Đề thi HSG Toán 10 Cụm Hà Đông, Hoài Đức

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: Toán – Lớp 10
Ngày thi:
01/3/2017
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4 điểm)
2
Cho parabol ( P) : y  ax  bx  1 .

�3 11 �
S� ;
�
1) Tìm các giá trị của a; b để parabol có đỉnh �2 2 �.
2) Với giá trị của a; b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng
 : y  x(k  6)  1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt M ; N sao cho trung
điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : 4 x  2 y  3  0 .
Bài 2 (4 điểm)
1) Giải phương trình

26  x 2  4  x.

x3  1  y 3  3 y 2  3 y
�
�
.
�
3
3
2
2

� 4( y  1)  2  12  2  4 x
x
x
2) Giải hệ phương trình �

Bài 3 (4 điểm)
Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh

� a�
� b�
� c � � abc�
1 �
1 �
1  ��2 �
1
.
�
�
�
�
� b�
� c�
� a � � 3 abc �
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC. Chứng minh
0  sin A  sin B  sin C  sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A  1 .
Bài 5 (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi E; F là các điểm xác định
uuu
r 1 uuur uuur

1 uuur
BE  BC , CF   CD,
3
2
bởi
đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I .
uuu
r uuu
r
1) Tính giá trị của EA.CE theo a.
0
�
2) Chứng minh rằng AIC  90 .

---------------- HẾT ----------------


Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..


KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2016-2017
Bài
Bài 1
Câu 1

Câu 2

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10
HƯỚNG DẪN CHẤM

Tìm ….
Do Parabol nên và có trục đối xứng nên .
Tọa độ đỉnh có tung độ là mà nên ta có: hay
Ta có hệ pt thế vào ta được:
Nếu loại.
Nếu thỏa mãn.
Vậy là giá trị cần tìm.
Tìm m … với parabol
Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt
có hai nghiệm phân biệt,
hay pt: có hai nghiệm phân biệt có
Khi đó, giao điểm , ,
nên trung điểm của đoạn là .
Theo định lý Viet ta có nên
Do I thuộc đường thẳng nên hay hay thì thỏa mãn bài toán.

Bài 2
Câu 1

Điểm
4 điểm
2 điểm
0,5
0,5
1,0
2 điểm
0,5

0,5
0,5

0,5
4 điểm

Giải phương trình ….

2điểm

Phương trình tương đương
1,0
Giải ra ta được x=5 thỏa mãn pt.
Câu 2

Vậy phương trình có nghiệm là x=5.
Giải hệ phương trình …
Điều kiện xác định:
Từ pt (1) ta có: hay thế vào pt (2)

1,0
2 điểm

0,5

Bài 3

Ta được .
Đặt pttt:

0,5

Hay

Do nên pt trở thành: do nên ta có hay .

0,5

Tức là hay
Nếu nên nghiệm là .
Nếu nên nghiệm là
Vậy hệ có hai nghiệm trên.
CM bất đẳng thức…
Ta có vế trái
Mà . tương tự ta có
, .

0,5
4 điểm
1,0


cộng vế với vế ta được
.

1,0

Mà hay nên ta có:

1,0
1,0

Dấu bằng xảy ra khi
Bài 4

4 điểm
Do là ba góc trong tam giác nên nên ta có
1,0
Do không cùng xảy ra dấu bằng đồng thời nên ta có:
Ta luôn có hay

Mà
Nên (ĐPCM)
Bài 5
Câu 1

Tính theo a.
Ta có ;
Ta có nên
Mặt khác:
Trong tam giác vuông ta có
Nên

Câu 2

Chứng minh
Ta có . Giả sử
Do thẳng hàng nên: nên
Nên và
Nên nên .

1,0
1,0
1,0

4 điểm
2 điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
2 điểm
0,5
0,5
0,5
0,5