Bài toán chebyshev trong không gian Banach và ứng dụng

1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THU HƯƠNG

BÀI TOÁN CHEBYSHEV
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THU HƯƠNG

BÀI TOÁN CHEBYSHEV
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2017

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


3 of 128.
i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Nguyễn Năng
Tâm – người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới phòng Sau đại học; các thầy, cô
giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận
văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Bùi Thu Hương

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


4 of 128.
ii

Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn thạc sỹ
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán Chebyshev trong không gian
Banach và ứng dụng” được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân, không
trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Bùi Thu Hương

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


5 of 128.
iii

DANH MỤC KÍ HIỆU

R

Tập số thực

En

Không gian Euclide n−chiều

∅

Tập rỗng

x, y

Tích vô hướng của x và y

P(X)

Tập hợp tất cả các tập con của X.

int(A)

Phần trong của A

A

Bao đóng của A

∂A

Biên của A

·

Chuẩn trong không gian

SX := x ∈ X : x = 1

Mặt cầu đơn vị trong X

X∗

Không gian đối ngẫu của X

Lp

Không gian hàm đo được có lũy thừa bậc p
Không gian các dãy số mà tổng lũy thừa cấp p

p

·

∞

Chuẩn max

(X, · )

Không gian Banach với chuẩn ·

(X, ·, · )

Không gian có tích vô hướng

PK (x)

Hình chiếu của x lên tập K

d(x, K)

Khoảng cách từ x đến K

B[x, r]

Hình cầu tâm x bán kính r

Tx

Toán tử tuyến tính liên tục

K

Tập Chebyshev

H

Không gian Hilbert

C(K)

Không gian các phiếm hàm liên tục

SC(K)

Hàm số liên tục

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


6 of 128.
iv

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

DANH MỤC KÍ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Phép chiếu metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Tôpô yếu và tôpô yếu∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Tập Chebyshev và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Điều kiện cần cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev . . . . . . . .

10

2.3. Điều kiện đủ cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev . . . . . . . .

12

2.4. Tính lồi của tập Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5. Tính liên tục của phép chiếu metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.6. Tập Chebyshev không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6.2. Tính trơn và điểm gần duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.6.3. Bước quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.6.4. Tập Chebyshev không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


7 of 128.
v

2.7. Ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân
42
2.7.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.7.2. Một số định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


8 of 128.
1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Kết quả nổi tiếng trong lý thuyết xấp xỉ, của Chebyshev [2] nói rằng nếu
(C [0, 1] , .

∞)

không gian Banach gồm tất cả hàm liên tục trên đoạn [0,1]

và Pn là không gian con của C[0, 1] bao gồm tất cả các đa thức bậc không lớn
hơn n với n ∈ N, thì với mọi phần tử của C[0, 1] có xấp xỉ tốt nhất trong Pn
Từ đó, tập con K của không gian metric (X, d) được gọi là tập hợp Chebyshev nếu mọi điểm trong X tồn tại điểm gần nhất trong K. Chúng ta sẽ giới
hạn nghiên cứu trong không gian Banach.
Khi nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ, Stechkin đã hỏi rằng: liệu tập hàm hữu
tỉ có tạo thành một tập Chebyshev trong Lp với p > 1. Ta đã có một tập lồi
đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert là một tập Chebyshev và tập các
hàm hữu tỉ Chebyshev là không lồi, câu trả lời là không (ít nhất trong L2 ). Do
đó đã xuất hiện bài toán tập Chebyshev nổi tiếng: tập Chebyshev trong không
gian Hilbert có lồi không?
Motzkin là người giải bài toán đầu tiên [2], ông đã chứng minh rằng bất kì
tập Chebyshev nào trong R2 (được trang bị định chuẩn Euclide) đều phải là
lồi. Tiếc rằng, phương pháp của ông không khái quát hóa được đến số chiều

cao hơn và vì thế nó đã bác bỏ bởi Bunt [2] và Kritikos [2]. Họ làm việc một
cách độc lập, để đưa ra chứng minh đầu tiên rằng một tập Chebyshev trong
Rn (được trang bị định chuẩn Euclide) là lồi ∀n ∈ N . Các chứng minh này
cũng được đưa ra bởi Jensen [2] và Busemann [2]. Kết quả này đã được mở
rộng đến không gian hữu hạn chiều trơn tùy ý.
Người ta nhanh chóng nhận ra rằng tính liên tục của phép chiếu metric
đóng vai trò cốt yếu để xác định tính lồi của tập Chebyshev. Trong khi những
người khác, Klee [2] Asplund [2] và Vlasov [2] vẫn giả sử về tính liên tục của
phép chiếu metric và đã thu được nhiều kết quả quan trọng bao gồm định lý

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


9 of 128.
2

Vlasov (định lý đã cung cấp một vài điều kiện tổng quát nhất để khẳng định
tập Chebyshev là lồi). Đi theo hướng đó Balaganskii [2] đã chứng minh rằng,
trong không gian Hilbert, nếu phép chiếu metric của một tập không liên tục
là đếm được thì tập Chebyshev là lồi. Frerking và Westphal [2], đã sử dụng
các lý thuyết toán tử đơn điệu, khái quát kết quả tới tính chất liên thông của
tập không liên tục phép chiếu metric.
Ficken [2] và Efimov và Stechkin [2], bằng cách sử dụng phép đảo trong
mặt cầu để nhận ra bài toán theo thuật ngữ điểm xa nhất và đã chứng minh
rằng mọi tập Chebyshev compact trong không gian Hilbert là nhất thiết phải
lồi. Trong [2], Johnson đã đưa ra một ví dụ về tập Chebyshev không lồi trong
không gian có tích vô hướng, không đủ. Cho đến nay, mọi nỗ lực xây dựng
khái quát ví dụ đó không gian Hilbert vẫn chưa thành công. Mặc dù các kết
quả đều đúng cả, nhưng bài toán phân loại không gian Banach trơn có tính
lồi của tập Chebyshev vẫn mở cho đến nay.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về bài toán tập Chebyshev trong không gian Banach.
Ứng dụng của chúng: sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu nội dung bài toán tập Chebyshev , lịch sử hình thành bài toán.
Những nội dung đã được nghiên cứu: điều kiện cần và đủ của tập xấp xỉ
được hoặc tập Chebyshev.
Ứng dụng của chúng: sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán tập Chebyshev cùng ứng dụng trong không gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu liên quan tới bài toán tập Chebyshev và ứng dụng.
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới mục đích
nghiên cứu.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


10 of 128.
3

6. Đóng góp cho luận văn
Trình bày được một cách đầy đủ và có hệ thống về bài toán tập Chebyshev
cùng một số ứng dụng quan trọng của chúng.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


11 of 128.

4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này dùng để trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản của
giải tích hàm sẽ được sử dụng ở các chương sau .

1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert
1.1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. (Xem [1]) Không gian Banach thực được định nghĩa là
không gian vectơ định chuẩn đầy đủ. Nghĩa là một không gian Banach là
một không gian vectơ V trên trường số thực với một chuẩn · sao cho mọi
dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y ) có giới hạn trong V
Ví dụ: K là ký hiệu trường số thực R.
Không gian Euclide quen thuộc R, với chuẩn Euclide của x = (x1 , . . . , xn )
n

được cho bởi x =

1
2

|xi |2

là các không gian Banach.

i=1

Không gian của tất cả các hàm liên tục f : [a, b] → R định nghĩa trên một
đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu ta định nghĩa chuẩn

của hàm số như là f = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Đây là một chuẩn bởi vì
các hàm liên tục xác định trên đoạn đóng thì bị chặn. Không gian này là đầy
đủ dưới chuẩn. Theo định nghĩa nó là một không gian Banach, được ký hiệu
là C[a, b].

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


12 of 128.
5

Nếu X và Y là hai không gian Banach trên một trường R thì chúng ta có thể
xây dựng tổng trực tiếp X ⊕ Y . Nó cũng là không gian Banach theo chuẩn
được xác định chẳng hạn như (x, y) =

= x + y . Cách xây dựng này

có thể tổng quát hóa thành tổng trực tiếp của một số bất kỳ các không gian
Banach.
1.1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2. (Xem [1]) Cho không gian vectơ X trên trường R. Một ánh
xạ từ X × X vào R, (x, y) → x, y được gọi là một tích vô hướng trên X
nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) x, x ≥ 0,

∀x ∈ X.

x, x = 0 ⇔ x = θ.
(b) y, x = x, y , ∀x, y ∈ X
(c) x + x , y = x, y + x , y ,

(d) λx, y = λ x, y ,

∀x, x , y ∈ X

∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R.

Từ các tính chất (a) - (d) ta cũng có
x, y + y = x, y + x, y , x, λy = λ x, y
Nếu ·, · là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x →

x, x là một chuẩn

trên X gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Nếu ·, · là một tích vô hướng trên X thì cặp (X, ·, · ) gọi là một không gian
tiền Hilbert (không gian Unita). Sự hội tụ, khái niệm tập mở, trong (X, ·, · )
luôn được gắn với chuẩn sinh bởi ·, · . Nếu không gian định chuẩn tương ứng
đầy đủ thì ta nói (X, ·, · ) là không gian Hilbert.
Các tính chất.
Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz:
| x, y | ≤ x . y
Đẳng thức hình bình hành
x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2)

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


13 of 128.
6

Ví dụ:
Trong C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] thì ánh xạ
b

(x, y) → x, y =

x(t)y(t)dt
a

là một tích vô hướng. Không gian (C[a, b], ·, · ) không là không gian Hilbert.
Trong

2,

với x = {λk }, y = {αk }, ta định nghĩa
∞

λk αk

x, y =
k=1

thì ·, · là tích vô hướng, ( 2 , ·, · ) là không gian Hilbert.
Mối quan hệ giữa không gian Banach và không gian Hilbert
Mọi không gian Hilbert là không gian Banach. Điều ngược lại không đúng.
Một điều kiện cần và đủ cho một không gian Banach V có liên quan đến một
tích vô hướng là hàng đẳng thức hình bình hành
u+v

2

2

− u−v

= 2( u

2

+ v 2)

∀u, v ∈ V , mà · là chuẩn trên V . Nếu chuẩn của một không gian Banach
thỏa mãn hằng đẳng thức này, tích vô hướng liên quan sẽ làm nó trở thành
một không gian Hilbert thông qua hằng đẳng thức phân cực. Nếu V là một
không gian Banach thực, thì hằng đẳng thức phân cực là
(u, v) =

( u+v

2

− u − v 2 )2
.
4

Và nếu V là một không gian Banach phức, thì hằng đẳng thức phân cực được
cho bởi
(u, v) = ( u + v

2

− u−v

2

+ i( u + iv

2

− u − iv 2 ))

1.2. Phép chiếu metric
Định nghĩa 1.3. (Xem [2]) Cho (X, · ) là không gian Banach và K là tập
con khác rỗng trong X. Với bất kỳ x ∈ X chúng ta xác định d(x, K) :=

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


14 of 128.

7

inf y∈K x − y , và gọi đó là khoảng cách từ x đến K. Ta gọi ánh xạ
x → d(x, K)
là hàm khoảng cách của K.
Định nghĩa 1.4. (Xem [2]) Cho (X, · ) là không gian Banach và K là một
tập con rỗng của X. Ánh xạ đa trị PK : X → P(X) được định nghĩa bởi:
PK (x) := {y ∈ K :

x − y = d(x, K)},

và gọi các phần tử của PK (x) là những xấp xỉ tốt nhất (điểm gần nhất) từ
x trong K. Ta nói K là tập xấp xỉ được nếu PK (x) là khác rỗng với mọi
x ∈ X và K là tập Chebyshev nếu PK (x) duy nhất với mọi x ∈ X. Với tập
Chebyshev ta định nghĩa ánh xạ pK := X → X là ánh xạ mà x ∈ X là phần
tử duy nhất của PK (x). Ta gọi cả PK và pK là phép chiếu metric (của K).

1.3. Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 1.5. (Xem [1]) Khi X là một không gian Banach thì tập các
phiếm hàm tuyến tính liên tục f : X → R gọi là không gian liên hợp (hay
đối ngẫu) của X được ký hiệu là X ∗ . Đó là một không gian với phép toán tự
nhiên
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x), (αf1 )(x) = αf1 (x).

1.4. Tôpô yếu và tôpô yếu∗
Giả sử X là không gian Banach với không gian đối ngẫu là X ∗ . Với mỗi
hệ hữu hạn u1 , u2 , . . . , un ∈ X ∗ và ε > 0 ta đặt
W (u1 , u2 , . . . , un ; ε) = {x ∈ X : max |ui (x)| ≤ ε}.
1≤i≤n

Dễ thấy W (u1 , u2 , . . . , un ; ε) là tập lồi, cân, hút trong X và do đó chúng là cơ
sở các O - lân cận của một tôpô lồi địa phương σ(X, X ∗ ) trên X. Ta có định
nghĩa sau:

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


15 of 128.
8

Định nghĩa 1.6. (Xem [1]) Tôpô lồi địa phương σ(X, X ∗ ) trên X xác định
như trên là tôpô yếu của X.
Định nghĩa 1.7. (Xem [1]) Tôpô lồi địa phương σ(X, X ∗ ) trên X ∗ gọi là tôpô
yếu của X ∗ .

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


16 of 128.
9

Chương 2
Tập Chebyshev và ứng dụng
Trong phần này ta nghiên cứu tập Chebyshev, bài toán tập Chebyshev và
ứng dụng.

2.1. Các định nghĩa và ví dụ
Mệnh đề 2.1 (Xem [2]). Cho K là tập con khác rỗng trong không gian Banach (X, · ). Khi đó khoảng cách tới K là không giãn (do đó liên tục).
Chứng minh. Đặt x, y ∈ X và k ∈ K. Bằng bất đẳng thức tam giác
d(x, K) ≤ x − k ≤ x − y + y − k .

Biến đổi ta có
d(x, K) − x − y ≤ y − k
với mọi k ∈ K tùy ý và vế trái của biểu thức trên là một giá trị xác định, ta
có:
d(x, K) − x − y ≤ d(y, K)
Sử dụng đối xứng d(y, K) − x − y ≤ d(x, K). Nên
|d(x, K) − d(y, K)| ≤ x − y
và ta có tính chất không giãn.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


17 of 128.
10

Khái niệm chủ yếu liên quan tập xấp xỉ được và tập Chebyshev là sự tồn
tại điểm gần nhất.
Bây giờ tôi sẽ trình bày một vài ví dụ.
Ví dụ 2.1.1. Xét K := R2 \ B(0, 1) ⊆ R2 trang bị định chuẩn Euclide. Nó
khá dễ dàng để kiểm tra với mọi x ∈ B(0, 1) \ {0}, PK (x) =

x
x

. Trong

khi
PK (0) = {y ∈ R2 : y = 1}
do đó K là xấp xỉ được nhưng không phải là một tập Chebyshev.
Ví dụ 2.1.2. Cho n ∈ N. Xét K = B(0, 1) ⊆ R2 trang bị định chuẩn Euclide.

Chọn x ∈ Rn với x

= 1. Một cách rõ ràng d(x, K) = 0, nhưng khi

x∈
/ K, PK (x) = ∅ do đó K không xấp xỉ.

2.2. Điều kiện cần cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev
Phần chính của luận văn liên quan đến việc tìm điều kiện cần và đủ cho
một tập là tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev. Điều kiện cần đầu tiên như
gợi ý ở ví dụ 2.1.2 là tập xấp xỉ được phải là tập đóng.
Mệnh đề 2.2 (Xem [2]). Cho K là tập xấp xỉ được trong không gian Banach
(X, · ). Khi đó K là tập đóng.
Chứng minh. Giả sử, trái với giả thiết K không đóng. Ta tìm được dãy (xn )∞
n=1
trong K sao cho lim xn = x với x ∈ X \ K Với mỗi n ∈ N, d(x, K) ≤
n→∞

x − xn và do đó d(x, K) = 0. Tuy nhiên 0 < x − y với bất kỳ y ∈ K
nên x ∈
/ K. Do đó PK (x) là rỗng, mâu thuẫn với sự xấp xỉ được của K.
Định nghĩa 2.1. (Xem [2]) Cho X là một không gian vectơ và C là một tập
con của X. Ta nói C là lồi nếu, với mọi a, b ∈ C và với mọi 0 ≤ λ ≤ 1, ta có
λa + (1 − λ)b ∈ C
Ta nói C là điểm cực biên khi và chỉ khi với bất kỳ a, b ∈ C, ta có

a+b
2

∈ C.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


18 of 128.
11

Nhìn vào Ví dụ 2.1.1 ta kết luận rằng tính lồi là điều kiện cần để một tập
là tập Chebyshev.
Ví dụ sau đây sẽ mô tả không phải lúc nào tập Chebyshev cũng lồi. Từ đó ta
tìm ra điều kiện đủ để tập Chebyshev là lồi.
Ví dụ 2.2.1. Cho hàm số f : R → R xác định bởi:
1
f (x) = d(x, 4Z)
2
với mọi x ∈ R. Khi đó, K := đồ thị (f ), được xem như là tập con của
(R2 , · 1 ) là một tập Chebyshev (không lồi). Thật vậy, với bất kỳ z = (a, b) ∈
R2 , pK (z) = (a, f (a)),
Mệnh đề sau đây kết hợp với Mệnh đề 2.2 nói rằng khi xét sự lồi của tập
xấp xỉ được ta chỉ cần kiểm tra xem nó có điểm cực biên hay không.
Mệnh đề 2.3 (Xem [2]). Một tập con đóng trong không gian Banach (X, · )
là lồi khi và chỉ khi nó có điểm cực biên.
Chứng minh. Rõ ràng một tập lồi thì sẽ có điểm cực biên nên giả sử C ⊆ X
là tập lồi theo trung điểm. Cho x, y ∈ C. Bằng phép quy nạp, ta thấy
x+

t
(y − x) ∈ C
2k

với bất kỳ k ∈ N ∪ {0} và t ∈ {0, 1, . . . , 2k }. Hiển nhiên

k∈N∪{0}

t
: t ∈ {0, 1, . . . , 2k } ,
k
2

Tập này trong [0, 1] là trù mật trong [0, 1]. Nên C là đóng khi x+λ(y−x) ∈ C
với mọi λ ∈ [0, 1]. Do đó C là lồi.
Lưu ý: Sự đóng trong giả thuyết của Mệnh đề 2.3 là cần thiết. Để thấy điều
đó, ta nhận ra Q ⊆ R là điểm cực biên nhưng không lồi.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


19 of 128.
12

2.3. Điều kiện đủ cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev
Sau đây ta tìm điều kiện đủ để tập con trong không gian Banach là tập xấp
xỉ được hoặc tập chebyshev.
Định nghĩa 2.2. (Xem [2]) Không gian Banach (X, . ) gọi là lồi chặt nếu
với bất kì x, y ∈ X, từ
x = y =

x+y
=1
2

suy ra x = y.
Ví dụ 2.3.1. Cho K là compact trong không gian Hausdorff có ít nhất hai
điểm. Khi đó (C (K) , .

∞)

không là lồi chặt. (Trong đó C(K) là tập của

các hàm liên tục).
Thật vậy, lấy x và y là 2 điểm phân biệt trong K. Vì K nằm trong không
gian Hausdorff, tồn tại một hàm liên tục f : K → [0, 1] sao cho f (x) = 1 và
f (y) = 0. Ta định nghĩa g : K → R bởi g (z) := 1 với mọi z ∈ K. Rõ ràng,
f, g ∈ SC(K) và f = g. Tuy nhiên (f + g) (x) = 2 và
Ở những phần sau ta sẽ thấy không gian Lp và

p

f +g
2
∞

= 1.

đều lồi chặt với bất kì

1 < p < ∞.
Bổ đề 2.1 (Xem [2]). Không gian Banach (X, · ) là lồi chặt khi và chỉ khi
x = y ∈ X và r, R > 0 sao cho x − y = r + R, ta có
B[x, r] ∩ B[y, R] = {z}

trong đó z =

R
r+R

x+

r
r+R

y.

Chứng minh: Xem chứng minh ([2], p10).
Mệnh đề 2.4 (Xem [2]). Không gian Banach (X, · ) là lồi chặt khi và chỉ
khi với bất kì x, y ∈ X\ {0} nếu x + y = x + y thì x = αy với mỗi
α > 0.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


20 of 128.
13

Chứng minh. Giả sử (X, · ) có tính chất như trên. Cho x, y ∈ X với
x = y =

x+y
=1
2

nên x + y = 2 = x + y , vì vậy x = αy với mỗi α > 0. Từ x =
y = 1, α = 1 và vì vậy x = y. Do đó (X, · ) là lồi chặt.
Ngược lại, giả sử (X, · ) là lồi chặt và x, y ∈ X\ {0} sao cho x + y =
x + y . Từ x = −y và x − (−y) = x + y ta có
y
x + y

B [x, x ] ∩ B [−y, y ] =

x−

x
x + y

y .

Tuy nhiên, dễ thấy rằng
0 ∈ B [x, x ] ∩ B [−y, y ] .
Do đó
y
x + y

x−

x
x + y

y = 0.

Vì thế

x=

x
y.
y

Định nghĩa 2.3. (Xem [2]) Cho (X, · ) và (Y, · ) là không gian Banach
và U là tập con mở của X. Ta nói hàm f : U → Y là khả vi Gateaux tại
x ∈ U nếu tồn tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn Tx : X → Y sao cho
f (x + th) − f (x)
= Tx h
t→0
t

lim

với mọi h ∈ X. Toán tử Tx gọi là đạo hàm Gateaux của f tại x. Ta nói f là
khả vi Gateaux nếu nó khả vi Gateaux tại mọi điểm trong U .
Một khái niệm liên quan là tính trơn. Ta giới thiệu khái niệm này ở đây bởi
vì nó có mối quan hệ với tính lồi chặt.
Định nghĩa 2.4. (Xem [2]) Ta nói không gian Banach (X, · ) là trơn nếu
với mỗi x ∈ SX luôn tồn tại duy nhất f ∈ SX ∗ sao cho f (x) = 1.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


21 of 128.
14

Chú ý: Sự tồn tại của một hàm f được đảm bảo theo định lý Hahn –

Banach. Rõ ràng tính trơn tương đương với khả vi Gateaux trong X\ {0} .
Ví dụ 2.3.2. Cho K là một tập compact trong không gian Hausdorff có chứa
ít nhất hai điểm. Khi đó, (C (K) , .

∞)

không trơn.

Thật vậy, rõ ràng có thể kiểm tra được rằng với bất kì z ∈ K hàm δz :
C (K) → R được cho bởi
δz (h) := h (z)
với mọi h ∈ C(K) trong SC(K) . Cho x và y là phân biệt trong K và có
f, g ∈ SC(K) như là Ví dụ 2.3.1. Từ đó
δx (f ) = 1 = 0 = δy (f ) ,
ta thấy rằng δx = δy . Tuy nhiên,
δx (g) = 1 = δy (g) ,
vì vậy (C (K) , .

∞)

không trơn.

Mệnh đề sau đây khẳng định rõ ràng mối quan hệ giữa tính trơn và tính lồi
chặt.
Mệnh đề 2.5 (Xem [2]). Cho (X, · ) là không gian Banach. Nếu X ∗ , .
(trong đó . là chuẩn trong không gian đối ngẫu) là lồi chặt, do đó (X, . )
là trơn. Nếu X ∗ , .

là trơn thì (X, . ) là lồi chặt.

Chứng minh. Giả sử (X, . ) là không trơn. Vì vậy, với mỗi x ∈ SX tồn tại
f, g ∈ SX ∗ sao cho
f (x) = g (x) = 1.
Nên
1=

f +g
2

(x) ≤

f +g
2

≤

f
g
+
= 1.
2
2

Từ đó ta có
f +g
2

= f

= g

= 1,

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


22 of 128.
15

và vì vậy X ∗ , .

không là lồi chặt.

Ngược lại, giả sử rằng (X, · ) không lồi chặt. Do đó, tồn tại x, y ∈ X sao
cho x = y =

x+y
2

= 1. Theo định lý Hahn – Banach, tồn tại f ∈ SX ∗

sao cho
x+y
2

f

=

x+y

2

= 1.

Do đó,
x+y
f (x) f (y)
=
+
2
2
2
với f (x) ≤ 1 và f (y) ≤ 1 thì f (x) = f (y) = 1. Nên
1=f

x (f ) = y (f ) = f .
Trong đó x, y phân biệt thuộc SX ∗∗ . Nên X ∗ , .

là không trơn.

Hệ quả sau đây cho thấy khi không gian là đối xứng, lồi chặt và trơn đều
có hai thuộc tính trên.
Hệ quả 2.1 (Xem [2]). Cho (X, · ) là không gian Banach đối xứng. Do đó
(X, · ) là lồi chặt (trơn) khi và chỉ khi X ∗ , .

là trơn (tương ứng, lồi

chặt).
Chứng minh. Ta đã có một chiều chứng minh từ Mệnh đề 2.5. Nếu (X, . )
lồi chặt thì X = X ∗∗ . Sử dụng Mệnh đề 2.5 lần nữa, X ∗ , .

là trơn. Nếu

X là trơn thì X = X ∗∗ . Vì vậy mà X ∗ là lồi chặt.
Theo như chú ý trước đó, lồi chặt là điểm quan trọng xác định khi tập con
của không gian Banach thừa nhận rằng không có nhiều hơn một điểm xấp xỉ
tốt nhất trong không gian.
Mệnh đề 2.6 (Xem [2]). Cho K là tập con khác rỗng, lồi trong không gian
Banach lồi chặt (X, · ). Với mỗi x ∈ X, thì PK (x) chứa nhiều nhất một
phần tử.
Chứng minh. Cho x ∈ X. Trái với giả thiết, giả sử tồn tại y1 , y2 ∈ PK (x).
Từ đó K là lồi,

y1 +y2
2

∈ K nên

x − y1
x − y2
d (x, K)
=
=
> 0.
2
2
2

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag

23 of 128.
16

Mệnh đề 2.4 cho ta biết rằng
x − y1
y1 + y2
=
+
2
2
x − y1
x − y2
<
+
= d (x, K) ,
2
2
là không thể. Vì vậy, y1 = y2 và |PK (x)| ≤ 1.

x − y2
2

d (x, K) ≤ x −

Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu hạn chế nghiêm ngặt hơn trong không gian
định chuẩn so với độ lồi chặt.
Định nghĩa 2.5. (Xem [2]) Không gian Banach (X, · ) được gọi là lồi đều
nếu với bất kì ε > 0 tồn tại một δ > 0 sao cho x − y < ε với x, y ∈ Bx và
x+y

> 1 − δ.
2
Mệnh đề sau đây cho ta kết quả đầu tiên về không gian lồi đều.
Mệnh đề 2.7 (Xem [2]). Mọi không gian có tích vô hướng là lồi đều.
Chứng minh. Cho (X, ., . ) là không gian có tích vô hướng và ε > 0. Giả
sử x, y ∈ BX và x − y ≥ ε. Từ đó x − y ≤ x + y ≤ 2 ta luôn có
√
ε ≤ 2. Cho δ := 1 − 12 4 − ε2 > 0. Theo quy tắc hình bình hành
x+y

2

=2 x

2

+2 y

≤4− x−y

2

− x−y

2

2

≤ 4 − ε2
= 4 (1 − δ)2

với

x+y
2

≤ 1 − δ và vì thế (X, ., . ) là lồi đều.

Hai kết quả trên cho ta mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.8 (Xem [2]). Không gian Banach (X, . ) là lồi đều khi và chỉ
∞
khi với mọi cặp dãy (xn )∞
n=1 , (yn )n=1 trong BX nếu lim

n→∞

xn +yn
2

= 1 thì

lim xn − yn = 0.

n→∞

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


24 of 128.
17

Chứng minh. Rõ ràng với nhận định trên nếu (X, · ) là lồi đều. Ngược lại,
∞
giả sử (X, · ) không lồi đều. Khi đó, tồn tại ε > 0 và dãy (xn )∞
n=1 , (yn )n=1

trong BX sao cho xn − yn ≥ ε với mọi n ∈ N và
lim

n→∞

xn + yn
= 1.
2

Nên
lim xn − yn = 0.

n→∞

Hệ quả 2.2 (Xem [2]). Cho (X, · ) là không gian lồi đều. Nếu (xn )∞
n=1 là
một dãy trong BX và
lim
n→∞

m→∞

xn + xm
= 1,

2

thì (xn )∞
n=1 là dãy Cauchy.
Mệnh đề 2.9 (Xem [2]). Mọi không gian lồi đều là lồi chặt. Mọi không gian
lồi chặt hữu hạn chiều là lồi đều.
Chứng minh: Xem ([2],p16).
Định lý 2.1 (Milman- Pettis [2]). Mỗi không gian Banach lồi đều là phản xạ.
Chứng minh. Xem chứng minh [7].
Chúng ta tìm ta điều kiện trong không gian Banach (X, · ) và tập con
K ⊆ X bảo đảm rằng K là tập Chebyshev.
Bổ đề 2.2 (Xem [2]). Cho C là tập con lồi, đóng trong không gian Banach
(X, · ). Khi đó C là đóng yếu.
Chứng minh. Nếu C rỗng hoặc không gian là đóng yếu thì chúng ta sẽ có giả
sử khác.
Cho x0 ∈ X\C. Từ đó C là đóng và lồi, theo định lý Hahn – Banach, tồn tại
f (x0 ) ∈ X ∗ sao cho
fx0 (x0 ) > sup fx0 (x) .
x∈C

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


25 of 128.
18

Do đó
x0 ∈ fx−1
0

sup fx0 (x) , ∞
x∈C

trái với tưởng tượng nó là tập mở thì lại là tập đóng yếu. Điều đó được kiểm
định một cách dễ dàng
X\C =

U

x0 ∈X\C

fx−1
0

sup fx0 (x) , ∞

.

x∈C

Vậy nên, X\C là tập hợp các tập mở yếu là tập mở yếu. Ta kết luận C là tập
đóng yếu.
Tiếp theo ta có kết quả sau:
Định lý 2.2 (Xem [2]). Quả cầu đóng Bx trong không gian Banach phản xạ
là compact với việc nó là topo yếu trong X. Do đó mọi dãy bị chặn trong X
đều có điểm tụ yếu.
Chứng minh. Ánh xạ x → x từ Bx , yếu tới Bx , yếu

∗

là phép đồng phôi.

Do (X, · ) là phản xạ, BX ∗∗ = BX . Theo định lý Banach – Alaoglu, BX ∗∗
là compact với thừa nhận là topo yếu. Vậy nên BX là compact yếu.
Mệnh đề 2.10 (Xem [2]). Cho K là tập con đóng, khác rỗng trong không
gian phản xạ (X, · ). Khi đó K là tập xấp xỉ được.
Chứng minh. Cho x ∈ X. Từ đó K là đóng yếu theo Bổ đề 2.2 và với mọi
n ∈ N, B x, d (x, K) +

1
n

là compact yếu theo Định lý 2.2 do đó

B x, d (x, K) +

1
∩K
n

là compact yếu (khác rỗng) với mọi n ∈ N. Hơn nữa, từ
B x, d (x, K) +

1
1
⊆ B x, d (x, K) +
.
n+1
n

Với mọi n ∈ N, ta có
k

B x, d (x, K) +
n=1

1
∩K
n

= ∅.

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag