LUẬN văn sư PHẠM vật lý hàm cầu và ỨNG DỤNG TRONG vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ



Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC

HÀM CẦU VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Hàm cầu &
ứng dụng

Giảng viên hướng dẫn:
ThS. TRẦN MINH QUÝ

Sinh viên thực hiện:
HUỲNH THỊ BÉ LÀNH
MSSV: 1087041
Lớp: Sư phạm Vật Lý – Tin Học K34

Cần Thơ, 5/2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành c ảm ơn Thầy Trần Minh Quý, Thầy đã tận
tình hướng dẫn, quan tâm, động viên, giúp tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô giảng dạy tôi trong suốt
thời gian qua, đã cung cấp những kiến thức quý báu làm nền tảng để

tôi có thể thực hiện được đề tài của mình.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh chị, bạn bè đã luôn
bên cạnh ủng hộ, chia sẻ, giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, tôi rất mong nhận
được nhiều ý kiến đóng góp c ủa Quí Thầy Cô và độc giả để giúp
luận văn hoàn thiện hơn.

Trân trọng cảm ơn!

Cần Thơ, tháng 5 năm 2012
Huỳnh Thị Bé Lành


MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU....................................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................................... 2
3. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................................ 2
5. Các bước thực hiện đề tài ....................................................................................................... 2
B. NỘI DUNG ................................................................................................................................... 3
Chương 1: HÀM CẦU .................................................................................................................... 3
1.1. Hệ tọa độ cầu ........................................................................................................................ 3
1.2. Đa thức Legendre ................................................................................................................. 4
1.2.1. Đa thức Legendre ........................................................................................................... 4
1.2.2. Tính chất trực giao của đa thức legendre .................................................................. 10
1.2.3. Hàm sinh của đa thức Legendre ................................................................................. 13
1.3. Đa thức Legendre liên kết ................................................................................................. 15
1.3.1. Đa thức Legendre liên kết ........................................................................................... 15

1.3.2. Tính chất trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết........................... 17
1.4. Hàm cầu ............................................................................................................................... 19
1.4.1. Đa thức điều hòa .......................................................................................................... 19
1.4.2. Thiết lập hàm cầu ......................................................................................................... 21
1.4.2.1. Phương trình xác định hàm cầu ........................................................................... 21
1.4.2.2. Hàm cầu .................................................................................................................. 23
1.4.3. Các dạng hàm cầu ........................................................................................................ 26
1.4.4. Tính trực giao của hàm cầu......................................................................................... 27
1.4.5. Định lý cộng hàm cầu.................................................................................................. 31
1.4.6. Tính chẵn lẻ của hàm cầu............................................................................................ 33
1.4.7. Dao động riêng của hình cầu ...................................................................................... 35


1.4.8. Tính đối xứng của hàm cầu......................................................................................... 37
1.4.9. Nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng có chứa hàm cầu ...................... 38
1.4.9.1. Phương trình Laplace ............................................................................................ 38
1.4.9.2. Phương trình sóng Helmholtz .............................................................................. 38
1.4.9.3. Phương trình........................................................................................................... 39
1.4.10. Hàm cầu trong cơ học lượng tử................................................................................ 40
1.4.10.1. Toán tử mômen động lượng ............................................................................... 40
1.4.10.2.Hàm riêng và trị riêng của toán tử 𝐿2 ,𝐿 𝑧 ........................................................... 40
1.4.11. Hàm cầu suy rộng ...................................................................................................... 42
1.4.12. Sóng cầu ...................................................................................................................... 48
1.4.12.1. Hàm sóng hạt tự do trong hệ tọa độ cầu ........................................................... 48
1.4.12.2. Khai triển sóng phẳng theo sóng cầu ................................................................ 51
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA HÀM CẦU TRONG VẬT LÝ ........................................... 53
2.1. Bài toán Điriclê đối với hình cầu ..................................................................................... 53
2.1.1. Bài toán Điriclê trong đối với hình cầu ..................................................................... 53
2.1.2. Bài toán Điriclê ngoài đối với hình cầu .................................................................... 53
2.2. Bài toán Nôiman đối với hình cầu ................................................................................... 54

2.2.1. Bài toán Nôiman trong đối với hình cầu ................................................................... 54
2.2.2. Bài toán Nôiman ngoài đối với hình cầu .................................................................. 55
2.3. Truyền nhiệt trong tọa độ cầu ........................................................................................... 56
2.4. Bài toán biên sử dụng hàm cầu......................................................................................... 58
2.5. Giải phương trình sóng trong tọa độ cầu......................................................................... 61
2.6. Ứng dụng của hàm cầu trong cơ học lượng tử ............................................................... 64
2.6.1. Chuyển động trong trường đối xứng tâm.................................................................. 64
2.6.1.1. Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong trường xuyên tâm ..... 64
2.6.1.2. Chuyển động tự do của hạt có mômen xung lượng xác định ........................... 67
2.6.2. Chuyển động trong trường Coulomb......................................................................... 68
2.6.2.1. Phương trình Schrodinger cho nguyên tử Hydro và các ion đồng dạng nguyên
tử Hydro ................................................................................................................. 69
2.6.2.2. Rotato ...................................................................................................................... 73


C. KẾT LUẬN ................................................................................................................................ 75
PHỤ LỤC ......................................................................................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................................. 83


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lý học là ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu cấu trúc và quy luật vận động của thế
giới vật chất. Vật lý được xem là ngành khoa học cơ bản vì các định luật vật lý chi phối tất
cả các ngành khoa học tự nhiên khác.
"Một nhà Vật lý đôi khi cần biết toán nhiều hơn là biết lý”. Đây là câu nói nổi tiếng của

nhà Vật lý lý thuyết người Liên Xô cũ – Landau. Quả thực vậy, Vật lý có mối quan hệ mật
thiết với toán học. Vật lý sử dụng những công cụ toán học có sẵn, đồng thời đặt ra những
yêu cầu mới đối với toán học. Nhiều hiện tượng vật lý khác nhau thường có thể quy về
việc giải các hệ phương trình vi phân riêng phần giống nhau, khiến cho công cụ toán học là
cầu nối liên hệ và tổng quát hoá nhiều hiện tượng tự nhiên, đây thực sự là một công cụ đắt
lực phục vụ cho việc nghiên cứu Vật lý học.
Các lý thuyết vật lý là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học, và sự
xuất hiện của toán học trong các thuyết vật lý cũng thường phức tạp hơn trong các ngành
khoa học khác. Sự khác biệt giữa vật lý và toán học là ở chỗ: vật lý luôn gắn liền với thế
giới tự nhiên, trong khi toán học lại biểu diễn các mô hình trừu tượng độc lập với thế giới
tự nhiên. Tuy vậy, sự khác biệt không phải lúc nào cũng rõ ràng. Thực tế có một ngành
nghiên cứu thuộc lĩnh vực trung gian giữa toán học và vật lý, đó là Toán cho Vật lý –
ngành học phát triển các cấu trúc toán học để phục vụ cho các lý thuyết vật lý.
Một trong những nội dung của Toán cho Vật lý là phương trình đạo hàm riêng, đây là
một công cụ toán học quan trọng giúp nghiên cứu hiệu quả Vật lý lý thuyết. Trong quá
trình tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình Laplace sẽ
xuất hiện các dạng hàm đặc biệt như: Hàm Bessel, hàm Legendre, hàm cầu…
“Hàm cầu” là thuật ngữ được William Thomson và Peter Guthrie Tait sử dụng lần đầu
tiên trong tác phẩm “Treatise on Natural Philosophy” năm 1867, hàm cầu đóng vai trò là
nghiệm của phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu. Hàm cầu đóng vai trò quan trọng
trong nghiên cứu các bài toán Cơ học lượng tử, các bài toán liên quan đến đối xứng cầu.
Trang 1


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Với mong muốn tìm hiểu một các sâu sắc và có hệ thống về hàm cầu cùng với những
ứng dụng của nó trong vật lý, tôi chọn đề tài: “HÀM CẦU VÀ ỨNG DỤNG TRONG

VẬT LÝ”. Tôi hi vọng rằng đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích và giúp cho việc
nghiên cứu chuyên ngành Vật lý lý thuyết được thuận lợi hơn.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Thiết lập hàm cầu.
- Tìm hiểu những đặc điểm, tính chất của hàm cầu.
- Những ứng dụng của hàm cầu trong vật lý.

3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu một số tính chất cơ bản của hàm cầu và một số ứng dụng của nó trong Cơ
học lượng tử, giải các bài toán có liên quan đến đối xứng cầu.

4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa những
kiến thức có liên quan đến đề tài.

5. CÁC BƢỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài.
- Tìm tài liệu có liên quan.
- Lập đề cương chi tiết.
- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
- Chỉnh sửa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo.
Trang 2


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

B. NỘI DUNG

CHƢƠNG I: HÀM CẦU
1.1. HỆ TỌA ĐỘ CẦU

Trong hệ tọa độ cầu, vị trí của điểm M bất kì được xác định bởi ba tọa 𝑟, 𝜃, 𝜑. Trong
đó, r là độ dài của vectơ bán kính, 𝜃 là góc giữa trục Oz và r, còn 𝜑 là góc giữa trục Ox và
hình chiếu của r trên mặt phẳng xOy. Giữa các trục Descartes và các tọa độ cầu có mối liên
hệ sau:

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃
0 ≤ 𝑟 ≤ ∞;0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋;0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
Ngược lại, ta có:
𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧2
𝑧
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos
𝑟
𝑦
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥
Ta có thể biểu diễn các toán tử vi phân hạng hai trong hệ tọa độ cầu. Đối với toán tử
Laplace, ta áp dụng phối hợp các biểu thức của grad𝜑 và div𝐴.
𝑟=

Trang 3


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Ta có:
div𝐴 =

1

𝜕 𝐴1 𝑕2 𝑕3

𝑕1 𝑕2 𝑕3

𝜕𝑞1

𝑒1 𝜕𝜓

grad𝜓 =
∆𝜓 = divgrad𝜓 =

𝑕1 𝜕𝑞1
1

+

𝑒2 𝜕𝜓

+

𝑕2 𝜕𝑞2

𝜕

+

𝜕 𝐴2 𝑕3 𝑕1
𝜕𝑞2

𝜕 𝐴3 𝑕1 𝑕2
𝜕𝑞3

𝑒3 𝜕𝜓
𝑕3 𝜕𝑞3

𝑕2 𝑕3 𝜕𝜓

𝑕1 𝑕2 𝑕3 𝜕𝑞1

+

+

𝑕1 𝜕𝑞1

𝜕

𝑕3 𝑕1 𝜕𝜓

𝜕𝑞2

𝑕2 𝜕𝑞2

+

𝜕
𝜕𝑞3

𝑕1 𝑕2 𝜕𝜓
𝑕3 𝜕𝑞3

Trong hệ tọa độ cầu:
𝜕𝑥

∎ 𝑕1 = 𝑕𝑟 =

2

+

𝜕𝑟
𝜕𝑥

∎ 𝑕2 = 𝑕𝜃 =

+

𝜕𝑟

2

2

𝜕𝑦

+

𝜕𝜃

2

𝜕𝑦

+

𝜕𝜃

2

𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑧

=

sin2 𝜃cos 2 𝜑 + sin2 𝜃sin2 𝜑 + cos 2 𝜃 = 1

=

𝑟2 cos 2 𝜃cos 2 𝜑 + 𝑟2 cos 2 𝜃sin2 𝜑 + 𝑟2 sin2 𝜃

2

𝜕𝜃

=𝑟
∎ 𝑕3 = 𝑕𝜑 =

𝜕𝑥
𝜕𝜑

⇒ ∆𝜓 =

2

𝜕𝑦

+

2

+

𝜕𝜑

1 𝜕

2

𝑟

𝑟 2 𝜕𝑟

𝜕𝑧

𝜕𝜓
𝜕𝑟

𝜕𝜑
+

2

=

𝑟2 sin2 𝜃sin2 𝜑 + 𝑟2 sin2 𝜃cos 2 𝜑 = 𝑟 sin 𝜃

1

𝜕

𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕𝜓
𝜕𝜃

+

1

𝜕2 𝜓

𝑟2 sin2 𝜃 𝜕𝜑2

Vậy:
∆=

Với ∆𝜃 ,𝜑

1 𝜕

𝑟2

𝜕

1

∆
𝑟2 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 2 𝜃 ,𝜑
là phần phụ thuộc vào các biến số góc của toán tử Laplace:
∆𝜃 ,𝜑 =

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

+

sin 𝜃

𝜕𝜓
𝜕𝜃

+

1

𝜕2 𝜓

sin2 𝜃 𝜕𝜑 2

(1.1)

(1.2)

1.2. ĐA THỨC LEGENDRE
1.2.1. Đa thức legendre

Xét phương trình Laplace: ∆𝑢 = 0
Giải bài toán trong tọa độ cầu với: 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑, 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃,
khi đó toán tử Laplace có dạng:
Trang 4


Luận văn tốt nghiệp

𝜕

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

𝜕𝑢

𝑟2

1

𝜕

𝑢=

2

sin 𝜃

𝜕𝑢

𝜕2 𝑢

1

=0
1.3
𝜕𝑟
𝜕𝑟
sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
sin2 𝜃 𝜕𝜑 2
Dùng phương pháp tách biến để nghiên cứu nghiệm của phương trình này đối với

quả cầu.
Một nghiệm bất kì của phương trình này là: 𝑢 = 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 phải là hàm tuần hoàn 𝜑
có chu kì 2𝜋 ∶ 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 + 2𝜋 = 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 . Phân tích nghiệm này thành chuổi Fuariê ta
có:
1

+

+

∞

𝛼0 𝑟, 𝜃 +

𝛼𝑚 𝑟, 𝜃 cos 𝑚𝜑 + 𝛽𝑚 𝑟, 𝜃 sin 𝑚𝜑
𝑚 =1

Thay vào phương trình (1.3) ta tìm được:
∎

∎

∎

∎

⇒

1 𝜕
2 𝜕𝑟

𝑟

sin 𝜃

−

2

𝜕𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜑

=

=

𝜕𝜑2

2 𝜕𝑟
1 𝜕𝛼0
2 𝜕𝜃
1 𝜕𝛼0
2 𝜕𝜑

∞

+

𝜕𝛼𝑚
𝜕𝑟

𝑚=1
∞

+

𝜕𝛼𝑚

+

cos 𝑚𝜑 +

𝜕𝜃

𝑚=1
∞

cos 𝑚𝜑 +

𝜕𝛼𝑚

cos 𝑚𝜑 +

𝜕𝜑

𝑚 =1

𝜕𝛽𝑚

𝜕𝑟
𝜕𝛽𝑚
𝜕𝜃
𝜕𝛽𝑚
𝜕𝜑

sin 𝑚𝜑

sin 𝑚𝜑

sin 𝑚𝜑

∞

−𝑚2 𝛼𝑚 cos 𝑚𝜑 − 𝑚2 𝛽𝑚 sin 𝑚𝜑

=
𝑚=1

+

−

1 𝜕𝛼0

=

𝜕2 𝑢

𝜕𝑟

𝜕𝜃

sin2 𝜃

𝜕𝑟

𝜕𝛼0

𝜕𝛼𝑚

𝑚2

𝜕𝑢

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

∞

𝜕𝛼0
𝜕𝜃

𝑚 =1
∞

𝑚2
sin2 𝜃

𝜕

+

𝛼𝑚 cos 𝑚𝜑 +
𝑚=1

𝜕
𝜕𝑟

𝑟2

𝜕𝑟
𝑟2

𝜕𝛽𝑚
𝜕𝑟

𝜕𝛼𝑚

+

𝜕𝑟

+

1

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

×

sin 𝜃

𝜕𝛽𝑚
𝜕𝜃

𝛽𝑚 × sin 𝑚𝜑 = 0

Từ đó ta thấy các hệ số 𝛼𝑚 , 𝛽𝑚 cũng thỏa mãn phương trình:
𝜕
𝜕𝑟

2

𝑟

𝜕𝜈
𝜕𝑟

+

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕𝜈
𝜕𝜃

( khi 𝑚 = 0, ta có phương trình đối với 𝛼0 )
Trang 5

−

𝑚2
sin2 𝜃

𝜈=0

(1.4)


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp tách biến 𝑣 = 𝑅 𝑟 𝑄 𝜃 .
Khi đó phương trình (1.4) sẽ có dạng:
𝑄

𝑑

𝑑𝑅

𝑟2

𝑑𝑟

+

𝑑𝑟

1
sin 𝜃

𝑅

𝑑

sin 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑄

−

𝑑𝜃

𝑚2
sin2 𝜃

𝑅𝑄 = 0

Chia hai vế cho 𝑅𝑄 ta được:
1 𝑑
𝑅 𝑑𝑟

𝑟2

1 𝑑

=>

𝑑𝑅
𝑑𝑟
𝑟

𝑅 𝑑𝑟

1

+

sin 𝜃

sin 𝜃 𝑄 𝑑𝜃

𝑑𝑅

2

1 𝑑
1 1

=−

𝑑𝑟

𝑑

𝑑𝑄
𝑑𝜃

−

sin 𝜃

𝑄 sin 𝜃 𝑑𝜃

𝑚2
sin2 𝜃

𝑑𝑄
𝑑𝜃

+

=0
𝑚2
sin2 𝜃

Vì vế trái chỉ phụ thuộc vào 𝑟, vế phải chỉ phụ thuộc vào 𝜃 nên hai vế chỉ bằng nhau
khi cùng bằng một hằng số nào đó, ta có hai phương trình:
1 𝑑
𝑅 𝑑𝑟
1 1

𝑟2

𝑑𝑅

𝑑𝑟
𝑑

𝑄 sin 𝜃 𝑑𝜃

=𝜆
sin 𝜃

𝑑𝑄
𝑑𝜃

(1.5)

𝑚2

−

sin2 𝜃

= −𝜆

( trong đó 𝜆 là hằng số)
Bây giờ ta đưa vào biến số độc lập với 𝑥 = cos 𝜃. Vì 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 nên −1 ≤ 𝑥 ≤ 1,
𝑦 = 𝑄 𝜃 , nên 𝑦 là một hàm của 𝑥. Ta có thể viết lại phương trình thứ hai của (1.5) dưới
dạng:
𝑄
⇔
⇔

1 1

𝑑

𝑄 sin 𝜃 𝑑𝜃
1

𝑑

sin 𝜃 𝑑𝜃
cos 𝜃 𝑑𝑄
sin 𝜃 𝑑𝜃

sin 𝜃

sin 𝜃

+

𝑑𝑄
𝑑𝜃

𝑑𝑄
𝑑𝜃

𝑑2𝑄
𝑑𝜃

+ 𝜆−
+ 𝜆−

+ 𝜆−

𝑚2

=0

sin2 𝜃
𝑚2

sin2 𝜃

𝑚2
sin2 𝜃

𝑄=0

𝑄=0

(1.6)

Ta có nhận xét là:
𝑑𝑄

=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦

− sin 𝜃
𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥
𝑑2𝑄
𝑑 𝑑𝑄
𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑 𝑑𝑦
=
=
−
sin
𝜃

=
−
cos
𝜃
−
sin
𝜃
𝑑𝜃 2 𝑑𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝜃 𝑑𝑥
= − cos 𝜃

𝑑𝑦
𝑑𝑥

− sin 𝜃

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑥 2 𝑑𝜃

= −𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥

Thay biểu thức này vào phương trình (1.6) ta được:
Trang 6

2

+ sin 𝜃

𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

1 − 𝑥2

𝑑2𝑦

− 2𝑥

𝑑𝑥 2

𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 𝜆−

𝑚2

𝑦=0

1 − 𝑥2

1.7

Khi 𝑚 = 0, phương trình này có dạng đơn giản hơn và được gọi là ph ương trình
Legendre:
1 −𝑥

2

𝑑2𝑦

− 2𝑥

𝑑𝑦

+ 𝜆𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
Sau đây ta tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi lũy thừa:

(1.8)

∞

𝐶𝑘 𝑥 𝑘

𝑦=

1.9

𝑘 =0

Ta có:
∞

∞

𝐶𝑘 𝑥 𝑘 = 𝜆𝐶0 + 𝜆𝐶1 𝑥 + 𝜆

∎ 𝜆𝑦 = 𝜆

∎

𝑑𝑦
𝑑𝑥

⟹ 2𝑥

∎

𝑘 =0
∞

𝐶𝑘 𝑥 𝑘
𝑘 =2

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 −1

=
𝑘=1

𝑑𝑦
𝑑𝑥

𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2

∞

∞

∞

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 −1 = 2

= 2𝑥
𝑘 =1

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 = 2𝐶1 𝑥 + 2
𝑘=1

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘
𝑘 =2

∞

𝐶𝑘 𝑘(𝑘 − 1)𝑥 𝑘 −2

=
𝑘 =2

⟹ 1−𝑥

2

𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2

∞

= 1−𝑥

2

𝑘 𝑘 − 1 𝐶𝑘 𝑥 𝑘 −2
𝑘=2

∞

∞

=

𝑘 𝑘 − 1 𝐶𝑘 𝑥

𝑘 −2

𝑘 𝑘 − 1 𝐶𝑘 𝑥 𝑘

−

𝑘=2

𝑘 =2
∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝐶𝑘 +2 − 𝑘 𝑘 − 1 𝐶𝑘 𝑥 𝑘

= 2𝐶2 + 6𝐶3 𝑥 +
𝑘 =2

Thay biểu thức này vào phương trì nh (1.8) ta được:
∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝐶𝑘 +2 − 𝑘 𝑘 + 1 − 𝜆 𝐶𝑘 𝑥 𝑘 = 0

2𝐶2 + 𝜆𝐶0 + 6𝐶3 + (𝜆 − 2)𝐶1 𝑥 +
𝑘 =2

Từ đó ta tìm được các phương trình cho các hệ số:
2𝐶2 + 𝜆𝐶0 = 0
Trang 7


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

6𝐶3 + 𝜆 − 2 𝐶1 = 0

(1.10)

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝐶𝑘 +2 − 𝑘 𝑘 + 1 − 𝜆 𝐶𝑘 = 0

với 𝑘 ≥ 2

Do đó:
𝐶𝑘 +2 =

𝑘 𝑘+1 −𝜆
𝑘 + 2 (𝑘 + 1)

𝐶𝑘

1.11

Đẳng thức này chứng tỏ nếu 𝜆 = 𝑙 𝑙 + 1 , trong đó 𝑙 là một số nguyên dương thì
𝐶𝑙 +2 = 0 và do đó ta cũng suy ra 𝐶𝑙 +4 = 𝐶𝑙 +6 = ⋯ = 0. Vậy nếu 𝑙 là số chẵn thì các hệ
số với chỉ số chẵn bắt đầu từ 𝐶𝑙 +2 đều bằng 0, còn nếu 𝑙 là số lẻ thì các hệ số với chỉ số lẻ
bắt đầu từ 𝐶𝑙 +2 đều bằng 0.
Do đó nếu 𝑙 chẵn, ta đặt 𝐶1 = 0, thì từ (2.9) các hệ số với chỉ số lẻ đều bằng 0. Vậy
nghiệm (1.9) của phương trình (1.8) khi đó có dạng:
𝑦 = 𝐶0 +𝐶2 𝑥 2 + 𝐶4 𝑥 4 + ⋯ + 𝐶𝑙 𝑥 𝑙 , trong đó 𝐶0 là tùy ý, 𝐶2 =

−𝑙 𝑙 +1
2

, còn các hệ số

sau tính theo công thức (1.11)

Trong trường hợp 𝑙 lẻ, ta đặt 𝐶0 = 0 thì từ đẳng thức thứ nhất của (1.10) ta rút ra
𝐶2 = 0. Khi đó theo (1.11) các hệ số có chỉ số chẵn đều bằng 0 và nghiệm (1.9) trở thành:
𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶3 𝑥 3 + ⋯ + 𝐶𝑙 𝑥 𝑙 , trong đó 𝐶1 tùy ý, 𝐶3 =

−𝑙 𝑙+1 −2
6

𝐶1, các hệ số sau tính

theo công thức (1.11)
Vậy khi 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) phương trình Legendre (1.8) có nghiệm là đa thức bậc 𝑙 (𝑙 =
0, 1, 2, … ). Các đa thức này hoặc chỉ chứa các số hạng bậc chẵn nếu 𝑙 chẵn, hoặc chỉ chứa
các số hạng bậc lẻ nếu 𝑙 lẻ. Khi ta chọn hệ số 𝐶0 hoặc 𝐶1 sao cho các đa thức ấy có giá trị
bằng 1 tại 𝑥 = 1 thì các đa thức như vậy gọi là đa thức Legendre, kí hiệu là 𝑃𝑙 (𝑥). Như vậy
đa thức Legendre là một đa thức bậc 𝑙 thỏa mãn phương trình (1.8) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) và
tiến đến 1 khi 𝑥 = 1, nghĩa là 𝑃𝑙 1 = 1.
Với 𝑙 = 0, 1, 2, 3, … ta tính được:
𝑃0 𝑥 = 1
𝑃1 𝑥 = 𝑥
1
𝑃2 𝑥 = 3𝑥 2 − 1
2
1
𝑃3 𝑥 = 5𝑥 3 − 3𝑥
2
Ta cũng chứng minh được rằng các đa thức Legendre có thể được tính theo công thức
Rodrigue:

Trang 8

Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

𝑃𝑙 𝑥 =

1

𝑑𝑙

2𝑙 𝑙!

𝑑𝑥 𝑙

(𝑥 2 − 1)𝑙

(1.12)

Công thức trên có thể được chứng minh như sau:
Ta có phương trình Legendre:
1−𝑥

2

𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2

− 2𝑥

𝑑𝑦

+ 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0

𝑑𝑥

có dạng chuỗi bậc 𝑙.
Xét đa thức bậc 2: 𝑧 = 𝑥 2 − 1

𝑙

(1.13)

Dễ dàng thấy rằng, đa thức (1.13) thỏa mãn phương trình vi phân:
𝑥2 − 1

𝑑𝑧

− 2𝑙𝑥𝑧 = 0
𝑑𝑥
Đạo hàm hai vế phương trình (1.14) 𝑙 lần theo 𝑥 ta có:
2

𝑥 −1
𝑑𝑧

2

∎ 𝑥 −1
=

𝑥 −1

⇒

𝑑𝑥

𝐶𝑙1

𝑙

𝑙 +1
𝑙

+ 2𝑙𝑥 𝑧

2

𝑥 −1

+𝑙 𝑙−1 𝑧

+ 2𝑙𝐶𝑙1 𝑥 ′ 𝑧

+

𝑑𝑥
+𝑙 𝑙 − 1

𝑑𝑥

𝑙

𝑙 −1

𝑑𝑧

′

𝑙−1

𝑑𝑧

+ 2𝑙𝑥

𝑑𝑥

= 2𝑙𝐶𝑙0 𝑥𝑧

𝑥 −1

+

𝑑𝑥
𝑑𝑧

= 𝑥2 − 1 𝑧

𝑑𝑧

=0

𝑙

𝑑𝑧

2

= 𝑥 −1

2

− 2𝑙𝑥𝑧

𝑑𝑥

𝐶𝑙0

𝑙

𝑑𝑥

𝑙

𝑙

2

∎ 2𝑙𝑥𝑧

𝑑𝑧

1.14

𝑙 −1

𝐶𝑙2

𝑑𝑧

2

𝑥 −1

′′

𝑑𝑧

𝑙 −2

𝑑𝑥

𝑙−2

𝑑𝑥

𝑙 −1

+ 2𝑙 2 𝑧

𝑙−1

+𝑙 𝑙+1 𝑧

𝑙 −1

= 2𝑙𝑥 𝑧

𝑙

𝑙

− 2𝑙𝑥𝑧

= 1 − 𝑥2 𝑧

𝑙 +1

=0

(1.15)

Vi phân phương trình này một lần nữa theo 𝑥 ta được:
1 − 𝑥 2 𝑧 (𝑙+1) + 𝑙 𝑙 + 1 𝑧

𝑙 −1

′

= 1 − 𝑥 2 𝑧 (𝑙+2) − 2𝑥𝑧 (𝑙 +1) + 𝑙 𝑙 + 1 = 0

Như vậy phương trình Legendre lúc này có nghiệm:
𝑦 = 𝐶𝑧 (𝑙) = 𝐶

𝑑𝑙 𝑥2 − 1
𝑑𝑥 𝑙

trong đó 𝐶 là hằng số. Đặt:
𝐶=

1
2𝑙 𝑙!

Trang 9

𝑙


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Vậy, ta có:
𝑦 = 𝑃𝑙 𝑥 =

1

𝑑𝑙

2𝑙 𝑙!

𝑑𝑥 𝑙

(𝑥 2 − 1)𝑙

(𝑙 = 0, 1, 2, … )

1.2.2. Tính chất trực giao của đa thức Legendre
Ta sẽ chứng minh rằng các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và chuẩn
hóa với nhau trong khoảng −1, +1 :
1

0
𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 =

khi

2

(1.16)

khi 𝑙 = 𝑚

2𝑙 + 1

−1

𝑙≠𝑚

Vì các đa thức 𝑃𝑙 𝑥 , 𝑃𝑚 (𝑥) là nghiệm của phương trình (1.8) theo thứ tự ứng với
𝜆 = 𝑙 𝑙 + 1 , 𝜆 = 𝑚(𝑚 + 1) ta có phương trình của đa thức Legendre tương ứng là:

𝑑

𝑑𝑃𝑙 𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑥
𝑑

1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

+ 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0

𝑑𝑃𝑚 𝑥
𝑑𝑥

+ 𝑚 𝑚 + 1 𝑃𝑚 𝑥 = 0

Nhân hai vế phương trình đầu với 𝑃𝑚 (𝑥), nhân phương trình sau với −𝑃𝑙 𝑥 rồi cộng
lại và lấy tích phân từ −1 đến +1, ta có:
1

𝑃𝑚 𝑥
−1

𝑑

𝑑𝑥

1 − 𝑥2

1

𝑑𝑃𝑙 𝑥

𝑑𝑥 −

𝑑𝑥

𝑃𝑙 𝑥
−1

𝑑
𝑑𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑃𝑚 𝑥
𝑑𝑥

𝑑𝑥

1

+ 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1)

𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0

(1.17)

−1

Bằng cách lấy tích phân từng phần ta được:
1

∎

𝑃𝑚 𝑥
−1

𝑑
𝑑𝑥

𝑑𝑃𝑙 𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑥
2

= 𝑃𝑚 𝑥 𝑥 − 1
1

1 − 𝑥2

=−
−1

𝑑𝑥
𝑑𝑃𝑙 𝑥
𝑑𝑥

1

+1

1 − 𝑥2

−
−1

−1

𝑑𝑃𝑙 (𝑥) 𝑑𝑃𝑚 (𝑥)
𝑑𝑥

𝑑𝑥

Trang 10

𝑑𝑥

𝑑𝑃𝑙 (𝑥) 𝑑𝑃𝑚 (𝑥)
𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

1

∎

𝑑

𝑃𝑙 𝑥

𝑑𝑥

−1

𝑑𝑃𝑚 𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

= 𝑃𝑙 𝑥 𝑥 2 − 1

1 − 𝑥2

−

𝑑𝑥

−1

1

𝑑𝑥

−1

𝑑𝑃𝑚 (𝑥) 𝑑𝑃𝑙 (𝑥)
𝑑𝑥

−1

𝑑𝑃𝑙 (𝑥) 𝑑𝑃𝑚 (𝑥)

1 − 𝑥2

=−

1

+1

𝑑𝑃𝑚 𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

Khi đó đẳng thức (1.17) trở thành:
1

𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1)

𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0

(1.18)

−1
1

Nếu 𝑙 ≠ 𝑚 thì 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) ≠ 0 suy ra

−1

𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0

Vậy hệ thức đầu của (1.16) đã được chứng minh, hay nói cách khác các đa thức
Legendre trực giao nhau trên đoạn (−1, +1).
Bây giờ ta chuẩn hóa đa thức bằng cách xét bình phương của đa thức Legendre.
Ta xét:

1

𝑃𝑙 (𝑥) 2 𝑑𝑥

𝐿=
−1

Sử dụng công thức tường minh của đa thức Legendre (1.12), tích phân có dạng:
𝐿=

1

1
22𝑙

𝑙!

2
−1

𝑑𝑙

2

𝑥 −1

𝑑𝑥 𝑙

𝑙

𝑑𝑙

𝑥2 − 1

𝑑𝑥 𝑙

𝑙

𝑑𝑥

Bằng cách tính tích phân từng phân ta được:
1

−1

𝑑𝑙
𝑑𝑥 𝑙

2

𝑥 −1
1

−
−1

𝑙

𝑑𝑙
𝑑𝑥 𝑙

𝑑 𝑙−1
𝑑𝑥 𝑙 −1
1

=−
−1

𝑥 −1

𝑥2 − 1

𝑑 𝑙 −1
𝑑𝑥 𝑙 −1

2

𝑙

𝑙

𝑑𝑥 =

𝑑 𝑙 +1
𝑑𝑥 𝑙 +1

𝑥2 − 1

𝑙

𝑑𝑙 𝑥2 − 1
𝑑𝑥 𝑙

𝑥2 − 1

𝑑 𝑙+1
𝑑𝑥 𝑙 +1

𝑙

𝑙

Tích phân từng phần như thế 𝑙 lần ta được:
Trang 11

𝑑𝑥 𝑙 −1

𝑑𝑥

𝑥2 − 1

𝑑 𝑙−1

𝑙

𝑑𝑥

1
2

𝑥 −1

𝑙

−
−1


Luận văn tốt nghiệp

𝐿=

−1
22𝑙 𝑙!

Xét

1
−1

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý
1

𝑙

𝑥2 − 1

2

𝑑 2𝑙

𝑙

𝑑𝑥 2𝑙

−1

𝑥2 − 1

𝑙

𝑑𝑥 =

−1

𝑙

1

2𝑙 !

22𝑙 𝑙!

𝑥 2 − 1 𝑙 𝑑𝑥

2

1.19

−1

𝑥 2 − 1 𝑙 𝑑𝑥

Thực hiện đổi biến 𝑥 = sin 𝑡 ta được:
𝜋
2

1

𝑥 2 − 1 𝑙 𝑑𝑥 =
−1

𝜋
2

−cos 2 𝑡 𝑙 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 2 −1
−

𝑙

cos 2𝑙+1 𝑡 𝑑𝑡

𝜋
2

0

Áp dụng công thức truy hồi:
𝑙

𝐼𝑙 =

cos 𝑥 𝑑𝑥 =

sin 𝑥 cos 𝑙 −1 𝑥
𝑙

+

𝑙−1
𝑙

cos 𝑙−2 𝑥 𝑑𝑥

Ta có:
𝜋
2

cos 2𝑙+1 𝑡 𝑑𝑡 =

𝐼2𝑙 +1 =
0

=
⇒ 𝐼2𝑙 +1 =

2𝑙 + 1

2𝑙 + 1
Theo truy hồi ta có:

𝐼2𝑙 +1 =

2𝑙

2𝑙 + 1

0

+

𝜋
2

2𝑙
2𝑙 + 1

cos 2𝑙 −1 𝑡 𝑑𝑡
0

𝜋
2

2𝑙

2𝑙

sin 𝑡 cos 2𝑙 𝑡

𝜋
2

cos 2𝑙−1 𝑡 𝑑𝑡
0

𝐼2𝑙 −1

2𝑙 − 2

2𝑙 + 1 2𝑙 − 1

⋯

42
53

𝐼1 =

2 4
3 5

⋯

2𝑙
2𝑙 + 1

=

2𝑙 𝑙!
3 ∙ 5 ⋯ 2𝑙 + 1

=

22𝑙 𝑙!

2

2𝑙 + 1 !

Thay kết quả này vào (1.19) ta thu được:
𝐿=

2

2𝑙 + 1
Như vậy tính trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre trên (−1, +1) là:
1

𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 =
−1

0
2
2𝑙 + 1

khi

𝑚≠ 𝑙

khi

𝑚=𝑙

Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kì vào chuỗi
các đa thức Legendre:

Trang 12


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý
∞

𝑓 𝑥 =

𝑎𝑙 𝑃𝑙 𝑥
𝑙 =0

Trong đó:
𝑎𝑙 =

+1

2𝑙 + 1
2

𝑓 𝑥 𝑃𝑙 𝑥 𝑑𝑥
−1

* Lưu ý:

∎ 𝑃𝑙 −𝑥 = −1

𝑙

𝑃𝑙 𝑥

∎ 𝑃2𝑙−1 0 = 0 , 𝑃2𝑙 0 =

−1

𝑙

2𝑙 !

22𝑙 𝑙!

∎ 𝑃𝑙 1 = 1 , 𝑃𝑙 −1 = −1

2

𝑙

∎ Các nghiệm của 𝑃𝑙 𝑥 đều thực và nằm trong khoảng ( −1 , +1)

1.2.3. Hàm sinh của đa thức Legendre
Hàm sinh có dạng:

∞

𝑃𝑙 𝑥 𝜌𝑙

𝜓 𝜌, 𝑥 =

1.20

𝑙 =0

Để lấy ví dụ về công dụng của hàm sinh ta rút ra các hệ thức truy toán sau:
𝑙 + 1 𝑃 𝑙+1 𝑥 − 𝑥 2𝑙 + 1 𝑃 𝑙 𝑥 + 𝑙𝑃 𝑙 −1 𝑥 = 0

(1.21)

𝑃𝑙′−1 𝑥 = 𝑥𝑃′𝑙 𝑥 − 𝑙𝑃𝑙 (𝑥)

(1.22)

𝑃𝑙′ 𝑥 = 𝑥𝑃′𝑙−1 𝑥 + 𝑙𝑃 𝑙−1 (𝑥)

(1.23)

Các công thức truy hồi này cho phép ta tính được 𝑃𝑙 (𝑥) khi biết 𝑃 𝑙−1 (𝑥) và 𝑃 𝑙 −2 (𝑥)
Rõ ràng: 𝑃0 𝑥 = 1, 𝑃1 𝑥 = 1 nên từ đó ta có thể tính được 𝑃𝑙 (𝑥) với mọi 𝑙
Ta có thể chứng minh công thức truy hồi này bằng cách xuất phát từ hàm số
sinh 𝜓 (𝜌, 𝑥). Ta có:
𝜓 𝜌, 𝑥 =

∞

1
1+

𝜌2

− 2𝜌𝑥

𝑃𝑙 (𝑥) 𝜌𝑙

=

(1.24)

𝑙 =0

Đạo hàm theo 𝜌 và theo 𝑥, lần lượt ta có:
1 + 𝜌2 − 2𝜌𝑥 𝜓𝜌 − 𝑥 − 𝜌 𝜓 = 0

(1.25)

1 − 2𝜌𝑥 + 𝜌2 𝜓𝑥 − 𝜌𝜓 = 0

(1.26)

Trang 13


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Mặt khác ta có:

∞

𝑙 + 1 𝑃 𝑙 +1 𝑥 𝜌𝑙

𝜓𝜌 =

(1.27)

𝑙 =0

Thay (1.27), (1.24) vào (1.25) và triệt tiêu hệ số của 𝜌𝑙 , ta có ngay (1.21)
Khử 𝜓 ở (1.25), (1.26) ta có:
𝜌𝜓𝜌 − 𝑥 − 𝜌 𝜓𝑥 = 0

(1.28)

hay:
∞

∞

𝑙𝑃𝑙 𝑥 𝜌𝑙−1 − (𝑥 − 𝜌)

𝜌
𝑙 =0

𝑃′𝑙 𝑥 𝜌𝑙 = 0
𝑙 =0

từ đó suy ra ngay (1.22).

′
Đạo hàm (1.21) theo 𝑥 và khử 𝑃𝑙−1
𝑥 = 𝑥𝑃′𝑙 𝑥 − 𝑙𝑃𝑙 (𝑥) ta được:

𝑃′𝑙+1 𝑥 − 𝑥𝑃′𝑙 𝑥 − 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0
tức là ta có (1.23) (thay 𝑙 + 1 bằng 𝑙)
Một công dụng khác của hàm sinh là tính 𝑃𝑙 𝑥 ở những điểm khác nhau. Chẳng hạn,
tại 𝑥 = 1:
∞

𝑃𝑙 1 𝜌𝑙 =

𝜓 𝜌, 1 =
𝑙 =0

1
1 −𝜌

= 1 + 𝜌 + 𝜌2 + 𝜌3 + ⋯

Do đó, 𝑃𝑙 1 = 1
Tại 𝑥 = 0:
∞

1

𝑙

𝜓 𝜌, 0 =

𝑃𝑙 0 𝜌 =
𝑙 =0

1 + 𝜌2

= 1+

1
𝜌 2 −2

1

2

= 1− 𝜌 + −
2
2

Do đó:

𝑃𝑙 0 =

−1

𝑙
2.

0

𝑙−1 ‼

𝑙
2𝑙 2 .
!
2

Trang 14

1

nếu 𝑙 lẻ
nếu 𝑙 chẵn

−

3 𝜌4
2 2!

+⋯


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

1.3. ĐA THỨC LEGENDRE LIÊN KẾT

1.3.1. Đa thức Legendre liên kết
Ta nghiên cứu nghiệm của phương trình (1.7):
𝑑2𝑦

1 − 𝑥2

𝑑𝑥 2

− 2𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 𝜆−

𝑚2
1 − 𝑥2

𝑦=0

Ta đưa vào biến số mới 𝑧 sao cho:
𝑦(𝑥) = 1 − 𝑥 2

𝑚
2

𝑧(𝑥)

Khi đó:
𝑦 ′ = 1 − 𝑥2
𝑦 ′′ = 1 − 𝑥 2

𝑚
2

𝑚
2

𝑧′ +

1 − 𝑥2

2

𝑚
−1
2

𝑧 ′′ − 𝑚𝑥 1 − 𝑥 2

× 1 − 𝑥2
= 1 − 𝑥2

𝑚

𝑚
2 −2

𝑚
2 𝑧 ′′

−𝑚𝑧 1 − 𝑥 2

−2𝑥 𝑧 = 1 − 𝑥 2

𝑚
−1
2

𝑧 ′ − 𝑚𝑧 ′ 1 − 𝑥 2

−2𝑥 𝑥 + 𝑚𝑧 1 − 𝑥 2

− 2𝑚𝑥𝑧 ′ 1 − 𝑥 2

𝑚
2 −1

𝑚
2

𝑧 ′ − 𝑚𝑧 1 − 𝑥 2

𝑚
−1
2

𝑥 + 𝑚𝑧

𝑚
2

𝑚
−1
2

𝑥

−1 ×

𝑚
2 −1

+ 𝑚𝑧 𝑚 − 2 𝑥 2 1 − 𝑥 2

𝑚
2 −2

−

𝑚
2 −1

Vậy:
2

′′

′

1 − 𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑙 𝑙 + 1 −

𝑚2

𝑦

1 − 𝑥2

= 1 − 𝑥 2 𝑧 ′′ − 2 𝑚 + 1 𝑥𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 𝑧
Do đó hàm 𝑧 thỏa phương trình:
1 − 𝑥 2 𝑧 ′′ − 2 𝑚 + 1 𝑥𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 𝑧 = 0

(1.29)

Bởi vì đa thức Legendre thỏa phương trình (1.8) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) nên
1 − 𝑥 2 𝑃𝑙′′ 𝑥 − 2𝑥𝑃𝑙′ 𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0

(1.30)

Lấy vi phân phương trình này 𝑚 lần theo 𝑧
Để tìm đạo hàm của tích hai hàm ta sử dụng quy tắc Leipnitz:
𝑚

𝑢𝑣

𝑚

𝐶𝑚𝑖 𝑢 𝑖 𝑣

=

𝑚−𝑖

𝑖=0

Với :

𝐶𝑚𝑖 =

𝑚!
𝑖! 𝑚 − 𝑖 !

;

𝐶𝑚0 = 1 ;

𝐶𝑚1 = 𝑚 ; 𝐶𝑚2 =

Ta có:
Trang 15

𝑚(𝑚 − 1)
2


Luận văn tốt nghiệp

∎
∎

𝑑𝑚
𝑑𝑥 𝑚

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

1−𝑥

𝑑𝑚

𝑥𝑃𝑙′
𝑚
𝑑𝑥

2

𝑃𝑙′′

𝑥 = 1−𝑥

𝑥 =𝑥

𝑑 𝑚+1
𝑑𝑥 𝑚 +1

𝑑 𝑚+2

2

𝑑𝑥 𝑚+2

𝑃𝑙 + 𝑚

𝑑𝑚

𝑃𝑙 − 2𝑚𝑥

𝑑 𝑚+1

𝑑𝑥 𝑚 +1

𝑃𝑙 − 𝑚(𝑚 + 1)

𝑑𝑚
𝑑𝑥 𝑚

𝑃𝑙

𝑃𝑙

𝑑𝑥 𝑚

Thay vào (1.30) ta được:
1−𝑥

2

𝑑 𝑚+2
𝑑𝑥 𝑚+2

𝑑 𝑚+1

𝑃𝑙 − 2 𝑚 + 1

Từ đó ta thấy hàm 𝑥 =
𝑦= 1−

𝑚
𝑥2 2

𝑑 𝑚 𝑃𝑙
𝑑 𝑥𝑚

𝑑𝑥 𝑚+1

𝑃𝑙 + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1)

𝑑𝑚
𝑑𝑥 𝑚

𝑃𝑙 = 0

thỏa phương trình (1.29) nghĩa là hàm:

𝑧= 1−

𝑚
𝑥2 2

𝑑𝑚
𝑑𝑥 𝑚

𝑃𝑙 𝑥 ≡ 𝑃𝑙

thỏa mãn phương trình (1.7) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1)

𝑚

𝑥

(𝑙 = 1,2, … )

Hàm:
𝑃𝑙

𝑚

𝑥 = 1−

𝑚
𝑥2 2

𝑑𝑚

𝑃 𝑥
𝑑𝑥 𝑚 𝑙
được gọi là hàm Legendre liên kết cấp 𝑚 bậc 𝑙
𝑃𝑙

0

𝑃𝑙

𝑚

(1.31)

𝑥 = 𝑃𝑙 𝑥

𝑚=0

𝑥 ≠0

𝑚≤𝑙

* Các đa thức Legendre liên kết thỏa mãn các hệ thức quy nạp sau đây −1 < 𝑥 < 1
𝑚
 2𝑙 + 1 𝑥𝑃𝑙𝑚 𝑥 − 𝑙 − 𝑚 + 1 𝑃𝑙𝑚+1 𝑥 − 𝑙 + 𝑚 𝑃𝑙−1
𝑥 =0

0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙 −1
 𝑥2 − 1

𝑑
𝑑𝑥

𝑃𝑙𝑚 𝑥 − 𝑙 − 𝑚 + 1 𝑃𝑙𝑚+1 𝑥 + 𝑙 + 1 𝑥𝑃𝑙𝑚 𝑥 = 0
0 ≤𝑚 ≤𝑙

 𝑃𝑙𝑚+2 𝑥 − 2 𝑚 + 1 −

𝑥
1−

𝑥2

𝑃𝑙𝑚+1 𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚 𝑚 + 1 𝑃𝑙𝑚 𝑥 = 0

0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙 −2

𝑚
𝑚
 𝑃𝑙+1
𝑥 − 𝑃𝑙−1
𝑥 = 2𝑙 + 1

1 − 𝑥 2 𝑃𝑙𝑚−1 𝑥

0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙 −1
𝑚
𝑚
 𝑙 + 𝑚 𝑙 + 𝑚 + 1 𝑃𝑙−1
𝑥 − 𝑙 − 𝑚 𝑙 − 𝑚 + 1 𝑃𝑙+1
𝑥 =

= 2𝑙 + 1

1 − 𝑥 2 𝑃𝑙𝑚+1 𝑥

0≤ 𝑚 ≤𝑙 −1
Trang 16


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

1.3.2. Tính chất trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết
Ta sẽ chứng minh rằng các đa thức Legendre liên kết với bậc khác nhau trực giao và
chuẩn hóa với nhau trong khoảng −1, +1 :

1

𝑃𝑙

𝑚

𝑥 𝑃𝑘

0

𝑚

𝑥 𝑑𝑥 =

𝑑

𝑚

𝑥 và 𝑃𝑘

1−𝑥

𝑑𝑥
𝑑

1−𝑥

𝑑𝑥

𝑚

𝑚

𝑑𝑃𝑙

2

+ 𝑙 𝑙+1 −

𝑑𝑥
𝑑𝑃𝑘

2

= 𝑃𝑙

𝑥

+ 𝑘 𝑘+1 −

𝑚

1−𝑥

𝑑𝑥

𝑘=𝑙

𝑚2

𝑚

𝑥 𝑃𝑘
𝑑𝑃𝑘

2

𝑃𝑙

𝑥2

1−

𝑚

𝑑𝑥

𝑙 𝑙 + 1 − 𝑘 𝑘 + 1 𝑃𝑙
𝑑

khi

𝑥 thỏa mãn phương trình:

Nhân phương trình thứ nhất với 𝑃𝑘
cho nhau ta được:

𝑚

𝑙+𝑚 !

𝑘≠𝑙

2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚 !

−1

Ta có các hàm 𝑃𝑙

2

khi

𝑚2
1−

𝑚

𝑃𝑘

𝑥2

𝑥 =0

𝑚

𝑥 =0

𝑥 và phương trình thứ hai với 𝑃𝑙
𝑚

𝑥 , rồi trừ

𝑥 =

𝑚

− 𝑃𝑘

𝑑𝑥

𝑚

𝑚

𝑑

𝑥

1−𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑃𝑙

2

𝑚

𝑑𝑥

Tích phân hai vế theo 𝑥 từ −1 đến 1, ta được:
1

𝑙 𝑙 + 1 −𝑘 𝑘 +1

𝑃𝑙

𝑚

𝑥 𝑃𝑘

𝑚

𝑥 𝑑𝑥

−1
1

=

𝑃𝑙

𝑚

𝑑

𝑥

𝑑𝑥

−1

1−𝑥

2

𝑑𝑃𝑘

1

𝑚

𝑑𝑥 −

𝑑𝑥

𝑃𝑘

𝑚

𝑑

𝑥

1 −𝑥

𝑑𝑥

−1

2

𝑑𝑃𝑙

𝑑𝑥

Tích phân từng phần vế phải ta thu được:
1

1 −𝑥
−1

2

𝑑𝑃𝑘

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑃𝑙

1

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑥 +

1−𝑥

2

𝑑𝑃𝑙

𝑚

𝑑𝑥

−1

𝑑𝑃𝑘

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 0

Khi đó vế trái:
1

𝑙 𝑙+1 −𝑘 𝑘+1

𝑃𝑙
−1

Trang 17

𝑚

𝑥 𝑃𝑘

𝑚

𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝑚

𝑑𝑥


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Vì 𝑙 ≠ 𝑘 nên ta rút ra biểu thức:
1

𝑃𝑙

𝑚

𝑥 𝑃𝑘

𝑚

𝑥 𝑑𝑥 = 0

−1

Vậy đa thức Legendre liên kết trực giao trong khoảng (-1,+1). Bây giờ ta nghiên cứu
tính chất chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết:
Nhân phương trình (1.29) với 1 − 𝑥 2
1 − 𝑥2

𝑚+1 ′′

𝑧 − 2 𝑚 + 1 1 − 𝑥2

𝑚
𝑚

ta có:

𝑥𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 1 − 𝑥 2

𝑚

𝑧=0

Thay 𝑚 + 1 bằng 𝑚 ta được:
1 − 𝑥2
𝑑

𝑚 ′′

𝑧 − 2𝑚𝑥 1 − 𝑥 2

1−𝑥
𝑑𝑥
Do đó:
𝑑

2 𝑚

𝑑𝑧

𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 1 − 𝑥 2

= − 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 − 1) 1 − 𝑥

𝑑𝑥

1 − 𝑥2

𝑚 −1

𝑚

𝑑𝑥
Đưa vào kí hiệu:

𝑑 𝑚 𝑃𝑙
𝑑𝑥 𝑚

=

1

𝑃𝑙

𝑚

𝑧

với 𝑧 =

= − 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 − 1) 1 − 𝑥 2

1

𝐿𝑚𝑙,𝑘

2 𝑚−1

𝑥 𝑃𝑘

𝑚

𝑥 𝑑𝑥 =

−1

1−𝑥
−1

2 𝑚

𝑚 −1

𝑚 −1

𝑑 𝑚 𝑃𝑙 𝑑 𝑚 𝑃𝑘
𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑚

𝑧=0

𝑑 𝑚−1 𝑃𝑙
𝑑𝑥 𝑚−1

𝑑 𝑚−1 𝑃𝑙
𝑑𝑥 𝑚−1

𝑑𝑥

Tính tích phân trên bằng cách áp dụng công thức tính tích phân từng phần, đặt:
𝑢 = 1 − 𝑥2
𝑑𝑣 =

𝑑 𝑚 𝑃𝑙
𝑑𝑥 𝑚

𝑚

𝑑 𝑚 𝑃𝑘
𝑑𝑥 𝑚

𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =

𝑑 𝑚−1 𝑃𝑘

⇒ 𝑑𝑢 = − 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 − 1)
𝑑 𝑚−1
𝑑𝑥 𝑚 −1

𝑑 𝑥 𝑚−1

𝑑𝑥

𝑃𝑙

Suy ra:
𝐿𝑚𝑙,𝑘

= 1−𝑥

2

𝑑 𝑚−1 𝑃𝑙 𝑑 𝑚 𝑃𝑘
𝑚
𝑑𝑥 𝑚−1 𝑑 𝑥 𝑚

1

1

+ 𝑙 𝑙+1 −𝑚 𝑚−1
−1

−1

𝑑 𝑚−1 𝑃𝑘 𝑑 𝑚−1 𝑃𝑙
𝑑𝑥 𝑚−1 𝑑𝑥 𝑚 −1

= 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 − 1) 𝐿𝑚𝑙,𝑘−1 = 𝑙 + 𝑚 𝑙 − 𝑚 + 1 𝐿𝑚𝑙,𝑘−1
Do đó:
𝐿𝑚−1
= 𝑙 + 𝑚 − 1 (𝑙 − 𝑚 + 2)𝐿𝑚𝑙,𝑘−2
𝑙,𝑘
Vậy 𝐿𝑚𝑙,𝑘 biểu diển qua 𝐿𝑚𝑙,𝑘−2 như sau:
𝑚−2
𝐿𝑚
𝑙,𝑘 = 𝑙 + 𝑚 (𝑙 + 𝑚 − 1) 𝑛 − 𝑚 + 1 (𝑙 − 𝑚 + 2)𝐿 𝑙,𝑘

Tiếp tục cách làm như trên ta thu được công thức:
Trang 18

𝑑𝑥


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

0
𝐿𝑚
𝑙,𝑘 = 𝑙 + 𝑚 𝑙 + 𝑚 − 1 ⋯ 𝑙 + 1 × (𝑙 − 𝑚 + 1)(𝑙 − 𝑚 + 2) ⋯ 𝑙 𝐿 𝑙,𝑘

Ta thấy:
𝑙 +𝑚 𝑙 +𝑚 − 1 ⋯ 𝑙 + 1 =
𝑙 −𝑚+1 𝑙 −𝑚+2 ⋯𝑙 =

𝑙 +𝑚 !
𝑙!
𝑙!
𝑙−𝑚 !

mà:
1

𝐿0𝑙,𝑘

=

𝑃𝑙

0

𝑥 𝑃𝑘

0

𝑥 𝑑𝑥 =

−1

2
2𝑙 + 1

(theo 1.16)

Như vậy tính chất trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết được biểu diển
như sau:
1

𝐿𝑚𝑙,𝑘

=

𝑚

𝑃𝑙

𝑥 𝑃𝑘

𝑚

0
𝑥 𝑑𝑥 =

2

𝑙+𝑚 !

2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚 !

−1

khi

𝑘≠𝑙

khi

𝑘=𝑙

(1.32)

* Ta cũng có các tích phân sau cho đa thức Legendre liên kết:
𝑃𝑙

𝑚

𝑥 = −1

1

𝑃𝑙

𝑚

𝑃𝑙

𝑚

𝑥

2

𝑚 2

𝑑𝑥 =

−1
1

0

𝑥

1 − 𝑥2

𝑙+𝑚 !

2

𝑑𝑥 =

𝑙! 𝜋
1

𝜋

𝑥+

𝑥 2 − 1 cos 𝑡

𝑙

cos 𝑚𝑡 𝑑𝑡

0

𝑙 +𝑚 !

2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚 !
1

𝑙+𝑚 !

2𝑚 𝑙 − 𝑚 !

1.4. HÀM CẦU
1.4.1. Đa thức điều hòa

Ta xét phương trình Laplace ba biến:
∆𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧 = 0

1.33

Mọi đa thức thuần nhất cấp một: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 đều là nghiệm của (1.33). Ta gọi đó là
đa thức điều hòa cấp một. Rõ ràng 𝑎, 𝑏, 𝑐 là tùy ý, do đó có ba đa thức điều hòa thuần nhất
Trang 19


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

cấp một cơ bản là 𝑥, 𝑦, 𝑧. Mọi đa thức điều hòa thuần nhất cấp một đều là tổ hợp tuyến tính
của ba đa thức điều hòa cơ bản nói trên.
Mọi đa thức thuần nhất cấp hai có dạng tổng quát:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 𝑐𝑧 2 + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧

1.34

Trong đó 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 là những hằng số tùy ý. Để 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) là hàm điều hòa thì điều
kiện cần và đủ là:
∆𝐹 = 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
hay:
𝑐 = − 𝑎 +𝑏

(1.35)

Thay (1.35) vào (1.34) ta được:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎 𝑥 2 − 𝑧 2 + 𝑏 𝑦 2 − 𝑧 2 + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧

(1.36)

Với 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 là các hàm số tùy ý. Vậy mọi đa thức điều hòa thuần nhất cấp hai là
tổ hợp tuyến tính của năm đa thức điều hòa thuần nhất cấp hai cơ bản.
𝑥 2 − 𝑧 2 , 𝑦 2 − 𝑧 2 , 𝑥𝑦, 𝑥𝑧, 𝑦𝑧
Xét đa thức thuần nhất cấp 𝑛 tổng quát, nó có dạng:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎0,0,𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎1,0,𝑛−1 𝑥 + 𝑎0,1,𝑛−1 𝑦 𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑘 ,0,𝑛−𝑘 𝑥 𝑘 +
+ 𝑎𝑘 −1,1,𝑛−𝑘 𝑥 𝑘−1 𝑦 + ⋯ + 𝑎𝑜 ,𝑘 ,𝑛−𝑘 𝑦 𝑘 𝑧 𝑛−𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛,0,0 𝑥 𝑛 +
+ 𝑎𝑛−1,1,0 𝑥 𝑛−1 𝑦 + ⋯ + 𝑎0 ,𝑛,0 𝑦 𝑛 𝑧 0

(1.37)

Số các hệ số 𝑎𝑖 ,𝑗 ,𝑘 của 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘 là:
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 + 1 =

𝑛+ 1 𝑛 +2
2

Để đa thức trên là điều hòa ta phải có: ∆𝐹 = 0

(1.38)

∆𝐹 là một đa thức thuần nhất cấp 𝑛 − 2. Vậy số hệ số của nó là

𝑛−1 𝑛
2

Hệ (1.38) thu được bằng cách cho triệt tiêu các hệ số của nó. Vậy (1.38) cho ta
𝑛 −1 𝑛
2

hệ thức giữa

𝑛 +1 𝑛 +2
2

hệ số của (1.37). Điều đó có nghĩa là đa thức điều hòa 𝐹

thuần nhất cấp 𝑛 là tổ hợp tuyến tính của:

𝑛+1 𝑛+2

2

2𝑛 + 1 đa thức điều hòa thuần nhất cấp 𝑛 cơ bản.

Trang 20

−

𝑛 −1 𝑛
2

=

𝑛 2 +3𝑛+2−𝑛 2 +𝑛
2

=