Đề thi thử ĐH 2009 (Hòa Luân)

đề thi thử đại học lần thứ HAI khối B_NM 2009
Môn: Toán Thời gian: 180 phút
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (2 điểm). Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
- 1 cú th l ( C )
1. Kho sỏt hm s.
2. Dựng th ( C ) bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x
3
+ 3x
2
- 9x - m - 1 = 0.
Câu II (2 điểm)
1. Gii bt phng trỡnh: log
2
x + log
2x
8

3.
2. Gii h phng trỡnh:
2 2
2 2
x 2 x y 3 y 5
x 2 x y 3 y 2
ỡ
ù
+ + + + + =
ù

ù
ớ
ù
+ - + + - =
ù
ù
ợ

Câu III (1 điểm).
Tớnh tớch phõn: I =
4
0
ln(1 tan x)dx

+

.
Câu IV (1 điểm).
Cho hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cú C(0; 0; 0), B (4; 0; 0), D (0; 4; 0 ), C
1
( 0; 0; 4 ). Gi M, N tng
ng l trung im ca B

1
C
1
v AB; P, Q l cỏc im thuc cỏc ng thng BD v CD
1
sao cho PQ song
song vi MN. Lp phng trỡnh mt phng (R) cha hai ng thng MN v PQ.
Câu V (1 điểm). Cho bn s thc
x, y, z, t 1
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
4 4 4 4
1 1 1 1
P (xyzt 1)
x 1 y 1 z 1 t 1
ổ ử
ữ
ỗ
= + + + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + +
.
II. Phần riêng (3 điểm)
1.Theo chơng trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm).
1. Gii phng trỡnh:

( )
( )
2
3
3
log 5
log x 2x 6
2 2
x 2x 6 4 x 2x 6
- +
- + + = - +
.
2. Cho hỡnh thoi ABCD. Cnh AB v ng chộo BD, theo th t ú nm trờn cỏc ng thng cú phng
trỡnh (d
1
): x +7y - 7 = 0 v (d
2
): x + 2y - 7 = 0; mt nh cú to l (0;1). Vit phng trỡnh cỏc cnh
cũn li.
Câu VIIa (1 điểm). T cỏc ch s 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn gm 6 ch s
khỏc nhau v trong ú nht thit phi cú ch s 7.
2. Theo chơng trình nâng cao (3 điểm)
Câu VIb (2 điểm)
1. Cho khi lng tr tam giỏc ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a v nh A cỏch u cỏc
nh A, B, C. Cnh bờn AA to vi ỏy gúc 60
0
. Tớnh th tớch ca khi lng tr theo a.
2. Cho elip ( E ):
2 2
x y

1
16 9
+ =
v ng thng (d
3
):

3x + 4y = 0
a) Chng minh rng ng thng d
3
ct elip (E) ti hai im phõn bit A v B. Tỡm to hai im ú
(vi hnh ca im A nh hn honh ca ca im B ).
b) Tỡm im M (x ; y) thuc (E) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 12.
Câu VIIb (1 điểm) Gii phng trỡnh:
x
2009 2008x 1= +

----------------------Hết----------------------
Thớ sinh khụng c dung ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: .. S bỏo danh:
ĐÁP ÁN ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø HAI khèi B_NĂM 2009
Câu Nội dung
I
1 )
2)
II

1)
*Tập xác định : R
* Sự biến thiên:

y
’
= 3x
2
+ 6x , y
’
= 0
⇔
x = -2 ; x = 0
Hàm số đồng biến trên từng khoảng: ( -
∞
; - 2 ); ( 0 ; +
∞
)
Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( - 2; 0 )
xCĐ = - 2, yCĐ = y ( - 2 ) = 3; xCT = 0 , yCT = y ( 0 ) = -1
y
' '
= 6x + 6 , y
' '
= 0
⇔
x = - 1
ĐT hàm số lồi trên khoảng (-
∞
;-1), lõm trên khoảng (-1;+
∞
) và có điểm uốn (-1;1)
lim
±∞→x

y =
±

∞
Bảng biến thiên:
x -
∞
- 2 - 1 0 +
∞
y
’
+ 0 - - 0 +
3 +
∞
y
1
-
∞
-1
* Đồ thị: y
3
1
-2 -1 0 x



…………………………………………………………………………………………………………………
Tập xác định : R
x
3

+ 3x
2
- 9x - m - 1 = 0
⇔
x
3
+ 3x
2
- 1 = 9x + m
Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 9x + m có HSG bằng 9 và tung độ gốc m.
Hoành độ TĐ của tiếp tuyến có HSG bằng 9 là nghiệm: y
'
= 3x
2
+ 6x = 9
⇒
x = - 3 ; x = 1
Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x = - 3 là: y = 9x + 26
Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x = 1 là: y = 9x - 6
Từ đó: * m < - 6 hoặc m > 26 PT có 1 nghiệm
* m = - 6 hoặc m = 26 PT có 2 nghiệm
* - 6 < m < 26 PT có 3 nghiệm.
…………………………………………………………………………………………………………………..
ĐK: 0 < x
≠
1/ 2 .
BPT viết lại: log
2
x + 3 / ( 1 + log
2

x )
≤
3
⇔
( log
2
2
x - 2log
2
x )

/ ( 1 + log
2
x )
≤
0
Từ log
2
x -
∞
- 1 0 2 +
∞
log
2
2
x - 2log
2
x + + - +
1 + log
2

x - 0 + + +
VT -
P
+ 0 - 0 +
2)
III
IV
Suy ra:
1
0
2
0

2
2
log x 1
x
log x 2
1 x 4

< −
< <


⇒


≤ ≤

≤ ≤




……………………………………………………………………………………………………...…………
2 2
2 2
2 2
x 2 x y 3 y 5
2 x 2 2 y 3 7
2x 2y 3
x 2 x y 3 y 2
ì
ì
ï
ï
+ + + + + =
+ + + =
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ =
+ - + + - =
ï ï
ï
î
ï
î

2 2
4x 12x 21 7 2 x 2 (*)
3 2x
y
2
ì
ï
- + = - +
ï
ï
ï
Û
í
-
ï
=
ï
ï
ï
î
.
Bình phương 2 vế (*), ta được:
( )
2
2 2 2
1 17
4x 12x 21 7 2 x 2 7 x 2 3x 9 x x
2 20
- + = - + + = + = =Þ Þ Ú
(thỏa (*)).

Vậy
17
1
x
x
20
2
13
y 1
y
20
ì
ï
ì
ï
ï
=
ï
ï
=
ï
ï
Ú
í í
ï ï
ï ï
=
=
ï ï
î

ï
î
.
…………………………………………………………………………………………………………………
Đặt x = (
π
/4) - t
⇒
dx = - dt ; x = 0 thì t =
π
/4 ; x =
π
/4 thì t = 0
⇒
I =
4
0
ln(1 tg( t))dt
4
π
π
+ −
∫
=
4
0
1 tgt
ln(1 )dt
1 tg
π

−
+
+
∫
=
4
0
2
ln dt
1 tg
π
+
∫
=
=
4 4
0 0
ln 2dt ln(1 tgt)dt
π π
− +
∫ ∫
=
4
0
t.ln 2
π
- I
⇒
2I =
π

ln2 / 4
⇒
I =
π
ln2 / 8.
…………………………………………………………………………………………………………………
Chọn (Oxyz) như hình bên
Do C(0;0;0) , B(4;0;0) , D(0;4;0), C
1
(0;0;4)
=> B
1
(4;0;4) , A(4;4;0) , D
1
(0;4;4)
M là trung điểm B
1
C
1
=> M(2;0;4)
N là trung điểm AB => N(4;2;0)
Ta có:
MN
uuuur
(2;2;-4)
⇒
VTCP của (MN ) là
u
r
(1;1;-2)

BD ( 4;4;0)= −
uuur
,
⇒
VTCP của (BD) là
1
u (1; 1;0)= −
r
⇒
(BD ):
1
1
x 4 t
y t
z 0
= +


= −


=

1
CD (0;4;4)=
uuuur

⇒
VTCP của (CD
1

) là
2
u (0;1;1)=
r
⇒
( CD
1
):
2
2
x 0
y t
z t
=


=


=

P ∈ (BD)
⇒
P(4 + t
1
; -t
1
;0) , Q ∈ (CD
1
)

⇒
Q(0;t
2
;t
2
)
⇒
1 2 1 2
PQ( 4 t ;t t ;t )− − +
uuur
PQ // MN
⇒

1 2 1 2
4 t t t t
1 1 2
− − +
= =
−

⇒
t
1
= - 3 , t
2
= 2
⇒
P( 1; 3; 0) , Q( 0; 2; 2)
MN
uuuur

=(2 ; 2; - 4 ) ,
MP
uuur
=( -1; 3; -4 )
⇒
VTPT ( R ) là
n
r
=( 4; 12; 8 )
⇒
(R): 1(x - 1) + 3(y - 3) + 2(Z - 0) = 0 hay (R): x+ 3y + 2z - 10 = 0.
z
x
y
C
1
B
D
D
1
B
1
M
C
P
A
1
Q
N
A

V
VIa
1)
2)
VIIa
VIb
Ta có:
4 4
4 4 2 2 4 4 4 4 2 2
1 1 2 x y 2 2
x 1 y 1 x y 1 x y x y 1 x y 1
+ +
+ ³Û³
+ + + + + + +
( ) ( ) ( )
6 2 4 4 2 6 4 4 4 4 2 2
x y x y x y x y x y 2x y 0- + - - + -Û ³
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
x y x y x x x y 0 x y x y 1 0- - - + - -Û ³ Û ³
(đúng).
Chứng minh tương tự, ta có:
4 4 4 4 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4
2 P 4
xyzt 1
x 1 y 1 z 1 t 1 x y 1 z t 1
æ ö
÷

ç
÷
+ + + +³ ³Þ³
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
+ + + + + +
.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t = 1.
..............................................................................................................................................................................
( )
( )
( )
2
3 3
3
log 3 log 5
log x 2x 6
2 2
pt x 2x 6 4 x 2x 6
- +
- + + = - +Û
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 3

2 2 2
3 3 3
log x 2x 6 log x 2x 6
log x 2x 6 log x 2x 6 log x 2x 6
3 4
3 4 5 1 0
5 5
- + - +
- + - + - +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = + - =Û Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
( )
t t
2
3
3 4
1 0, t log x 2x 6 t 2
5 5
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

+ - = = - + =Û Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
(do
t t
3 4
f(t) 1
5 5
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷= + -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
nghịch biến)
2
x 2x 6 9 x 1 x 3- + = = - =Û Û Ú
.
…………………………………………………………………………………………………………………
Toạ độ B là nghiệm của hệ: x + 7y - 7 = 0 x = 7
x + 2y -7 = 0
⇒
y = 0
⇒

B( 7 ; 0)
Ta thấy: Đỉnh có toạ độ (0 ; 1)
∈
d
1
: x + 7y -7 = 0
⇒
A(0 ; 1)
Do ABCD là hình thoi
⇒
AC
⊥
BD
⇒

n
r
BD
= ( 1 ; 2 )
⇒

n
r
AC
=(2; -1)
⇒
phương trình đường thẳng AC là: 2x - y + 1 = 0
Toạ độ trung điểm I của AC, BD là nghiệm: 2x -y + 1 = 0
x +2y -7= 0 => I (1;3 )
Do I là trung điểm của AC, BD => C(2;5) , D(-5,6)

* Do
BC
uuur
(-5;5)
⇒
phương trình BC là: x + y - 7 = 0
* Do
AD
uuur
(-5;5)
⇒
phương trình AD là: x + y - 1 = 0
* Do
CD
uuur
(-7;1)
⇒
phương trình CD là: x + 7y - 37 = 0.
…………………………………………………………………………………………………………………
Số cần tìm có dạng:
abcdef
TH1: Nếu a= 7 ( số 7 đứng vị trí đầu tiên )
⇒
Số các số dạng này là A
5
7
TH2: Nếu a
≠
7 ( số 7 không đứng vị trí đầu tiên )
Có 6 cách chọn số thứ nhất ( Trừ só 0 và số 7 )

Có 5 cách xếp số 7 vào các ô từ vị trí thứ 2 đến vị trí thứ 6
Còn 4 vị trí còn lại là A
4
6
Số các số dạng này là 6 x 5 x A
4
6
Vậy các số cần tìm là : A
5
7
+ 6 x 5 x A
4
6
= 2 520 + 10 800 = 13 320
………………………………………………………………………………………………………………….
Gọi O là hình chiếu của A’ trên (ABC).
Ta có:
A ' A A ' B A ' C OA OB OC= = = =Þ
1)
2 )
VIIb
2 a 3 a 3
OA .
3 2 3
= =Þ
OA ' OA.t g60 a= =Þ
o
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3

V OA ' .S a
3 3 4 12
D
= = =Þ
.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
Toạ độ A, B là nghiệm của hệ:
2 2
x y
1
16 9
03x 4y

+ =



+ =


Vậy d
3
cắt (E) tại 2 điểm phân biệt
3 2
A 2 2;
2
 
−
 ÷
 

,
3 2
B 2 2;
2
 
−
 ÷
 
Ta có M(x;y )
∈
(E)
⇔
x = 4cost và y = 3sint với t
∈
[ 0 ; 2
π
]
Chú ý: AB =
5 2
, có 12 = S
∆
MAB
=
1
2
5 2
d(M, (AB)) =
=
1
2

5 2
12cost 12sin t
5
+
= 12
cos(t )
4
π
−

⇒

cos(t )
4
π
−
= 1
⇒
t =
π
/ 4 ; t = 5
π
/4
Vậy có 2 điểm M thoả mãn là:
1
3 2
M 2 2;
2
 
 ÷

 
và
2
3 2
M 2 2;
2
 
− −
 ÷
 
…………………………………………………………………………………………………………………
Ta có x = 0 , x = 1 là nghiệm của phương trình.
PT viết lại : f ( x ) = 2009
x
- 2008x - 1 = 0 với x
∈
( -
∞
; +
∞
)
f
'
( x ) = 2009
x
ln 2009 - 2008; f
''
( x ) = 2009
x
ln

2
2009 > 0 ;
∀
x
⇒
f
'
( x ) luôn luôn đồng biến
Cùng f (x) liên tục và
x
lim
→−∞
f
'
( x ) = - 2008 ,
x
lim
→+∞
f
'
( x ) = +
∞

⇒

∃
x
0
để f
'

( x
0
) = 0
x -
∞
x
0
+
∞

f
'
( x ) - 0 +
f ( x )
Từ bảng biến thiên
⇒
f ( x ) không có quá 2 nghiệm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0 ; x = 1.