On thi lop 10 mon toan 9 Nam 2018

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán
Phần I. TỔNG HỢP KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Các phép biến đổi về căn thức
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ
2
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b2
( a − b ) = a 2 − 2ab + b2

( a + b) ( a − b ) = a 2 − b2
3
( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab2 − b3
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
2
( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

( a + b)

3

= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A ≥ 0
- Các công thức biến đổi căn thức.
A2 = A
AB = A. B
A
A

=
B
B

(A ≥ 0;B > 0)

A B = A 2B (A ≥ 0;B ≥ 0)
A 1
=
AB (AB ≥ 0;B ≠ 0)
B B

A 2B = A B

(A ≥ 0;B ≥ 0)
( B ≥ 0)

A B = − A 2 B (A < 0;B ≥ 0)
A
A B
=
(B > 0)
B
B

C
C( A mB)
=
(A ≥ 0;A ≠ B2 )
2

A−B
A ±B
C
C( A m B)
=
(A ≥ 0;B ≥ 0;A ≠ B)
A−B
A± B
3. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp:
Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bước 3: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bước 4: Rút gọn biểu thức
Bước 5: Tính số trị (nếu còn tham số)
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bước 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có)
Bước 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bước 4: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bước 5: Rút gọn biểu thức
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bước 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái. Cũng có khi
chúng ta phải biến đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian
II. Phương trình bậc hai
2

1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
2
2. Công thức nghiệm: Ta có ∆ = b − 4ac .


- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép

x1,2 = −

b
2a

−b − ∆
−b + ∆
x2 =
2a ;
2a
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
−b
c
x1 + x 2 =
x1.x 2 =
a ;P=
a
3. Hệ thức Viet: Nếu phương trình có nghiệm x1; x2 thì S =
x1 =

2
Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta có thể sử dụng định lí Viet để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c
b 2 − 2ac
2
x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 =
a2
S1 =

S2 =

x + x = ( x1 + x 2 ) − 3x1x 2 ( x1 + x 2 )
3
1

3
2

3

x1 − x 2 = ( x1 − x 2 ) =
S3 =
4. ứng dụng hệ thức Viet
2

( x1 + x 2 )

2

3abc − b3
=
a3

b 2 − 4ac
− 4x1x 2 =
a2

2
a) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0).
c
x2 =
a
- Nếu a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1;
c
x2 = −
a
- Nếu a - b + c = 0 ⇒ x1 = -1;
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm
của phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0
2
c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 thì

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x 2 )

2
d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0).
c
<0
a
- Nếu
thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
∆ > 0


c
 a > 0
- Nếu
thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu


∆ > 0

c
 >0
a
 −b
 a > 0
- Nếu
thì phương trình có hai nghiệm dương.
2
2



∆ > 0

c
 >0
a
 −b
 <0
Nếu  a
thì phương trình có hai nghiệm âm
5. Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
c
≤0
2
Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là ∆ = b − 4ac ≥ 0 hoặc a
2
Trong trường hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình ax + bx + c = 0 ;

a 'x 2 + b'x + c' = 0 có nghiệm người ta thường làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh ∆1 + ∆ 2 ≥ 0
Cách 2: ∆1.∆ 2 ≤ 0
Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp: Bước 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của phương
trình bậc hai X2 - SX + P = 0
Bước 2: Giải phương trình X2 - SX + P = 0
Bước 3: Kết luận
Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
−b
c
x1 + x 2 =
x1.x 2 =
a ;P=
a , theo m
Bước 2: Tính S =
Bước 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng
x12 + x 22 = S2 − 2P ;
x13 + x 32 = S ( S2 − 3P )

;

1 1 S
+
=
x1 x 2 P ;
1
1 S2 − 2P
+
=
x12 x 22
P2
Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
−b
c
x1 + x 2 =
x1.x 2 =
a ;P=
a , theo m
Bước 2: Tính S =
Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai
nghiệm không phụ thuộc tham số m
Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
−b
c
x1 + x 2 =

x1.x 2 =
a ;P=
a , theo m
Bước 2: Tính S =
3
3


Bước 3: Giải phương trình với ẩn số m, so sánh điều kiện
Bước 4: Kết luận
III. Hệ phương trình
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số:
Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số:
- Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một
ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phương trình mới, trong đó có một phương
trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn số)
- Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho
Cách 2: Sử dụng phương pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới, trong
đó có một phương trình một ẩn
- Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
2. Hệ phương trình đối xứng
a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phương trình không thay đổi
Phương pháp: Đưa về hệ phương trình theo hai biến mới là: S = x + y và P = xy với điều
kiện S2 ≥ 4P
b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành
phương trình kia
Phương pháp: Trừ hai phương trình với nhau để nhận dược phương trình mới có dạng
tích số. Chú ý nếu hệ phương trình có nghiệm (x 0; x0) (tức là x = y). Nếu hệ phương trình có

nghiệm (x, y) thì phương trình cũng có nghiệm (y, x)
IV. Phương trình quy về phương trình bậc nhất (bậc hai)
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu số:
Phương pháp:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
Bước 2: Qui đồng mẫu số để đưa về phương trình bậc nhất (bậc hai)
Bước 3: Giải phương trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
2. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối:
Phương pháp:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
Bước 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đưa về phương trình bậc nhất
(bậc hai)
Bước 3: Giải phương trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
4
2
3. Phương trình trùng phương: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 1: Đặt x2 = t ≥ 0
Bước 2: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t
Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
4. Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c
Phương pháp:

4
4


1

( ad + bc )
Phương pháp:
Bước 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k với k = 2
Bước 2: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t
Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
5. Phương trình hồi qui
4
3
2
a) Dạng 1: Phương trình có dạng ax + bx + cx + bx + a = 0 (a ≠ 0)
Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0
1
t=x+
x với điều kiện t ≥ 2 và đưa về pt bậc hai ẩn t
Bước 2: Đặt
Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
4
3
2
b) Dạng 2: Phương trình có dạng ax − bx + cx − bx + a = 0 (a ≠ 0)
Phương pháp:

Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0
1
t=x−
x và đưa về phương trình bậc hai ẩn t
Bước 2: Đặt
Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên

Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
2
e d
= ÷
4
3
2
a
b ;e≠0
ax
+
bx
+
cx
+
dx
+
e
=
0
6. Phương trình có dạng
với
Phương pháp:

2

Phương pháp:

2

d
d 
d  d 

2
t=x+
⇒ t2 =  x +
÷ = x +2 + ÷
bx
bx 
b  bx 

Bước 1: Đặt
2
d
 d 
2
x +  ÷ = t2 − 2
b
 bx 
⇒

Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai ẩn t
Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
4
4
x
+
a

+
x
+
b
=c
(
)
(
)
7. Phương trình có dạng
Phương pháp:

a+b
a−b
a−b
⇒x+a =t+
;x + b = t −
2
2
2
Bước 1: Đặt t =
Bước 2: Đưa về phương trình trùng phương ẩn t
Bước 3: Giải phương trình trùng phương trên
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
x+

V. Hàm số
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a ≠ 0
- Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x ∈ R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch

biến khi a < 0
5
5


- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Cắt trục tung tại điểm B(0; b). Cắt trục
 b 
A  − ;0 ÷
hoành tại điểm  a  (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc)
- Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Nếu gọi α
là góc hợp bới giữa đường thẳng và tia Ox thì a = tgα
- Nếu đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và đường thẳng (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) thì:
a = a '

b ≠ b'
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’
(d) song song (d’) ⇔ 
a = a '

b = b'
(d) trùng (d’) ⇔ 
(d) ⊥ (d’) ⇔ a.a’ = -1
2
2. Hàm số y = ax (a ≠ 0)
- Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
3. Các dạng toán

Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phương trình đường thẳng)
Phương pháp: Dựa vào các điểm sau:
Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax0 + b = y0
Các kết quả đã nêu ở phần lý thuyết trên
Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
Phương pháp: Dựa vào điểm sau:
Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 thì ax02 = y0
Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Phương pháp:
Lập phương trình hoành độ giao điểm
Giải phương trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm
Dạng 4: Tương giao giữa đường thẳng và Parabol
Phương pháp: Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b (a ≠ 0) và Parabol y = Ax2 (A
≠ 0). Xét phương trình hoành độ giao điểm Ax 2 = ax + b (1). Ta có số giao điểm của hai đồ thị
phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình này
- Đường thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm
- Đường thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm
- Đường thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép
VI. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
1. Phương pháp chung
- Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số (đơn vị tính). ẩn số thường là đại lượng chưa
biết trong bài toán. Việc chọn một ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lượng chưa biết
trong bài toán
- Biểu diễn mối tương quan giữa đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết
- Lập phương trình (hay hệ phương trình)
6
6


- Giải phương trình (hay hệ phương trình)

- Nhận định kết quả và trả lời
2. Các dạng toán
Dạng 1: Các bài toán về chuyển động
- Dựa vào quan hệ của ba đại lượng S: quãng đường; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển
động đều trong công thức S = v.t
- Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta
có: v1 = v0 + v3; v2 = v0 – v3 trong đó v1 là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v2 là vận tốc thuyền
đi ngược dòng, v0 là vận tốc riêng của thuyền, v3 là vận tốc dòng chảy
Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động
Dựa vào quan hệ ba đại lượng: N: năng suất lao động (khối lượng công việc hoàn thành
trong một đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lượng công việc
s
đã làm thì N = t
Dạng 3: Các bài toán về làm chung – làm riêng, vòi nước chảy chung – chảy riêng ...
Dựa vào kết quả sau
1
- Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm được x công việc
đó
1
1
- Nếu trong 1 giờ: Đối tượng A làm được x công việc, đối tượng B làm được y công việc
1
1
thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là x + y công việc
1
a
- Nếu mỗi giờ làm được x công việc thì a giờ làm được x công việc
Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa ...)
Như dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lượng: N: số lượng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t: là
s

số xe chở hàng; s: tổng số lượng hàng hoá trong kho thì N = t
Dạng 5: Các bài toán tìm số
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số
Chú ý: ab = 10a + b ; abc = 100a + 10b + c
Dạng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số %
m
.A
100
Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là
A m
m
=
A=
.B
100
Số A bằng m% số B nghĩa là B 100 hay
m
.A
Số A sau khi tăng lên m% thì được số mới có giá trị là A + 100
Dạng 7: Các bài toán có nội dung hình học
7
7


Chú ý đến các hệ thức lượng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích ... của
các hình...
VII. Các bài toán hình học phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A

c
B

b

h
c'

a

H

b'

C

a) Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có
b2 = a. b’
c2 = a. c’
b2 + c2 = a2
h2 = b’. c’
1
1 1
=
+ 2
2
2
h
b

c
a. h = b. c
b) Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α được định nghĩa như sau:
cạnh đối

α

cạnh kề

canh Doi
sinα = canh huyen
canh ke
cotα = canh doi

canhke
cosα = canh huyen

canhdoi
tanα = canh ke
- Với hai góc α và β phụ nhau ta có
sinα = cosβ
cosα = sinβ
tanα = cotβ
cotα = tanβ
- Một số góc đặc biệt

sin 300 = cos600 =

1

2

sin 450 = cos450 =

2
2

3
tan 450 = cot 450 = 1
2
3
tan 300 = cot 600 =
co t 300 = tan 600 = 3
3
c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối
hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối
hoặc nhân với côtang góc kề
d) Một số công thức tính diện tích tam giác
a.h
a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B
=
=
2
2
2
S = 2 (h là đường cao ứng với cạnh a)
S=
S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
cos300 = sin 600 =

8
8


a.b.c
S = 4R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
p( p − a ) ( p − b) ( p − c)
S=
(p là nửa chu vi của tam giác)
2. Đường tròn:
a) Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
- Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng
bằng R
- Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên
ngoài đường tròn
- Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một đường tròn
- Đường tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là
bất kì đường kính nào của nó
b) Đường kính và dây cung của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
- Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây
không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn
c) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường
tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đường thẳng và đường tròn mà ta định nghĩa các vị trí:
đường thẳng và đường tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. Ứng với mỗi vị trí trên,
khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn có các liên hệ:

d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp
điểm
- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
d) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ
tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
e) Đường tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn
tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của
các đường phân giác các góc trong tam giác
- Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam
giác gọi là nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các
đường trung trực tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh
kia là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm
9
9


của hai đường phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một
góc trong và một trong hai đường phân giác của góc ngoài không kề với nó
f) Vị trí tương đối của hai đường tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đường tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai
đường tròn không giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau
Do tính chất đối xứng của đường tròn, nếu hai đường tròn cắt nhau thì giao điểm đối
xứng với nhau qua đường nối tâm, nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên

đường nối tâm
g) Góc với đường tròn:
+ Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ
bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 0 và số đo cung nhỏ.
Số đo của nửa đường tròn bằng 1800.
+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa dây cung của
đường tròn đó. Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đường tròn số đo của
góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị chắn
+ Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đường tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp
tuyến của (O) tại A, AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB được gọi
là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa
số đo cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung:
một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có
đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa
hiệu hai cung bị chắn
 Chú ý: Trong một đường tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa
đường tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
h) Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2πR = πd
πRn
l=

180
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R :
I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = πR2
πR 2 n lR
S=
=
0
360
2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n :
3. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách chứng minh:
10
10


- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba
- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh:

- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trương ứng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường bằng nhau.
Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong; ở vị trí
so le ngoài; ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, ...
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Cách chứng minh:
- Chúng cùng song song với hai đường thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác.
- Đường kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
- Tính chất 2 đường chéo hình thoi, hình vuông
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy.
Cách chứng minh:
- Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 1800
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đường thẳng đi qua một điểm cùng song song với đường thẳng khác
- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau
- Chứng minh chúng là ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc
một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)

- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thường:
11
11


- Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
* Hai tam giác thường:
- Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g)
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỷ lệ (c-g-c)
- Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ
- Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cách chứng minh:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
- Dựa vào phương tích của đường tròn

VIII. Các bài toán hình học không gian
1. Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh
không thuộc hai đáy song song với nhau. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Sxq = p. l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên)
Lăng trụ đứng:
Sxq = p. h (p là chu vi đáy, h là chiều cao)
V = B. h
(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật)
V = a. b. c
2
2
2
Các đường chéo hình hộp chữ nhật d = a + b + c
Hình lập phương: V = a3 (a là cạnh)
2. Hình chóp: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có
chung đỉnh. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình
chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình
chóp đều gọi là hình chóp cụt đều
1
Hình chóp đều: Sxq = 2 .n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dài trung đoạn)
Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy)
1
V= 3. B . h

12
12


1

( n.a + n.a ') .d
Hình chóp cụt đều: Sxq = 2
(n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung đoạn chiều
cao mặt bên)
V = V1 + V2 (V1 thể tích hình chóp cụt; V2 thể tích hình chóp trên)
1
.h B + B'+ B.B'
V= 3
(B, B’ là diện tích đáy, h là chiều cao)
3. Hình trụ: Hình trụ là hình sinh ra bới hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh của nó
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2π. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao)
- Diện tích toàn phần: Stp = 2π. R. h + 2π. R2
- Thể tích hình trụ: V = S. h = π. R2. h (S là diện tích đáy)
4. Hình nón: Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc
vuông của nó. Hình nón cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục
Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = π. R. l (R là bán kính đáy; l là đường sinh)
- Diện tích toàn phần: Stp = π. R. l + π. R2
1
π.R 2 .h
- Thể tích: V = 3
(h là chiều cao)
Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = π(R1 + R2). l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đường
sinh)
- Diện tích toàn phần: Stp = π(R1 + R2). l + π(R12 + R22)
1
π.h.(R12 + R 22 + R1 R 2 )
- Thể tích: V = 3
(h là chiều cao)
2
5. Hình cầu:- Diện tích mặt cầu: S = 4π. R (R là bán kính)

4
π.R 3
- Thể tích hình cầu: V = 3
IX. Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị
1. Định nghĩa: a > b ⇔ a – b > 0 ⇔ b – a < 0
a≥b⇔a–b≥0⇔b–a≤0
2. Một số tính chất:
A > B
⇒A>C

B>C

1/
2/ A > B ⇔ A + C > B + C
AC > BC,C > 0
A > B
A>B⇔
⇒A+C>B+C

AC
<
BC,C
<
0
C
>
D

3/
4/ 

A > B > 0
⇒ AC > BD

C>D>0

5/
6/ A > B > 0, n ∈ N* ⇒ An > Bn
1 1
 A < B víi AB > 0
A > B⇒ 
 1 > 1 víi AB < 0
n
n
 A B
7/ A > B > 0,n ∈ N,n ≥ 2 ⇒ A > B
8/

(

)

13
13


n
m
n, m ∈ N*
A > A ,A > 1
 n


m
n
>
m

9/
⇒ A < A ,0 < A < 1
3. Một số BĐT cơ bản:
2
( a + b ) ≥ 4ab
a + b ≥ a+b
1 1
4
+ ≥
a b a + b (với a, b > 0)

a 2n +1 > b 2n +1
a > b
⇒

n
∈
N
 2n +1 a > 2n +1 b
10/ 
a ≥a

a − b ≤ a−b
1 1 1

9
+ + ≥
a b c a + b + c (với a, b, c > 0)
1 1
1
n2
a b
+ + ... + ≥
+ ≥2
a1 a 2
a n a1 + a 2 + ... + a n (Với a , a , …, a > 0)
b
a
(với ab > 0)
1
2
n
a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2, …, an là các số thực không âm, khi đó
ta có:
n
 a1 + a 2 + ... + a n 
a1 + a 2 + ... + a n n
≥ a1a 2 ...a n

÷ ≥ a1a 2 ...a n
n


n
Dạng 1:

Dạng 2:
Đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = … = an
Hệ quả:
n

S
S
Max ( a1a 2 ...a n ) =  ÷
 n  xảy ra ⇔ a1 = a2 = … = an = n
* Nếu a1 + a2 + ... + an = S (const) thì
n
n
* Nếu a a ...a = P (const) thì Min ( a1 + a 2 + ... + a n ) = n P xảy ra ⇔ a = a = … = a = P
1 2

n

1

2

n

Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dương a1, a2, …, an (n ≥ 2) và n số dương α1, α2, …
α1 α1
α1
α sao cho α + α + … + α = 1 thì: a1 .a1 ....a1 ≤ α1a1 + α 2a 2 + ... + α n a n
n

1

2

n

Dấu bằng xảy ra ⇔ a1 = a2 = … = an
b) Bất đẳng thức: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS)
Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn khi đó:
( a12 + a 22 + ... + a 2n ) ( b12 + b22 + ... + b2n ) ≥ ( a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn ) 2

a1 a 2
a
= = ... = n
bn
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b1 b 2
Hệ quả: * Nếu a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c (const) thì
x1 x 2
x
=
= ... = n
an
xảy ra ⇔ a1 a 2

Min ( x + x + ... + x
2
1

2
2

2
n

)

c2
= 2
a1 + a 22 + ... + a 2n

2
2
2
2
* Nếu x1 + x 2 + ... + x n = c (const) thì

x1 x 2
x
=
= ... = n ≥ 0
Max { a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n } = c . a + a + ... + a ⇔ a1 a 2
an
x1 x 2
x
=
= ... = n ≤ 0
2
2
2
Min { a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n } = − c . a1 + a 2 + ... + a n ⇔ a1 a 2
an

2
1

2
2

14
14

2
n


a12 a 22
a 2 ( a + a + ... + a n )
+ + ... + n ≥ 1 2
bn
b1 + b 2 + ... + b n
Dạng khác của CBS: b1 b 2

15
15

2


Phần II. Một số dạng bài tập
Bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức :
a) Rút gọn P

1
a +2
5
−
+
a +3 a + a −6 2− a
b) Tìm giá trị của a để P < 1

x   x +3
x +2
x +2 
1
−
:
+
+

÷
÷
x +1  x − 2 3 − x x − 5 x + 6 


P=

Bài 2: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P

b)Tìm giá trị của a để P < 0
 x −1

1
8 x   3 x −2
−
+

÷: 1 −
÷
9x
−
1
3
x
−
1
3
x
+
1
3 x +1 



Bài 3: Cho biểu thức: P =
6
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P = 5



a   1

2 a
1
+
:
−

÷
÷
a +1  a −1 a a + a − a −1

Bài 4: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 − 8 3

Bài 5: Cho biểu thức: P =

  1 + a3

a (1 − a)2  1 − a 3
: 
+ a ÷.
− a ÷
÷  1+ a
÷
1+ a
 1 − a



1
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- 2 )
 x +1
 
2x + x
x +1
2x + x 
+
− 1÷: 1 +
−

÷
2x
+
1
2x
−
1
2x
+
1
2x
−
1
 

Bài 6: Cho biểu thức: P = 
1
= . 3+ 2 2

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x 2

2 x
1  
x 
−

÷:  1 +
÷
x x + x − x −1
x −1  x +1

Bài 7: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P ≤ 0

 2a + 1
  1 + a3
a
−
− a÷
 3
÷.
÷
a −1 a + a +1  1+ a

Bài 8: Cho biểu thức: P = 

(

a) Rút gọn P
Bài 9: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P

b) Xét dấu của biểu thức P. 1 − a
 x+2
x +1
x +1
1: 
+
−
÷.
x
−
1
x
x
−
1
x
+
x
+
1


b) So sánh P với 3

16

16

)


Bài 10: Cho biểu thức :
a) Rút gọn P

1− a a
 1+ a a

+
a
.
−
a

÷
÷
1− a
1+ a




P=
b) Tìm a để P < 7 − 4 3

 2 x
x

3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷

÷: 
x
−
9
x
+
3
x
−
3
x
−
3
 

Bài 11: Cho biểu thức: P = 
1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 x −3 x
  9−x
x −3
x −2
− 1÷: 

−
−

÷
x −9
x+ x −6 2− x
x +3



Bài 12: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x
+
2
x
−
3
1
−
x
x +3
Bài 13: Cho biểu thức : P =
2
1
≤

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P= 2
c) Chứng minh P 3
2 x
x
m2
+
−
2
x − m 4x − 4m
Bài 14: Cho biểu thức: P= x + m
với m > 0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1
a2 + a
2a + a
−
+1
a
−
a
+
1
a
Bài 15: Cho biểu thức P =

b) Biết a > 1 Hãy so sánh P với P
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 a +1

  a +1

ab + a
ab + a
+
− 1÷: 
−
+ 1÷

ab + 1
ab − 1
ab − 1
  ab + 1

Bài 16: Cho biểu thức P = 
3 −1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a = 2 − 3 và b = 1 + 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4
a) Rút gọn P
c) Tìm a để P = 2

a a −1 a a +1 
1  a + 1
a −1 
−
+ a −
+
÷
÷

a− a
a+ a 
a  a −1
a +1
Bài 17: Cho biểu thức : P =
a) Với giá trị nào của a thì P = 7b) Với giá trị nào của a thì P > 6
2

 a
1   a −1
a +1
−
−

÷
÷
2 2 a   a +1
a −1 

Bài 18: Cho biểu thức: P =
a) Tìm các giá trị của a để P < 0
b) Tìm các giá trị của a để P = -2

17
17


(
Bài 19: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P

Bài 20: Cho biểu thức : P =
a) Rút gọn P

a− b

)

2

+ 4 ab a b − b a
.
a+ b
ab

b) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3
 x+2
x
1  x −1
+
+

÷:
2
x
x
−
1
x
+
x

+
1
1
−
x



b) Chứng minh rằng P > 0
2 x +x
1  
x +2 
−
:
1
−

÷
÷
x x −1
x −1  x + x +1

Bài 21: Cho biểu thức : P =
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x= 5 + 2 3

Bài 22: Cho biểu thức
a) Rút gọn P

Bài 23: Cho biểu thức :

a) Rút gọn P

1

a+
Bài 24: Cho P = 
a) Rút gọn P

∀x ≠1

3x


 1
÷
2
1
1: 
+ 2 −
÷:
2+ x 4−x 4−2 x ÷ 4−2 x

P= 
b) Tìm giá trị của x để P = 20

(

)

2

x − y + xy
 x−y
x 3 − y3 
+

÷:
 x− y
y−x ÷
x+ y

P= 
b) Chứng minh P ≥ 0
3 ab  
1
3 ab 
a−b 
+
.
−
:

÷ 
÷
b a a + b b   a − b a a − b b  a + ab + b 
b) Tính P khi a =16 và b = 4
 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
1+ 
−
÷.

1− a
1− a a

 2 a −1
P=

Bài 25: Cho biểu thức:
6
2
a) Cho P= 1 + 6 tìm giá trị của a
b) Chứng minh rằng P > 3
 x −5 x
 
25 − x
x +3
x −5
− 1÷: 
−
+

÷
x
−
25
x
+
2
x
−
15

x
+
5
x
−
3
 

Bài 26: Cho biểu thức: P = 
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1

 ( a − 1) . a − b
3 a
3a
1
−
+

÷:
a
+
ab
+
b
a
a
−
b
b

a
−
b
 2a + 2 ab + 2b
Bài 27: Cho biểu thức P = 
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1   a +1
a +2
 1
−
:
−

÷

÷
a −1
a   a −2
a −1 

Bài 28: Cho biểu thức P =

(

18
18

)

1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P > 6
 1
1 
2
1 1  x 3 + y x + x y + y3
+
.
+ + :

÷
÷ x + y x y
x
y
x 3 y + xy3






Bài 29: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất
x3
2x
1− x
−

.
xy − 2y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x

Bài 30: Cho biểu thức : P =
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P < 0,2

x +2
x − 2  x +1
−

÷.
x
−
1
x
+
2
x
+
1
x

Bài 31 : Cho biểu thức : Q = 
a) Tìm x để Q > Q
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Bài 32 : Cho biểu thức P =

1
x

+
x +1
x −x

1
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 2
x x +1 x −1
−
x +1
Bài 33 : Cho biểu thức : A = x − 1
1
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A = A
1 
3 
 1
+
1
−

÷
÷
a + 3 
a
Bài 34 : Cho biểu thức : A =  a − 3

1

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A > 2 .
 x + 1 x − 1 x 2 − 4x − 1  x + 2010
−
+

÷.
2
x
−
1
x
+
1
x
−
1
x

Bài 35 : Cho biểu thức: A = 
.
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

(

)

 x x −1 x x +1 2 x − 2 x +1
−


÷:
x −1
x
−
x
x
+
x

Bài 36 : Cho biểu thức: A = 
.
a) Tìm x để A < 0.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
 x+2
x
1  x −1
+
+

÷:
2
x
x
−
1
x
+
x
+

1
1
−
x

Bài 37 : Cho biểu thức: A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2
19
19


a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4 − a (a ≥ 0; a ≠ 4)
a
−
2
a
+
2
Bài 38 : Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9
 a + a  a − a 
1 +
÷1 −
÷

a
+
1
a −1 


Bài 39 : Cho biểu thức: N =
a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm giá trị của a để N = -2010
x x + 26 x − 19 2 x
x −3
P=
−
+
x + 2 x −3
x −1
x +3
Bài 40 : Cho biểu thức

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 7 − 4 3
c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
P=
+
−
− 1÷
÷: 

x
−
9
x
+
3
x
+
3
x
−
3

 

Bài 41 : Cho biểu thức
1
P<−
2
a) Tìm x để
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 a +1

a −1
1 
−
+ 4 a ÷. a +

÷
a −1

a +1
a



Bài 42: Cho A=
với x > 0 ,x ≠ 1

(

)(

)(

)

4 + 15 . 10 − 6 . 4 − 15
a) Rút gọn A
b) Tính A với a =
 x −3 x
  9−x
x −3
x −2
− 1 ÷: 
+
−

÷
x −9
x+ x −6

x −2
x +3



Bài 43: Cho A=
với x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠ 4
a) Tìm x để A < 1.
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x
+
2
x
−
3
1
−
x
x + 3 với x ≥ 0 , x ≠ 1.
Bài 44: Cho A =
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A.
2
1
≤
c) Tìm x để A = 2
d) CMR : A 3

x+2
x +1
1
+
+
Bài 45: Cho A = x x − 1 x + x + 1 1 − x với x ≥ 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A
1
3
2
−
+
Bài 46: Cho A = x + 1 x x + 1 x − x + 1 với x ≥ 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) CMR : 0 ≤ A ≤ 1

 x −5 x
 
25 − x
x +3
x −5
−
1
:
−
+

÷
÷

x − 25
x + 2 x − 15
x +5
x −3



Bài 47: Cho A =
a) Rút gọn A.
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
20
20


2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a
−
5
a
+
6
a
−
2
3− a
Bài 48: Cho A =
với a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.

a) Tìm a để A < 1
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
x− x +7
1   x +2
x −2 2 x 
+
−
−

÷: 
÷
x
−
4
x
−
4
x
−
2
x
−
2
x
+
2
 
 với x > 0 , x ≠ 4.
Bài 49: Cho A = 
1

a) Rút gọn A.
b) So sánh A với A

(

)

3
3
 x−y
x− y
x − y 

÷:
+
 x− y
y−x ÷
x+

Bài 50: Cho A = 
a) Rút gọn A.
b) CMR : A ≥ 0
x x −1 x x +1 
1 
−
+ x −
÷. 
x− x
x+ x 
x

Bài 51 : Cho A =
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = 6


x −4
3 ÷  x +2

+
:
−
 x x −2
x −2÷ 
x

Bài 52 : Cho A = 

(

)

2

+ xy
y

với x ≥ 0 , y ≥ 0, x ≠ y

x +1
x −1

+
÷
x −1
x +1
Với x > 0 , x ≠ 1
x 
÷
x −2

với x > 0 , x ≠ 4.

a) Rút gọn A
b) Tính A với x = 6 − 2 5
1   1
1 
1
 1
+
−

÷: 
÷+
Bài 53 : Cho A=  1 − x 1 + x   1 − x 1 + x  2 x với x > 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A
b) Tính A với x = 6 − 2 5
 2x + 1
1  
x+4 
−
:

1
−

÷

÷
3
x −1÷
x + x +1

x
−
1


Bài 54 : Cho A =
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên
 1
  1
2 x −2
2 
−
−

÷: 
÷
x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1
Bài 55: Cho A= 

với x ≥ 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A đạt GTNN
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷

÷: 
x
−
9
x
+
3
x
−
3
x
−
3
 
 với x ≥ 0 , x ≠ 9
Bài 56 : Cho A = 
1
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < - 2
 x +1

x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
−

÷: 
÷
x
−
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x
−
1
 
 với x ≥ 0 , x ≠ 1.
Bài 57 : Cho A = 
a) Tính A với x = 6 − 2 5
b) CMR : A ≤ 1
21
21

1 
x +1
 1
+

÷:
x −1 x − 2 x +1
Bài 58 : Cho A =  x − x
với x > 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A
b) So sánh A với 1
 x −1
1
8 x   3 x −2
1
−
+

÷: 1 −
÷
x
≥
0,
x
≠
3 x − 1 3 x + 1 9x − 1   3 x + 1 
9
Bài 59 :

Cho A = 
Với
6
a) Tìm x để A = 5
b) Tìm x để A < 1.

 x −2
x + 2  x 2 − 2x + 1
−

÷.
x
−
1
2
x
+
2
x
+
1

Bài 60 : Cho A = 
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c) Tính A khi x = 3 + 2 2
d) Tìm GTLN của A
Bài tập về phương trình bậc hai
Bài 1: Cho phương trình :

m 2x −

(

)

2

2 − 1 = 2 − x + m2

a) Giải phương trình khi m = 2 + 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 − 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
2
Bài 2: Cho phương trình : ( m − 4 ) x − 2mx + m − 2 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt
2
2
c) Tính x1 + x 2 theo m

x 2 − 2 ( m + 1) x + m − 4 = 0
Bài 3: Cho phương trình :
(x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M = x1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x1 ) không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phương trình

2
a) x − x + 2 ( m − 1) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
2
b) 4x + 2x + m − 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
c)

(m

2

+ 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + 2m − 1 = 0

có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phương trình : x − ( a − 1) x − a + a − 2 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
2

2

2
2
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 và x2 .Tìm giá trị của a để x1 + x 2 đạt giá trị
nhỏ nhất

22
22


1 1 1
+ =

b
c 2 . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
phương trình sau phải có nghiệm x + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0
Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
2
2
Bài 8: Cho phương trình : 2x − 2mx + m − 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương
trình
2
Bài 9: Cho phương trình bậc hai tham số m : x + 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
2
2
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x và x thoả mãn điều kiện x1 + x 2 = 10
1

2

Bài 10: Cho phương trình x − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
2
Bài 11: Cho phương trình x − 2 ( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số )
2

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1; x2 hãy tìm một hệ thức
liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
2
2
c) Tìm giá trị của m để 10x1x 2 + x1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

2
Bài 12: Cho phương trình ( m − 1) x − 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m ≠ 1
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng
hai nghiêm của phương trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
x1 x 2 5
+
+ =0
x
x
2
2
1
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x ; x thoả mãn hệ thức:
1

2

Bài 13: Cho phương trình: x − mx + m − 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x 1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có)
của phương trình và giá trị của m tương ứng
2

2
2
b) Đặt A = x1 + x 2 − 6x1x 2 . Chứng minh A = m − 8m + 8 .
c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.
d) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
n
n
2
Bài 14: Giả sử phương trình a.x + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Đặt Sn = x1 + x 2 (n
nguyên dương)
a) Chứng minh: a.Sn + 2 + bSn +1 + cSn = 0
2

5

5

1+ 5  1− 5 

÷ +
÷
2
2
 

b) áp dụng Tính giá trị của : A= 

23
23

Bài 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1
a) CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f (x) = 0 có
2 nghiệm lớn hơn 2
2
2
Bài 16: Cho phương trình: x − 2 ( m + 1) x + m − 4m + 5 = 0
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và
trái dấu nhau
2
2
d) Gọi x ; x là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính x1 + x 2 theo m
1

2

2
Bài 17: Cho phương trình x − 4x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm là x1; x2. Không giải phương trình,
6x12 + 10x1 x 2 + 6x 22
M=
5x1x 32 + 5x13x 2
hãy tính giá trị của biểu thức :

2
Bài 18: Cho phương trình x − 2 ( m + 2 ) x + m + 1 = 0
1
a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
2
c) Gọi x ; x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để : x1 (1 − 2x 2 ) + x 2 (1 − 2x1 ) = m
1

2

2
Bài 19: Cho phương trình x + mx + n − 3 = 0 (1)
(n , m là tham số)
a) Cho n = 0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

 x1 − x 2 = 1
 2
x1 − x 22 = 7

b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ:
2
x
− 2 ( k − 2 ) x − 2k − 5 = 0 ( k là tham số)
Bài 20: Cho phương trình:
a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2
2
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho x1 + x 2 = 18
2
Bài 21: Cho phương trình ( 2m − 1) x − 4mx + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Giải phương trình (1) khi m bất kì

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
2
2
Bài 22: Cho phương trình: x − ( 2m − 3) x + m − 3m = 0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x , x thoả mãn 1 < x1 < x 2 < 6
1

2

Bài 23: Cho phương trình x − 2mx + 2m − 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
2
2
2
b) Đặt A = 2(x1 + x 2 ) − 5x1x 2 . CMR A = 8m − 18m + 9 . Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia
Bài 24: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0
2

24
24


Bài 25: Giải và biện luận phương trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Bài 26: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 − 5 )x - 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0

Bài 27: Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Bài 28: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0
a) Tính:
A= x 2+ x 2
B = x1 − x 2
1

2

1
1
+
C= x1 − 1 x 2 − 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
1
1
b) Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là x1 − 1 và x 2 − 1
Bài 29: Cho phương trình: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
a) Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c) Gọi x1, x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Bài 30: Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m = -5
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
c) Tìm m để x1 − x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x , x là ha1 nghiệm của phương trình (1) nói
1

2

trong phần b)
Bài 31: Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
9
a) Giải phương trình khi m = - 2
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Bài 32: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số .
a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)
b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Bài 33: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
a) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép
b) Tìm k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10
Bài 34: Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không
giải phương trình, hãy tính:
a) x 2 + x 2
b) x1 x1 + x 2 x 2
x + x + x1x x ( x1 + x 2 )
2
1
2
1

1

2

2
2

x ( x12 − 1) + x 22 ( x 22 − 1)

c)
.
Bài 35: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).
25
25