ÔN THI HS GIỎI LÝ 12 CHUYÊN ĐỀ NHIỆT HỌC

CHUYÊN ĐỀ NHIỆT HỌC
I. LÝ THUYẾT
Khi áp dụng Nguyên lí I và II cho khí lí tưởng chúng ta vận dụng công thức tính công,
nội năng, nhiệt lượng chú ý đến qui ước dấu.
Biểu thức tính công của một số đẳng quá trình như sau:
-

Quá trình đẳng nhiệt: A12 =p1V1lnVV =p1V1ln

-

Quá trình đẳng tích: A12 =0

-

Quá trình đẳng áp: A12 =p(V2 −V1)=nR(T2 −T1)

2

1

Quá trình đoạn nhiệt: A12 =
áp với γ−1

nR

p1

p

2

=nRT1lnVV

2
1

(T2 −T1), trong đó γ là tỉ số giữa nhiệt dung đẳng

nhiệt dung đẳng tích.
nR

Quá trình đa biến nói chung (Quá trình Polytropic): A12 =
số đa γ−1

(T2 −T1)với γ là chỉ

biến.
Biểu thức tính nhiệt lượng của một số đẳng quá trình như sau:
-

Quá trình đẳng nhiệt: Q12 =A12 =p1V1lnVV =p1V1ln pp =nRT1lnVV

-

Quá trình đẳng tích:Q12 =ΔU12 =nCV(T2 −T1), trong đó CV là nhiệt dung riêng đẳng

2

1

1

2

2
1

tích. Đối với khí đơn nguyên tử CV = R, khí lưỡng nguyên tử CV = R
-

Quá trình đẳng áp: Q12 =nCp(T2 −T1)trong đó Cp là nhiệt dung riêng đẳng áp. Liên hệ

giữa nhiệt dung riêng đẳng áp với nhiệt dung riêngđẳng thức theo hệ thức Mayer
Cp =Cv +R.

-

Quá trình đoạn nhiệt: Q12=0.

-

Quá trình đa biến nói chung (Quá trình Polytropic): Q12 =nC(T2 −T1)với C là nhiệt

dung của quá trình đa biến.


II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
m1 ;
S1

Bài 1.
Một xy lanh đặt thẳng đứng có tiết diện thay đổi như hình vẽ.
giữa hai pit tông giam n mol không khí. Khối lượng và diện tích các
pit tông lần lượt là m1, m2, S1, S2. Các pit tông được nối với nhau

m;
S22

bằng một thanh nhẹ có chiều dài l và cách đều chỗ nối của hai đầu xy lanh. Khi tăng
nhiệt độ không khí trong xy lanh thêm ΔT thì các pit tông dịch chuyển như thế nào?
Đoạn dịch chuyển bằng bao nhiêu? Cho biết áp suất khí quyển bên ngoài là p0.
Hướng dẫn giải:
Ban đầu pi tông cân bằng, áp suất bên trong xy lanh là p; áp
suất của khí quyển là p0. Điều kiện cân bằng của hai pit tông là:

(m

1

p0

p

+m2)g+p0(S1 −S2)=p(S1 −S2) (1) Ban đầu,

theo phương trình trạng thái, ta có liên hệ:

p0

pV=nRT (2)

Quá trình tăng nhiệt độ lên T+ΔT thể tích xy lanh thay đổi nhưng điều kiện cân
bằng vẫn là (1). Do đó áp suất khí trong xy lanh sau khi tăng nhiệt độ vẫn là p. Do nhiệt
độ tăng, theo phương trình trạng thái V tăng, như vậy pit ppng phải dịch chuyển đi lên.
Gọi x là độ dịch chuyển của các pit tông ta có phương trình:
p(V+x(S1 −S2))=nR(T+ΔT) (4)

Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta thu được kết quả:
x=

nRΔT

(m +m )g+p (S

(5)

1

Bài 2.

2

0

1

−S2)


Một căn ph ng có thể tích 30m3 có nhiệt độ tăng từ 170C đến 270C. Tính độ biến thiên khối

lượng không khí trong ph ng. Cho biết áp suất khí quyển là 1,0atm và khối lượng mol
của không khí là 29g/mol.
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán có khối lượng khí thay đổi, vì vậy chúng ta áp dụng phương trình
C-M cho hệ.
Trong quá trình lượng khí thay đổi, thể tích ph ng không đổi và áp suất khi trong
ph ng cân bằng với áp suất khí quyển. Do đó:
p0V=

m1

RT1 (1)

M
p0V=

m2

RT2 (2)

M

Giải hệ gồm hai phương trình và thay số vào ta có:
1

1

⎞

Δm=m2 −m1 =Mp0V⎜⎜⎝⎛T 2 −T 1 ⎟⎠⎟ =−1,2kg (3)

Bài 3.
Một bình kín đựng khí loãng được chia làm hai phần bằng một vách
ngăn mỏng có lỗ thủng. Kích thước lỗ thủng rất nhỏ so với quãng

T1

T2

đường tự do trung bình của chất khí. Tìm tỉ số áp suất của khí trong
hai phần nếu chúng được giữ ở các nhiệt độ T 1 và T2 khác nhau. Hướng dẫn
giải
Ở trạng thái cân bằng, số phân tử khí từ ngăn (1) đi sang ngăn (2) phải bằng số
phân tử khí đi theo chiều ngược lại. Vì lỗ rất nhỏ so với quãng đường tự do trung bình
của khí (khí rất loãng nên quãng đường tự do trung bình khá lớn) nên khi các phân tử khí
đi qua lỗ chúng không tương tác, va chạm với nhau.
Do tính chất đối xứng nên số phân từ đi theo một hướng nào đó bằng 1/6 tổng số
phân tử (vì có tất cả 6 hướng như vậy). Mặt khác số phân tử đi qua lỗ nhỏ tỉ lệ thuận với
mật độ phân tử khí và tỉ lệ thuận với tiết diện lỗ. Mặt khác nếu xét trong cùng một đơn vị


thời gian thì nếu nhiệt độ càng cao, tốc độ chuyển động nhiệt của các phân tử càng lớn
thì số phân tử đi qua lỗ càng tăng. Từ các lập luận trên ta có:
1n1v1S= 1n2v2S⇔n1v1 =n2v2
6
6

(1)

Mặt khác, theo phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử chất khí:

n1 = p1 ; n2 = p2 (2) kT1

kT

2

v1 = 3RT1 ;v2 = 3RT2
M
M

(3)

Từ (1)(2)(3) ta thu được:
p1

=

T1

(4) p2

T2
p1 = p2 ⇒ p1 =V2m1T1 p2
V1m2T2

Bài 4.
Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử được giam trong một xy lanh dài nằm ngang có
dạng hình
trụ. Xy lanh ngăn cách bên ngoài bằng
3v

v

hai pit tông hai đầu. Mỗi pit tông có khối lượng m và có thể trượt không ma sát dọc theo
pit tông. Ban đầu truyền cho các xy lanh vận tốc ban đầu v và 3v theo cùng chiều. Nhiệt
độ ban đầu của khí trong xy lanh là T 0. Coi xy lanh rất dài. Tìm nhiệt độ cực đại của khí
trong xy lanh. Biết rằng xy lanh cách nhiệt với bên ngoài.
Hướng dẫn giải:
3v

Khi pit tông (1) dịch chuyển vận tốc 3v, pit tông
(2) dịch chuyển vận tốc v làm khí trong xy lanh bị

v

F2

F1
(1)

(2) nén

lại, quá trình

này làm tăng áp suất khí bên trong. Do đó làm xuất hiện lực F1 có tác dụng giảm vận tốc
pit tông (1) và lực F2 làm tăng vận tốc pit tông (2). Kết thúc quá trình nén này cả hai pit
tông có cùng vận tốc. Sau đó các lực này làm cho khí trong xy lanh bị giãn ra, nhiệt độ


sẽ giảm. Vì vậy nhiệt độ cực đại của khí trong xy lanh có được khi kết thúc quá trình nén

khí, lúc đó cả hai pit tông có cùng vận tốc v/ nào đó.
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hai thời điểm ban đầu và lúc hai pit tông có
cùng vận tốc:
m.3v+m.v= 2m.v/ ⇒v/ = 2v

(1)

Theo đinh lí động năng, công do khối khí thực hiện:
A=ΔWđ =

1

1

2mv/2 −
2

[m(3v) +mv ]=−mv (2)
2

2

2

2

Độ biến thiên nội năng của khí trong xy lanh:

(

)

ΔU= R T −T0 (3)

Áp dụng Nguyên lí I nhiệt động lực học:
ΔU+A=Q (4)

Mà xy lanh cách nhiệt nên:

Q = 0 (5) Từ

(1), (2),(3),(4), (5) ta thu được:
2

T =T0 +

mv2 (6)

3R
p

Bài 5.
Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử chuyển từ

2p0

trạng thái (1) sang trạng thái (2) theo hai cách: (1)

P0

3

1

→(3) →(2) và (1) →(4) →(2) được biểu diễn ở đồ thị
p-V dưới đây. Hãy tìm tỉ số nhiệt lượng cần truyền

2

O

4
V0

2V0

cho khối khí trong hai quá trình đó.
Hướng dẫn giải:
Xét quá trình (1) →(3) →(2):
Quá trình (1) →(3): đẳng tích:
Q13 =CV(T3 −T1)= nR(T3 −T1)=

3

(2p V −p V )=
0

0

0

2

0

3

p0V0

(1)
2

V


Ở đây chúng ta đã sử dụng phương trình Clappayron – Mendeleev: pV =nRT cho
các trạng thái.
Quá trình (3) →(2): đẳng áp:
Q32 =Cp(T2 −T3)= nR(T2 −T3)=

(2p 2V −p 2V )=5p V
0

0

0

0

0

0

(2)

Nhiệt lượng trao đổi trong cả quá trình (1) →(3) →(2):
Q132 =Q13 +Q32 =13 p0V0
2

(3)

Xét quá trình (1) →(4) →(2):
Quá trình (1) →(4):
Q14 =CV(T4 −T1)= nR(T4 −T1)=

đẳng áp:
5

(p 2V −p V )=
0

0

0

0

5

p0V0

(4)

2

2

Quá trình (4) →(2): đẳng tích:
Q42 =Cp(T4 −T2)= nR(T2 −T4)=

3

(p 2V −2p 2V )=3p V
0

0

0

0

0

(5)

0

2

Nhiệt lượng trao đổi trong cả quá trình (1) →(4) →(2):

Q142 =Q14 +Q42 =11

p0V0

(6)

2

Từ (3) và (6), tỉ số nhiệt lượng truyền cho khối khí theo cách: (1)→(3) →(2) và
(1)→(4)→(2) là:
13
2 p0V0 =13

Q132

(7)

=
Q142

11 p0V 11
2

Bài 6.
Một động cơ nhiệt có tác nhân là khí lí tưởng đơn
nguyên tử có thể hoạt động theo hai chu trình được biểu

p

2

3

3p0
1

4


diễn như đồ thị cho bởi hình vẽ bên. Hãy tìm hiệu suất của động cơ theo hai chu trình
trên. Chu trình nào có P0
hiệu suất lớn hơn?

O

V0

3V0

V

Hướng dẫn giải:
Công của hai chu trình bằng nhau và bằng diện tích hình tam giác giới hạn hai chu
trình:
A1231 =A1341 = 1(3p0 −p0)(3V0 −V0)= 2p0V0 = 2.nRT1 (1)
2

Xét chu trình (1) →(2) →(3)→(1) :
Quá trình (1) →(2): nhận nhiệt đẳng tích tăng áp suất
Q12 =CV(T2 −T1)= nR(T2 −T1)=

3

(3p V −p V )=3p V =3nRT
0

0

0

0

0

0

(2)

1

2

Ở đây chúng ta đã sử dụng phương trình Clappayron – Mendeleev: pV =nRT cho
các trạng thái.
Quá trình (2) →(3): nhận nhiệt đẳng áp tăng thể tích
Q23 =Cp(T3

−T2)= nR(T3 −T2)=
=15nRT1

5

(3p 3V −3p V )=15p V
0

(3) 2

0

0

0

0

0

Quá trình (3) →(1): tỏa nhiệt giảm thể tích và nội năng. Vậy
nhiệt lượng nhận tổng cộng trong chu trình này là:
Q1231 =Q12 +Q23 =18nRT1

(4)

Hiệu suất của chu trình này là:
H1231 = A = 1
Q1231 9

(5)

Xét chu trình (1) →(3)→((4) →(1):

Quá trình (1) →(3): nhận nhiệt tăng áp suất và thể tích. Dựa vào hình vẽ ta tính
công bằng diện tích hình thang giới hạn 1-3-3V0-V0 và tính biến thiên nội năng, kết quả:
Q13 =A13 +ΔU13 = (3p0 +p0)(3V0 −V0)+ 3nR(T3 −T1)


2
=4p0V0 +

3

2

2(9p0V0 −p0V0)=16p0V0 =16nRT1

P

(6)

2P

1

0

2

Quá trình (3) →(4): tỏa nhiệt đẳng tích, giảm áp
3

4

T
P0 suất.
Quá trình (4) →(1): tỏa nhiệt đẳng áp, giảm thể tích.
0

T0

2T0

Vậy nhiệt lượng nhận tổng cộng trong chu trình này
là:
Q1341 =Q13 =16nRT1

(7)

Hiệu suất của chu trình này là:
H=
1341

=
A1
Q1341

(8)
8

Bài 7. Một bình có thể tích V chứa một mol khí lí tưởng và có một cái van bảo
hiểm là một xilanh (có kích thước rất nhỏ so với bình) trong đó có một pít tông diện tích
S, giữ bằng l xo có độ cứng k . Khi nhiệt độ của khí là T1 thì píttông ở cách lỗ thoát khí

một đoạn là L. Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T2 thì khí thoát ra ngoài. Tính T2?

L

Hướng dẫn giải:
Kí hiệu P1 và P2 là các áp suất ứng với nhiệt độ T1và T2; Δl là độ co ban đầu của l xo,
áp dụng điều kiện cân bằng của piston ta luôn có:
k.Δl = p1S; k.(Δl +L) = p2S => k.L= (p2 −p1)S; (1) ;


Vì thể tích của xilanh không đáng kể so với thể tích V của bình nên có thể coi
thể tích của khối khí không đổi và bằng V ;…………………………….
áp dụng phương trình trạng thái ta luôn có:
P

V

T1 1 =R;

=> ; P1.V=RT1.
P2V =R

=> ; P2.V=RT2.

=> P2 −P1

=V R(T2 −T1) (2)
T2

⎪

⎧ P2 −P1 = R(T2 −T1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ⎨

V

⎪⎩kL= (P2 −P1)S

kLV

Như vậy khí thoát ra ngoài khi nhiệt độ của khí lên đến: T2 =T1 +
RS

Bài 8. Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1 – 2
– 3 – 4 – 1 được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1. Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K.
a, Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
b, Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ lại chu trình này trên giản
đồ P-V và trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu
trình).
c, Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình. Hướng
dẫn giải:
a)Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích
ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4. Sử dụng phương trình C-M ở
trạng thái 1 ta có:
PV1 1 =mµRT1, suy ra: V1 =mµ RTP11
Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta
được:

V1 =

1 8,31.300

4 2.105 = 3,12.10−3 3m


b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau: 1 –
2 là đẳng áp;
2 – 3 là đẳng nhiệt; 3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình
b) như sau
P(105P
a)
2

1

V(l)
1

2

4

3,12 6,24

12,4

2

6,24

3

3,12
0

3

12,4

V(l)

0

Hình a

4

1

150 300

600

T(K
)

Hình b

Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích: V2
= 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3. Công mà khí thực hiện trong từng
giai đoạn:
A12 = p V1 2( −V1) = 2.10 (6,24.105−3 −3,12.10 )−3 = 6,24.102J
A23 = p V2 2 ln

V3

= 2.10 .6,24.105−3 ln2 = 8,65.102J

V2

A34 = p V3 4( −V3) =10 (3,12.105 −3 −12,48.10 )−3
=−9,36.102J A41 =0 vì đây là quá trình đẳng áp.

Bài 9. Có 0,4g khí Hiđrô ở nhiệt độ
, áp suất Pa, được biến đổi trạng thái qua 2
giai đoạn: nén đẳng nhiệt đến áp suất tăng gấp đôi, sau đó cho dãn nở đẳng áp trở về thể
tích ban đầu.
a. Xác định các thông số (P, V, T) chưa biết của từng trạng thái .
b.
-

Vẽ đồ thị mô tả quá trình biến đổi của khối khí trên trong hệ OPV. Hướng
dẫn giải:
Tóm tắt
Vậy ta sẽ tìm

+ Tìm

: đề cho m, P1, T1, ta sử dụng phương trình Cla-pê-rôn – Men-đê-lê-ép
, với R=8,31J/K.mol


+ Tìm

: Từ TT1 sang TT2 biến đổi đẳng nhiệt, ta sử dụng định luật Bôi -lơ – Ma-ri-ốt

+ Tìm

: Từ TT2 sang TT3 biến đổi đẳng áp, ta áp dụng định luật Gay-luy-xắc

+ Vẽ đồ thị trong hệ OPV
-

Xác định các điểm

,

,

(với các giá trị đề cho và vừa tìm ra) trên

hệ OPV
-

Nối điểm (1) và (2) bằng đường hyperbol.

-

Nối điểm (2) và (3) là đường thẳng vuông góc với OP

1

2

K
Bài 10. Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được
nối với
nhau bằng một ống cách nhiệt có kích thước nhỏ,
trên ống
nối có lắp một van K. Lúc đầu K đóng. Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối lượng M,
chứa một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T 0. Trong xi
lanh 2 có pit-tông khối lượng m = M/2 và không chứa khí. Phần trên của pit-tông trong
hai xi lanh là chân không. Sau đó van K được mở để khí từ xilanh 1 tràn qua xi lanh 2.
Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi đó phần trên của pittông trong xi lanh 2 vẫn c n khoảng trống. Cho νµ/M = 0,1, với ν là số mol khí; ma sát
giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ. Hướng dẫn giải:
Khi K mở, toàn bộ lượng khí chuyển qua xi lanh 2.
Kí hiệu: H0 – độ cao cột khí trong bình 1 khi K chưa mở;


H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng.
Áp dụng nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có:
νµg

3

νRT T( − 0)=MgH mgH0 −+
(H H0 − )
2

2

Trước khi K mở, ở xi lanh 1:
P0 =

ν

Mg ;V H S0 = 0  MgH0 = νRT0 gH0 = RT0
S
M
ν

Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2: gH = RT m

Vậy: 32νRT T( − 0)=νRT T( 0 − )+ν2µ(νMRT0 −νmRT)T T= 0 1+ 52ννMµµ= 0,98T0
1+
5M

Bài 11. Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần nhờ một pit-tông
mỏng dẫn nhiệt. Pit-tông được nối với một thành ở đầu xi lanh bằng một l xo nhẹ. Ở hai
bên của pit-tông đều có ν mol khí lí tưởng đơn nguyên tử. Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều
dài của l xo lúc chưa dãn là ℓ/2. Ở trạng thái ban đầu l xo bị dãn một đoạn là X và nhiệt
độ của khí trong hai phần của xi lanh là T. Sau đó, người ta đục một lỗ nhỏ qua thành
của pit-tông. Xác định độ biến thiên nhiệt độ của khí trong xi lanh ΔT sau khi khí trong
xi lanh đã cân bằng. Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, l xo và ma sát giữa
pit-tông và xi lanh. Hướng dẫn giải:
Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của l so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây
ra bởi độ chênh lệch về áp suất ở hai bên của pit-tông.
⎛
(νRT− x) (− νl RT+ x) =−kx

3l
2
2

⎞

⇒ k =νRTx ⎜⎜⎜ l 1+ x − 3l1− x ⎟⎟⎟
⎝2

2

⎠

Sau khi pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn của l xo bằng
không. Toàn bộ năng lượng từ thế năng đàn hồi dự trữ trong l xo biến thành nội năng
kx2

của khí, nên:
⎛

Vậy:

3

= 2vR TΔ
2
2
⎞

ΔT = kx2 = x⎜⎜ l 1 − 3l1 ⎟⎟⎟T = 23 (x l +2 )(3lx−2lx−2 )x T

6νR

6⎜ + x
⎝2

−x
2
⎠


Bài 12. Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có
nhốt 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai
pittông cách nhiệt có khối lượng bằng nhau và bằng M có
thể chuyển động không ma sát trong xilanh. Lúc đầu hai

m

M
V1

M
V

pittông đứng yên, nhiệt độ của khí trong xilanh là To. Truyền
cho hai pittông các vận tốc v1, v2 cùng chiều (v1=3vo, v2=vo). Tìm nhiệt độ cực đại mà khí
trong xilanh đạt được, biết bên ngoài là chân không. Hướng dẫn giải:
- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo
M
phương ngang là lực đẩy F 1 ngược chiều v1 nên V
F1

pittông (1) chuyển động chậm dần đều. F2

m

M

V1

-v 2Đố nên pittông (2) chuyi với pittông (2): tểươn ng
nhanh dự, lực đẩy Fần 2đề cùng chiu.
ều
(2)

tđộng
(1)

Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí
nhốt trong xi lanh chuyển động theo.
Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc
của pittông (1) đối với pittông (2) là: v12 =v1 −v2 →
pittông (1) chuyển động về phía pittông (2) chậm dần
rồi
dừng lại lúc to,
sau đó t>to thì pittông (1) chuyển động xa dần với
pittông (2) và khí lại giãn nở.
Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc tphía pittông (2).
Lúc t>to: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2). Vậy ở nhiệt độ t o thì
vG=0 → cả hai pittông cùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v.
Định luật bảo toàn động lượng ta có:

M3vo+Mvo=(2M+m)v→ v=4Mvo/(2M+m).
-

Động năng của hệ lúc đầu: Wđ1=

1

M(v12 +v22)=5Mvo2.

2

-

Động năng của hệ lúc ở to là: Wđ2=

1

(2M +m)v2.

2

→ Độ biến thiên động năng: ΔW=Wđ2-Wđ1=

Mvo2(2M +5m)

.

2M +m

-

Nội năng của khí: U =
2

i

nRT =
2

3

nRT →ΔU =
2

3

nRΔT =
2

3

nR(Tmax −To).


Vì ΔU=ΔW nên Tmax =To + 2 Mvo2(2M +5m) (do n=1)

-

2M +m

3R

Bài 13. Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực

P

hiện một chu trình 1 – 2 – 3 5 Pa; T– 4 –0 1= 300K.được bi ểu diễn

1

0

2

trên giản đồ 2P P-T như hình 1. Cho P0 = 10
a, Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.

3

4

b, Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ P 0 lại
chu trình này trên giản đồ P-V và trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá
trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình).
c, Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu 0 T0 2T0 trình.

T

1
Hướng dẫn giải:

a)Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích
ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4. Sử dụng phương trình C-M ở trạng
thái 1 ta có:
PV1 1 =mµRT1, suy ra: V1 =mµ RTP11

Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta
được:
V1 = 1 8,31.30042.105 = 3,12.10−3 3m

b)Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau: 1 – 2
là đẳng áp;
2 – 3 là đẳng nhiệt; 3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình
b) như sau:
P(105P
a)
2 12,4

V(l)
1

3

2

8
4
1 6,24
3,12

2

3
4

1


0

3,12 6,24

V(l)

12,4

0

150 300

Hình a

600 T() K

Hình b

Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích:
V 2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3. Công
mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:
A12 = p V1 2( −V1) = 2.10 (6,24.105−3 −3,12.10 )−3 = 6,24.102J

A23 = p V2 2 ln

V3

= 2.10 .6,24.105−3 ln2 = 8,65.102J

V2

A34 = p V3 4( −V3) =10 (3,12.105 −3 −12,48.10 )−3
=−9,36.102J A41 =0 vì đây là quá trình đẳng áp.

Bài 14. Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi một
pittông nặng cách nhiệt. Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý tưởng. Ban
đầu khi nhiệt độ khí của hai phần như nhau thì thể tích phần khí ở trên pittông gấp n = 2
lần thể tích khí ở phần dưới pittông. Hỏi nếu nhiệt độ của khí ở phần trên pittông được
giữ không đổi thì cần phải tăng nhiệt độ khí ở phần dưới pittông lên bao nhiêu lần để thể
tích khí ở phần dưới pittông sẽ gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần trên pittông ? Bỏ qua ma
sát giữa pittông và xylanh. Hướng dẫn giải:
Lượng khí ở 2 phần xylanh là như nhau nên:
m.R = P1V1 = P2 V2 = P1'V1' = P2 'V2 ' µ T1

Vì V nV1 = 2 nên P nP2 = 1
Theo giả thiết: V V n1' = 2' / , suy ra:
T

T21 =nP

P

2'

1 '

T1

T1

V1,
P

T2

V1’,

(1)
V2, P2

Để tính

P2 '
'

ta dựa vào các nhận xét sau:

V2’,

P’

P1

1. Hiệu áp lực hai phần khí lên pittông bằng trọng lượng Mg của pittông:
(P2 ' −P1' )S=Mg =(P2 −P1 )S
2.

P P P P n P2' − 1' = 2 − 1 =( −1) 1 P P n P2' = +1'( −1) 1
Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng ở phần trên của pittông:

(2)


Để

V

V1' Thay vào (2), ta suy ra: P2'' = +1 (n−1) V11' (3)

1

3.

P

V

P1V1 = P1’V1’ → P1 = P1' .

1

tìm
V ' ta chú ý là tổng thể tích 2 phần khí là không đổi: V1+V2 = V1’+V2’

V1
1

V1 + = +Vn1 V nV1'1'⇒VV n11' =1Thay vào (3) ta được: PP12'' = +1 (n−1)1n= 2nn−1

Thay vào (1) ta có kết quả: TT21 =nPP12'' =2 1 3n− = .

PPE

E

Bài 15. Cho một lượng khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiên chu trình
ABCDECA biểu diễn trên đồ thị ( hình vẽ) Cho biết PA=PB=105Pa, PC
PC=3.105Pa, PE =PD=4.105Pa, TA=TE =300K, VA=20lít, VB=VC=VD=10 lít, PA
AB, , CD, DE, EC, CA là các đoạn thẳng O a, Tính các thông số TB, TD, VE.

D
C
A

B
VE

VC

VA

b, Tính tổng nhiệt lượng mà khí nhận được trong tất cả các giai đoạn của
chu
trình mà nhiệt độ của khí tăng. Cho nội năng của n mol khí lí tưởng đơn nguyên tử

được tính bằng công thức : U = nRT T( − 0)

Hướng dẫn giải
Áp dụng phương trình trạng thái PAVA=nRTA→nR=20/3
TB=PBVB/nR=150K, TD=PDVD/nR=600K. VE=nRTE/PE=5 lít
b, Khí nhận được trong quá trình đẳng tích BD và một giai đoạn trong quá trình biến
đổi BCA:

Q

J

→ P=V/5+5 (1) (V đo bằng lít, P đo bằng 105Pa)→ T=PV/nR
(2) (Tđo
bằng 100K) T=Tmax=468,75K, khi Vm=12,5 lít, T tăng khi 12,5 lít ≥V≥5, Vm ứng với
điểm F trên đoạn CA. Xét lượng khí nhận nhiệt lượng ΔQ trong quá trình thể tích tăng
từ V đến V+ΔV (trên đoạn EF): ΔQ=n. RΔT+P.ΔV. từ (1), (2) ta tìm được : ΔQ=(4V/5+12,5)ΔV. Dễ dàng nhận thấy trong giai đoạn ECF luôn có ΔQ>0 . Trong giai
đoạn này, nhiệt lượng nhận được là: Q2=ΔU+A, với ΔU=n. R(Tmax −TE) =1687,5J
Tổng nhiệt lượng mà khí nhận được là : Q=Q1+Q2=8625J