ (2.6) toán tử Hamiltonian có dạng:
( )
rV
P
M
P
G

r
v
r
++=H
0
2
2
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
e
(2.7)
Hamiltonian
H
ˆ
của hệ hai hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm xem như
bằng tổng hai số hạng:
rG
H+H=H
ˆˆˆ
(2.8)
Trong đó:
M
p
G
G
2
ˆ

ˆ
2
r
=H ;
(
)
rV
p
r
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
r
r
+=H
m

Dễ thấy
[
]
0
ˆ
,
ˆ
=HH
rG
, do đó
G

H
ˆ
và
r
H
ˆ
giao hoán với
H
ˆ
. Điều đó chứng tỏ các toán
tử
H
ˆ
,
G
H
ˆ
và
r
H
ˆ
có chung hàm riêng )(r
r
Y
.
Lúc này phương trình trị riêng: )()(
ˆ
rEr
r
r

Y=YH được tách thành hai phương trình trị
riêng của
G
H
ˆ
và
r
H
ˆ
.
)()(
ˆ
)()(
ˆ
rEr
rEr
rr
GG
rr
r
r
Y=YH
Y=YH
(2.9)
Từ đó suy ra năng lượng của hệ hai hạt nói trên bằng tổng năng lượng của chuyển
động khối tâm và năng lượng của chuyển động tương đối:
rG
EEE += (2.10)