Các chuyên đề hàm số ôn thi đại học hay

24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
.......................................................................................................
NHẮC LẠI KIẾN THỨC :
➤ Cho hàm số y = f (x). Khi đó y có n điểm cực trị thì phương trình y = 0 có n nghiệm phân biệt.
➤ Khi biện luận về nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0, ta cần lưu ý phương trình có hai nghiệm
phân
biệt khi và chỉ khi:


√

a = 0
−b ± ∆
và khi đó 2 nghiệm của phương trình là x1,2 =

2a

2
∆ = b − 4ac > 0
➤ Lưu ý:
➥ Một là, đôi khi bài toán có thể hỏi dưới dạng "Chứng minh hàm số luôn có hai điểm cực
trị".Và vì vậy, sau khi xét phương trình y = 0 ta tiếp tục xét tiếp biểu thức ∆ = b2 − 4ac và chứng
minh ∆ > 0.
➥ Hai là, chúng ta cần lưu ý các điều kiện để hàm số đạt cực dại và cực tiểu bằng cách sử dụng
đạo hàm cấp
 2:



f (x0 ) = 0


f (x0 ) < 0



f (x0 ) = 0

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = x0

⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0



f (x0 ) > 0
•Lưu ý rằng sau khi tìm xong m ta phải có bước thử lại và giả sử


f (x0 ) = 0
thì không được gì cả.


f (x0 ) = 0
➥ Ba là, với bài toán "cực trị liên quan đến hoành độ", giả sử phương trình y = 0 có
hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 thì để biết hoành độ nào là xCD , xCT thì ta "phải dựa vào dạng đồ thị
hoặcbảng biến thiên. Cụ thể như sau:



a > 0 ⇒ xCD < xCT
nếu


a < 0 ⇒ xCD > xCT
➥ Bốn là, với bài toán "cực trị liên quan đến tung độ", ta có thể thay hoành độ cực
trị (HĐCT) vào độ thị hàm số y = f (x). Điều này chỉ thật sự hữu hiệu khi "hoành độ cực trị đẹp".

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

1


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Với các HĐCT có biểu diễn phức tạp thì ta phải tìm tung độ cực trị bằng cách thay HĐCT vào Phương
trình nối hai điểm cực trị (đây chính là phần dư trong phép chia y cho y’.)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài toán 1
1
Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x + 5. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
3
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3
y = 0 ⇔ (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 = 0
Hàm

 số có hai cực trị ⇔ y = 0 có hai nghiệm
 phân biệt




m2 − 1 = 0
m = ±1
⇔
⇔




∆ = (m + 1)2 − 3(m2 − 1) > 0
−2m2 + 2m + 4 > 0



m = 1
Vậy giá trị m cần tìm là


−1 < m < 2

⇔





m = ±1


−1 < m < 2

⇔




m = 1


−1 < m < 2

Bài toán 2
2x3
+ (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x − 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
3
hoành độ các cực trị đều dương.
Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3
Hàm số có hai điểm cực trị đều dương
⇔ y = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.




∆ = (m + 1)2 − 2(m2 + 4m + 3) > 0




⇔ S = −(m + 1) > 0




2


P = m + 4m + 3 > 0
2
Vậy giá trị m cần tìm là −5 < m < −3

⇔ −5 < m < −3

Bài toán 3
Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (3m − 4)x + 5. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

2


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = R
Đạo hàm y = 3x2 − 2(m + 1)x +3m − 4 và y = 6x
 − 2(m + 1)




f (1) = 0
3 − 2(m + 1) + 3m − 4 = 0
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒
⇔




f (1) < 0
6 − 2(m + 1) < 0

⇔m=3

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3
2
Với m = 3, ta có: y = x3 − 4x
 + 5x + 5, tập xác định D = R

 x=1
y = 3x2 − 8x + 5, y = 0 ⇔ 
5

x=
3
Do hàm số y có hệ số a = 1 > 0 nên xCD < xCT ⇒ xCD = 1 (thỏa mãn YCBT)
Bài toán 4
Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 9x − m có 2 điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = 2.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Ta có: y = 3x2 − 6(m + 1)x + 9; y = 0 ⇔ x2 − 2(m + 1)x + 3 = 0 (1)
Yêucâu bài toán tương đương với(1) có hai nghiệm phân biệt
 x1 ; x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = 2
√
√






∆ = (m + 1)2 − 3 > 0
m2 + 2m − 2 > 0
m > −1 + 3 hay m < −1 − 3
⇔
⇔
⇔







2
|x1 − x2 | = 2
(x1 − x2 ) = 4
(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 4


√
√


m > −1 + 3 hay m < −1 − 3
 m = −3
⇔
⇔


m=1
4(m + 1)2 − 4.3 = 4
Vậy giá trị cần tìm của m là m=-3 hay m=1
Bài toán 5
Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R. Ta có: y = −3x2 + 6x + 3(m2 − 1)
y = 0 ⇔ x2 − 2x − m2 + 1 = 0 (2)
Hàm số (1) có hai cực trị thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = m2 > 0 ⇔ m = 0

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

3


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8


 x=1−m
Khi đó y = 0 ⇔ 
x=1+m

Gọi A,B là hai điểm cực trị cảu đồ thị hàm số (1) thì




A(1 − m; −2 − 2m3 )



B(1 + m; −2 + 2m3 )
1
Do O cách đều A và B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ± (vì m = 0)
2
Bài toán 6
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số: y = x3 + 3x2 − 5x + 1.
Hướng dẫn giải
➤ Cách 1:
Ta có: y = x3 + 3x2 − 5x + 1 

√
√
−3 + 2 6
72 − 32 6
⇒y=
 x=
3 √
9 √
⇒ y = 3x2 + 6x − 5 y = 0 ⇔ 
−3 − 2 6
72 + 32 6
x=
⇒y=
3
9
Gọi hai điểm cực trị lần lượt là A và B thì ta có:
√
√
√
√
−3 + 2 6 72 − 32 6
−3 − 2 6 72 + 32 6
A
;
;
và B
3
9
3

9
Phương trình đường thẳng AB có dạng:
√
−3 + 2 6
x−
3
y − yA
x − xA
=
⇒
√
√
xB − xA
yB − yA
−3 + 2 6
−3 − 2 6
−
3
3
16
8
⇒ AB : y = − x +
3
3

y−
=

√
72 − 32 6

9

√
72 + 32 6
−
9

√
72 − 32 6
9

➤ Cách 2:
Ta có: y = x3 + 3x2 − 5x + 1 và y = 3x2 + 6x − 5
Lập bảng y chia cho y ta được:

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

4


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

⇒ Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị là:
16
8
y =− x+
3
3

Bài toán 7
Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + m − 1 có giá trị cực đại là ymax , giá trị cục tiểu là ymin thỏa mãn
ymax .ymin = 5.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = R



 x=0
Ta có: y = −3x2 + 6x, y = 0 ⇔ −3x2 + 6x = 0 ⇔ 
x=2
Ta có: ymin = y(0) = m − 1 và ymax = y(2) = m + 3

 m = −4
Theo để bài ta có: (m − 1)(m + 3) = 5 ⇔ m2 + 2m − 8 = 0 ⇔ 
m=2
Vậy giá trị m cần tìm để thỏa mãn là m = −4; m = 2
Bài toán 8
Tìm m để đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 + 3m(m + 2)x + 1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
điểm I(1;3).
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R



 x = −m
Ta có: y = −3x2 + 6x + 3m2 + 6m, y = 0 ⇔ x2 − 2x − m(m + 2) = 0 ⇔ 
x=m+2
Hàm số có hai cực trị ⇔ y = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇒ −m = m + 2 ⇔ m = −1
+ Với x = −m ⇒ y = −2m3 − 3m2 + 1
+ Với x = m + 2 ⇒ y = 2m3 + 9m2 + 12m + 5
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

5


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

3
Tọa độ hai điểm cực trị là A(−m; −2m
− 3m2 + 1) và B(m + 2; 2m3 + 9m2 + 12m + 5).




xA + xB = 2xI
 m=0
Vì I(1;3) là trung điểm của AB ⇒
⇒ 6m2 + 12m = 0 ⇔ 
(thỏa mãn)


m = −2
yA + yB = 2yI

Vậy giá trị cần tìm là m = 0; m = 2

Bài toán 9
Tìm m để hàm số y = x3 − 3(1 − m)x2 − 2mx đạt cực tiểu tại x=2.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Ta có: y = 3x2 − 6(1 − m)x − 2m
Theo giả thiết ta có: y (2) = 0 ⇔ 10m = 0 ⇔ m = 0
Với m = 0 ⇒ y = x3 − 3x2 ⇒ y = 3x2 − 6x
y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 2 nên đạt cực tiểu tại x = 2
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
➤ Một số bạn học sinh hay mắc sai lầm khi dùng điều kiện




y (2) = 0


y (2) > 0

Bài toán 10
Tìm m để hàm số y =

x4
− mx2 + 1 có ba điểm cực trị thuộc trên các trục tọa độ.
4
Hướng dẫn giải

Tập xác định D = R



 x=0
Ta có: y = x3 − 2mx, y = 0 ⇔ 
x2 = 2m (1)
Đồ thị hàm số đã cho 3 có điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔ 2m > 0 ⇔ m > 0
√
√
Khi đó tọa độ độ ba điểm cực trị là A(0; 1), B(− 2m; 1 − m2 ), C( 2m; 1 − m2 )
Yêu cầu bài toán tương đương với yC = yB = 0 ⇔ 1 − m2 = 0 ⇔ m = ±1
Đối chiếu với điều kiện của m ta nhận m = 1
vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

6


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
.......................................................................................................
➤Lưu ý:
➥ Một là, việc xác định xCD , xCT trong các bài toán có liên quan đến hoành độ cực trị có thể dựa
vào bảng biến hiên hoặc dạng đồ thị. Tuy nhiên, giả sử phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
thì ta cần xác định x1 < x2 hay x1 > x2 , điều này dẫn đến việc đôi khi ta phải xét hai trường hợp.
➥ Hai là, để xác định yCD , yCT , ta có thể thay các hoành độ trên vào đồ thị hàm số y hoặc phương

trình nối hai điểm cực trị.
➥ Ba là, khoảng cách là một chủ đề cũng hay xuất hiện trong các đề thi, ta cần nắm nững công thức
|axM + byM + c|
√
tính khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ) đến đường thẳng ∆ : ax+by +c = 0 là d(M, ∆) =
a2 + b 2
Đối với một số bài toán tìm điểm trên đường thẳng để có tạo với hai điểm cho trước sao cho tổng hai
đoạn đó nhỏ nhất ta cần lưu ý các điểm sau:
➤ Giả sử cho trước hai điểm A,B và đường thẳng ∆. Tìm điểm M ∈ ∆ sao cho (M A + M B)min . Ta có
các trường hợp:
• Trường hợp 1: A và B khác phía với đường thẳng ∆ thì điểm M cần tìm đó chính là giao điểm
của đoạn AB với đường thẳng ∆.
• Trường hợp 2: A và B cùng phía với đường thẳng ∆ thì ta làm lần lượt các bước:
B1: Tìm điểm A’ là đối xứng với A qua ∆.
B2: Từ đánh giá M A + M B = M A + M B ≥ A B = hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A’,M,B thẳng hàng. Nên ta đi viết phương trình đường thẳng A’B.
B3: Điểm M = ∆ ∩ A B
➤ Trường hợp tìm M sao cho (M A + M B)max các bạn làm tương tự.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài toán 1
Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 2 (Cm ), y = −x + 2 (d), với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m
√
để (Cm ) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm ) đến đường thẳng (d) = 2.
Hướng dẫn giải
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

7

24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Tập xác định D = R
y = 3x2 − 6mx = 3x(x − 2m).




A(0; 2)
x
=
0
⇒
y
=
2

Tọa độ hai điểm cực trị là
y =0⇔


x = 2m ⇒ y = 2 − 4m3
B(2m; 2 − 4m3 )
Điều kiện để hàm số có hai cực trị là m = 0
Đường thẳng (d) : y = −x + 2 ⇔ x + y − 2 = 0
√
|0 + 2 − 2|
m < 0 : A là điểm cực tiểu. Khi đó d(A; d) = √

= 0 = 2 (loại)
2
2
√ 1 +1 3
m>
 0 : B là điểm cực tiểu.
 Khi đó d(B; d) = 2 ⇔ |2m − m| = 1
3
 2m − m = 1
 m = 1(N )
⇔
⇔
⇒m=1
2m3 − m = −1
m = −1(L)

Vậy giá trị m cần tìm để thỏa mãn nhu cầu bài toán là m = 1
Bài toán 2
Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (1) (m là tham số). Viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R. y = −3x2 + 6mx + 3(1 − m2 )
y = 0 ⇔ x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 có ∆ = 1 > 0 ∀ m ∈ R
Do đó phương trình y = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là hàm số (1) luôn có hai cực trị với mọi
m∈R
1
Lập phép chia y cho y ta được y = (x − m)y + 2x + m − m2 (*)
3
Gọi A(x0 ; y0 ) là cực trị của đồ thị hàm số (1) thì y (x0 ) = 0 và tạo độ A thỏa mãn phương trình (*):
1

y0 = (x0 − m)y (x0 ) + 2x0 + m − m2 ⇔ y0 = 2x0 + m − m2
3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có phương trình y = 2x + m − m2
Bài toán 3
Cho y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về
cùng phía đối với trục hoành.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = R
Ta có: f (x) = −3x2 + 6x + 3(m2 − 1)
f (x) = 0 ⇔ x2 − 2x − m2 + 1 = 0 (∗)
y có hai cực trị ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

8


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

⇔ ∆ = 1 − (−m2 + 1) > 0 ⇔ 
m2 > 0 ⇔ m = 0


x1 = 1 − m ⇒ y1 = −2m3 − 2
Lúc này 2 nghiệm của (*) là :


x2 = 1 + m ⇒ y2 = 2m3 − 2
3

3
6
Ta có: y1 .y2 > 0 ⇔ (−2m
 − 2)(2m − 2) > 0 ⇔ −4(m − 1) > 0 ⇔ m < 1


m = 0
Vậy yêu cầu bài toán


−1 < m < 1

Bài toán 4
Cho y = f (x) = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
trong đó điểm cực tiều nằm phía trên đường thẳng y = −4.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
y = −3x2 + 6x + 3(m2 − 1)
y = 0 ⇔ x2 − 2x − m2 + 1 = 0 (∗)
(C) có hai điểm cực trị ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 − (−m2 − 1) > 0 ⇔ m = 0
Vì y = f (x) có a = −1 < 0 nên xCD > xCT
Mà xCD ; xCT là nghiệm của phương trình (*): x = 1 ± m
• Nếu m > 0 : thì 1 − m < 1 + m ⇒ xCT = 1 − m ⇒ yCT = −2m3 − 2
Điểm cực tiểu nằm phía trên d ⇔ yCT > −4 ⇔ −2m3 − 2 > −4
⇔ m3 < 1 ⇔ m < 1 só với điều kiện m > 0 ta có: 0 < m < 1
• Nếu m < 0 : thì 1 − m > 1 + m ⇒ xCT = 1 + m ⇒ yCT = 2m3 − 2
Điểm cực tiểu nằm phía trên d ⇔ yCT > −4 ⇔ 2m3 − 2 > −4 ⇔ m3 > −1
⇔ m > −1 so với điều kiện m < 0 ta có: −1 < m < 0
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với m ∈ (−1; 1)\{0}

Bài toán 5
2x − 3
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tam giác MAB cân tại
−x + 2
M biết A(4;3),B(-3;2).

Cho hàm số y =

Gọi M

x0 ;

2x0 − 3
−x0 + 2

Hướng dẫn giải
−→
thuộc đồ thị (C) (x0 = 2) và AB = (−7; −1)

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

9


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

1 5
;

là trung điểm của AB. Do ∆M AB cân tại M ⇒ M I⊥ AB
2 2
−−→ −→
1
2x0 − 3
5
⇒ M I.AB = 0 ⇔ −7 x0 −
−1
−
=0
2
−x0 + 2 2


 x0 = 1
 M (1; −1)
⇔ 7x20 − 22x0 + 15 = 0 ⇔ 
⇒

15
15
; −9
M
x0 =
7
7

Ta có: I

Bài toán 6

Chứng minh rằng tích khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số (C) : y =

2x + 1
đến hai
x−3

tiệm cận là một hằng số.
Hướng dẫn giải
2x + 1
có tiệm cận đứng là ∆ : x = 3, tiệm cận ngang ∆ : y = 2
x−3
2x + 1
∈ (C), ta có tích khoảng cách đến hai tiệm cận là:
Với M x;
x−3
2x + 1
7
d(M, ∆).d(M, ∆ ) = |x − 3|.
− 2 = |x − 3|.
= 7 (không đổi)
x−3
x−3
Đồ thị (C) : y =

Bài toán 7
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) : y =

4x − 3
có tổng khoảng cách đền hai tiệm cận bé nhất.
x−3

Hướng dẫn giải

4x − 3
, x = 3 có tiệm cận đứng là ∆x = 3, tiệm cận ngang là ∆ y = 4
x−3
4x − 3
Gọi M x;
∈ (C)
x−3
√
9
4x − 3
Ta có: d(M, ∆) + d(M, ∆ ) = |x − 3| +
− 4 = |x − 3| +
≥2 9=6
x−3
x −3
Đồ thị (C) : y =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |x − 3| =

9
 x=0
⇔ (x − 3)2 = 9 ⇔ 
x−3
x=6

Vậy có hai diểm M (6; 7) hay M (0; 1) thỏa mãn
Bài toán 8
Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 (1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : y = 3x − 2 sao cho tổng

khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị hàm số (1) là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Các điểm cực trị là A(0; 2), B(2; −2)
Xét biểu thức g(x; y) = 3x − y − 2
Ta có: g(xA ; yA ) = 3xA − yA − 2 = −4 < 0 và g(xb ; yB ) = 3xB − yB − 2 = 6 > 0 suy ra hai điểm A và B

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

10


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

nằm về hai phía của đường thẳng d : y = 3x − 2
Do đó M A + M B nhỏ nhất ⇔ 3 điểm A,B,M thẳng hàng ⇔ M là giao điểm giữa d và AB.
Phương trình đường thẳng AB : y = −2x + 2
Tọa
của hệ phương trình:
 độ M là nghiệm 


4


y = 3x − 2
x =
5 ⇒ M 4; 2
⇔



5 5


y = −2x + 2
y = 2
5
Bài toán 9
2x
, viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết rằng khoảng cách từ điểm I(−2; 2)
x+2
đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại điểm M (x0 ; y0 ) là:
4
2x0
y=
(x − x0 ) +
, (x0 = 2)
2
(x0 + 2)
x0 + 2
8
√
8
8

x0 + 2
Ta có: k = d(I, ∆) =
=
≤ √ = 2 2 (BĐT Cauchy)
16
16
8
+
1
+ (x0 + 2)2
4
2
(x0 + 2)
(x0 + 2)
√
k lớn nhất là 2 2 khi x0 = 0 hay x0 = −4
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là y = x, y = x + 8
Bài toán 10
Cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx + 1 (1). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi (∆) là đường
1 11
thẳng đi qua hai điểm cực trị. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I
;
đến đường
2 4
thẳng ∆.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R, ta có: y = 3x2 − 6x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt.
⇒ ∆ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3
x 1

−
3 3

2m
m
−2 x+
+1
3
3
2m
m
m
Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị là y =
−2 x+
+ 1 ⇔ y = (2x + 1) − 2x + 1
3
3
3
1
3
Ta thấy đường thẳng ∆ luôn đi qua điểm cố định là A − ; 2 . Hệ số góc của đường thẳng IA là k = .
2
4
5
Kẻ IH⊥ (∆) ta thấy d(I, ∆) = IH ≤ IA =
4
2
1
4
Đẳng thức xảy ra khi IA⊥ ∆ ⇔ − 2 = − = − ⇔ m = 1

3
k
3
Chia đa thức y cho y , ta được y = y

+

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

11


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài toán 11
2x + 2
, tìm m để đường thẳng d : y = 2mx + m + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt
2x + 1
A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất (O là gốc tọa độ).

Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
1
2x + 2
= 2mx + m + 1; x = −
2x + 1

2
2
2
⇒ 4mx + 4mx + m − 1 = 0 (1). Đặt g(x) = 4mx + 4mx + m − 1
Phương trình hoành độ giao điểm:

1
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biết ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −
2




m=0




⇔ ∆ = 4m > 0 ⇔ m = 0





1

g −
=0
2
Gọihoành độ các giao điểm A và B là x1 ; x2 thì x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình (1)



x1 + x2 = −1
⇔


x1 .x2 = m − 1
4m
Ta có: OA2 + OB 2 = x21 + (2mx1 + m + 1)2 + x22 + (2mx2 + m + 1)2
= (4m2 + 1)(x21 + x22 ) + 4m(m + 1)(x1 + x2 ) + 2(m + 1)2
m−1
1
5
9
5
= (4m2 + 1) 1 −
≥ + 2 = (Cauchy vì m > 0)
− 4m(m + 1) + 2(m + 1)2 = + 2m +
2m
2
2m
2
2
1
Dấu bằng xảy ra khi ⇔ m = .
2
1
Vậy m =
là giá trị cần tìm
2

Bài toán 12
Tìm điểm M trên đồ thị hàm số y =

3x − 1
sao cho M cách đều hai đường tiệm cận của hàm số đã
x+1

cho.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R\{−1}
3m − 1
(m = −1)
m+1
Ta có tiệm cận đứng là ∆1 : x + 1 = 0 và tiệm cận ngang ∆2 : y − 3 = 0

Gọi điểm cần tìm là M

m;

Theo yêu cầu bài toán ta có:
d(M ; ∆1 ) = d(M ; ∆2 ) =⇔ |m + 1| =

3m − 1
−3
m+1

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

12

24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8


⇔ |m + 1| =



4
 m=1
 M (1; 2)
⇔ (m + 1)2 = 4 ⇔ 
⇒
m+1
m = −3
M (−3; 5)

Vậy có hai điểm cần tìm là M (1; 2) hoặc M (−3; 5)
Bài toán 13
2x − 1
Tìm m để hàm số y =
cắt đường thẳng y = x + m tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
x−2
√
AB = 4 2.
Hướng dẫn giải
2x − 1
=x+m

x−2
⇒ x2 + (m − 4)x + 1 − 2m = 0, (x = 2) (1)

Phương trình hoành độ giao điểm :

Ta có: (1) phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = (m − 4)2 − 4(1 − 2m) = m2 + 12 > 0, ∀m
Khi đó tọa độ giao điểm là A(x1 ; x1 + m) và B(x2 ; x2 + m). Ta có:
AB 2 = 2(x2 − x1 )2 = 2 [(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ] = 2(m2 + 12)
⇔ 2(m2 + 12) = 32 ⇔ m2 = 4 ⇔ m = ±2
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

13


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
.......................................................................................................
*** Đối với các bài toán dạng này, ta cần lưu ý:
Một là, nói về chủ đề này thì câu hỏi thường đặt ra sẽ là yêu cầu " viết phương trình tiếp tuyến
tại một điểm thuộc đường cong (C)”, viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm không
thuộc đường cong (C)". Ở đây ta cần lưu ý dạng của tiếp tuyến, gải sử M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm giữa
tiếp tuyến tại M và đường cong (C) thì khi đó tiếp tuyến có dạng là:
y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 trong đó f (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại M.
Hai là, về bản chất, hệ số góc của tiếp tuyến chính là tan của góc tạo bởi tiếp tuyến và trục

hoành.
Ba là, giả sử đường cong (C) : y = f (x), ta cần phân biệt rõ ràng phương trình tiếp tuyến d tại điểm
M (xM , ym ) và tiếp tuyến d đi qua điểm M (xM ; yM )
Bốn là, với dạng tiếp tuyến đi qua điểm M (xM ; yM ) có hệ số góc k ta cần lưu ý đến điều kiện tiếp xúc
là
 hệ phương trình saucó nghiệm:




f (x) = k(x − xM ) + yM
y(C) = yd
⇔




f (x) = k
y = y d = k
(C)

(x là hoành độ tiếp điểm).

Năm là, giả sử có đường thẳng d : y = k2 x + m2 và tiếp tuyến có dạng d : y = k1 x + m1 thì nếu:
+ d⊥d ⇔ k
1 .k2 = −1


k1 = k2
+ d//d ⇔



m1 = m2

(khi m1 = m2 ⇔ d ≡ d (không thỏa mãn)

Đề bài có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng ax + by + c = 0. Do đó ta cần chuyển về dạng
a
c
y =− x−
b
d
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài toán 1
Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 (1). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng −1. Tìm m để
tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d : y = (m2 + 5)x + 3m + 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: M (−1; −2)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là ∆ : y = y (−1)(x + 1) − 2 hay y = 9x + 7
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

14


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Theo giả thiết ta có : ∆//d ⇔




m2 + 5 = 9

⇔ m = −2



3m + 1 = 7
Vậy với m = −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài toán 2
x3 3x2
1
−
− 3x + (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
2
4
2
8x
đó vuông góc với đường thẳng d : y =
+ 1.
27
Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
8x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x0 ; y0 ) và vuông góc với đường thẳng d : y =
+1
27

27
Khi đó ∆ có hệ số góc bằng −
8
3 2 3
3
1
9
27
⇔ y (x0 ) = − ⇔ x0 − x0 + = 0 ⇔ x0 = ⇒ y0 = −
8
2
2
8
2
8
27
1
9
27
9
Phương trình của ∆ là y = −
x−
− ⇔y =− x+
8
2
8
8
16
9
27

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = − +
8
16
Bài toán 3
Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng
tiếp tuyến di qua điểm M (−1; −9).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng ∆ có hệ số góc là k và đi qua điểm M (−1; −9) có phương trình y = kx + k − 9. ∆ là tiếp
tuyến
của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:



4x3 − 6x + 1 = k(x + 1) − 9 (2)


12x2 − 12x = k (3)
3
2
Thay k từ (3) và (2) ta được
 4x − 6x + 1 = (12x − 12x)(x + 1) − 9
 x = −1
⇔ (x + 1)2 (4x − 5) = 0 ⇔ 
5
x=
4
Với x = −1 thì k = −24, phương trình tiếp tuyến là y = 24x + 14
5
15
15

21
Với x = thì k = , phương trình tiếp tuyến là y = x −
4
4
4
4
15
21
Vậy có hai tiếp tuyến là y = 24x + 15 và y = x −
4
4

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

15


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Bài toán 4
2x − 1
, gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
x−1
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.

Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải

Ta có I(1; 2)
Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) là tiếp điểm
−1
(x0 − 1)2
1
y0 − yI
=
Hệ số góc của đường thẳng Im là
=k
x0 − xI
(x0 − 1)2
−1
1
Vì tiếp tuyến tại M vuông góc với IM ⇔
.
= −1 ⇔ (x0 − 1)2 = 1
2
2
(x0 − 1) (x0 − 1)



Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là f (x0 ) =

 x0 = 0
 y0 = y(0) = 1
⇔ x0 − 1 = ±1 ⇔ 
⇒
x0 = 2
y0 = y(2) = 3

Vậy các điểm M cần tìm là M (0; 1) và M1 (2; 3)
Bài toán 5
Cho hàm số y =

x
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến và hai
x−1
tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1
Do đó tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tạo thành tam giác cân khi hệ số góc k = ±1
1
Hơn nữa y = −
< 0, ∀x ∈ R\{1} nên k = −1
(x − 1)2

−1
 x0 = 0
= −1 ⇔ 
Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ), ta có k = −1 ⇒
2
(x0 − 1)
x0 = 2
Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M1 (0; 0) là y = −x
Với x0 = 2 ⇒ y0 = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M2 (2; 2) là y = −x + 4
Vậy có hai tiếp tuyến là y = −x và y = −x + 4
Bài toán 6
2x + 3
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm

x−2
phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau.

Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Đạo hàm y = −

7
, ∀x = 2
(x − 2)2

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

16


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và d là:
2x + 3
= 2x + m ⇒ 2x2 + (m − 6)x − 2m − 3 = 0 (x = 2)
x−2
2
Đặt f (x)
 = 2x + (m − 6)x − 2m − 3



∆ = (m − 6)2 + 8(2m + 3) = m2 + 4m + 60 > 0, ∀m ∈ R
Ta có:


f (2) = 1 = 0, ∀m ∈ R
Do đó d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) và B(x2 ; y2 ) (x1 = x2 )
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau 
chỉ khi
 x1 = x2 (L)
y (x1 ) = y (x2 ) ⇔ (x1 − 2)2 = (x2 − 2)2 ⇔ 
x1 + x2 = 4
m−6
m−6
Theo Vi-ét ta có: x1 + x2 = −
⇔−
= 4 ⇔ m = −2
2
2
Vậy m = −2 thì thỏa mãn điều kiện bài toán
Bài toán 7
Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo
với hai đường thẳng 2x + y + 11 = 0 và x − 2y + 2 = 0 một tam giác cân.
Hướng dẫn giải
Vì hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau, nên tiếp tuyến tạo với mội đường thẳng này góc 450 .
Đường thẳng 2x + y + 11 = 0 có VTPT là n = (2; 1). Gọi hệ số góc của tiếp tuyến này là k thì tiếp tuyến
có VTPT là n = (k; −1)
|2k − 1|
Ta có: cos 450 =
⇒ 2(2k − 1)2 = 5(k 2 + 1)
5(k 2 + 1)

 k= 3
⇔ 3k 2 − 8k − 3 = 0 ⇔ 
1
k=−
3 

 x0 = 0
 y = 3x
Với k = 3 ⇒ 3x20 − 6x0 + 3 = 3 ⇔ 
⇒
x0 = 2
y = 3x − 2
1
Với k = − (loại)
3
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 3x và y = 3x − 2
Bài toán 8
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 10x − 2, biết tiếp tuyến đó có hệ số
góc bằng 1.
Hướng dẫn giải
Giả sử tiếp điểm M (x0 ; x30 − 6x20 + 10x0 − 2)

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

17


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Ta có: y = 3x2 − 12x + 10, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến
là k = 3x20 − 12x0 + 10

 x0 = 1
 M (1; 3)
⇒
Theo giả thiết, ta có: k = 1 ⇔ 3x20 − 12x0 + 10 = 1 ⇔ 
x0 = 3
M (3; 1)
Với M (1; 3) ta có tiếp tuyến cần tìm là y = (x − 1) + 3 ⇔ y = x + 2
Với M (3; 1) ta có tiếp tuyến cần tìm là y = (x − 3) + 1 ⇔ y = x − 2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = x + 2 và y = x − 2
Bài toán 9
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 1 tại điểm có tung độ bằng 1.
Hướng dẫn giải

 x=0
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x3 − 3x2 + 1 = 1 ⇔ 
x=3
Ta có: y = 3x2 − 6x ⇒ y (0) = 0, y (3) = 9
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị có phương trình là y = 1, y = 9(x − 3) + 1 = 9x − 26
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 1 và y = 9x − 26
Bài toán 10
Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4 − m (m là tham số) và trục tung. Tìm m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A đi qua điểm M(2;5).
Hướng dẫn giải
Ta có: A(0; 4 − m) và y = 3x2 − 6x ⇒ y (0) = 0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là y = 4 − m
Do M (2; 5) ∈ ∆ ⇒ 4 − m = 5 ⇔ m = −1

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.
Bài toán 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = −x3 + 3x2 − 2, biết rằng tiếp điểm là giao
điểm của (C) với đường thẳng d : y + 2 = 0.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ 
giao điểm :
 x=0
−x3 + 3x2 − 2 = −2 ⇔ 
x=3
Với x = 0 ta có tọa độ tiếp điểm là M (0; −2) ⇒ phương trình tiếp tuyến là y + 2 = 0
Với x = 3 ta có tọa độ tiếp điểm là M (3; −2) ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −9(x − 3) − 2 = −9x + 25
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

18


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Vậy có hai tiếp tuyến là y + 2 = 0 và y = −9x + 25
➤ Nhiều bạn sẽ thắc mắc là tại sao có một tiếp tuyến lại trùng với đường thẳng d đúng không. Vì khi
ta tìm hoành độ giao điểm của d và (C) thì ta nhận được x = 0 là nghiệm kép. Do đó khi tiếp điểm của
ta có hoành độ là x = 0 thì đường thẳng d sẽ là một tiếp tuyến của đồ thị (C) luôn. Cụ thể ta có thể
chứng minh tổng quát như sau:
➥Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại x0 của hàm số y = f (x) (hàm bậc ba và trùng
phương ) với đồ thị hàm số y = f (x) có nghiệm kép x = x0 .
Chứng minh
• Hàm bậc 3. Ta có y = ax3 + bx2 + cx + d

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là:
y = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d)
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và hàm số bậc ba là:
ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 ) + (ax30 + bx20 + cx0 + d)
⇔ a(x − x0 )(x2 + xx0 + x20 ) + b(x − x0 )(x + x0 ) + c(x − x0 ) = (3ax2 + 2bx + c)(x − x0 )
⇔ (x − x0 )(−2ax2 + x(ax0 − b) + bx0 + ax20 ) = 0
⇔ (x − x0 )(x − x0 )(2ax + ax0 + b) = 0 ⇔ (x − x0 )2 (2ax + ax0 + b) = 0
• Hàm bậc 4. Ta có y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e các bạn chứng minh tương tự.
Bài toán 12
Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y =

−3x + 1
, biết rằng ∆ có hệ số góc bằng -7.
x+2

Hướng dẫn giải
Giả sử tiếp điểm là M

m;

−3m + 1
m+2

, m = −2

Hệ số góc cùa tiếp tuyến tại M là k = y (m) =
Theo giả thiết ta có −

−7
(m + 2)2 

7
 m = −1 ⇒ M (−1; 4)
2
=
−7
⇔
(m
+
2)
=
1
⇔

(m + 2)2
m = −3 ⇒ M (−3; −10)

Với M (−1; 4) ta có ∆ : y = −7(x + 1) + 4 ⇔ y = −7x − 3
Với M (−3; −10) ta có ∆ : y = −7(x + 3) − 10 ⇔ y = −7x − 31
Vậy có hai tiếp tuyến là y = −7x − 3 và y = −7x − 31
Bài toán 13
Tìm số thực m sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 tại điểm có hoành độ bằng m đi
qua gốc tọa độ.

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

19


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8
Hướng dẫn giải

y = 3x2 − 6x ⇒ y (m) = 3m2 − 6m
Gọi M (m; m3 − 3m2 ). Tiếp tuyến của hàm số tại M là y = (3m2 − 6m)(x − m) + m3 − 3m2
Do tiếp tuyến di qua gốc tọa độ O(0;0) nên

 m=0
⇔ 0 = −3m3 + 6m2 + m3 − 3m2 ⇔ 2m3 − 3m2 = 0 ⇔ 
3
m=
2
3
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn là m = 0 hay m =
2
Bài toán 14
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đờ thị hàm số y =

−mx + 2
với trục tung đi qua điểm
x−m

A(1; −3).
Hướng dẫn giải
2
Giao điểm M của đồ thị hàm số với trục tung là M 0; −
m
m2 − 2
m2 − 2

⇒ y (0) =
Ta có: y =
(x − m)2
m2
m2 − 2
2
Phương trình tiếp tuyến tại M là y =
−
2
m
m
Vì A(1; −3) thuộc tiếp tuyến nên:

m2 − 2
2
 m=1
2
2
2
−
⇔
m
−
2
−
2m
=
−3m
⇔
2m

−
m
−
1
=
0
⇔

1
m2
m
m=−
2
1
Vậy giá trị cần tìm là m = 1 hay m = −
2

−3 =

Bài toán 15
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 − 2 tại điểm có tung độ bằng 6.
Hướng dẫn giải
Tung độ của tiếp điểm bằng 6 nên hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
x4 − 2x2 − 2 = 6 ⇔ x4 − 2x2 − 8 = 0 ⇔ (x2 + 2)(x2 − 4) = 0 ⇔ x = ±2
Vậy tọa độ của hai tiếp điểm là (2; 6) và (−2; 6)
Ta có y = 4x4 − 4x ⇒ y (2) = 24 và y (−2) = −24
Do đó ta có hai tiếp tuyến cần tìm là y = −24x − 42 và y = 24x − 42

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

20


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Bài toán: Xác định m để hàm số y = f (x; m) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng L. Ta thực hiện các
bước sau:
➣ B1: Tìm miền xác định của hàm số.
➣ B2: Tính đạo hàm f (x).
➣ B3: Lập luận cho các trường hợp
 (tương tự cho nghịch biến) như sau:

Hàm số xác định với mọi x

• Hàm số đồng biến trên R ⇔


f (x) ≥ 0 ∀ x, dấu đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm


Hàm số xác định với mọi x ∈ [a; +∞)

• Hàm số đồng biến trên [a; +∞) ⇔


f (x) ≥ 0 ∀ x ≥ a, dấu đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm




Hàm số xác định với mọi x ∈ (−∞; b]
• Hàm số đồng biến trên (−∞; b] ⇔


f (x) ≥ 0 ∀ x ≤ b, dấu đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm



Hàm số xác định với mọi x ∈ (a; b)
• Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔


f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a; b), dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm của (a; b)
• Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k ⇔ f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a − k; a], đẳng thức chỉ xảy
ra tại hữu hạn điểm của [a − k, a] và ∀] x ∈
/ [a − k; a] không thỏa mãn.
• f (x) ≥ 0 ∀x ∈ D ⇔ min f (x) ≥ 0
x∈D

• f (x) ≤ 0 ∀x ∈ D ⇔ max f (x) ≤ 0
x∈D

Chú ý: Ta cần nhớ rằng với y = g(x) = ax2 + bx + c (a = 0) thì:
Hàm Số Đồng Biến




a > 0
1. g(x) ≥ 0 ∀x ∈ D ⇔


∆ ≤ 0

Hàm Số Ngịch Biến



a < 0
1. g(x) ≤ 0 ∀x ∈ D ⇔


∆ ≤ 0

2. g(x) ≥ 0 ∀x > α(hayx ∈ (α; +∞)) khi một

2. g(x) ≤ 0 ∀x > α(hayx ∈ (α; +∞)) khi một

trong hai trường hợp sau xảy ra:

trong hai trường hợp sau xảy ra:

• TH1: Nếu ∆ 
≤ 0, điều kiện a>0.


a > 0
Tóm lại



∆ ≤ 0

• TH1: Nếu ∆ 
≤ 0, điều kiện a<0.


a < 0
Tóm lại


∆ ≤ 0

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

21


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

• TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện a>0 và phương

• TH2: Nếu ∆ > 0, điều kiện a<0 và phương

trình g(x) = 0 có
hai nghiệm thỏa mãn




a>0




x1 < x2 ≤ α ⇔ ag(α) ≥ 0




S

 <α
2
3. g(x) ≥ 0 ∀ x < α(hay x ∈ (−∞; α)) khi

trình g(x) = 0 có
hai nghiệm thỏa mãn



a<0




x1 < x2 ≤ α ⇔ ag(α) ≥ 0





S

 <α
2
3. g(x) ≤ 0 ∀ x < α(hay x ∈ (−∞; α)) khi

một trong hai trường hợp xảy ra:

một trong hai trường hợp xảy ra:

• TH1: Nếu ∆ 
≤ 0, a > 0


a > 0
Tóm lại:


∆ ≤ 0

• TH1: Nếu ∆ 
≤ 0, a < 0


a < 0
Tóm lại:



∆ ≤ 0

• TH2: Nếu ∆ > 0, a > 0 và phương trình

• TH2: Nếu ∆ > 0, a < 0 và phương trình

g(x) = 0 có hai 
nghiệm phân biệt thỏa mãn:



a>0




α ≤ x1 < x2 ⇔ a.g(α) ≥ 0






S > α
2
4. g(x) ≥ 0 ∀x ∈ (α; β) khi một trong hai

g(x) = 0 có hai 
nghiệm phân biệt thỏa mãn:




a<0




α ≤ x1 < x2 ⇔ a.g(α) ≥ 0






S > α
2
4. g(x) ≤ 0 ∀x ∈ (α; β) khi một trong hai

trường hợp sau xảy ra:

trường hợp sau xảy ra:

• TH1: Nếu ∆ 
≤ 0, a > 0


a > 0
Tóm lại:



∆ ≤ 0

• TH1: Nếu ∆ 
≤ 0, a < 0


a < 0
Tóm lại:


∆ ≤ 0

• TH2: Nếu ∆ > 0, xét 2 khả năng sau:

• TH2: Nếu ∆ > 0, xét 2 khả năng sau:

➢ Nếu a > 0 thì điều kiện là phương trình

➢ Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình

g(x) = 0 có 2 nghiệm thỏa:



 a.g(α) ≥ 0


 S
 

α
<
β
≤
x
<
x
  >α
1
2

2
⇔

 
 
x1 < x2 ≤ α ≤ β
 a.g(β) ≥ 0

 S

 >β
2
➢ Nếu a < 0 thì điều kiện phương trình

g(x) = 0 có 2 nghiệm thỏa:



 a.g(α) ≥ 0



 S
 
α
<
β
≤
x
<
x
  >α
1
2

2
⇔

 
 
x1 < x2 ≤ α ≤ β
 a.g(β) ≥ 0

 S

 >β
2
➢ Nếu a > 0 thì điều kiện phương trình

g(x) = 0 có hai nghiệm

 phân biệt thỏa:


a.g(α) ≤ 0
xa ≤ α < β ≤ x2 ⇔


a.g(β) ≤ 0

g(x) = 0 có hai nghiệm
 phân biệt thỏa:


a.g(α) ≤ 0
xa ≤ α < β ≤ x2 ⇔


a.g(β) ≤ 0

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

22


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài toán 1

x3
Tìm m đề hàm số y =
+ (2m − 1)x2 + (m + 1)x + m3 + 3m2 − m + 1 đồng biến trên R.
3
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = x2 + 2(2m − 1)x + m + 1.
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y ≥ 0, ∀x ∈ R (*)
Sử dụng điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R vừa nêu ở trên ta đưa (*) đến điều kiện
tương đương:
5
∆ ≤ 0 ⇔ (2m − 1)2 − m − 1 ≤ 0 ⇔ 4m2 − 5m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤
4
5
Vậy các giá trị m cần tìm là 0 ≤ m ≤
4
Bài toán 2
Tìm m để hàm số y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx + 4m3 − m2 đồng biến trên khoảng [0; +∞).
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = 12x2 + 2(m + 3)x + m
Cách 1: Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞) ⇔ y ≥ 0, ∀ x ∈ [0; +∞) ⇔ P T y = 0 vô nghiệm hoặc
có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa

 mãn x1 < x2 ≤ 0
2
 ∆ ≤ 0
  (m − 3) ≤ 0
  m=3




 
 
 

2
 

 


(m
−
3)
>
0
∆
>
0
m=3

 
 
 







 




⇔
⇔m≥0
⇔

 S<0
 −m + 3 < 0
 m > −3
 
 
 
6
 
 
 





 
 
 

m




 ≥0
P ≥ 0
m ≥ 0
12
Vậy m ≥ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1
m
Cách 2: Chú ý quan sát ta nhận thấy phương trình y = 0 có hai nghiệm x = − , x = − .
2
6
Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞) ⇔ y ≥ 0 ∀ x ∈ [0; +∞) ⇔ P T y = 0 có nghiệm kép hoặc có hai
nghiệm
 x1 ; x2 thỏa mãn x1 < x2 ≤ 0
∆=0

 m=3
 1

m
 0≤m<3 ⇔m≥0
⇔
⇔
−
<
−
≤
0

 2

6


m
1
− <− ≤0
m>3
6
2
Vậy m ≥ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

23


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Cách 3:
Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞)
⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔ 12x2 + 2(m + 3)x + m ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔ m(2x + 1) ≥ −12x2 − 6x, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔ m ≥ −6x, ∀x ∈ [0; +∞) ⇔ m ≥ max (−6x) = 0
x∈[0;+∞)

Vậy m ≥ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 3
Tìm m để hàm số y = −

x3
2
+ (m − 1)x2 + (m + 3)x − 4m3 + 2m2 − 7m + đồng biến trên khoảng
3
3

(0; 3).
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm: y = −x2 + 2(m − 1)x + (m + 3)
Hàm số đã cho đồng biến trên (0; 3) ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3)
Vì hàm số y (x) liên tục tại x = 0; x = 3 nên y ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ [0; 3]
x2 + 2x − 3
⇔ m(2x + 1) ≥ x2 + 2x − 3, ∀x ∈ [0; 3] ⇔ m ≥
, ∀x ∈ [0; 3]
2x + 1
x2 + 2x − 3
⇔ m ≥ max g(x) với g(x) =
x∈[0;3]
2x + 1
2
2x + 2x + 8
12
Ta có: g (x) =
> 0, ∀x ∈ [0; 3] ⇒ g(x) đồng biến trên [0; 3] ⇒ max g(x) = g(3) =
2
x∈[0;3]

(2x + 1)
7
12
Vậy m ≥
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
7
Bài toán 4
√
x3 2
Tìm m để hàm số y = (m − 1)x3 + (m − 1)x2 − 2x + 3 m + 2m nghịch biến trên khoảng (−∞; −2).
3
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = (m2 − 1)x2 + 2(m − 1)x − 2
Ta xét lần lượt các trường hợp sau:
• Trường hợp 1: m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1
+ Với m = 1 thì y = −2x + 3 (y = −2 < 0, ∀x ∈ R) ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
(−∞; −2)
1
1
+ Với m = −1 thì y = −2x2 − 2x − ; y = −4x − 2 < 0 ⇔ x > − ⇒ Hàm số không nghịch biến
2
2
Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

24


24/9/2016

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

trên (−∞; −2)
• Trường hợp 2: m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1
Trước tiên ta đặt t = x + 2 ⇔ x = t − 2. Thay vào y = (m2 − 1)x2 + 2(m − 1)x − 2 thu được một tam
thức bậc hai theo t như sau:
g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 − 2m − 2)t + 4m2 − 2
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)
⇔ y; ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ⇔ g(t) ≤ 0 ∀t ∈ (−∞; 0)
Điều này tương đương
với:








m2 − 1 < 0
a<0





















∆ > 0
m2 − 1 < 0
−4m3 + 3m2 + 2m − 1 > 0
a < 0
hoặc
⇔
hoặc




4m2 − 2m − 2




3
2
∆ ≤ 0

S > 0
−4m + 3m + 2m − 1 ≤ 0

>0




m2 − 1






2




P ≥ 0
 4m − 2 ≥ 0
2
√ m −1
√
−1 + 17
2
≤m≤
Giải bất phương trình trên ta tìm được nghiệm −
2

8
√
√
−1 + 17
2
Với −
≤m≤
thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞; −2)
2
8
Bài toán 5
Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m2 − m3 chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = 3x2 + 6x + m. Ta có: ∆ = 9 − 3m
• Nếu m ≥ 3 thì y ≥ 0, ∀x ∈ R. Điều này dẫn đến hàm số đã cho đồng biến trên R. Không thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
• Nếu m < 3 thì ∆ > 0. P T y = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (x1 < x2 )
Hàm số chỉ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1⇔ Hàm số nghịch biến trên đoạn [x1 ; x2 ] với |x2 −x1 | = 1
Ta có: |x2 − x1 | = 1 ⇔ (x2 − x1 )2 = 1 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 1
4m
9
⇔ (−2)2 −
=1⇔m=
3
4
9
Vậy m = là giá trị cần tìm để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4
Bài toán 6

Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).
Hướng dẫn giải

Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453

25