LUẬN văn sư PHẠM vật lý PHÉP BIẾN đổi LAPLACE và ỨNG DỤNG vào PHÂN TÍCH các MẠCH điện cơ bản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

Đề tài:

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ ỨNG DỤNG VÀO
PHÂN TÍCH CÁC MẠCH ĐIỆN CƠ BẢN

GVHD: THS. Lê Văn Nhạn

SVTH: Lê Đức Thảo
MSSV: 1070256
Lớp: SP Vật Lý 02 – K33

Cần thơ, 2011


LỜI CẢM TẠ
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài
luận văn này, em đã gặp không ít khó
khăn. Nhưng nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình
của quý thầy cô trong Bộ Mô Vật Lý
Khoa Sư Phạm mà đặc biệt là sự hướng
dẫn tận tình của thầy Lê Văn Nhạn và
thầy Lê Phương Quân. Em chân thành
cảm ơn thầy đã giúp đỡ em rất nhiều để
em hoàn thành tốt đề tài luận văn tốt

nghiệp của mình.
Em cũng xin cảm ơn chân thành quý
thầy cô ở bộ môn Vật lý đã động viên,
giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian thực
hiện đề tài.
Do điều kiện còn hạn chế về thời
gian nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót, sai lầm có thể có. Em rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của quý
thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này
ngày càng hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn
Sinh viên thực hiện
Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

MỤC LỤC
Mục lục ................................................................................................................... 1
Lời cảm tạ ............................................................................................................... 3
A. PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 4
1. Đề tài................................................................................................................ 4
2. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 4
3. Đối tượng và giớ hạn nghiên cứu ...................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 5
5. Nội dung của bản luận văn................................................................................ 5
B. PHẦN NỘI DUNG............................................................................................ 6

Chương I: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ............................................................. 6
1.1 Định nghĩa ...................................................................................................... 6
1.2 Điều kiện tồn tại đối với biến đổi Laplace....................................................... 6
1.3 Ví dụ về tìm biến đổi Laplace của các hàm thông dụng .................................. 8
1.3.1 Hàm bậc thang đơn vị .................................................................................. 8
1.3.2 Hàm mũ f (t )  e  at ...................................................................................... 9
1.3.3 Các hàm lượng giác cos(at ), sin( at ) : ............................................................. 9
1.3.4 Hàm lũy thừa f (t )  t n với n  0,1, 2, 3, ... ................................................... 10
1.4 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ....................................................... 11
1.4.1 Tính chất tuyến tính ................................................................................... 11
1.4.2 Tính chất dời theo s.................................................................................... 12
1.4.3 Tính chất dời theo t.................................................................................... 13
1.4.4 Tính chất đổi thang đo ............................................................................... 15
1.4.5 Biến đổi Laplace của đạo hàm ................................................................... 16
1.4.6 Biến đổi Laplace của tích phân .................................................................. 18
1.4.7 Nhân cho t n ............................................................................................... 19
1.4.8 Chia cho t .................................................................................................. 20
1.4.9 Biến đổi Lapalce của hàm tuần hoàn.......................................................... 21
1.4.10 Mối liên hệ giữa giá trị đầu của f(t) và giá trị cuối của F(s) ...................... 23
1.4.11 Mối liên hệ giữa giá trị cuối của f(t) và giá trị đầu của F(s) ...................... 24
1.4.12 Tính tích phân suy rộng ........................................................................... 25
1.5 Các cặp biến đổi Laplace thông dụng............................................................ 25
Chương II: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC .......................................... 28
2.1 Định nghĩa .................................................................................................... 28
2.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược............................................. 28
2.2.1 Tuyến tính ................................................................................................. 28
2.2.2 Tính chất dời thứ nhất (dời theo s) ............................................................. 28
2.2.3 Tính chất dời thứ hai (dời theo t)................................................................ 29
2.2.4 Tính chất đổi thang đo ............................................................................... 30
2.2.5 Biến đổi Laplace ngược cuả đạo hàm......................................................... 31

2.2.6 Biến đổi Laplace ngược của tích phân........................................................ 31
2.2.7 Nhân cho s n ............................................................................................... 32

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 1/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

2.2.8 Chia cho s n ................................................................................................ 33
2.3 Tích chập...................................................................................................... 35
2.4 Biến đổi Laplace ngược của các hàm hữu tỉ ................................................. 35
2.4.1 Trường hợp Q(s) chỉ có nghiệm đơn (thực) ............................................... 36
2.4.2 Trường hợp Q(s) chỉ có nghiệm bội (thực) ................................................ 37
2.4.3 Trường hợp Q(s) chỉ có nghiệm liên hợp phức (đơn) ................................ 38
2.4.4 Trường hợp Q(s) chỉ có cặp nghiệm liên hợp phức lặp lại ........................ 40
Chương III: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ PHÂN TÍCH CÁC
MACH ĐIỆN CƠ BẢN.................................................................. 42
3.1 Định luật Ohm ............................................................................................. 42
3.1.1 Điện trở R ................................................................................................. 42
3.1.2 Điện cảm L ............................................................................................... 43
3.1.3 Điện dung C.............................................................................................. 43
3.1.4 Mạch RLC nối tiếp.................................................................................... 44
3.1.5 Mạch RLC song song................................................................................ 47
3.1.6 Định luật Kirchhoff I, II ............................................................................ 49

3.2 Khảo sát một số mạch điện cơ bản. .............................................................. 49
3.2.1 Mạch RL mắc nối tiếp............................................................................... 49
3.2.2 Mạch RC mắc nối tiếp .............................................................................. 54
3.2.3 Một số bài tập thêm .................................................................................. 59
C. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 65
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 66

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 2/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Đề tài
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC
MẠCH ĐIỆN CƠ BẢN
Sinh viên thực hiện: Lê Đức Thảo
Lớp: Sư Phạm Vật Lý 02

MSSV: 1070256

Khóa: 33

Sđt: 0949479129

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Lê Văn Nhạn
Đơn vị công tác: Bộ Môn Vật Lý, Khoa Sư Phạm, Trường Đại Học Cần Thơ.
2. Lý do chọn đề tài:
Ta đã biết, phương pháp tích phân Fourier hay phương pháp ma trận đã cho
những kết quả tuyệt vời khi nghiên cứu các mạch điện với lối vào là các tín hiệu
tuần hoàn. Trong chế độ đó, mạch điện hoạt động ở chế độ xác lập. Tuy nhiên trong
thực tế, quá trình chuyển từ chế độ xác lập này sang chế độ xác lập kia được gọi là
chế độ quá độ, hay tín hiệu lối vào không phải là tín hiệu tuần hoàn mà là một xung
điện bất kỳ, ta không thể khai triển thành chuổi Fourier được. Mặc khác, việc
nghiên cứu các quá trình trong mạch điện, đặc biệt là quá trình quá độ trong các
mạch điện được thực hiện nhờ giải các phương trình vi phân, đây là một công việc
rất dài dòng và phức tạp. Tuy nhiên, với các phương pháp toán tử, đặc biệt là toán
tử Laplace, nhờ sự đổi biến, đã chuyển các phương trình vi phân phức tạp thành các
phương trình đại số đơn giản, cho nên việc nghiên cứu các quá trình trong mạch
điện trở nên đơn giản hơn.
Như vậy, phép biến đổi Laplace là công cụ hữu ích giúp ta nghiên cứu mọi quá
trình xảy ra trong mạch điện, từ quá trình quá độ đến quá trình xác lập và sự chuyển
dời từ quá trình xác lập này sang quá trình xác lập khác đối với một tín hiệu lối vào
bất kỳ.
Ngoài việc tự thân nó rất thú vị về mặt lý thuyết, phép biến đổi Laplace còn
cho ta nhiều phương pháp dễ dàng và hiệu nghiệm để giải nhiều bài toán phát sinh

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 3/65

SVTH: Lê Đức Thảo

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

từ nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác nhau. Mặt khác, là một sinh viên ngành
Vật Lý thì nghiên cứu các mạch điện là một phần trong chuyên môn cộng với sự lý
thú và hữu ích của phép biến đổi Laplace nên tôi chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔI
LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC MẠCH ĐIỆN CƠ BẢN”
là đề tài nghiên cứu tốt nghiệp của mình.
3. Đối tượng và giới hạn nghiên cứu:
Nghiên cứu phép biến đổi Laplace của một hàm thực, các tính chất của nó và
các ví dụ minh họa.
Nghiên cứu phép biến đổi Laplace ngược của một hàm thực, các tính chất của
nó và các ví dụ minh họa.
Phân tích các mạch điện cơ bản nhờ phép biến đổi Laplace.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng phương pháp tìm tòi, phân tích, so sánh, tổng hợp và khái quát hóa
các tài liệu liên quan đến phép biến đổi Laplace.
5. Nội dung bản luận văn:
Luận văn gồm 3 chương:
Chương I: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Chương II: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
Chương III: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ PHÂN TÍCH
CÁC MẠCH ĐIỆN CƠ BẢN

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 4/65

SVTH: Lê Đức Thảo

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

B. PHẦN NỘI DUNG
Chương I:
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1 Định nghĩa:
Cho f (t ) là hàm số xác định trong khoảng hữu hạn hay vô hạn (a, b) và

K (t , s ) là hàm của biến t và tham số s . Khi đó
b

(1.1)

F ( s )   K (t , s ) f (t )dt
a

được gọi là phép biến đổi tích phân của f (t ) , còn K (t , s ) được gọi là nhân của
phép biến đổi này. Hàm F (s ) được gọi là ảnh của biến đổi hay là biến đổi của

f (t ) , còn f (t ) gọi là hàm gốc hay gọi là biến đổi ngược của F (s ) . Với K (t , s ) , a
và b đã cho, nếu thay một hàm f (t ) vào (1.1) và tính tích phân, thì ta được (nếu
tích phân tồn tại) một hàm mới F (s ) .
Nếu nhân của (1.1) được chọn là K (t , s )  e  st và các cận lấy tích phân được
chọn là a  0 , b   thì phép biến đổi tích phân tương ứng đươc gọi là phép biến
đổi Laplace. Miền xác định của F (s ) là tập mọi giá trị của s sao cho tích phân
(1.1) tồn tại. Vậy biến đổi Laplace của f (t ) là:



F ( s)   e
0

T
 st

f (t )dt  lim  e st f (t )dt
T 

(1.2)

0

và cũng thường được ký hiệu là L f (t ); s hay gọn hơn là L f (t ).
Chú ý: với s    i trong đó  ,   R thì F (s ) là biến đổi Laplace dạng
phức. Khi   0 thì F (s ) là biến đổi Laplace thực. Và ta thừa nhận là các tính chất
của biến đổi Laplace phức đều đúng cho biến đổi Laplace thực.
1.2 Điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace:
Nhắc lại khái niệm hàm số liên tục từng khúc.

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 5/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Định nghĩa 1.1: Hàm số f (t ) được gọi là liên tục từng khúc trên khoảng

a, b nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng, trừ ra một số hữu hạn các điểm gián
đoạn mà tại đó nó có bước nhảy hữu hạn. Hàm số f (t ) được gọi là liên tục từng
khúc trên [0,) (hay trên t  0 ) nếu:
 Tồn tại lim f (t )
t 0 

 f (t ) liên tục từng khúc trên mỗi khoảng con hữu hạn của (0,) .
Ngoài ra một đặc trưng quan trọng nữa của một hàm f (t ) xác định trong
khoảng (0,) cũng được xét đến là:
Định nghĩa 1.2: Nếu tồn tại một hằng số thực c0 sao cho

lim f (t ) ect 
t 

0

nếu c  c0

Không tồn tại

nếu c  c0

 

thì hàm số f (t ) được gọi là có bậc mũ c0 và được ký hiệu là O e c0t .

Để khảo sát điều kiện tồn tại biến đổi Laplace của một hàm f (t ) , ta cần chứng
minh rằng nếu s thỏa điều kiện đó thì tích phân biến đổi Laplace


F ( s )   e  st f (t )dt
0

hội tụ. Điều này hiển nhiên đạt được nếu




0

0

F ( s)   e  st f (t ) dt   e  ct f (t ) dt  
trong đó c  Re(s ) . Bây giờ giả sử f (t ) là một hàm liên tục từng khúc trên t  0 và

 
f (t )  O e  nên suy ra với   0 là số nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại t

có bậc mũ O e c0t . Lấy c tùy ý thỏa c0  c . Khi đó tồn tại c1 sao cho c0  c1  c .
Do

c0t

f (t ) e  c1t   ,

0

sao cho

t  t0

Từ đó ta được:


t0



 ct
 ct
 ct
 e f (t ) dt   e f (t ) dt   e f (t ) dt
0

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

0

Trang 6/65

t0

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Trong đó thì tích phân thứ nhất hiển nhiên tồn tại do f (t ) liên tục từng khúc,
còn tích phân thứ hai thì thỏa






 c  c t
c t
 c  c t
 ct
 e f (t ) dt   e 1 f (t ) e 1 dt    e 1 dt

t0

t0

t0

Do tích phân cuối ở trên hội tụ (c  c1 ) nên ta đã chứng minh được tích phân
biến đổi Laplace hội tụ tuyệt đối trong nửa mặt phẳng Re( s )  c  c0 . Mặt khác ta
cũng có thể chứng minh được tích phân biến đổi Laplace hội tụ đều đối với

Re( s )  c2  c0 . Vậy ta đã chứng minh được định lý sau:

 

Định lý 1.1: Nếu f (t ) là hàm liên tục từng khúc trên t  0 và là O e c0t thì

f (t ) có một biến đổi Laplace trong nửa mặt phẳng Re( s )  c0 . Hơn nữa, tích phân
tích phân biến đổi Laplace hội tụ tuyệt đối và đều đối với Re( s )  c1  c0 .
Từ nay về sau ta chỉ xét các hàm số f (t ) mà biến đổi Laplace F (s ) tồn tại và
cũng chỉ xét các giá trị của s ở trong khoảng hội tụ.
Để ý rằng giới hạn dưới trong tích phân (1.2) là t  0 và đây là ngay thời điểm
bắt đầu khảo sát mạch điện thì f t   0 tức là năng lượng dự trữ trong mạch điện
là không có và năng lượng này chỉ được tính từ thời điểm t  0 . Đó là đối với các
hàm bình thường (mạch điện đơn giản), lúc này ta có thể thay t  0  (thời điểm
ngay trước lúc khảo sát mạch điện, t  0 ) hay t  0  cho t  0 thì không thay đổi
gì đến các đặc tính của mạch điện đang khảo sát. Tuy nhiên, đối với các hàm f t 
phức tạp (mạch điện phức tạp) thì ta phải xét t  0  để kể luôn điện tích chồng
chất đã có sẵn trong mạch tại thời điểm bắt đầu khảo sát. Do đó, giới hạn dưới trong
tích phân (1.2) được chọn là t  0  .
1.3 Ví dụ về tìm biến đổi Laplace của

h(t )

các hàm thông dụng:
1.3.1 Hàm bậc thang đơn vị:
Cho hàm bậc thang đơn vị :
0
nếu t  0
h(t ) 
1
nếu t  0

O

Hình 1.1: Đồ thị hàm bậc thang đơn vị

h(t )
BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 7/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Ta có:




F ( s )   e  st h(t ) dt   e  st dt 
0

0

e  st
s



e s e s0 1


 nếu s  0
s
s
s   s

 lim
0

1.3.2 Hàm mũ f (t )  e  at :
Ta có:


F ( s )  L f (t ) 

e


 st

f (t ) dt 

0

e
0

 st  at

e

dt

0



Hay F ( s ) 

e

 ( s  a )t

e   s  a t 
1
dt 

 s  a  0  s  a

Tương tự, với hàm f (t )  e at ta cũng tìm được biến đổi Laplace của nó là:

 

F ( s )  L e at 

1
sa

1.3.3 Các hàm lượng giác cos(at ), sin( at ) :
Với f (t )  cos(at ) ta có:





F ( s )  L f (t )   e  st f (t )dt   e  st cos( at ) dt
0

u  cos(at )
Đặt: 

 st
dv

e
dt


0

du  a sin( at ) dt


e  st
v



s


 e  st
 F ( s )  cos(at ) 
s


   e  st
  
 0  0  s a sin( at ) dt


dn  a cos( at ) dt
n  sin( at )

Đặt: 


e  st
 st
dv

e
dt
v




s


BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 8/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

 e  st
 F ( s )   cos(at )
 s
 e  st
  cos(at )
 s

  a 
  st
  sin( at )  e
 0 s 

s




 a
  st

  sin( at ) e
 0 s
 s



 e  st
Hay F ( s )   cos(at )
 s


   e  st
  
a
cos(
at
)
dt

 0 0 s



  a 2   st
 
 0  s 2 0e cos(at )dt


 a
  st

  sin( at ) e
 0 s
 s



  a2
 
 0  s 2 F ( s)




 a2 
e  st
a


 1  2  F ( s )  
cos( at )  2 e  st sin( at )
s
s 
s
0
0



s 2  e  st
a  st

 F (s)  2

cos(
at
)

e
sin(
at
)


s  a2  s
s2
0
0 

Hay F ( s ) 

 e at
s



s
cos(
at
)

a

sin(
at
)


0

s2  a2
s2  a2




Với f (t )  sin( at ) ta có: F ( s )  L f (t )   e  st f (t ) dt   e  st sin( at ) dt
0

0

Các bước tìm F (s ) của hàm f (t )  sin( at ) cũng thực hiện tương tự như đối
với hàm f (t )  cos(at ) và cuối cùng ta được kết quả là:


F (s)   e

 st

0

e  at
sin(at ) dt  2

 s cos(at )  a sin(at ) 0   2 a 2
2
s a
s a

1.3.4 Hàm lũy thừa f (t )  t n với n  0,1, 2, 3,...
Ta có:


F ( s )  L f (t )   e


 st

f (t )dt   e st t n dt

0

0

du  nt n 1dt
u  t n

Đặt: 

e  st
dv  e  st dt
v  

s

Ta suy ra:

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 9/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp



L t n  t n

e  st
s

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn



e  st n 1
n
n
nt dt   e  st t n 1dt  L(t n 1 ) nếu s  0
s 0
s
0 s


 
0



Ta được: L t n 

n
L(t n 1 )
s

Từ hệ thức truy hồi này cho ta:

n n 1 n  2 n  3
n!
L tn  .
.
.
... Lh(t )  n 1 nếu s  0
s s
s
s
s



1.4 Các tính chất của phép biến đổi Laplace:
1.4.1 Tính chất tuyến tính:
Định lý 1.2: Nếu F1 ( s ) và F2 ( s ) lần lược là biến đổi Laplace của hàm f1 (t )

và f 2 (t ) thì với mọi hằng số (thực hay phức) C1 và C 2 ta có

LC1 f1 (t )  C 2 f 2 (t )  C1 F1 ( s )  C2 F2 ( 2)  C1 L f1 (t )  C 2 L f 2 (t )
Chứng minh:
Ta có:


LC1 f1 (t )  C 2 f 2 (t ) 


 st

 e C1 f1 (t )  C 2 f 2 (t )dt   e
0


 st

C1 f1 (t ) dt   e  st C 2 f 2 (t ) dt

0

0





0

0

Hay LC1 f1 (t )  C 2 f 2 (t )  C1  e  st f1 (t ) dt  C 2  e  st f 2 (t ) dt
 C1 F1 ( s )  C 2 F2 ( s )

Ví dụ 1.1:
Cho hàm f (t )  3t 4  2 cos(3t )  4et . Hãy tìm L f (t ).
Giải
Ta có:





L 3t 4  2 cos(3t )  4et  3L(t 4 )  2 Lcos(3t )  4 L(et )

4!
s
1
 2. 2
 4.
5
s 1
s
s 9
72
2s
4
 5 2


s
s  9 s 1
Ví dụ 1.2: Tìm biến đổi Laplace của các hàm cos(at ) và sin(at ) , với a là
 3.

hằng số thực.

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 10/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Giải
Theo công thức Euler ta có:


e iat  e iat
cos(
at
)

e  cos( at )  i sin( at )  
2


iat
 iat
e
 cos( at )  i sin( at )  
e  e iat
sin(
at
)


2i
iat

 Với f (t )  cos(at ) ta có:

 e iat  e iat  1
iat
iat
F ( s )  Lcos( at )  L 
  L (e )  L(e )
2

 2
1 1
1 
s
Nếu s  0
 

 2

2  s  ia s  ia  s  a 2





 Với f (t )  sin( at ) ta có:

 e iat  e iat  1
F ( s )  Lsin(at )  L 
L(e iat )  L (e iat )

2i

 2i
1 1
1 
a
Nếu s  0
 

 2
2i  s  ia s  ia  s  a 2





1.4.2 Tính chất dời theo s:





Định lý 1.3: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L e  at f (t )  F ( s  a ) , với a là một
hằng số.
Chứng minh:
Ta có:









0

0

L e  at f (t )   e  st e  at f (t ) dt   e  s  a t f (t ) dt
Đặt u  s  a ta được:



Le

 at





f (t )   e ut f (t )dt  F (u )  F ( s  a )
0

Định lý 1.3 đã được chứng minh.
Định lý này có thể diển tả bằng lời như sau: Biến đổi Laplace của e  at nhân
cho một hàm f (t ) sẽ bằng biến đổi F(s) của f (t ) với s thay bởi (s + a).

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 11/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Từ tính chất trên ta suy ra các công thức sau:









L e at cos(bt ) 
L e at sin( bt ) 





L e at t n 

sa

Nếu Re( s  a)  0

s  a 2  b 2
b

Nếu Re( s  a )  0

s  a 2  b 2

n!

Nếu Re( s  a)  0

s  a n1

Ví dụ 1.3: Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau:
a). f (t )  e 2t cos3t 

b). f (t )  e t sin 4t 

c). f (t )  t 2 e 4t

Giải









a). Ta có: L e  2t cos3t  
b). Ta có: L e  t sin 4t  





c). Ta có: L t 2 e 4t 

s2

s  22  9
4

s  12  16

2

s  43

1.4.3 Tính chất dời theo t:
Định lý 1.4: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L f (t  a )h(t  a )  e  as F ( s ) , với a là
một hằng số.
Trong đó hàm số h(t  a ) là hàm bậc thang đơn vị được xác định bởi:
h(t-a)

0
h(t  a )  
1

ta
ta

O

a

Hình 1.2: Đồ thị hàm bậc thang đơn vị h(t  a )

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 12/65

SVTH: Lê Đức Thảo

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Chứng minh:

Ta có:




0

a

L f (t  a )h(t  a )   f (t  a) h(t  a)e  st dt   f (t  a )e  st dt
Bằng cách đổi biến u  t  a , ta nhận được:


L f (t  a ) h(t  a ) 



 f (u )e

 s (u  a )

du  e

as

0

 f (u )e

 su

du

0

Vì các biến tích phân t, u đều nhận giá trị trong 0; ) nên ta được:


L f (t  a )h(t  a)  e as





f (u )e su du  e as

0

 f (t )e

 st

dt  e as F ( s )

0

Vậy định lý 1.4 đã được chứng minh.
Từ định lý 1.4 ta suy ra hai trường hợp sau:
L f (t )h(t  a )  e  as L f (t  a )

Lh(t  a )  e  as

1
,
s

a0

Ta thử xem đồ thị của hàm f (t  a ) h(t  a ) được suy ra từ đồ thị của hàm

f (t ) như thế nào. Giả sử ta có f (t )  t 2 , f (t  a )  t  a 2 có đồ thị lần lượt là: (ở
đây ta xét a = 2)

t2

Hình 1.3: Đồ thị của hàm f (t )  t

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

t  2 2

2

2

Hình 1.4: Đồ thị của hàm f (t  2)  t  2 

Trang 13/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

2

thì ta thấy đồ thị của hàm f (t  2)  t  2  được suy từ đồ thị của hàm f (t )  t 2
bằng cách dời phải một khoảng a = 2.

Nếu nhân hàm f (t  2)  t  2 2 cho hàm bậc thang đơn vị h(t  2) ta sẽ được
hàm f (t  2)h(t  2) . Đồ thị của nó được suy từ đồ thị của hàm f (t  2)  t  2 2
bằng cách dời phải một khoảng a = 2 xong cắt bỏ phía trái

f (t  2) h(t  2)
h(t  2)

Hình 1.6: Đồ thị của hàm h(t  2)

Hình 1.7: Đồ thị của hàm f (t  2) h(t  2)

Tổng quát, tính chất dời theo t được diển tả như sau: Nếu f (t ) có biến đổi

Laplace là F (s ) thì hàm f (t  a ) h(t  a ) {mà đồ thị suy ra từ đồ thị của f (t ) bằng
cách dời phải một khoảng a xong cắt bỏ phía trái} sẽ có biến đổi Laplace là
e  as F (s ) .
cos(t  2 )

3

t  2

0

t  2

Ví dụ 1.4: Tìm F (s ) nếu f (t )  

3
3

Giải:
Ta đã có: L(cos t ) 

s
nên theo định lý 1.4 ta được:
s 1
2

L f (t ) 

2s
se 3

s2  1

1.4.4 Tính chất đổi thang đo:
Định lý 1.5: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L f (at ) 

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 14/65

1 s
F   , với a > 0
a a

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Chứng minh:


Ta có : L f ( at )   e  st f (at )dt
0

Đặt u  at  dt 

du

a

 L f ( at ) 

 s u
e a



f (u )

0

du 1  s 
 F 
a
a a

Vậy định lý đã được chứng minh.
1
 sin t 
 sin at 
  arctan , hãy tìm L

s
 t 
 t 

Ví dụ 1.5: Biết rằng L

Giải:
 sin at  1  sin at 
 sin at 
 sin at 
  L
  L
  aL

 at  a  t 
 t 
 at 

Ta có: L

1
 sin t 
Với L
  arctan và theo định lý 1.5 ta được:
s
 t 

1
1
a
 sin at  1
L
 arctan
  arctan
s
a

s
 at  a
a
1
a
a
 sin at 
 sin at 
Suy ra L
  aL
  a arctan  arctan
a
s
s
 t 
 at 
1.4.5 Biến đổi Laplace của đạo hàm:
Định lý 1.6: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L f ' (t )  sF ( s )  f (0)
Chứng minh:


Ta có: L f ' (t )   e  st f ' (t )dt
0

u  e  st
du   se  st dt
Đặt: 

dv  f ' (t )dt
v  f (t )

Tính tích phân từng phần ta được:

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 15/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn



L f ' (t )  f

(t )e  st 0 

 s  e  st f (t ) dt
0

Vì theo giả thuyết thì tồn tại biến đổi Laplace của hàm f (t ) , hay ta có

 

L f (t )  F ( s ) cho nên f (t )  O e0t nghĩa là tồn tại s  0 = bằng hoành độ hội
tụ của f (t ) thế thì ta có: lim f t e  st  0
t 

Mặt khác ta có: f (0)e  s 0   f (0)
Vậy L f ' (t )   f 0    sF s   sF s   f 0   . Định lý 1.6 đã được chứng
minh.





Hệ quả 1.6: L f n  (t )  s n F ( s )  s n 1 f (0)  s n  2 f ' (0)  ...  f n 1 0  
Chứng minh:
Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh hệ quả này đúng.
Với n  1 thì L f ' (t )  sF ( s )  f (0) . Theo định lý 1.6 thì hệ quả 1.6 đúng
với n  1 .
Giả sử hệ quả 1.6 đúng với n  1 , tức ta có:





L f n 1 (t )  s n 1 F ( s )  s n  2 f (0)  s n  3 f ' (0)  ...  f n  2  0  

Ta chứng minh hệ quả 1.6 đúng với n.



 







Ta có: L f n  (t )  L ( f n 1 (t ))'  sL f n 1 (t )  f n 1 (0)
Do hệ quả 1.6 đúng với n-1 nên ta được:



 
 



L f n  (t )  s s n 1 F ( s )  s n  2 f (0)  s n  3 f ' (0)  ...  f n  2  0    f n 1 (0)
 L f n  (t )  s n F ( s )  s n 1 f (0)  s n  2 f ' (0)  ...  sf n  2  (0)  f n 1 (0)

Vậy hệ quả 1.6 đúng với n.
Ví dụ 1.6: Dùng định lý 1.6 chứng minh rằng:

 

a). L e  at 

1
sa

b). Lsin at  

a

s2  a2

Giải:

 f ( 0 )  1
a). Đặt f (t )  e  at  
 at
 f ' (t )  ae   af (t )

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 16/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Theo định lý 1.6 ta có:

L f ' t   L af (t )  sL f (t )  1
 aL f t   sL f (t )  1  L f (t ) 

1
sa

 

hay L e  at 

1
sa

 f ( 0 )  0
 f ' (t )  a cos at

b). Đặt f (t )  sin at  
2
 f ' ' (t )  a sin at
 f ' ( 0 )  a

Theo định lý 1.6 ta có:





L f ' ' t   L  a 2 f (t )  a 2 L f (t )  s 2 L f (t )  sf (0)  f ' (0)
 a 2 L f (t )  s 2 L f (t )  0  a

 L f (t ) 

a
s  a2
2

hay

 L (sin at ) 

a
s  a2
2

1.4.6 Biến đổi Laplace của tích phân:

 t
 F ( s )
Định lý 1.7: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L   f (u )du  
s
0 

Chứng minh:

 g ' (t )  f (t )

0
Đặt g (t )   f (u )du  
g
(
0

)

 f (u )du  0
0

0


t

Theo định lý 1.6 ta có:

Lg ' (t )  sG ( s )  g (0)  sG ( s )  L f (t )  F ( s )
 G (s) 

t
 F ( s )
F (s)

hay L   f (u )du  
s
s
0 


Vậy định lý 1.7 đã được chứng minh.
Ví dụ 1.7:

L(cos at ) 

Hãy suy ra biến đổi L(sin at ) từ biến đổi đã biết

s
.
s2  a2

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 17/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

t

Ta có:

t
sin at
 cosau du  a  sin at  a  cosau du
0
0

 t
 t

Lcosat 

Do đó: L (sin at )  L a  cosau du   aL   cosau du   a
s
 0 

0 



s
2
a
Hay L (sin at )  a s  a  2
s
s  a2
2

1.4.7 Nhân cho t n :



dn
F s    1n F n  s 
n
ds



Định lý 1.8: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L t n f t    1n
Chứng minh:

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta sẽ chứng minh định lý này đúng.
Với n  1 ta cần chứng minh Ltf t    F ' s  .


Ta có: L f (t )  F ( s )   e  st f (t ) dt
0

Đạo hàm hai vế theo s ta được:


d   st
  st
F ' (s) 
e f (t ) dt  
e f (t )dt    te  st f (t ) dt   Ltf (t )

ds 0 
s
0
0





Hay Ltf t    F ' s  . Vậy định lý 1.8 đúng với n  1 .
Giả sử định lý 1.8 đúng với n  1 . Tức là:





L t n 1 f t    1n 1

d n 1
F s    1n 1 F n 1 s 

n 1
ds

Ta chứng minh định lý này đúng với n .









Ta có: F n  ( s )  [ F n 1 ( s )]'  [ 1n 1 L t n 1 f t  ]'  [ L  1n 1 t n 1 f t  ]'

d
Hay F n  ( s ) 



e

ds 0 

 st

n 1 n 1

 1

t



f t dt 





0

0

 F n  ( s )    t e  st  1n 1 t n 1 f t dt 

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

  st
n 1 n 1
 s e  1 t f t dt
0

n n
n
 st
n
 e  1 t f t dt   1 Lt f t 

Trang 18/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Vậy định lý 1.8 đúng với n.



Ví dụ 1.8: Tìm Lt sin at, L t 2 cos at



Giải:
Theo định lý 1.8 ta có:

Lt sin at   1L ' (sin at )  

d
a
2as

2
2
ds s  a
s2  a2





2

d2
s
2 s 3  6a 2 s
L t cos at  L (cos at )  2 2

3
ds s  a 2
s2  a2





2

2 





1.4.8 Chia cho t:


 f t  
Định lý 1.9: Nếu L f (t )  F ( s ) thì L 
   F (u ) du với điều kiện
 t  s

lim
t  0

f (t )
tồn tại.
t
Chứng minh:


Ta có: F ( s )   e st f t dt
0

Tích phân hai vế theo cận s ta có:
 
 
  e ut



 ut
 ut
F
(
u
)

du

e
f

t

dt
du

e
f

t

du
dt

f
(
t
)
dt

 
 



t

s
s 0 
0  s
0
s







e  st
 f (t ) 
f (t )dt  L 

 t 
0 t


Hay  F (u )du  
s

Vậy định lý 1.9 đã được chứng minh là đúng.


Ví dụ 1.9: Chứng minh rằng 
0



f (t )
dt   F ( s) ds với điều kiện là các các tích
t
0

 sin t

phân này hội tụ. Từ đây suy ra rằng 

0

t

dt 


2

Giải:

 f t   
 st f t 
Định lý 1.9 cho ta: L 

F
(
u
)
du


dt
e
 
t
 t  s
0

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 19/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn





Lấy giới hạn hai vế khi s  0 ta được  F (u )du  
0

0

f t 
dt .
t

Ở đây ta tự do thay biến lấy tích phân u bởi s. Cuối cùng ta được:



0


f (t )
dt   F ( s) ds đây là điều cần chứng minh.
t
0

1
s2  1

Bây giờ ta cho f (t )  sin t  F ( s ) 
 sin t

Suy ra 

t

0




1


ds

arctan
s

2
2
0 s 1
0

dt  

e u
du
u

t1

Ví dụ 1.10: Tìm biến đổi Laplace của f (t )  

0

Giải:

 t 1  eu
Theo định lý 1.5 thì L f (t )  L 
0 u

 1  e t
L

t

du   
s







Mặt khác theo định lý 1.9 thì

 1  e t
L
 t

 1
 
1 
 1
   F (u )du    
ds

ln

s

1



ln

s


ln

1  
 s
s
s

1
s



s


 t 1  e u  1  1 
Vậy L f (t )  L 
du   ln1  
u
0
 s  s
1.4.9 Biến đổi Lapalce của hàm tuần hoàn:
Định lý 1.10: Nếu f (t ) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T  0 thì
T

e
L f (t ) 

 st

f (t ) dt

0

1  e  sT

Chứng minh:
Ta có


T

2T



0

0

T

n 1

 st
L f (t )   e  st f (t ) dt   e  st f (t )dt   e  st f (t )dt  ...   (nT
f (t ) dt
n 1)T e

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 20/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Vì f (t ) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T nên trên mỗi đoạn

n  1T , nT 

ta

thực hiện đổi biến t  u  (n  1)T  u  t  (n  1)T lúc này ta được
T

T



0

0

n 1

L f (t )   e  st f (t ) dt   e  s (u  T ) f (u )du  ...   0T e  su  ( n 1)T  f (u ) du
T

T



0

0

n 1

 L f (t )   e  st f (t ) dt  e  sT  e  su f (u )du  ...   e  s ( n 1)T 0T e  su f (u )du


Hay  L f (t )  0T e  su f (u ) du  e  s ( n 1)T
n 1



Trong đó  e  s ( n 1)T là tổng các số hạng của cấp số nhân với cộng bội là
n 1

e sT  1 nên ta được



e

 s ( n 1)T

 1  e  sT  e  2 sT  e  3sT  ... 

n 1
T



Vậy L f (t )   e su f (u )du  e  s ( n1)T 
0
n 1

1
1  e  sT

T

1
1  e  sT

0 e

 su

f (u ) du

Ta có thể thay cận lấy tích phân u bằng t . Cuối cùng ta được
T

 st

 e f (t )dt
L f (t )  0 
1  e  sT
Định lý 1.10 đã được chứng minh là đúng.
sin t
0

Ví dụ 1.11: Cho hàm chỉnh lưu bán sóng f (t )  
kỳ T  2 . Tìm L f (t ).

0t 
với chu
  t  2

f (t )

Giải:
Vì f (t ) là hàm tuần hoàn với

1

chu kỳ T  2 nên theo định lý 1.10
2

ta có: L f (t ) 

e

 st

sin t dt

0

1  e  2s

Trong đó thì:

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33



O

2

t
3

Hình 1.8: Đường sin chỉnh lưu bán sóng

Trang 21/65

SVTH: Lê Đức Thảo

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

2



e

 st

2

sin t dt   e

0

 st

sin t dt   e st sin t dt  A


0

Vì f (t )  0 khi   t  2 nên ta được


A  e


 st

sin t dt  0   e st sin t dt

0

u  sin t
Đặt: 

 st
dv

e
dt


0

du  cos t dt


e st
v



s



Ta được

A   sin t

e  st
s






0

e  st
e st
cos
t
dt


sin
t
 s
s
0
e  st
A   sin t

s



 cos t
0





e  st
 cos t 2
s
0


0

e  st
s2





e  st
sin t dt
2
s

0


0

A
s2

1 s2  
A
e st
e  st



 A  2  A 2     sin t
 cos t 2
s
s
s
 s  




 0



e st  s sin t  cos t 

 A

Vậy L f (t ) 

A
1  e 2s

0

1 s2



1  e s
1 s2

1  e s
2
1  e s
1
1

s



 2s
 2s
2
s

1 e
1 e
1 s
1 e
1 s2





 





1.4.10 Mối liên hệ giữa giá trị đầu của hàm gốc và giá trị cuối của hàm ảnh:
Định lý 1.11: Nếu L f (t )  F ( s ) thì lim f (t )  f (0)  lim sF ( s ) , với điều
t 0 

s 

kiện các giới hạn này tồn tại.
Chứng minh:
Giả sử f (t ) liên tục tại t  0 và f ' (t ) thỏa các điều kiện của định lý 1.1. Do
đó ta có lim L f ' (t )  0
s 

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 22/65

SVTH: Lê Đức Thảo


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: ThS Lê Văn Nhạn

Mặt khác, theo định lý 1.6 thì L f ' (t )  sF ( s )  f (0)
Suy ra lim L f ' (t )  lim sF ( s )  f (0)  lim sF ( s )  f (0)  0
s 

s 

s 

Hay lim sF ( s )  f (0)
s 

Vì f (t ) liên tục tại t  0 nên f (0)  f (0)  lim f (t ) nên
t 0

lim f (t )  f (0)  lim sF ( s ) .Vậy định lý 1.11 đã được chứng minh là đúng.
t 0 

s 

Ví dụ 1.12:Ta xét giá trị đầu hàm gốc và giá trị cuối hàm ảnh của f (t )  4e 3t
Giải:





Ta có L 4e  3t 
Ta thấy

4
s3

 3t
lim f (t )  lim 4e  4  lim sF ( s )  lim s
t 0

t 0

s 

s 

4
. Nghiệm đúng
s 1

định lý 1.11.
1.4.11 Mối liên hệ giữa giá trị cuối của hàm gốc và giá trị đầu của hàm ảnh:
Định lý 1.12: Nếu L f (t )  F ( s ) thì lim f (t )  f ()  lim sF ( s ) , với điều kiện
t 

s 0

các giới hạn trên tồn tại.
Chứng minh:
Giả sử f (t ) liên tục tại t  0 và f ' (t ) thỏa các điều kiện của định lý 1.1.
Nên theo định lý 1.6 thì

L f ' (t )  sF ( s )  f (0)  lim L f ' (t )  lim sF ( s )  f (0)
s 0

(*)

s 0

Ta có


L f ' (t )   e  st f ' (t )dt
0










 lim L f ' (t )  lim  e  st f ' (t ) dt   lim e  st f ' (t ) dt   f ' (t ) dt

s0

s 0 0

Hay lim L f ' (t )  f (t )
s 0

0 s 0

0



 lim f (t )  f (0)
0

(**)

t 

Từ (*) và (**) ta được

BMVL – SP VẬT LÝ 02-33

Trang 23/65

SVTH: Lê Đức Thảo