LUẬN văn sư PHẠM TOÁN một số TÍNH CHẤT của NHÓM FRATTINI và FITTING

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

LUẬN VĂN TOÁN HỌC

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
NHÓM FRATTINI VÀ FITTING

Giáo viên hướng dẫn
Th.s Nguyễn Hoàng Xinh

Sinh viên thực hiện
Lê Vũ Trường
MSSV: 1060090
Lớp Sư Phạm Toán 02 K32

Cần Thơ 2010


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

LỜI NÓI ĐẦU
Với sự truyền đạt kiến thức và phương pháp học tập trong suốt 4 năm học
tập bởi quí thầy cô quí thầy cô trường Đại Cần Thơ đặc biệt là quí thầy cô Bộ môn
Toán Khoa Sư Phạm đã giúp em tự tin hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học của
mình. Vì lý do đó em xin trân trọng gởi lời cám ơn đến quí thầy cô Bộ môn Toán –
Khoa Sư Phạm đặc biệt là thầy Nguyễn Hoàng Xinh là giáo viên hướng dẫn thực
hiện đề tài đã giúp em vượt qua một số khó khăn, trở ngại về vấn đề chuyên môn
cũng như phương pháp nghiên cứu.
Đồng thời cũng xin cảm ơn các bạn lớp Sư phạm Toán Khóa 32 đã giúp đỡ,

động viên trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự góp
ý của quí thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Sinh viên thực hiện đề tài
Lê Vũ Trường

Trang 2


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................

...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................

Trang 3


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................

...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Trang 4


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

MỤC LỤC

BẢNG KÝ HIỆU ..................................................................................................1
PHẦN MỞ ĐẦU ...................................................................................................2
PHẦN NỘI DUNG ...............................................................................................4
Chương I. Kiến thức chuẩn bị ...................................................................4
1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm ...........................4
1.2.Nhóm con đặc trưng ...................................................................7
1.3.Nhóm giải được và siêu giải được .............................................9
1.4.p- nhóm và p-nhóm con Sylow ................................................10
1.5.Nhóm lũy linh............................................................................11
1.6.Nhóm con tối đại .......................................................................15

1.7.Các định nghĩa ..........................................................................16
Chương II. Nhóm Frattini........................................................................17
Chương III. Nhóm Fitting ........................................................................26
Chương IV. Bài tập ...................................................................................33
PHẦN KẾT LUẬN.............................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................42

Trang 5


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

BẢNG KÝ HIỆU
1

phần tử đơn vị của nhóm G, nhóm đơn vị

a|b

a là ước của b

AutG

nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G

C G (H)

tâm giao hoán của H trong G

F(G)

nhóm Fitting của nhóm G

G'

nhóm con các hoán tử của nhóm G

|G|

cấp của nhóm G

G/H

nhóm thương của nhóm G trên H

[G:H]

Chỉ số của H trong G

H G

H là nhóm con của nhóm G

H
H là nhóm con thực sự của nhóm G

H G

H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

H char G

H là nhóm con đặc trưng của nhóm G

HxK

tích trực tiếp của nhóm H và nhóm K

HK

nhóm H đẳng cấu với nhóm K

NG(H)

chuẩn hóa tử của H trong G

S

nhóm sinh bởi tập S

Sn

nhóm đối xứng bậc n

Sylp(G)

tập tất cả các p-nhóm con Sylow của nhóm G

|x|

cấp của phần tử x

Z(G)

tâm giao hoán của nhóm G

(G)

nhóm Frattini của nhóm G

Trang 6


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết nhóm được hình thành vào cuối thế kỷ thứ XIX như một nhánh độc
lập của đại số và sự ra đời của nó đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển
của nền đại số hiện đại. Nhiều khái niệm của đại số đã được xây dựng lại từ khái
niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của toán học.
Hiện nay lý thuyết nhóm là một phần phát triển nhất trong đại số và có nhiều ứng
dụng trong tôpô học, lí thuyết hàm, mật mã học, cơ học lượng tử và nhiều ngành
khoa học cơ bản khác.
Với những nhóm ban đầu được xây dựng dựa trên những tiên đề khác nhau
cùng với những phép toán cơ bản trong toán học đã tạo nên những cấu trúc nhóm
mới với những tính chất đặc biệt và có nhiều ứng dụng. Cụ thể phải kể đến hai nhóm
Frattini và Fitting. Trong đó nhóm Frattini được hình thành bằng cách giao tất cả các
nhóm con tối đại của một nhóm G nào đó, trong khi nhóm Fitting được hình thành

bằng việc tích tất cả các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của nhóm G với những tính
chất của chúng vô cùng thú vị và có nhiều ứng dụng trong trong lý thuyết nhóm.
Em nhận thấy nhóm Frattini và Fitting là hai nhóm còn khá mới đối với bản
thân em nói riêng và sinh viên Toán nói chung. Chính tính hấp dẫn chung của đề tài
cùng với mong muốn giới thiệu vấn đề đến các bạn sinh viên chuyên ngành Toán
của trường Đại học Cần Thơ mà em quyết định chọn thực hiện đề tài “Một số tính
chất của nhóm Frattini và Fitting” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Toán.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận văn là tập hợp, hệ thống hóa lại một số khái niệm, định lý
cơ sở của Lý thuyết nhóm. Đồng thời vận dụng các kiến thức này để xây dựng và
chứng minh các vấn đề trong nhóm Frattini và Fitting. Đây cũng là cơ hội để em

Trang 7


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số đặc biệt là lý thuyết nhóm – phần phát triển
nhất trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung.

III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trong khuôn khổ của đề tài em trình bày một cách tổng quan về tính chất của
một số nhóm cơ bản trong lý thuyết nhóm như nhóm đặt trưng, nhóm giải được, pnhóm, p-nhóm con Sylow, điều kiện chuẩn tắc, tối đại, tối tiểu, và một số định lý
quan trọng trong lý thuyết nhóm. Dựa trên những kiến thức cơ sở em trình bài
những vấn đề về nhóm Frattini và Fitting.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Do đặc thù của một đề tài đại số lý thuyết nên trong quá trình thực hiện em đã
sử dụng các phương pháp sau:

- Tìm hiểu và tham khảo các tài liệu liên quan.
- So sánh với các loại nhóm khác.
- Phân tích, tổng hợp tìm ra những tính chất tương tự, cũng như những tính
chất riêng.
- Trình bày các khái niệm, định lý theo một hệ thống chặt chẽ, có logic.

V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Luận văn gồm 4 chương
Chương 1: Trình bài những kiến thức tổng quan về một số khái niệm
định lý trong lý thuyết nhóm cùng với việc thừa nhận không chứng minh một
số tính chất và định lý của các nhóm cơ sở.
Chương 2 và 3: Trình bài khái niệm, định lý có liên quan về nhóm
Frattini và Fitting
Chương 4: Trình bài một số bài tập về nhóm Frattini và Fitting.

Trang 8


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm
1.1.1 Định nghĩa. Nhóm là một tập hợp G khác rỗng cùng với phép toán hai ngôi
trên G thỏa các điều kiện sau:
i) Với x, y, z  G thì (xy)z = x(yz)
ii) Với mọi x  G, tồn tại phần tử 1  G sao cho x1= 1x = x
iii) Với mỗi x  G, tồn tại phần tử x'  G sao cho xx' = x'x = 1
1.1.2 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu với mọi
x, y  G ta có xy = yx .

1.1.3 Định nghĩa. Cho G là nhóm và H là một tập con khác rỗng của G. Khi đó H
được gọi là một nhóm con của G nếu:
Với mọi x, y H ta có xy  H; x 1  H hoặc
Với mọi x, y H ta có xy 1  H.
Kí hiệu là H  G.
Dễ thấy tập hợp chỉ gồm phần tử đơn vị 1 của nhóm G lập thành một nhóm
con của G và được gọi là nhóm đơn vị. Kí hiệu là 1.
Chú ý:
i) Nhóm con 1 và G được gọi là các nhóm con tầm thường của G
ii) Nếu H  G, H  1, H  G thì H được gọi là nhóm con thực sự của G. Kí
hiệu là H < G.
1.1.4 Định nghĩa. Cho G là nhóm, S  G.
i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi S và được
kí hiệu là S .
ii) Với H  G, H  S . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh
của H.
Trang 9


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.
iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh.
Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm
xyclic.
iv) Nếu S = {x1, x2,…xn} thì S  x 1 , x 2 ,  x n .
Như vậy G là nhóm xyclic khi và chỉ khi tồn tại x  G sao cho G  x
1.1.5 Định nghĩa. Cho G là nhóm. Khi đó
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và ta kí hiệu là G . Nếu G là hữu hạn

thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại, G được gọi là nhóm vô hạn.
ii) Cấp của phần tử a  G là cấp của nhóm a và ta kí hiệu là a . Nếu a là
hữu hạn thì a được gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử
có cấp vô hạn.
1.1.6 Định nghĩa
Cho G là nhóm, H  G, a  G .
i) Tập Ha ={ha| h  H} được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H
ii) Tập aH={ah| h  H} được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H
Nhận xét. Cho G là nhóm, H  G. Khi đó, với mọi a  G ta có |aH| = |Ha| = |H|.
1.1.7. Định nghĩa. Cho G là nhóm, H  G. Chỉ số của H trong G là lực lượng của
các lớp ghép và kí hiệu [G:H].
1.1.8 Định lý Lagrăng. Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn G. Khi đó |H| là
ước của |G| và [G:H]=|G|/|H|.
1.1.9 Định nghĩa. Cho G là nhóm, H  G. Khi đó H được gọi là nhóm con chuẩn tắc
của G nếu với mọi h  H và với mọi g  G ta có ghg 1  H
1.1.10 Mệnh đề. Cho X là nhóm,

H  G và

K ≤ G. Khi đó tập:

KH = kh | k  K, h  H là nhóm con nhỏ nhất của G chứa H và K (theo quan hệ bao

hàm) và HK = KH
1.1.11 Tính chất. Cho G là nhóm. Khi đó
i) Nếu H  G , K  G thì H  K  K .
Trang 10


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

Nếu H  K thì H  K .
ii) Nếu H, K  G thì HK  G.
iii) Giao của một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của G là một
nhóm con chuẩn tắc của G.
1.1.12 Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn, H  G. Khi đó nếu p là ước nguyên tố nhỏ
nhất của |G| sao cho [G:H] = p thì H  G
1.1.13 Định nghĩa. Nhóm con H ≤ G được gọi là nhóm con subnormal nếu có một
dãy hữu hạn các nhóm con chuẩn tắc G  G 1  G 2  ...  H  1 .
1.1.14 Định nghĩa. Cho G là nhóm, H  G . Khi đó:
i) Với mỗi g  G, nhóm con g -1Hg được gọi là nhóm con liên hợp với H trong
G.
ii) N G (H)  {g  G gHg -1 = H} được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G.
iii) C G (H)  {g  G gh = hg, h  H} được gọi là tâm giao hoán của H trong G
iv) Z(G)  C G (G)  {g  G gx = xg,  x  G} được gọi là tâm giao hoán của
nhóm G.
1.1.15 Mệnh đề. Cho G là nhóm. Khi đó:
(i) Nếu H  G thì CG(H)  G.
(ii) Nếu A  G thì A  NG(A).
(iii) Z(G )  G
(iv) Nếu H  G thì g  G ta có g -1Hg = H
1.1.16 Định nghĩa. Cho G là nhóm, H  G . Tập G/H cùng với phép toán nhân sau:
xHyH = xyH với mọi x, y  H
lập thành một nhóm gọi là nhóm thương.
1.1.17 Chú ý. Nếu G là nhóm Abel thì nhóm thương G/H là nhóm Abel
1.1.18 Định nghĩa. Cho G là nhóm và x, y  G . Phần tử xyx -1 y -1 được gọi là một
hoán tử của G, kí hiệu là [x,y]. Nhóm con sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là
nhóm con các hoán tử. Kí hiệu là [G,G] hoặc G' .
Trang 11

Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

Như vậy [G,G]=  [x,y] | x,y G 
1.1.19 Mệnh đề. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G, khi đó:
(i) [G,G] là nhóm con chuẩn tắc của G và G/[G,G] là nhóm Aben
(ii) Nhóm G/H là nhóm Aben khi và chỉ khi [G, G ]  H
1.1.20 Định nghĩa. Cho G = {1, 2, …, n,…}, khi đó tập hợp tất cả các song ánh từ
G vào G là một nhóm với phép toán hợp nối các ánh xạ. Nhóm này được gọi là
nhóm hoán vị cấp n, kí hiệu là Sn.


1.1.21 Định nghĩa: Cho Sn (n > 1) thì tập con A n  f S n |




1 i  j  n


i j
 1 là
f (i)  f ( j) 

một nhóm con chuẩn tắc của Sn và được gọi là nhóm thay phiên cấp n.
1.2. Nhóm con đặc trưng
1.2.1 Định nghĩa. Cho (X,.), (Y, *) là các nhóm, ánh xạ f : X  Y được gọi là đồng
cấu nhóm nếu với mọi x1 , x 2  X ta có f x 1 x 2   f x 1  * f x 2 
i) Đồng cấu nhóm f : X  Y được gọi là đơn cấu nhóm nếu f là đơn ánh.
ii) Đồng cấu nhóm f : X  Y được gọi là toàn cấu nhóm nếu f là toàn ánh.

iii) Đồng cấu nhóm f : X  Y được gọi là đẳng cấu nhóm nếu f là song ánh.
Khi đó, ta nói X đẳng cấu với Y và kí hiệu X  Y .
iv) Tập tất cả các tự đẳng cấu của nhóm X được kí hiệu là AutX.
1.2.2 Định lý. Cho G là nhóm, H, K  G. Khi đó ta có H  K  G và

H H  K  HK/K.
1.2.3 Định lý. Cho G là nhóm, H, K  G, K  H . Khi đó H/K  G/K và

G/K  H/K   G/H.
1.2.4 Định nghĩa. Cho G là nhóm, H  G . Khi đó H được gọi là nhóm con đặc
trưng của G nếu với mọi f  AutG ta có f H  = H .
Kí hiệu là H char G
1.2.5 Ví dụ. Cho G là nhóm. Khi đó ta có
i) 1 char G, G charG
Trang 12


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

Thật vậy, f  AutG ta có f (1) = 1, f (G) = G.
ii) Xét Z(G) = x  G gx  xg, g  G ta có Z(G) char G
Thật vậy, ta có Z(G)  G. Lấy x  Z(G) , g  G , f  AutG ta có
f ( x) f (g)  f ( xg)  f (gx)  f (g)f ( x)

Mà G = f (g) g  G nên f ( x)  Z(G). Vì thế f Z(G)  Z(G), f  AutG (1)
Như vậy ta có f 1 Z(G)  Z(G), f  AutG





 Z(G)  f f 1 Z(G)  f Z(G), f  AutG (2)

Từ (1) và (2) ta có f Z(G)  Z(G), f  AutG
 Z(G) char G.

1.2.6 Tính chất. Cho G là nhóm và H, K  G .
i) Nếu f H   H, f  AutG thì H char G.
ii) Nếu H char G thì H  G.
iii) Nếu H char K, K char G thì H char G.
iv) Nếu H char K, K  G thì H  G.
Chứng minh
i) Với f  AutG ta có f 1  AutG . Do đó f 1 H   H, f  AutG .





 H  f f 1 H   f H , f  AutG .

Như vậy H  f H , f  AutG .
 H char G.

ii) Với mỗi a  G ta xét tự đẳng cấu trong của G: f a : G  G
x  axa -1

H char G  f a H   H
 h  H : aha -1  f a h   H
 HG.

iii) Với f  AutG ta có f K   K .
Khi đó f K : K  K

là một tự đẳng cấu của K.

Trang 13


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

k  f (k )

Vì H char K nên H  f K H   f H  .
Vậy f H   H, f  AutG
 H char G.

iv) Với mỗi a  G ta xét tự đẳng cấu trong của G: f a : G  G
x  axa -1

Do K  G nên f a K : K  K

là một tự đẳng cấu trong của K.

x  axa -1
Vì H char K nên f a K H   H .
Với mọi h  H ta có aha-1 = f a K h   H .
 HG.

1.3. Nhóm giải được và siêu giải được
1.3.1 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các

nhóm con G  G 0  G 1  ...  G n  1 (*) thỏa hai điều kiện sau
(i) G i  G i 1 với mọi 1  i  n
(ii) G i 1 /G i là nhóm Abel với mọi i, 1  i  n
Chuỗi (*) trong định nghĩa trên được gọi là chuỗi giải được hay dãy Abel
1.3.2 Ví dụ
i) Mọi nhóm Abel G đều là nhóm giải được với chuỗi giải được là G >1
ii) S3 là nhóm giải được với chuỗi giải được là S3  A 3  1
1.3.3. Tính chất.
i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được.
ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được.
iii) Cho nhóm G, H  G. Khi đó, G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G/H
là các nhóm giải được.
Trang 14


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

iv) Tích trực tiếp của hữu hạn nhóm giải được là nhóm giải được.
v) Nếu H, K là hai nhóm con chuẩn tắc giải được của nhóm G thì HK là
nhóm giải được.
1.3.4 Định nghĩa. Cho G là nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc của G
1  G 0  G 1  ...  G n -1  G n  G

với tất cả các nhân tử là nhóm xyclic được gọi là dãy siêu giải được của G.
Nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được.
1.3.5 Ví dụ
i) i) Cho G là nhóm xyclic. Khi đó G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải
được là 1  G
ii) S3 là nhóm siêu giải được.
Thât vậy, ta chứng minh S3 có một dãy siêu giải được.

Đặt t1 = (1 2); t2 = (1 3); t3 = (2 3)
s1 = (1 2 3); s2 = (1 3 2)
1 2 3 
 là phần tử đơn vị của S3.
e  
1 2 3 

Khi đó S3 = {e; t1; t2; t3; s1; s2}
Xét A3 = {e; s1; s2} = s1
Ta có A3  S3
Xét dãy các nhóm con chuẩn tắc của S3

e  A 3  S3 (*)
Ta có S3 A 3  2  S3 A 3 là nhóm xyclic.
A 3 e  3  A 3 e là nhóm xyclic.
 (*) là dãy siêu giải được của S3

Vậy S3 là nhóm siêu giải được.
Trang 15


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

1.3.6 Tính chất.
i) Nhóm con của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được.
ii) Cho G là nhóm siêu giải được, N  G khi đó G/N là nhóm siêu giải được.
1.4 p-nhóm và p-nhóm con Sylow
1.4.1 Định nghĩa. Nếu G là nhóm cấp pn với n là số tự nhiên và p là một số nguyên
tố thì G được gọi là p-nhóm.
1.4.2 Định nghĩa

i) Nếu H là nhóm con của nhóm G và H là p-nhóm thì H được gọi là p-nhóm
con của G.
ii) Nếu G là nhóm cấp mpn với (m,p) = 1 và H là nhóm con cấp pn của G thì
H được gọi là p-nhóm con Sylow của G.
iii) Với G là nhóm, ta gọi tập Sylp(G) là tập tất cả các p-nhóm con Sylow của
G.
1.4.3 Định lý. Cho G là nhóm, H  G. Khi đó G là p-nhóm khi và chi khi H và G/H
là p-nhóm
1.4.4. Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn, p là một ước nguyên tố của | G | . Khi đó:
i) Luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow của G.
ii) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó.
iii) Nếu n là số các p-nhóm con Sylow của G thì n  1 (mod p).
1.4.5 Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p-nhóm con Sylow với
mỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p-nhóm con Sylow của
nó.
1.4.6. Mệnh đề. Cho G là nhóm, N là nhóm con chuẩn tắc của P. Khi đó nếu P là pnhóm con Sylow của N thì PN/N cũng là p-nhóm con Sylow của G/N.
1.5 Nhóm lũy linh
1.5.1 Bổ đề. Cho G là nhóm.
i) Nếu K  G , K  H  G. Khi đó [H,G]  K  H/K  Z(G/K).
Trang 16


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

ii) Nếu H, K  G, f : G  L là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm L nào đó.
Khi đó f H, K   f (H), f K  .
iii) Nếu f : G  H là một toàn cấu và A  Z(G ) thì f (A)  Z(H) .
1.5.2 Định nghĩa
i) Nhóm con  i (G ) của nhóm G được định nghĩa bởi phép quy nạp

 1 (G )  G
 2 (G )   1 (G ), G 
…

 i 1 (G )   i (G ), G 
ii) Dãy giảm trung tâm của G là dãy

G   1 (G )   2 (G )  ...
1.5.3 Nhận xét
i)  2 (G )  G , G   G'
ii)  i 1 (G )   i (G ), i
iii)  i (G )  i 1 (G )  ZG  i 1 (G ) , i
1.5.4 Định nghĩa.
i) Nhóm con  i (G) của nhóm G được định nghĩa bởi phép quy nạp

 0 (G)  1
…



 i 1 (G)  i (G)  Z G  i (G)



ii) Dãy tăng trung tâm của G là dãy

1   0 (G)   1 (G)  ...
1.5.5 Nhận xét
i)  i (G ) ,  i (G) là những nhóm con đặc trưng của nhóm G.
ii) G là nhóm lũy linh nếu G có một dãy trung tâm.

Trang 17


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

1.5.6 Định lý Cho G là nhóm. Khi đó c  Z sao cho  c (G)  G khi và chỉ khi

 c 1 (G)  1 . Hơn thế nữa với mọi i ta có:  i1 (G )   ci (G) .
Chứng minh

  Nếu  c (G)  G ta chứng minh

 i 1 (G )   ci (G) , i .

- Với i = 0, ta có 1 (G )  G   c (G)
- Giả sử  i 1 (G )   ci (G) với i  0
Khi đó, ta có γ i  2 (G)  γ i 1 (G), G    ci (G), G 
Mà  ci (G)  ci 1 (G)  ZG  ci 1 (G)
Theo Mệnh đề 1.4.7(i) ta có  ci (G), G    ci 1 (G) . Do đó γ i  2 (G)   c-i-1 (G) .
Vậy  i 1 (G )   ci (G), i .
Đặc biệt, nếu i = c, ta có  c 1 (G )   0 (G)  1 suy ra  c1 (G )  1 .

 Nếu

 c1 (G)  1 , ta chứng minh  i 1 (G )   ci (G) , i tức là chứng minh

γ c 1 j (G)   j (G), j .

Với j = 0, ta có γ c1 (G)  1   0 (G) .
Giả sử γ c1 j (G)   j (G) với j  0

Xét toàn cấu nhóm f : G γ c1 j (G)  G  j (G)

xγ c 1 j (G)  x j (G)
Ta có γ c- j (G), G   γ c- j1 (G)
Theo Mệnh đề 1.4.7(i) suy ra γ c j (G) γ c j1 (G)  ZG γ c j1 (G) 
Theo Định lý 1.4.6, ta có f γ c j (G) γ c j1 (G)   ZG  j (G)    j1 (G)  j (G)

 γ c j (G)  j (G)  

j1

(G)  j (G)

 γ c j (G)   j1 (G)
Vậy γ c1 j (G)   j (G), j hay ta có  i1 (G )   ci (G), i .
Đặc biệt, nếu j = c, ta có G  γ1 (G)   c (G) suy ra  c (G)  G .
Trang 18


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

1.5.7 Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu c  Z sao cho  c 1 (G)  1 (*).
Số c nhỏ nhất thỏa (*) được gọi là lớp của nhóm lũy linh G.
1.5.8 Tính chất:
i) Nhóm lũy linh là nhóm giải được
ii) Mọi nhóm con của nhóm lũy linh là nhóm lũy linh
iii) G là nhóm lũy linh và H  G thì G/H là nhóm lũy linh
iv) Nếu G lũy linh và f : G  H là một toàn cấu thì H là nhóm lũy linh
v) Nếu G là nhóm lũy linh thì Z(G)  1

1.5.9 Định lý:
i) Mọi nhóm Abel đều là nhóm lũy linh
ii) Mọi p-nhóm hữu hạn đều lũy linh.
1.5.10 Định lý. Nếu H và K là các nhóm lũy linh thì tích trực tiếp H  K là một
nhóm lũy linh.
Chứng minh
Ta có γ1 H  K   H  K  γ 1 H   γ1 K 
Giả sử γ i H  K   γ i H   γ i K 
Ta có γ i 1 H  K   γ i H  K , H  K   γ i H   γ i H , H  K 
Mà γ i H   γ i H , H  K   γ i H   H   γ i K   K   γ i 1 H   γ i 1 K 
Vậy γ i H  K   γ i H   γ i K , i

 γ (H)  1
Do H, K là nhóm lũy linh nên a, b  Z sao cho  a 1
γ b 1 (K)  1
Lấy c  max{a, b} ta có γ c1 H  K   γ c1 H   γ c 1 K   1 1 , do đó γ c 1 H  K   1
Vậy H  K là một nhóm lũy linh.
1.5.11 Định lý G là nhóm lũy linh, nếu P là p-nhóm con Sylow của G thì P là pnhóm con Sylow duy nhất của G.

Trang 19


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

1.5.12 Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G
là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó.
Chứng minh
() Nếu G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó thì từ định lý 5.9ii và
5.10 ta suy ra G lũy linh
() Giả sử G lũy linh. Khi đó ta cần chứng minh mọi nhóm con Sylow trong G đều

chuẩn tắc. Thật vậy,
Gọi P là một p-nhóm con Sylow bất kỳ của của G. Đặt H = NG(P).
Giả sử H < G. Khi đó do G thỏa điều kiện chuẩn hóa nên H < NG(H)
Nghĩa là tồn tại xH sao cho xPx 1 = H.
Mà xPx 1  xHx 1  H nên P và xPx 1 là các p- nhóm con Sylow trong H
Suy ra tồn tại hH sao cho xh-1  NG(P) = H
 x  H mâu thuẩn.

Vậy G = H = NG(P)

 P  G.
Suy ra G là tích trực tiếp của các p- nhóm con Sylow của nó.
1.5.13 Hệ quả. Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi
mọi p- nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc.
1.5.14 Định lý. Cho G là nhóm lũy linh, nếu P là p-nhóm con Sylow của G thì P là
p-nhóm con Sylow duy nhất của G.
1.5.15. Định lý. Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó nếu H là nhóm con thực sự của G
thì H  Z(H)  1 .
1.5.16 Định lý. Cho G là nhóm lũy linh hữu hạn thì đó G là nhóm siêu giải được
1.6 Nhóm con tối đại
1.6.1 Định nghĩa. Cho G là nhóm, H < G. Khi đó H được gọi là nhóm con tối đại
của G nếu không tồn tại N  G sao cho H1.6.2 Ví dụ

Trang 20


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

i) 1 là nhóm con tối đại của nhóm G với G là nhóm không có nhóm con thật

sự
ii) pZ là nhóm con tối đại của nhóm (Z, +) với p là một số nguyên tố
Thật vậy giả sử pZ (với p là số nguyên tố) không là nhóm con tối đại của (Z, +)
Suy ra tồn tại nZ là nhóm con của (Z ,+) sao cho pZ  nZ ( p  n )
Mà ta có nhóm con của nhóm (Z,+) có dạng nZ  nk | k  Z Nên
h  pZ  h  nZ  k  Z sao cho h  nk

Chọn h = p   k  Z sao cho p  nk mâu thuẫn vì p là số nguyên nhỏ hơn n
Vậy pZ là nhóm con tối đại của (Z,+) với p là số nguyên tố.
1.6.3 Mệnh đề. Nhóm con tối đại luôn tồn tại trong nhóm hữu hạn bất kỳ.
Chứng minh
Với G là nhóm hữu hạn  Nhóm G có hữu hạn nhóm con thật sự N
Giả sử rằng trong G không tồn tại nhóm con tối đại
Với N  G  N1  G sao cho N  N1
Với N1  G  N 2  G sao cho N1  N 2
……………
Với N k  G  N k 1  G sao cho N k  N k 1
Tiếp tục quy nạp theo k N, k   ta suy ra rằng nhóm G có vô hạn nhóm
con thật sự ( mâu thuẩn với giả thiết G là nhóm có hữu hạn nhóm con thật sự)

 Trong nhóm hữu hạn G luôn tồn tại nhóm con tối đại M.
1.6.4 Mệnh đề. Cho G là nhóm, H  G. Khi đó nếu H không chứa trong nhóm con
tối đại M của nhóm G thì ta có G = M.H
Chứng minh
Theo mệnh đề 1.1.10 ta có M.H là nhóm con nhỏ nhất của G chứa M và H và
khác M do H không chứa trong M. Mà ta có M là nhóm con tối đại của G
nên theo định nghĩa nhóm con tối đại ta suy ra G = M. H
1.6.5 Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn, M là nhóm con của G. Khi đó M là nhóm
con tối đại của G khi và chỉ khi [G:M] là một số nguyên tố.
Trang 21

Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

1.6.6 Nhận xét. Cho G là nhóm M là nhóm con tối đại của G thì G/M là nhóm Abel.
1.6.7 Định lý. Cho G là nhóm. Khi đó G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi
[G : M ] là một số nguyên tố với mọi M là nhóm con tối đại của G.
1.6.8 Định lý. Nếu G là nhóm lũy linh thì mỗi nhóm con tối đại của G là nhóm con
chuẩn tắc và có cấp nguyên tố.
1.7 Các định nghĩa khác
1.7.1.Định nghĩa. Cho G là nhóm, K, Q  G . Q được gọi là phần bù của K trong G
nếu K  Q  1 và KQ = G.
1.7.2 Định lý. Nếu K là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho [G : K], K   1 thì
K có phần bù trong G.
1.7.3 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn
tắc nào khác G và 1.
1.7.4 Định lý. Cho G là nhóm. Khi đó, H là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G khi và
chỉ khi G/H là nhóm đơn.
1.7.5 Định nghĩa. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H < G và
không tồn tại K  G sao cho 11.7.6 Định nghĩa. Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H/K với H,
K  G và H/K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K

Trang 22


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

CHƯƠNG 2. NHÓM FRATTINI
2.1 Định nghĩa. Cho G là một nhóm khi đó .Giao tất cả các nhóm con tối đại của G

(nếu có) được gọi là nhóm Frattini. Kí hiệu là Ф(G)
Chú ý. Nếu G là nhóm vô hạn và không có nhóm con tối đại thì ta quy ước
nhóm con Frattini của G là Ф(G) = G.
2.2 Các ví dụ
i) Nhóm Frattini của nhóm xiclic G có cấp hữu hạn
- Giả sử G = x có cấp là 4 khi đó Ф(G) = x 2
- Giả sử G = x có cấp n < +∞ .Ta có Ф(G) = x m với m =p1p2…pk với
p1,p2,…,pk các ước nguyên tố khác nhau của của n.
- Giả sử G là nhóm xiclic vô hạn thì Ф(G) = 1
ii) Nhóm Frattini của nhóm (Z, +) là ( Z)   pZ với p là số nguyên tố
p N

Chú ý. Các ví dụ này sẽ được chứng minh trong phần bài tập.
2.3 Mệnh đề . Nhóm Frattini luôn tồn tại trong nhóm hữu hạn bất kỳ.
Chứng minh
Theo mệnh đề 1.6.3 ta có nhóm con tối đại M luôn tồn tại trong nhóm hữu
hạn G bất kỳ nên theo định nghĩa nhóm Frattini ta có điều phải chứng minh.
2.4 Định lý. Cho G là một nhóm khi đó Ф(G) char G. Do đó Ф(G)  G.
Chứng minh
(i) Nếu G không có nhóm con tối đại thì theo định nghĩa ta có:
Ф(G) = G char G và nên theo 1.2.6ii ta có Ф(G) = G  G
(ii) Nếu trong G có các nhóm con tối đại
Gọi {M i }iI là họ các nhóm con tối đại của G. Với mọi f  AutG ta có
f 1 (M i ) cũng là nhóm con tối đại của G (  i  I )

Thật vậy: giả sử A  G sao cho f 1 (M i )  A i

Trang 23

Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

Do f là một song ánh nên f (f 1 (M i ))  f (A i )  G  M i  f (A i )  G mâu thuẫn
do Mi là nhóm con tối đại của G.
Nên: Ф(G)  f 1 (M i ) (  i  I )
 Ф(G)  f 1 ( M i )  f 1 ((G))
iI

 f(Ф(G))  Ф(G)  f  AutG
 f(Ф(G)) ≤ Ф(G)  f  AutG
 Ф(G) char G  Ф(G)  G ( theo tính chất 1.2.6 ii)

2.5 Định nghĩa. Phần tử x được gọi là phần tử không sinh của G nếu nó có thể bỏ đi
trong bất cứ tập sinh nào đó của G. Nghĩa là x  G, G   x, Y thì G   Y .
2.6 Định lý. Cho G là nhóm. Khi đó Ф(G) là tập hợp tất cả các phần tử không sinh
của G.
Chứng minh.
Gọi I là tập hợp tất cả các phần tử không sinh của G. Ta cần chứng minh
I = Ф(G). Thật vậy:
Với mọi x  I,  M là nhóm con tối đại của G.
Nếu x  M nên ta có thì x , M là nhóm con thật sự của G chứa M
 G   x Μ = M mâu thuẫn với tính tối đại của M. Nên x  M , với mọi

M suy ra x  Φ(G) vì thế I  Φ(G)
 x  M ( M) 

(1)

x  Φ(G)

Ngược lại, Với mọi x  Ф(G) và giả sử ta có G   x, Y . Ta cần chứng
minh G   Y . Thật vậy giả sử Y  G suy ra tồn tại M là nhóm con tối đại
của G sao cho Y  M .
Do x  Ф(G) nên x  M, với mọi M
Mà Y  M  G   x, Y ≤ M mâu thuẫn.
Vì vậy Y = G nên x là phần tử không sinh của G hay x  I
 Ф(G)  I

(2)

Trang 24


Một số tính chất của nhóm Frattini và Fitting

Từ (1) và (2) suy ra I = Φ(G) .
2.7 Bổ đề Fattini. Cho G là một nhóm hữu hạn và H là nhóm con chuẩn tắc của G.
Khi đó nếu P là p-nhóm con Sylow của H thì G=H.NG(P)
Chứng minh
Do H là nhóm con chuẩn tắc của G và NG(P) ≤ G nên ta có H.NG(P) ≤ G hay
H NG(P)  G
Ta có xPx -1 ≤ H

(1).
 x  G (do P  H )

Mặt khác H  G nên xHx -1 = H x  G
 xPx 1  xHx 1

 xPx-1 là p- nhóm con Sylow của H.

 Tồn tại h  H sao cho (h 1 x) P(h 1 x) 1  P nên h-1x  NG(P)

Mà ta lại có: x = h(h-1x)  H.NG(P)  G  NG(P)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra G =H.NG(P)
2.8 Định lý. Cho H là một nhóm con của G sao cho G = Ф(G)H. Khi đó G = H
Chứng minh
Giả sử H  G . Suy ra tồn tại M nhóm con tối đại của G sao cho H  M
Theo định nghĩa nhóm Frattini ta có Ф(G)  M với mọi M
Nên Ф(G).H  M mâu thuẫn vì G = Ф(G)H
Suy ra G = H
2.9 Định lý Frattini. Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó Ф(G) là nhóm con lũy linh
của G
Chúng minh
Để chứng minh Ф(G) là nhóm lũy linh ta cần chứng minh mọi p-nhóm
con Sylow của Ф(G) đều chuẩn tắc. Thật vậy, gọi P là p-nhóm con Sylow bất
kỳ của Ф(G).
Do Ф(G)  G nên theo Bổ đề Frattini ta có G = Ф(G)NG(P).
 G = NG(P) ( theo định lý 2.8)
 P  G nên P  Ф(G)
Trang 25