ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018 môn Toán Sở Hà Nội Có đáp án Có lời giải chi tiết File Word

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÚ XUYÊN A

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút.

Họ, tên:................................Số báo danh:..............
Câu 1.

Mã đề thi 186

Hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 đồng biến trên các khoảng
A. ( −∞;1) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ¡ .

Câu 2.

Cho khối nón có chiều cao bằng 8 , độ dài đường sinh bằng 10 . Khi đó thể tích khối nón là
A. 128π .
B. 124π .
C. 140π .
D. 96π .

Câu 3.

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y =
A. 2 3 .

Câu 4.

B. 2 5 .

C. 1 .

2x −1
là
x −1

D. 2 2 .
x+2
lần lượt là
x −1
D. y = 2 và x = 1 .

Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 1 và y = 1 .

B. x = −1 và y = 1 .

C. y = 1 và x = 1 .

Câu 5.

Hình lăng trụ có diện tích đáy là S và chiều cao là h thì thể tích của khối lăng trụ đó là
1

1
1
A. S .h .
B. S .h .
C. S .h .
D. S .h .
3
2
6

Câu 6.

Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 1 .

Câu 7.

B. y = −1 .

C. x = 1 .

4
2
Số giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x + ( 6m − 4 ) x + 1 − m là ba

đỉnh của một tam giác vuông là
A. 0 .
B. 1 .
Câu 8.

x2 + 1
là.
x −1
D. y = 1 và y = −1 .

C. 2 .

D. vô số.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây ?
y
2

1
−1

O 1

x

−1
A. y = − x + 2 x + 3.
4

Câu 9.

2

B. y = − x + 2 x .
4

2

C. y = x 4 − 2 x 2 .

D. y = x 4 − 2 x 2 − 1 .

Cho hàm số y = x 3 − x 2 − x + 1 . Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao
điểm của nó với trục hoành là.
A. y = 0 và y = x − 1 .
B. y = x + 1 và y = x + 4 .
C. y = 0 và y = 4 x + 4 .
D. y = x − 1 và y = x + 1 .

2
Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +

A. 3.

B. 2.

2
với x > 0 là.
x
C. 1.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 0.

Trang 1/22 - Mã đề thi 186


Câu 11.

Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A trên mặt biển cách bờ biển một khoảng AB = 5km .
Trên bờ biển có một cái kho ở cách B 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò đến điểm
M trên bờ biển với vận tốc 4km / h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km / h . Vị trí của điểm M
cách B một khoảng bằng bao nhiêu để người đó đi đến kho C ít tốn thời gian nhất.
A. 0 km.

B. 7 km.

C. 2 5 km.

D. 5 2 km.

Câu 12. Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 1% một tháng. Biết rằng cứ
sau mỗi quý ( 3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm
thì người đó nhận lại được số tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu
A. 8 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 11 .
Câu 13. Nếu log4 = a thì log4000 bằng
A. 3 + a .
B. 4 + a .

C. 3 + 2a .

D. 4 + 2a .

Câu 14. Cho log27 5 = a,log8 7 = b,log2 3 = c . Tính log12 35
A.

3b + 3ac
.
c+2

B.

3b + 2ac
.
c+2
2−2 x

3
Câu 15. Tập nghiệm của phương trình  ÷
2
8 
8
A.   .
B.   .
5
3

C.

3b + 2ac
.

c+3

D.

3b + 3ac
.
c +1

x −2

 8 
= ÷
 27 

là
C. { 4} .

Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 22 x −3 − 3.2 x − 2 + 1 = 0 là
A. 6 .
B. 3 .
C. 5 .

D. { 2} .

D. −4 .

Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 3a , BC = 4a ,
·
( SBC ) ⊥ ( ABC ) , SB = 2a 3 , SBC
= 30° . Thể tích của S . ABC là

A. 2a 3 3 .

B.

2 3
a 3.
3

C. 3a 3 3 .

D.

1 3
a 3.
3

x
2
Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 − 4 ) ( x − 2 x − 3) < 0 là

A. ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) .

B. ( −∞;1) ∪ ( 2;3) .

C. ( 2;3) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ ( 2;3) .

x
x

Câu 19. Với giá trị nào của m để bất phương trình 9 − 2 ( m + 1) .3 − 3 − 2m > 0 có nghiệm đúng với
mọi số thực x ?
A. m ≠ 2 .
B. m ∈∅ .
3
C. m ≤ − .
D. m ∈ −5 − 2 3; −5 + 2 3 .
2

(

)

Câu 20. Cho hình chóp S . ABC , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , ∆ABC vuông cân, AB = BC = a , B′ là trung
điểm của SB , C ′ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC . Thể tích của S . AB′C ′ là
A.

a3
.
9

B.

a3
.
12

C.

a3

.
36

D.

a3
.
27

x
Câu 21. Số nghiệm của phương trình log 2 ( 2 − 1) = −2 bằng

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

2
Câu 22. Tích các nghiệm của phương trình log x ( 125 x ) .log 25 x = 1 là

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/22 - Mã đề thi 186


A.

7
.
125

B. 630 .

C.

630
.
625

D.

1
.
125

Câu 23. Giá trị thực của a để hàm số y = log 2 a +3 x đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
A. a > 1 .

B. a > −1 .

C. 0 < a < 1 .

D. 0 < a ≠ 1 .

−x
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x ) = x.e . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Hàm số có tập xác định D = ¡ .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .

 1
C. Đồ thị hàm số đạt cực đại tại 1; ÷ .
 e

f ( x ) = −∞ .
D. xlim
→+∞

Câu 25. Cho hàm số y =

x+2
. Hãy chọn đáp án đúng ?
x −1

A. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) và ( 1; +∞ ) . B. Hàm số nghịch biến trên ¡ \ { 1} .
C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên với x ≠ 1 .

Câu 26. Khối trụ tròn xoay có bán kính đáy là r và chiều cao h thì có thể tích là
1 2
1 3
A. π r h
B. π r 2 h
C. 2π rh
D. π r h

3
3
Câu 27. Cho hình chóp S . ABC đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 2 , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA = 4 . Thể tích của khối chóp là
8
16
1
A.
B.
C. 8
D.
3
3
2
Câu 28. Cho hàm số: y = x 3 + x 2 + mx + 1 . Tất cả các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên ¡ là
A. m >

1
3

B. m ≥

1
3

C. m ≤

1
3

D. m <

1
3

Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên A′A = b . Thể
tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
A.

a 2b 3
4

B.

a 3b 3
3

C. a 2b 3

D. a3b 3

Câu 30. Khối nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông là 2a
thì có thể tích là
A.

4π a 3 2
3

B.

π a3 2
3

C.

2π a3 2
3

D. 2π a 3 2

Câu 31. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 5 điểm cực đại của hàm số là
A. x = −1 .

B. x = 0 .

C. x = 1 .

D. x = −1 hoặc x = 1 .

Câu 32. Cho khối trụ có độ đài dường sinh bằng 10 , thể tích khối trụ bằng 90π . Diện tích xung quanh
của hình trụ đó là
A. 36π .
B. 60π .
C. 81π .
D. 78π .
Câu 33. Hình trụ có bán kính bằng a . Gọi AB , CD là hai đường kính của hai đáy sao cho AB ⊥ CD .
Thể tích khối trụ đó bằng bao nhiêu khi ABCD là tứ diện đều.
1 3
1 3
A. πa 2 .

B. πa 3 3 .
C. πa3 2 .
D. πa 3 .
3
3
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/22 - Mã đề thi 186


Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại C , BC = a , AC = b . Khi quay tam giác ABC quanh AC . Thể
tích khối tròn xoay tạo thành là
1 2
1 3
A. πa b .
B. πa 2b .
C. πa b .
D. πa 3b .
3
3
Câu 35. Cho hình chóp S . ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , AC = 2a , SA vuông góc với
1
đáy, SA = a , I thuộc cạnh SB sao cho SI = SB . Thể tích của khối chóp S . ACI là
3
A.

a3
.
3

B.

a3
.
6

C.

a3
.
12

D.

a3
.
9

2
Câu 36. Tập nghiệm của bất phương trình log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + 4 ) là

A. ( −∞; −4 ) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. ( −4;1) .

C. ( −∞; −4 ) ∪ ( 1; 2 ) .

D. ( 1; 2 ) .

Câu 37. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC , cạnh đáy bằng a , ·ASB = 60° . Thể tích của khối chóp

S . ABC là
A.

a3 2
.
4

B.

a3 3
.
4

C.

a3 2
.
12

D.

a3 3
.
3

Câu 38. Trong hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) đi qua A ( −1; 2;0 ) , B ( −2;1;1) và có tâm nằm trên trục Oz
, có phương trình là
A. x 2 + y 2 + z 2 − z − 5 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 + 5 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − x − 5 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − y − 5 = 0 .

Câu 39. Cho hình chóp S . ABC , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , ∆ABC vuông cân, AB = BC = a . Thể tích

S . ABC là
a3
A.
.
3

B.

a3
.
6

C.

a3
.
9

D.

a3
3.
3

Câu 40. Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ cạnh đáy bằng a . Khoảng cách từ tâm O của ∆ABC đến

( A′BC )
A.

là

a
. Thể tích khối lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ là
6

3a 3 2
.
16

B.

3a 3 3
.
16

r
r
Câu 41. Trong hệ tọa độ Oxyz cho u = ( x;0;1) , v =
A. x = −1 .

a3 3
.
4

r
r
2; − 2;0 . Tìm x để góc giữa u và v bằng 60° ?
C.

(

B. x = ±1 .

3a 3 2
.
4

D.

)

C. x = 0 .

D. x = 1 .

Câu 42. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 3a , SA ⊥ ( ABCD )

· , ( ABCD ) = 60°
) , M thuộc SA sao cho AM = a 3 3 , ( BCM ) ∩ SD = N . Thể tích của khối
( SB
chóp S .BCMN là
A.

5a 3 3

.
9

B.

10a 3 3
.
9

C.

a3 3
.
27

D.

a3 3
.
3

Câu 43. Cho hàm số y = x3 + x 2 + mx + 1 , các giá trị thực của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị
nằm về 2 phía của trục tung là
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/22 - Mã đề thi 186


1
B. m ≥ .

3

A. m > 0 .

1
C. m ≤ .
3

D. m < 0.

Câu 44. Cho hình chóp S . ABC , SA = 3a , SA ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABC có AB = BC = 2a ,
·ABC = 120° . Khoảng cách từ A đến ( SBC ) là
2
3
a
A. a.
B. a.
C. .
3
2
3

D.

a
.
2

Câu 45. Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6π . Kích thước của khối trụ bằng bao nhiêu để thể tích của
nó đạt giá trị lớn nhất?

A. r = 1, h = 2.
B. r = 2, h = 1.
C. r = 1, h = 1.
D. r = 2, h = 2.
Câu 46. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 + e3 x ) là
2

4 3x 1 6x
A. 4 x + e + e + C .
3
6
4 3x 1 6 x
C. 4 x + e − e + C .
3
6

4 3x 1 6x
B. 3 x + e + e + C .
3
6
4 3x 5 6 x
D. 3 x + e + e + C .
3
6

Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 1 + x 2 là

)

(

(

1 2
x 1 + x2 + C .
2
3
1
1 + x2 + C .
C.
3

A.

)

2x +1
+C.
x +1

Câu 49. Hàm số F ( x ) =
A.

1
sin 2 x
2

)
)

1

là
2 x + 3x + 1
x +1
2 x −1
+C.
+C .
B. ln
C. ln
2x +1
x −1

Câu 48. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. ln

(
(

3
1 2
x 1 + x2 + C .
3
1 2
x 1 + x2 + C .
D.
3

B.

2

D.

1 2x + 1
ln
+C .
2
x +1

1
1
x − sin 4 x + C là nguyên hàm của hàm số nào sau đây
2
8
1
B. cos 2 2x
C. cos2 x
D. sin 2 2x
2

−3sin 3x + 2 cos 3 x
là
5sin 3x − cos 3x
17
7
17
7
A. − x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C
B. − x − ln 5sin 3 x − cos 3 x + C
26
78

26
78
17
7
17
7
x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C
x − ln 5sin 3 x − cos 3x + C
C.
D.
26
78
26
78

Câu 50. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 5/22 - Mã đề thi 186


BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7
B D D A B D B

8
C

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

C A C C A A A B A A C C B D B D A

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B A B A A B B C A D C C A B A D A D B A A C A D A
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 đồng biến trên các khoảng
A. ( −∞;1) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ¡ .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
x = 0
Ta có y ′ = −3 x 2 + 6 x , y′ = 0 ⇔ 
.
x = 2
y ′ > 0 ⇔ −3 x 2 + 6 x > 0 ⇔ x ∈ ( 0; 2 ) . Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Câu 2.

Cho khối nón có chiều cao bằng 8 , độ dài đường sinh bằng 10 . Khi đó thể tích khối nón là
A. 128π .
B. 124π .
C. 140π .
D. 96π .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Bán kính đường tròn đáy là R = 102 − 82 = 6 .
1
1
2
Thể tích khối nón là V = π R h = π .36.8 = 96π .
3
3

Câu 3.

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y =
A. 2 3 .

B. 2 5 .

C. 1 .

2x −1
là
x −1

D. 2 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có y = 2 +

1

và tiệm cận đứng là x = 1 . Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) lần lượt là hai điểm
x −1

 a = 1 − x1
thuộc hai nhánh của đồ thị thỏa x1 < 1 < x2 . Đặt 
, ( a > 0, b > 0 ) .
b = x2 − 1
1

 x1 = 1 − a ⇒ y1 = 2 − a
Suy ra: 
x = b +1 ⇒ y = 2 + 1
2
 2
b
2
2
2
2
2
2
2 
1 1
 1  
2
AB
=
x
−
x

+
y
−
y
=
a
+
b
+
+
=
a
+
b
1
+
( 2 1) ( 2 1) (
) 
)   ÷  ≥ 4ab. = 8
Ta có
÷ (
ab
b a
  ab  
Suy ra ABmin = 2 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/22 - Mã đề thi 186

a = b > 0
x = 0

⇔ a = b =1⇒  1
dấu “=” xảy ra ⇔ 
.
1
 x2 = 2
1 = ab
Câu 4.

x+2
lần lượt là
x −1
D. y = 2 và x = 1 .

Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 1 và y = 1 .

B. x = −1 và y = 1 .

C. y = 1 và x = 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
y = lim y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có xlim
→−∞
x →+∞

lim y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
x →1
Chú ý: Tìm TCĐ, chỉ cần tính 1 trong 2 giới hạn.
x →1−

Câu 5.

Hình lăng trụ có diện tích đáy là S và chiều cao là h thì thể tích của khối lăng trụ đó là
1
1
1
A. S .h .
B. S .h .
C. S .h .
D. S .h .
3
2
6
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Công thức thể tích khối lăng trụ.

Câu 6.

Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 1 .

B. y = −1 .

C. x = 1 .

x2 + 1
là.
x −1
D. y = 1 và y = −1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
1
1
− 1+ 2
2
x +1
x = lim
x = −1
lim
= lim
.
x →−∞
x →−∞
x −1
 1  x →−∞ 1 − 1
x 1 − ÷
x
 x
Do đó y = −1 là một đường tiệm cận ngang.
2

−x 1+

1
1
x 1+ 2
1+ 2
x2 + 1
x = lim
x =1
lim
= lim
.
x →+∞
x
→+∞
x
→+∞
1
1
x −1


1−
x 1 − ÷
x
 x
Do đó: y = 1 là một đường tiệm cận ngang.
Câu 7.

4
2

Số giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x + ( 6m − 4 ) x + 1 − m là ba

đỉnh của một tam giác vuông là
A. 0 .
B. 1 .

C. 2 .

D. vô số.

Hướng dẫn giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/22 - Mã đề thi 186


Chọn B.
3
Cách 1: Ta có y′ = 4 x + 2 ( 6m − 4 ) x .

x = 0
y ′ = 0 ⇔ 4 x 3 + 2 ( 6m − 4 ) x = 0 ⇔ 4 x ( x 2 + 3m − 2 ) = 0 ⇔  2
.
 x = 2 − 3m
2
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 2 − 3m > 0 ⇔ m < .
3

(

) (

)

2
2
Tọa độ điểm cực trị là A ( 0;1 − m ) , B 2 − 3m ; −9m + 11m − 3 , C − 2 − 3m ; −9m + 11m − 3 .
uuur
uuur
AB = 2 − 3m ; −9m 2 + 12m − 4 ; AC = − 2 − 3m ; −9m 2 + 12m − 4

(

)

(

)

Vì tam giác ABC luôn cân tại A nên ∆ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi
uuur uuur
1
4
AB. AC = 0 ⇔ ( 3m − 2 ) + ( 3m − 2 ) = 0 ⇔ 3m − 2 = −1 ⇔ m = ( n ) .
3
Cách 2: (Dùng công thức nhanh)
4
2
Đồ thị hàm số y = x + ( 6m − 4 ) x + 1 − m là ba đỉnh của một tam giác vuông ⇔ b3 + 8a = 0
1

3
⇔ ( 6m − 4 ) + 8 = 0 ⇔ m = .
3

Câu 8.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
y
2

1
−1

O 1

x

−1
A. y = − x 4 + 2 x 2 + 3.

B. y = − x 4 + 2 x 2 .

C. y = x 4 − 2 x 2 .

D. y = x 4 − 2 x 2 − 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Nhận thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn có hệ số a > 0 nên loại đáp án A và B.
Hàm số đạt cực đại tại O ( 0;0 ) nên đi qua điểm O ( 0;0 ) . Vậy chọn đáp án C.

Câu 9.

Cho hàm số y = x 3 − x 2 − x + 1 . Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao
điểm của nó với trục hoành là
A. y = 0 và y = x − 1 .
B. y = x + 1 và y = x + 4 .
C. y = 0 và y = 4 x + 4 .
D. y = x − 1 và y = x + 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có y′ = 3x 2 − 2 x − 1 .
Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành là
 x = −1
x3 − x 2 − x + 1 = 0 ⇔ 
x = 1 .
Với x = −1 ⇒ y = 0 ⇒ y ′ ( −1) = 4 ⇒ y = 4 ( x + 1)

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/22 - Mã đề thi 186


Với x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ y′ ( 1) = 0 ⇒ y = 0 .
2
Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +

A. 3.

B. 2.

2
với x > 0 là
x
C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y′ = 2 x −

2 2 x3 − 2
=
⇒ y′ = 0 ⇔ x = 1 .
x2
x2

Bảng biến thiên

y = y ( 1) = 3 .
Vậy (min
0; +∞ )

Cách 2: (Áp dụng BĐT Cauchy)
2
1 1
1
y = x2 + = x2 + + ≥ 3 3 x2 2 = 3
x
x x

x
1 1
2
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi x = = = 1 ⇔ x = 1
x x
Vậy min y = y ( 1) = 3 .
( 0;+∞ )

Câu 11.

Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A trên mặt biển cách bờ biển một khoảng AB = 5km .
Trên bờ biển có một cái kho ở cách B 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò đến điểm
M trên bờ biển với vận tốc 4km / h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km / h . Vị trí của điểm M
cách B một khoảng bằng bao nhiêu để người đó đi đến kho C ít tốn thời gian nhất?
A. 0 km.

B. 7 km.

C. 2 5 km.

D. 5 2 km.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Đặt BM = x( km) , ( 0 ≤ x ≤ 7 ) . Ta có AM = x2 + 25 , MC = 7− x
Thời gian để người canh hải đăng đi từ A đến C là

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

x2 + 25 7− x
+
4
6

Trang 9/22 - Mã đề thi 186


x2 + 25 7− x
+
,(0 ≤ x ≤ 7)
4
6

Xét hàm số f ( x) =

1 3x − 2 x2 + 25
− =
4 x2 + 25 6
12 x2 + 25
x

f ′ ( x) =

(

)

f ′ ( x) = 0 ⇔ 3x − 2 x2 + 25 = 0 ⇔ 9x2 = 4 x2 + 25 ⇔ 5x2 = 100 ⇔ x = 2 5

ff( 0) =

29
;
12

( 2 5) = 14+125 5; f ( 7) =
( )

Do đó min = f 2 5 =
x∈[0;7]

74
4

14 + 5 5
12

Vậy BM = 2 5 ( km ) .
Câu 12. Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 1% một tháng. Biết rằng cứ
sau mỗi quý ( 3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm
thì người đó nhận lại được số tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu?
A. 8 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 11 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi a là số tiền người đó gửi ban đầu
N

Số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sau N năm là T = a(1+ 0,03) 4
T
ln3
= 3 ⇔ (1+ 0,03)4N = 3 ⇔ 4N.ln1,03 = ln3 ⇒ N =
≈ 9,29
a
4ln1,03

Câu 13. Nếu log4 = a thì log4000 bằng
A. 3 + a .
B. 4 + a .

C. 3 + 2a .

D. 4 + 2a .

Hướng dẫn giải
Chọn A

(

)

3
3
Ta có log4000 = log 4.10 = log4 + log10 = log4 + 3 = a + 3 .

Câu 14. Cho log27 5 = a,log8 7 = b,log2 3 = c . Tính log12 35
A.

3b + 3ac
.
c+2

B.

3b + 2ac
.
c+2

C.

3b + 2ac
.
c+3

D.

3b + 3ac
.
c +1

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có a = log 5 = log 5 = 1 log 5, b = log 7 = log 7 = 1 log 7
27
8
33
23

3 3
3 2
log12 35 =

log2 35 log2 7+ log2 5 log2 7+ log2 3.log3 5 3b + c.3a 3b + 3ac
=
=
=
=
log2 12
c+ 2
c+ 2
log2(3.22 )
log2 3+ log2 22

Chú ý: Có thể bấm máy thử các đáp án.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/22 - Mã đề thi 186


2−2 x

3
Câu 15. Tập nghiệm của phương trình  ÷
2
8 
8
A.   .

B.   .
5
3

x −2

 8 
= ÷
 27 

là
C. { 4} .

D. { 2} .

Hướng dẫn giải
Chọn C
2−2 x

3
 ÷
2

x−2

 8 
= ÷
 27 

⇔ 2 − 2 x = −3 ( x − 2 ) ⇔ x = 4

Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 22 x −3 − 3.2 x − 2 + 1 = 0 là
A. 6 .
B. 3 .
C. 5 .

D. −4 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2x = 2
x = 1
1 x 2 3 x
x 2
x
2
− 3.2 + 1 = 0 ⇔ ( 2 ) − 2 + 1 = 0 ⇔ ( 2 ) − 6.2 + 8 = 0 ⇔  x
⇔
.
8
4
x = 2
2 = 4
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.
2 x −3

x −2

Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 3a , BC = 4a ,
·

( SBC ) ⊥ ( ABC ) , SB = 2a 3 , SBC
= 30° . Thể tích của S . ABC là
A. 2a 3 3 .

B.

2 3
a 3.
3

C. 3a 3 3 .

D.

1 3
a 3.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Trong mặt phẳng ( SBC ) kẻ SH ⊥ BC tại H . Do ( SBC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) .
1
1
1
1
1
·
. .BA.BC = 2a 3.sin 30o. .3a.4a = 2a 3 3 .
Vậy VS . ABC = SH .S ∆ABC = SB.sin SBH

3
3
2
3
2
( SBC ) ⊥ ( ABC )

Cách 2: ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ AB ⊥ ( SBC )
 AB ⊥ BC

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/22 - Mã đề thi 186


⇒ VS . ABC = VA.SBC =

1
1
1
·
AB.S SBC = AB. BS .BC .sin SBC
= 2a 3 3 .
3
3
2

x
2
Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 − 4 ) ( x − 2 x − 3) < 0 là

A. ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) .

B. ( −∞;1) ∪ ( 2;3) .

C. ( 2;3) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ ( 2;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

2 x − 4 > 0
 x > 2
 2

2 < x < 3

 x − 2x − 3 < 0
 −1 < x < 3
x
2
⇔
⇔
.
Ta có: ( 2 − 4 ) ( x − 2 x − 3 ) < 0 ⇔  x
 x < 2
x
<
−

1

2
−
4
<
0



2

x
−
2
x
−
3
>
0
  x < −1 ∨ x > 3


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) .
−∞

Cách 2: lập bảng xét dấu
x−1
2
x

− 2 −4
−
0
2
−
+ x − 2 x0− 3
+
0
− Vế trái
0

+
−
−

3

+
+
+

0
0

+∞

x
x
Câu 19. Với giá trị nào của m để bất phương trình 9 − 2 ( m + 1) .3 − 3 − 2m > 0 có nghiệm đúng với
mọi số thực x ?

A. .m ≠ 2
B. m ∈∅ .
3
C. m ≤ − .
D. m ∈ −5 − 2 3; −5 + 2 3 .
2

(

)

Hướng dẫn giải
Chọn C.
9 x − 2 ( m + 1) .3x − 3 − 2 m > 0 ( 1) . Đặt 3x = t , ( t > 0 ) ta được bất phương trình:

t 2 − 2 ( m + 1) t − 3 − 2m > 0 ( 2 ) ⇔ ( t + 1) ( t − 2m − 3 ) > 0 ⇔ t > 2m + 3 (vì t > 0 ).

3
Để BPT ( 1) đúng với mọi x thì BPT ( 2 ) đúng với mọi t > 0 . Vậy 2m + 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ − .
2

Câu 20. Cho hình chóp S . ABC , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , ∆ABC vuông cân, AB = BC = a , B′ là trung
điểm của SB , C ′ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC . Thể tích của S . AB′C ′ là
A.

a3
.
9

B.

a3
.
12

C.

a3
.
36

D.

a3
.
27

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a nên AC = a 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/22 - Mã đề thi 186


Tam giác SAC vuông tại A và có AC ′ là đường cao nên
AS 2 S C ′
S C′ a2 1
SC ′ 1

1
1
1
a3
.
Ta
có:
.
=
⇒
=
=
⇒
=
V
=
SA
.
S
=
SA
.
BA
.
BC
=
S . ABC
∆ABC
AC 2 CC ′
CC ′ 2a 2 2

SC 3
3
3
2
6
3
VS . ABC
SB SC 1
=
.
= suy ra VS . AB′C ′ = a .
VS . AB′C ′ SB′ SC ′ 6
36
x
Câu 21. Số nghiệm của phương trình log 2 ( 2 − 1) = −2 bằng

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2 x − 1 > 0
x > 0
5



x
Ta có log 2 ( 2 − 1) = −2 ⇔  x
5 ⇔ x = log 2 .
1⇔
4
2 − 1 =
 x = log 2 4


4
2
Câu 22. Tích các nghiệm của phương trình log x ( 125 x ) .log 25 x = 1 là

A.

7
.
125

B. 630 .

C.

630
.
625

D.

1
.
125

Hướng dẫn giải
Chọn D.
ĐK: x > 0; x ≠ 1 .

 3
 1
2
+ 1÷. log 52 x = 1
Ta có log x ( 125 x ) .log 25 x = 1 ⇔ 
 log 5 x  4
⇔

x = 5
 log 5 x = 1
1
3
⇔
log 52 x + log 5 x − 1 = 0 . ( ⇔ 
−4 )
4
4
 log 5 x = −4
x = 5

−4
Tích các nghiệm của phươngtrình là 5.5 =

1
125

Câu 23. Giá trị thực của a để hàm số y = log 2 a +3 x đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
A. a > 1 .

B. a > −1 .

C. 0 < a < 1 .

D. 0 < a ≠ 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có hàm số y = log 2 a +3 x đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇔ 2a + 3 > 1 ⇔ a > −1 .
−x
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x ) = x.e . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Hàm số có tập xác định D = ¡ .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .

 1
C. Đồ thị hàm số đạt cực đại tại 1; ÷ .
 e

f ( x ) = −∞ .
D. xlim
→+∞

Hướng dẫn giải
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/22 - Mã đề thi 186


−x
Ta có y ′ = e ( 1 − x ) ; y ′ = 0 ⇔ x = 1 .

Bảng biến thiên:
x
−∞
y′
y

1
0
1
e

+

−∞
Câu 25. Cho hàm số y =

+∞

−

0
x+2
. Hãy chọn đáp án đúng:
x −1

A. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) và ( 1; +∞ ) . B. Hàm số nghịch biến trên ¡ \ { 1} .
C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên với x ≠ 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
TXĐ: D = ¡ \ { 1} . Ta có y′ =

−3

( x − 1)
Vậy, hàm số nghịch biến trên ( −∞;1)

2

< 0, ∀x ∈ D .

và ( 1; +∞ ) .

Câu 26. Khối trụ tròn xoay có bán kính đáy là r và chiều cao h thì có thể tích là
1 2
1 3
A. π r h

B. π r 2 h
C. 2π rh
D. π r h
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Công thức: V = S .h = π r 2 h
Câu 27. Cho hình chóp S . ABC đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 2 , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA = 4 . Thể tích của khối chóp là
8
16
1
A. .
B.
.
C. 8 .
D. .
3
3
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
1
8
Công thức V = .2.4 = .
3
3

Câu 28. Cho hàm số y = x 3 + x 2 + mx + 1 . Tất cả các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên ¡ là

A. m >

1
3

B. m ≥

1
3

C. m ≤

1
3

D. m <

1
3

Hướng dẫn giải
Chọn B
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/22 - Mã đề thi 186


Ta có y ' = 3 x 2 + 2 x + m có ∆ = 22 − 4.3.m = 4 − 12m
a > 0
1

⇔m≥ .
YCBT tương đương với y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
3
∆ ≤ 0

Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên A′A = b . Thể
tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
A.

a 2b 3
.
4

B.

a 3b 3
.
3

C. a 2b 3 .

D. a3b 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
B

C
A

a
b

B’

VABC . A ' B 'C '

C’
A’

a 2b 3
.
= S ABC . AA′ =
4

Câu 30. Khối nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông là 2a
thì có thể tích là
A.

4π a 3 2
3

B.

π a3 2
3

C.

2π a3 2

3

D. 2π a 3 2

Hướng dẫn giải
Chọn A
Do ∆SAB vuông cân tại S có SA = 2a nên AB = 2a 2
Bán kính mặt đáy bằng chiều cao là h = r =

2a 2
=a 2.
2

2
1
2π a 3 2
.
V = .π . a 2 .a 2 =
3
3

(

)

Câu 31. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 5 , điểm cực đại của hàm số là
A. x = −1 .

B. x = 0 .

C. x = 1 .

D. x = −1 hoặc x = 1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y ′ = 4 x3 − 4 x , y ′ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 .
a = 1 > 0
Do 
nên có thể chọn ngay điểm cực đại của hàm số là x = 0 (hoặc lập BBT).
a.b < 0
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/22 - Mã đề thi 186


Câu 32. Cho khối trụ có độ đài dường sinh bằng 10 , thể tích khối trụ bằng 90π . Diện tích xung quanh
của hình trụ đó là
A. 36π .
B. 60π .
C. 81π .
D. 78π .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
90π
⇔ R = 3.
10
= C.h = 2πR.h = 2π.3.10 = 60π (đvdt).

V = B.h = 90π ⇒ πR 2 =

S xq

Câu 33. Hình trụ có bán kính bằng a . Gọi AB , CD là hai đường kính của hai đáy sao cho AB ⊥ CD .
Thể tích khối trụ đó bằng bao nhiêu khi ABCD là tứ diện đều.
1 3
1 3
A. πa 2 .
B. πa 3 3 .
C. πa3 2 .
D. πa 3 .
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Vì ABCD là tứ diện đều nên chiều cao của hình trụ h = OO′
Ta có:

AO = a ; AO′ = AC 2 − O′C 2 = a 3 . Suy ra:
h = OO′ = O′A2 − AO 2 = a 2 .
Vậy V = πR 2 h = πa 2 2 .
Cách 2: Sử dụng công thức
1
1
VABCD = ×AB ×CD ×d ( AB, CD ) ×sin ( AB, CD ) = ×
6
6

Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại C , BC = a , AC = b . Khi quay tam giác ABC quanh AC . Thể
tích khối tròn xoay tạo thành là
1 2

1 3
A. πa b .
B. πa 2b .
C. πa b .
D. πa 3b .
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
1
1
V = AC.S đ = AC.πBC 2 = πa 2b .
3
3
3
Câu 35. Cho hình chóp S . ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , AC = 2a , SA vuông góc với
1
đáy, SA = a , I thuộc cạnh SB sao cho SI = SB . Thể tích của khối chóp S . ACI là
3

A.

a3
.
3

B.

a3

.
6

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

a3
.
12

D.

a3
.
9

Trang 16/22 - Mã đề thi 186


Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có:

VS . ACI
SI 1
1
1 1
1

a3
=
= . Suy ra: V
.
=
V
=
.
SA
.
AB
.
BC
=
S . ACI
S . ABC
VS . ABC SB 3
3
3 3
2
9

2
Câu 36. Tập nghiệm của bất phương trình log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + 4 ) là

A. ( −∞; −4 ) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. ( −4;1) .

C. ( −∞; −4 ) ∪ ( 1; 2 ) .

D. ( 1; 2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
−2 x + 4 > 0
log 0,8 ( x 2 + x ) < log 0,8 ( −2 x + 4 ) ⇔  2
 x + x > −2 x + 4
x < 2
x < 2
⇔ 2
⇔
 x < −4 ∨ x > 1
 x + 3x − 4 > 0

Vậy S = ( −∞; −4 ) ∪ ( 1; 2 ) .

Câu 37. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC , cạnh đáy bằng a , ·ASB = 60° . Thể tích của khối chóp
S . ABC là
A.

a3 2
.
4

B.

a3 3
.
4

C.

a3 2
.
12

D.

a3 3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có ∆SAB đều nên SA = AB = a
Gọi M là trung điểm của BC , H là trọng tâm

∆ABC nên AH =

S
60o

a
3

a2 a 6
⇒ SH = a −
=
3

3

A

C

2

1
1 a 6 a 2 3 a3 2
.
VS . ABC = .SH .S ∆ABC = .
.
=
3
3 3
4
12

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

H

a

M

B

Trang 17/22 - Mã đề thi 186

Câu 38. Trong hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) đi qua A ( −1; 2;0 ) , B ( −2;1;1) và có tâm nằm trên trục Oz
, có phương trình là
A. x 2 + y 2 + z 2 − z − 5 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 + 5 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − x − 5 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − y − 5 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Gọi tâm I ( 0;0; c ) ∈ Oz
Ta có phương trình mặt cầu là x 2 + y 2 + z 2 − 2cz + d = 0 .
1

 d = −5
c =
⇔
2
Do mặt cầu đi qua A ( −1; 2;0 ) , B ( −2;1;1) ta có hệ 
 −2c + d = −6
 d = −5
Vậy phương trình mặt cầu là x 2 + y 2 + z 2 − z − 5 = 0 .
Câu 39. Cho hình chóp S . ABC , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , ∆ABC vuông cân, AB = BC = a . Thể tích

S . ABC là
a3

A.
.
3

B.

a3
.
6

C.

a3
.
9

D.

a3
3.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.

1 1
a3
Ta có VS . ABC = . a 2 .a =
.
3 2

6

Câu 40. Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ cạnh đáy bằng a . Khoảng cách từ tâm O của ∆ABC đến

( A′BC )
A.

là

3a 3 2
.
16

a
. Thể tích khối lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ là
6
B.

3a 3 3
.
16

C.

3a 3 2
.
4

D.

a3 3
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/22 - Mã đề thi 186


Gọi O là tâm, N là trung điểm BC , M là hình chiếu của A lên A′N . Khi đó ta có
a
a
d ( O, ( A′BC ) ) = ⇒ AM = .
6
2
Trong ∆AA′N vuông nên ta có

1
1
1
3
+
=
⇒ A′A = a
2
2
2

AA′
AN
AM
8

a2 3
3 3a 3 2
.
.a
=
4
8
16
r
r
r
r
Câu 41. Trong hệ tọa độ Oxyz cho u = ( x;0;1) , v = 2; − 2;0 . Tìm x để góc giữa u và v bằng 60° ?
suy ra VABC . A′B′C ′ = S∆ABC . AA′ =

(

A. x = −1 .

B. x = ±1 .

)

C. x = 0 .

D. x = 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
rr
r r
u.v
cos(u , v ) = r r ⇔ cos 60° =
u.v

⇔

x. 2
x + 1. 2 + 2
2

x ≥ 0
1
x. 2
=
⇔ x 2 + 1 = x. 2 ⇔  2
⇔ x =1
2
2 2 x 2 + 1.
x +1 = 2x

Câu 42. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 3a , SA ⊥ ( ABCD )

· , ( ABCD ) = 60°
) , M thuộc SA sao cho AM = a 3 3 , ( BCM ) ∩ SD = N . Thể tích của khối

( SB
chóp S .BCMN là
A.

5a 3 3
.
9

B.

10a 3 3
.
9

C.

a3 3
.
27

D.

a3 3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
·
·

Ta có: SB, ( ABCD ) = 60° suy ra: SBA
= 60° .

(

)

Do đó: SA = a 3 ; VS . ABCD = a 3 3 .
Ta có:
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/22 - Mã đề thi 186


SM 2
SN SM 2
= ; MN //AD nên
=
= .
SA 3
SD SA 3
Do đó:
SM
SM SN
VS .BCNM = VS .BCM + VS .CMN =
.VS . ABC +
.
.VS .CMN
SA
SA SD

3
3
 2 2 2  a 3 5a 3
=
Vậy: VS . BCNM =  + . ÷
.
9
3 3 3 2
Câu 43. Cho hàm số y = x3 + x 2 + mx + 1 , các giá trị thực của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị
nằm về 2 phía của trục tung là
1
1
A. m > 0 .
B. m ≥ .
C. m ≤ .
D. m < 0.
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
y′ = 3x 2 + 2 x + m . Hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung khi y′ = 0 có 2
nghiệm trái dấu ⇔ m < 0
Câu 44. Cho hình chóp S . ABC , SA = 3a , SA ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABC có AB = BC = 2a ,
·ABC = 120° . Khoảng cách từ A đến ( SBC ) là
2
3
a
A. a.
B. a.
C. .

3
2
3

D.

a
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.

VS . ABCD = a 3 3
S

AC = 2a 3, SB = a 13, SC = a 21
S ∆SBC =

p ( p − SB ) ( p − SC ) ( p − BC ) = 2 3a 2

d ( A; ( SBC ) ) =

3VS . ABC 3
= a.
S ∆ABC
2

Cách 2:
Kẻ AK ⊥ BC , K ∈ BC

Kẻ AH ⊥ SK , H ∈ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC )
⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH =

3a

SA. AH
SA2 + AH 2

2S
AK = ABC = AB.sin ·ABC = a 3
BC
3a.a 3
3a
⇒ d ( A, ( SBC ) ) =
=
.
2
2
2
9a + 3a

H
A

C

2a
120°

2a

B
K

Câu 45. Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6π . Kích thước của khối trụ bằng bao nhiêu để thể tích của
nó đạt giá trị lớn nhất?
A. r = 1, h = 2.
B. r = 2, h = 1.
C. r = 1, h = 1.
D. r = 2, h = 2.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/22 - Mã đề thi 186


Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

3 − r2
với r ∈ 0; 3
r

Stp = 2π rh + 2π r 2 = 6π ⇔ h =

)

V = π r 2 h = π (3r − r 3 )

Đặt f (r ) = 3r − r 3 ; f ′(r ) = 3 − 3r 2 = 0 ⇔ r = 1
Suy ra: max f (r ) = 2 khi r = 1 ⇒ h = 2 .
Cách 2: Tacó r ( 3 − r
2

2

) ( 3− r )
2

3

1
1  2r 2 + 3 − r 2 + 3 − r 2 
2
2
2
= ×2r ( 3 − r ) ( 3 − r ) ≤ ×
÷ =4
2
2 
3


⇒ V = π r 2 ( 3 − r 2 ) ≤ 2π
2

Vmax ⇒ 2r 2 = 3 − r 2 ⇒ r = 1
Câu 46. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 + e3 x ) là
2

4 3x 1 6x
A. 4 x + e + e + C .
3
6
4 3x 1 6 x
C. 4 x + e − e + C .
3
6

4 3x 1 6x
B. 3 x + e + e + C .
3
6
4 3x 5 6 x
D. 3 x + e + e + C .
3
6

Hướng dẫn giải.
Chọn A.

∫

2
4
1
f ( x ) dx = ∫ ( 2 + e3 x ) dx = ∫ ( 4 + 4e3 x + e 6 x ) dx = 4 x + e3 x + e 6 x + C .
3
6

Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 1 + x 2 là

)

(
(

1 2
x 1 + x2 + C .
2
3
1
1 + x2 + C .
C.
3

A.

(
(

)
)

3
1 2
x 1 + x2 + C .
3
1 2

x 1 + x2 + C .
D.
3

B.

)

Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Đặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ tdt = xdx

∫

f ( x ) dx = ∫ t 2 dt =

t3
1
+C =
3
3

(

1+ x2

2x +1
+C.
x +1

3

+C

1
là
2 x + 3x + 1
x +1
2 x −1
+C.
+C .
B. ln
C. ln
2x +1
x −1

Câu 48. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. ln

)

2

D.

1 2x + 1
ln
+C .
2
x +1

Hướng dẫn giải.
Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/22 - Mã đề thi 186




∫ f ( x ) dx = ∫  2 x
Câu 49. Hàm số F ( x ) =
A.

1
sin 2 x
2

2

1
2 
2x +1

 −1
+
+C .
÷dx = ∫ 
÷dx = − ln x + 1 + ln 2 x + 1 + C = ln
+ 3x + 1 

x +1
 x +1 2x +1 

1
1
x − sin 4 x + C là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
2
8
1
B. cos 2 2x
C. cos2 x
D. sin 2 2x
2

Hướng dẫn giải.
Chọn D.
F′( x) =

1 1
− cos 4 x = sin 2 2 x .
2 2

−3sin 3 x + 2 cos 3 x
là
5sin 3 x − cos 3 x
17
7
17
7
A. − x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C

B. − x − ln 5sin 3 x − cos 3 x + C
26
78
26
78
17
7
17
7
x + ln 5sin 3 x − cos 3 x + C
x − ln 5sin 3 x − cos 3x + C
C.
D.
26
78
26
78

Câu 50. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Hướng dẫn giải
Chọn A.
−3sin 3 x + 2 cos 3 x = A ( 5sin 3 x − cos 3 x ) + B ( 15cos 3 x + 3sin 3 x )
−17

A=

5 A + 3B = −3 
26
⇒

⇒
− A + 15B = 2  B = 7

78
17
7
 −17 7 15cos 3 x + 3sin 3x 
∫ f ( x ) dx = ∫  26 + 78 5sin 3 x − cos 3x ÷dx = − 26 x + 78 ln 5sin 3x − cos 3x + C .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/22 - Mã đề thi 186