Thủy văn học - Chương 4

Chương 4. Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê.
Chương 4.
KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC
SUẤT THỐNG KÊ.
Hiện tượng thuỷ văn có tính ngẫu nhiên nên việc tính toán các giá trị của đại lượng thuỷ
văn được sử dụng lý thuyết xác suất thống kê.
4.1. Hiện tượng và biến cố.
4.1.1. Hiện tượng tất nhiên.
Là những hiện tượng mà trong một điều kiện nhất định sự phát sinh và diễn biến
của chúng tuân theo một quy luật nhất định, khi nó thay đổi từ trạng thái này sang trạng
thái khác ta biết được qua trình và tính chất của chúng.
VD: trong điều kiện áp suất bình thường nước sôi ở nhiệt độ 100
0
C; nước đóng
băng ở nhiệt độ 0
0
C.
4.1.2. Hiện tượng ngẫu nhiên.
Là hiện tượng mà trong điều kiện nhất định có thể xảy ra hoặc chưa chắc đã xảy ra.
Qui luật diễn biến của hiện tượng ngẫu nhiên không thể biết trước. VD: Khi tung một
đồng tiền cân đối và đồng chất có thể xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa điều này không thể
biết trước được.
MN trên sông hàng năm ta không thể biết được bằng bao nhiêu?
4.1.3. Tính chất của hiện tượng ngẫu nhiên.
Tính chất quan trọng của hiện tượng ngẫu nhiên là Tính chất đám đông. Nếu quan
sát hiện tượng ngẫu nhiên một số ít lần thì thấy chúng không tuân theo một quy luật nào
cả, nhưng nếu quan sát rất nhiều lần có thể thấy khá rõ nét tính quy luật và ổn định của
hiện tượng ấy.
VD:
+ Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất, khi số lần gieo n→∞ thì số lần xuất
hiệ

n mặt Sấp ≈ Ngửa
+ Lũ sông Hồng tuy xảy ra bất thường nhưng thường vào tháng 7, tháng 8.
4.1.4. Biến cố.
Do tính chất đám đông của hiện tượng ngẫu nhiên, muốn nghiên cứu quy luật của
hiện tượng ngẫu nhiên nào đó cần phải lặp lại rất nhiều lần 1 thực nghiệm. Để phân biệt
các hiện tượng xảy ra một cách tự nhiên không phụ thuộc vào điều kiện của các thực
nghiệm, gọi các hiện tượng có thể xảy ra trong khi tiến hành thực nghiệm là các biến cố
.
Tập hợp các biến cố gọi là không gian biến cố.
VD: + Quan sát sự biến đổi MN trên sông → MN là một biến cố.
+ Quan sát V dòng chảy trên sông → V là một biến cố.
4.1.5. Các loại biến cố.
Có thể phân loại thành các dạng biến cố cơ bản như sau:
-Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra trong mỗi lần thực nghiệm.
4-1

Chương 4. Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê.
VD: biến cố “thu được số điểm từ 1 đến 6” mỗi khi tung xúc xắc.
-Biến cố không: là biến cố nhất định không thể xảy ra trong mọi điều kiện thực
nghiệm, ký hiệu Ф.
VD: biến cố “thu được số điểm là 7” khi tung xúc xắc.
-Biến cố tích: nếu biến cố C xảy ra khi biến cố A và B đồng thời xảy ra thì C được
gọi là tích của 2 biế
n cố A và B.
C = A.B
VD: biến cố A - “tung xúc xắc thu được số điểm chẵn”
biến cố B - “tung xúc xắc thu được số điểm < 3”
biến cố C - “tung xúc xắc thu được số điểm bằng 2” là tích của A và B.
-Biến cố xung khắc: nếu A và B không thể cùng đồng thời xảy ra trong 1 lần thực
nghiệm thì A và B là 2 biến cố xung khắc.

A.B = Ф
-Biến cố tổng: biến cố C xuất hiệ
n khi chỉ cần 1 trong 2 biến cố A, B xuất hiện thì C
là tổng của A và B.
4.2. Xác suất và tần suất.
4.2.1. Định nghĩa xác suất theo lối đồng khả năng.
Nếu biến cố A có thể phân chia thành m biến cố trong nhóm đầy đủ n biến cố A
1
,
…, A
n
có đồng khả năng xuất hiện thì xác suất xuất hiện biến cố A là:
%100.
n
m
p
A
=

Cũng có thể định nghĩa: Xác suất xuất hiện biến cố A nào đó là tỷ số giữa số biến
cố thuận lợi với tổng số biến cố có thể có.
Trong đó:
m- số biến cố thuận lợi;
n - số biến cố có thể có.
VD1: + Khi gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất. Khả năng xuất hiện mặt sấp ≈
mặt ngửa. Vậy số đó khả năng ấy (xác suất) =1/2.
VD2: + Gieo một con xúc xắc đồng chất cân đối. Khả năng xuất hiện các mặt (xác
suất) = 1/6 .
4.2.2. Định nghĩa xác xuất theo quan điểm thực nghiệm.
Trong tự nhiên, các biến cố của nhiều đại lượng ngẫu nhiên không mang tính chất

đồng khả năng vì các điều kiện thí nghiệm không thể đồng đều. VD: Như sự hình thành
mực nước lưu lượng tại trạm thuỷ văn ở các thời điểm khác nhau hoàn toàn không đồng
nhất. Vì vậy nguời ta tiến hành nhiều phép thử thí nghiệm (TN) để xác định khả năng
xuất hiện của các biế
n cố. VD: Kết quả các thí nghiệm tung đồng tiền.
Người làm thí
nghiệm
Số lần gieo Số lần xuất hiện
mặt sấp (m)
Tần suất xuất hiện
mặt sấp (m/n)
Buffon 4040 2048 0,5080
4-2

Chương 4. Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê.
Pearson 12000 6019 0,5016
Pearson 24000 12012 0,5005
Qua TN ta nhận thấy tỷ số giữa số lần xuất hiện 1 biến cố A nào đấy - ký hiệu m (ví
dụ biến cố xuất hiện mặt sấp) và tổng số lần thực nghiệm -ký hiệu n- dao động quanh 1
trị số cố định (VD: Trên trị số 1/2 ) Tỷ số
n
m
gọi là tần suất xuất hiện biến cố A.
Còn trị số cố định mà tần suất giao động quanh nó chính xác xuất → Định nghĩa
xác suất theo quan điểm thực nghiệm là:
Xác suất xuất hiện của biến cố A là tần suất xuất hiện của biến cố đó khi số lần thực
nghiệm tăng lên vô hạn.
%100.
n
m

limp
n)A(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞→

Trong thực tế xác suất thường tính theo tỷ số %.
+ Khi m = n → p
(A)
= 1 (hay 100%) lúc này ta có 1 biến cố chắc chắn.
+ Khi m = 0 → p
(A)
= 0, tức là ta có 1 biến cố không, tức biến cố không thể xảy ra
trong mỗi lần thực nghiệm.
0 ≤ p
(A)
≤1 vì 0 ≤ m ≤ n
4.3. Phân bố xác xuất của biến ngẫu nhiên.
4.3.1. Biến số ngẫu nhiên.
Trong phép thử ngẫu nhiên, kết quả của nó nhận những giá trị khác nhau mà ta
không biết trước được. Giả sử các trị số đó là X
1
, X
2
, ... X

n
. Qua nhiều lần thực nghiệm ta
có thể tìm được xác suất tương ứng của chúng là P
(X1)
, P
(X2)
, ... P
(Xn)
. Quan hệ giữa X
1
và
P
(X1)
là quan hệ hàm số và X được gọi là biến số ngẫu nhiên.
4.3.1.1. Biến số ngẫu nhiên liên tục.

Nếu trong khoảng [X
1
,X
2
] nào đó, biến ngẫu nhiên có thể lấy giá trị tuỳ ý thì X
được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
VD: Lưu lượng lớn nhất từ một trạm thuỷ văn sẽ nhận được giá trị bất kỳ từ [Q
max1
;
Q
max2
]
Nói chung giá trị của các đại lượng thuỷ văn khí tượng đều là dạng biến ngẫu
nhiên liên tục.

4.3.1.2. Biến số ngẫu nhiên gián đoạn.
Nếu trong khoảng [X
1
,X
2
], biến ngẫu nhiên chỉ có thể lấy 1 số trị số rời rạc nhất
định thì X được gọi là biến ngẫu nhiên không liên tục (gián đoạn hoặc rời rạc)
VD: Gieo con xúc xắc, số điểm thu được là một biến số ngẫu nhiên gián đoạn, vì
chỉ có thể nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 6.
4.3.1.3. Hàm phân bố xác suất.
Mỗi giá trị có thể của biến số ngẫu nhiên X
i
ứng với một biến cố. Các biến cố này
sẽ xuất hiện với các xác suất khác nhau. Mối quan hệ giữa biến cố và xác suất xuất hiện
tương ứng là quan hệ hàm số, hàm số đó được gọi là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu
4-3

Chương 4. Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê.
nhiên. Do tập hợp tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên lập thành dãy đầy đủ
các biến cố nên ΣP
(Xi)
= 1.
4.3.2. Hàm tích phân phân bố xác suất.
Trong các phép thử ngẫu nhiên, các biến cố xảy ra mang các giá trị ngẫu nhiên là
X
1
, X
2
,...X
i

,...X
n
tương ứng có xác suất P
(X1)
, P
(X2)
, ... P
(Xi)
... P
(Xn)
.
Luật phân bố xác suất biểu thị dưới bảng:
X X
1
X
2
... X
i
... X
n
P P
1
P
2
... P
i
... P
n
Bảng trên biểu thị quan hệ rời rạc, từng đôi một giữa trị số ngẫu nhiên và xác suất
tương ứng của nó là không hợp lý vì trong khoảng [X

1
,X
2
] có thể lấy được vô số trị số X
khác nhau trong khoảng biến thiên đó.
Để khắc phục điều này, trong lý thuyết xác suất nói chung và trong tính toán thuỷ
văn nói riêng, người ta nghiên cứu xác suất của các giá trị biến ngẫu nhiên lớn hơn hay
nhỏ hơn một giá trị cho trước nào đó tức là:
P(X ≥ X
i
) hoặc P(X ≤ X
i
)
(Trong thuỷ văn người ta dùng loại P(X ≤ X
i
) do tính chất của hiện tượng thuỷ văn
là khi xuất hiện giá trị lớn thì đã trải qua giá trị nhỏ hơn rồi)
Ta nhận thấy giá trị xác suất để cho X nằm trong khoảng [X
i
, X
max
] với X
max
là cận
trên của biến ngẫu nhiên liên tục cần nghiên cứu, chính là tổng xác suất xuất hiện của
từng giá trị X trong khoảng [X
i
, X
max
], vì vậy xác suất ở đây mang tính chất lũy tích

(cộng dồn). Hàm số biểu thị quan hệ giữa xác suất luỹ tích này và biến số ngẫu nhiên
nằm trong khoảng [X
i
, X
max
] gọi là hàm tích phân phân bố xác suất và được ký hiệu:
F
(Xi)
= P
(X≥Xi)

Đường biễu diễn hàm số F
(Xi)
là 1 đường cong trơn, trong lý thuyết xác suất gọi là
đường tần suất luỹ tích. Đơn giản còn gọi là đường tần suất.
§−êng tÇn suÊt luü tÝch
y = F(Xi)
50% 100%
Xi
X
%
0
0
X
%
Xi
§−êng ph©n bè
mËt ®é tÇn suÊt
y = f(Xi)
f(x)

Do giá trị của đại lượng thuỷ văn là biến ngẫu nhiên liên tục, nên tần suất xuất hiện
chính xác 1 giá trị nào đó là xấp xỉ bằng 0, do đó trong thuỷ văn thường dùng khái niệm
tần suất lũy tích. Khi nói tần suất, trong thuỷ văn hiểu là tần suất luỹ tích.
4.3.3. Hàm mật độ xác suất.
Hàm mật độ xác suất ký hiệu f(X
i
) là đạo hàm bậc nhất của hàm tích phân phân bố
xác suất F(X
i
), ta có:
4-4

Chương 4. Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê.
X
)X(F)xX(F
lim)X('F)X(f
ii
0x
ii
∆
−∆+
==
→∆

Đồ thị biễu diễn hàm mật độ xác suất f(X
i
) là đường cong trơn hình quả chuông và
được gọi là đường mật độ xác suất.
Trong thực tế, khi tính toán các đại lượng ngẫu nhiên theo quan điểm thực nghiệm

thì xác suất được định nghĩa theo tần suất, khi đó ta có đường tích phân phân phối xác
suất được gọi là đường tần suất lũy tích và đường mật độ xác suất sẽ là đường mật độ tần
suất.
VD: Tài liệu về lưu lượ
ng Q
max
(m
3
/s) tại 1 trạm thuỷ văn trong 25 năm, viết theo
thứ tự hàng năm đo đạc ta có:
25; 35; 20; 40; 35; 55; 30; 15; 40; 45; 20; 25; 30; 25; 50; 35; 45; 30; 60; 35; 40; 50;
35; 30; 35.
Hãy vẽ đường tần suất luỹ tích và đường mật độ tần suất.
Trình tự tính toán như sau:
1/ Phân cấp tài liệu (ở đay độ lớn của 1 cấp đã cho là ∆Q = 5 đơn vị)
2/ Sắp xếp các số hạng từ lớn đến bé và thống kê số lần xuất hi
ện các trị số rơi vào
cấp tương ứng (mi =?)
3/ Tính tần suất P =
n
m
i
100%
4/ Tìm mặt độ tần suất là tìm tỷ số giữa tần suất và độ lớn của 1 cấp:
()
Q
P
xf
i
i

∆
=

5/ Tính tần suất tích luỹ tức là cộng dồn các kết quả tính tần suất Pi.
Bảng kết quả tính Qmax như sau.
∆Q = 5 m
3
/s; n = 25.
Cấp lưu lượng
Qmax (m
3
/s)
Tần số
m
Tần suất (%)
P% = (mi/n) 100
Mật độ tần suất
Pi/∆Q (%)
Tần suất tính luỹ
ΣP(x ≥ xi) %
60 1 4 0,8 4
55 1 4 0,8 8
50 2 8 1,6 16
45 2 8 1,6 24
40 3 12 2,4 36
35 6 24 4,8 60
30 4 16 3,2 76
25 3 12 2,4 88
20 2 8 1,6 96
15 1 4

Σ = 100
0,8 100%
Tính P
(x1)
= P
(x1=60)
= (1/25). 100 = 4%
Tính f
(x1=60)
= P
(xi)
/ ∆Q = 4/5 = 0,8%
4-5