SKKN một số cách giải bài toán cực trị trong Vật lí sơ cấp

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
Một số cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp

A. lý do chọn đề tài:
Từ năm học 2005 - 2006 Bộ GD & ĐT quyết định chuyển từ
hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại
sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và học của giáo viên cũng nh
học sinh.
Tuy nhiên qua thời gian thực tế giảng dạy ở trờng THPT chúng
tôi tấy có một số vấn đề nh sau:
1.Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức TNKQ thì
giáo viên cũng nh học sinh phải có sự thay đổi lớn về cách dạy và
học. Dạy học theo phơng pháp TNKQ đòi hỏi ngời giáo viên không
những phải đầu t theo chiều sâu mà còn phải đầu t kiến thức
theo chiều rộng, ngời dạy phải nắm đợc tổng quan chơng trình
của môn học. Điều này không phải tất cả đội ngủ giáo viên của ta
hiện nay đều làm đợc, đặc biệt là các giáo viên trẻ mới ra trờng.
2. Một thực tế nữa là khi chúng ta chuyển sang dạy học và
đánh giá thi cử theo phơng pháp TNKQ thì một số GV mãi mở rộng
kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi trắc
nghiệm thì vấn đề đầu t cho việc giải bài toán theo phơng pháp
tự luận có thể bị mờ nhạt đi. Điều này ảnh hởng khá lớn đến chất
lợng, mức độ hiểu sâu kiến thức về vật lý của học sinh, đặc biệt
là đội ngủ học sinh giỏi của trờng.
3. Để góp phần cải tiến thực trạng trên chúng tôi quyết định
thực hiện đề tài Một số cách giải bài toán vạt lý sơ cấp. Trong
Vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toándddợc giải theo phơng pháp
tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lợng Vật lý. Mỗi loại bài tập đó
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý
1

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
đều có một số cách giải nhất định, song để chọn cách giải phù
hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên bởi lẽ các
bài toán này mang tính đơn lẻ, cha có tài liệu nào viết có tính
chất hệ thống.
Qua nhiều năm bồi dỡng học sinh giỏi, dạy bồi dỡng cho học
sinh thi đại học chúng tôi đã tổng hợp và áp dụng thì thấy kết quả
của học sinh tiến bộ vợt bậc. Hy vọng rằng đề tài này sẽ góp phần
vào giải quyết những khó khăn trên.
Với trình độ còn hạn chế, kiến thức thì mênh mông nên bài
viết này chắc còn có sai sót. Kính mong đợc sự góp ý và trao đổi
chân tình của quý đồng nghiệp để đề tài đợc hoàn thiện hơn
và có tác dụng hữu ích hơn. Xin chân thành cảm ơn.

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

2


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
B. Nội dung
I. Cơ sở

Thực tế khi giải các Bài tập Vật lý để tính giá trị cực đại
hoặc
cực tiểu của các đại lợng Vật lý thì chúng ta thờng dùng một
số công thức, kiến thức của toán học. Do đó để giải đợc các bài
tập đó cần phải nắm vững một số kiến thức toán học sau đây:
1. Bất đẳng thức Côsi:

a + b 2 ab

(a, b dơng)

a + b + c 3 3 abc

(a, b, c dơng)

+ Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
+ Khi Tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau.
Khi Tổng 2 số không đổi, Tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng
nhau.
* Phạm vi áp dụng: Thờng áp dụng cho các bài tập điện hoặc
bài toán va chạm trong cơ học.
2. Bất đẳng thức Bunhia côpxki
(a1b1 + a2b2)2 (a1 + a2)2 . (b1 + b2)2.
a1 b1
=
Dấu bằng xảy ra khi
a2 b2
* Phạm vi áp dụng: Thờng dùng trong các bài tập về chuyển
động cơ học.
3. Tam thức bậc 2.
y = f(x) = ax2 + bx + c.
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.
+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
b

+ Toạ độ đỉnh: x = - ; y =
( = b2 - 4ac)

2a
4a
+ Nếu = 0 thì phơng trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm
kép.
+ Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
* Phạm vi áp dụng: Thờng dùng trong các bài tập về chuyển
động cơ học và bài tập phần điện.
4. Giá trị cực đại, Hàm số sin hoặc côsin
(cos)max = 1
(sin)max = 1



= 00
= 900

* Thờng dùng trong các bài toán cơ học - Điện xoay chiều.
5. Khảo sát hàm số.
- Dùng đạo hàm
- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu.
Thờng áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều (vì lúc đó
học sinh đã đợc học đạo hàm).
* Ngoài ra trong quá trình giải bài tập chúng ta thờng sử dụng
a c a+ c a c

=
một số tính chất của phân thức = =
b d b+ d b d
II. Các ví dụ áp dụng

1. áp dụng Bất đẳng thức Côsi
* Ví dụ 1: Cho mạch điện nh hình vẽ
E = 12V; r = 4;

R là biến trở.

Hãy tìm Rx để công suất mạch ngoài cực đại.
E,r

HDG:
- Dòng điện: I =

E
r+ R
E2

E2
=
= 2
2
2
P = I2R = r + R + 2r
r y
R+
ữ

R
R


- Công suất:

E2

R

- Pmax ymin.
Theo BĐT Côsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai
số bằng nhau.
Ymin

R=

r
E2
. Vậy khi R = r = 4 thì Pmax =
= 9(W)
R
4r

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

4


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp

* Ví dụ 2: Cho mạch điện nh hình vẽ
UAB = 200 2 sin(100nt) (v)
1
104
L = (H); c=
(F). R thay đổi
n
2n


A

L,r

C

R


B

Hình vẽ 2.2

a) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0
b) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 5
HDG:
a) + Cảm kháng: ZL = L = 100;
1
= 200
Dung kháng: ZC =

C
+ Tổng trở:
Z = R2 + (ZL ZC )2
U2
+ Công suất: P = I2R =
(Z ZC )2
Rx + L
R
2
(Z ZC )
Đặt y = R + L
.
R

+ áp dụng BĐT Côsi:
ymin R = ZL - ZC = 100.
2
U
= 200(W)
Lúc đó PR(Max) =
2 ZL ZC
b) Tơng tự ta có:

Z=

(R + r)2 + (ZL ZC )2

U2
u2
=

PRx = I2Rx =
r2 + (ZL ZC )
y
R+
+ 2r
R
+ áp dụng BĐT côsi ymin R = r2 + (ZL ZC )2
PRMax =

U2
2(r + r + (ZL ZC )
2

2

; 124(W)

* Mở rộng: Khi tính P của mạch:
+ Nếu ZL - ZC > r thì PMax khi R = ZL - ZC - r
+ Nếu ZL - ZC r thì PMax khi R = 0.
Ví dụ 3: Có hai điện tích điểm q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai
điểm A, B trong không khí ( = 1). Cho biết AB = 2d. Hãy xác
định cờng độ điện trờng tại M trên đờng trung trực AB cách đờng thẳng AB một khoảng x. Tìm x để EM đạt cực đại.
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

5


ur
EM

một số cách giải bài toán cực trị trong
vật lý sơ cấp
ur
ur
E
E
2M
1M
HDG:
ur
M
* Xác định E M :
ur ur
ur

+ E M = E 1M + E 2M
x
q1
q
d
d



Với E1M = E2M = k 2 2
A
H
B
d +x

Hình vẽ 2.3
ur
+ Dùng quy tắc tổng hợp vectơ E M AB hớng ra xa AB.
2kq
x
x
+ EM = 2E1M cos = d2 + x2 . 2 2 = 2kq. 2 2 32
(*)
d +x
(d + x )
* Tìm vị trí M:

- Theo BĐT Côsi ta có:
3
d2 d2 2 3 d4x2
3 3 2
2
2
Ta có
d +x =
(**)
+ + x 3
( d2 + x2 ) 2
.d .x
2 2
4
2
4kq
4kq
d

+ Từ (*) và (**) EM
.
2 . Vậy EM(Max) =
2 khi x =
3 3d
3 3d
2
uu
r
Ví dụ 4: Vật m1 chuyển động với vận tốc V1 tại A và đồng
thời va chạm với vật m 2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m 1 có
uu
r
uu
r
V1'
vận tốc V1 ' ; hãy xác định tỷ số
của m1 để góc lệch giữa V1
V1
uu
r
và V1 ' lớn nhất. (Max).
Cho m1 > m2.

uur
P1 '

HDG:
+ Động lợng hệ trớc va chạm:
uur uu

r
uu
r
PT = P1 = m1V1 .

uu
r ur
PS = P1



+ Động lợng
hệ
chạm:
r uu
r sau
uu
r va u
ur
uu
r uu
Ps = P1' + P2' = m1V1' + m2 V2' .

uur
P2 '

Hìnhvẽ
2.4

uu

r uur uu
r
+ Hệ kín nên Động lợng hệ bảo toàn: PS = PT = P1
r uu
uu
r uu
r uu
r
+ Gọi = (V1ì V1' ) = (P1ì PS )

Ta có: P2'2 = P1'2 + P12 2P1'P12cos

(1)

Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn:
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

6


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
m1v12 m1v1' 2 m2V2'2
=
+
2
2
2
2
'2
'2

P
P
P
m
1 = 1 + 2 P12 P1'2 = 1 P2'2
(2)
2m1 2m1 2m2
m2
m2 P1 m2 P1'
+ Từ (1) và (2) 1
ữ ' + 1+
ữ = 2cos.
m1 P1 m1 P1
m2 V1 m2 V1'
V1'
1
> 0.
ữ ' + 1+
ữ = 2cos. Đặt x =
V1
m1 V1 m1 V1
m
m 1
1+ 2 ữx + 1 2 ữ = 2cos
m1
m1 x

Để Max thì (cos)min . Theo BĐT cosi: (cos)min khi:
m2
m2 1

m1 m2
1+
ữx = 1
ữ x=
m1 + m2
m1
m1 x
uu
r
uu
r
V1'
m1 m2
=
Vậy khi
thì góc lệch giữa V1 và V1' cực đại.
V1
m1 + m2
m12 m22
Với cosMax =
.
m1
Ví dụ 5: Một thấu kính hội tụ đợc đặt song song với màn

ảnh E .Trên trục chính có điểm sáng A và màn E đợc giữ cố định.
Khoảng cách từ A đến màn E là a = 100 cm. Khi tịnh tiến thấu
kính trong khoảng giữa màn E và A, ngời ta thấy vệt sáng trên
màn không bao giờ thu lại một điểm. Nhng khi L cách màn E một
đoạn b = 40cm thì vệt sáng trên màn có kích thớc nhỏ nhất. Tính
tiêu cự của thấu kính.

HDG:
Theo đề bài thì điểm hội tụ của chùm tia ló phải nằm sau màn
ảnh E, đờng đi của tia sáng nh hình vẽ 2.5:
Theo tính chất đồng dạng của tam giác ta có:

r ' d ' b
b
ad
a d
=
= 1 = 1
= 1 +
r
d'
b'
d'
d' d'
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

7


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp



1 1 d
a d a
r'
= 1 a. ữ+ 1ữ= +

r
f
f
f d f
d

Mặt khác theo định lý Côsi ta có:

a
d
+ 2.
d
f

a
f

a. f = a b f

vậy r/r đạt min khi

( a b)
=
a

a d
= d = a. f
d
f

do đó

2

thay số ta có f = 36 cm.

a
b
r
A

r

O
d

A
d

Hình vẽ 2.5
2. áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Côpxki:
Ví dụ 6: Hai chuyển động trên
AO và BO cùng hớng về 0. Với
V2 =
V1
; = 300 . Khi khoảng cách giữa hai vật
A
3
cực tiểu là dmin thì khoảng cách vật 1
đến 0 là d1' = 30 3(m) .

Hãy tìm khoảng cách vật 2 đến 0
B

A'


B'

d1'


0

d2'

lúc này?
HDG:

Hình vẽ 2.6

Gọi d1, d2 là khoảng cách các vật 1 và vật 2 đến 0 lúc đầu ta
d d1 v1t d2 v2t
v
=
=
. Vì v2 = 1
xét
(t = 0) ta có:
sin sin
sin

3

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

8


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
d d1 v1t 3d2 v1t
d
3d2 d1
=
=

=
.

sin sin
sin
3sin
3sin sin
sin = sin(1800 - ) = sin ( + ) = sin ( 300 + )
d
3d2 d1
3d2 d1
3d2 d1
=
d=
=
0

sin30
;
y
3
1
3cos + sin
cos + sin
2
2
dmin khi ymax
áp dụng BĐT Bunhia côpxki y (3+ 1) + (sin2 + cos2 ) = 2.
sin 1
=
= tg = 300 và = 1200
YMax = 2
cos
3
d1'
d'2
sin1200 '
'
Lúc đó
=

d
=
.d1 = 3d1' = 90(m)
2
0
0

0
sin30 sin120
sin30
Ví dụ7: Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai đờng OA và OB
biết

AB = 40km; V A = 40km/h; VB = 40 3 km. Chiều chuyển

động các tàu đợc biểu diễn nh hình vẽ.
Tính khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tàu, biết = 300; =
600.


HDG:
+ + = 300
Ta có: AO = d1;
d1
d
AB
= 2 =
sin sin sin

uur
VA
A

A'

'

BO = d2

'
B'



0


B

uur
VB

Hình vẽ 2.7


d1 = AB 3 = 40 3(km)
d1
d2
AB
=
=


sin600 sin300 sin300 d2 = AB = 40(km)

* Khi tàu A đến A' thì d1' = d1 - v1t = 40 3 - 40t
d2 = d2+ v2t = 40 + 40 3 t.
d'
d1'
d'2
=
=
Khoảng cách giữa 2 tàu d' = A'B'. Có
sin sin ' sin '
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

9


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp

d' 120 40 3t 40+ 40 3t
160
=
=
=
( '+ '= 1500)
sin
sin '
3sin '
3sin '+ sin '
80
d'=
d'min khi y = 3sin ' + sin '= ymax
3sin '+ sin '

áp dụng BĐT Bunhia côpxki
y = 3sin '+ sin(1500 ') =
yMax = 7 d'min =

a1b1 + a2b2

(a12 + a22).(b12 + b22)

3 3'
1
sin '+ cos ' 7
2
2

80
= 30,2(km)
7

m

Ví dụ 8: Cho cơ hệ nh hình vẽ 2.8.1

ur
F

M

Hệ số ma sát giữa M và sàn là K 2

Hình

2.8.1
Hệ số ma sát giữa M và m là K1
u
r
Tác dụng lực F lên M theo phơng hợp với phơng ngang 1 góc
( thay đổi).
Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M. Tính tơng ứng.
N1 uuuu
uuuu
r
r
HDG:
r
F
F
ms12
ms 21
uu
r uur u
r
uu
r
F
* Vật m: P1 + N1 + F ms21 = ma1
(1) uuu
r
P1

Fms
Hình vẽ
2.8.2
Chiếu lên Ox: E ms21 = ma1
Chiếu lên Oy: N1 P1 = 0

a1 =

Fms21
m

a1 K1g (*) Khi m bắt đầu trợt a1 = k1g
u
r uu
r uu
r uur u
r
uuu
r
uu
r
* Xét vật M: F + P2 + P1 + N2 + F ms12 + Fms = Ma2
(2)
F cos Fms12 Fms
Chiếu lên Ox: F cos - Fms12 - Fms = Ma2 a2 =
M
Oy: F sin - (P1 + P2) + N2 = 0 N2 = P1 + P2 - Fsin.
Fcos K 1mg K 2 (P1 + P2 Fsin)
Mà Fms = K2N2 a2 =
(**)

M
Fcos K 1mg K 2 (P1 + P2 Fsin)
Ta có a1 a2 K1g
M
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

10


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
(m+ M)(K 1 + K 2)g (m+ M)(K 1 + K 2)g
F
=
cos + K 2 sin
y
Fmin khi yMax. Theo Bất đẳng thức
Y (a12 + a22)(b12 + b22) = 1+ K 22 yMax =
(m+ M)(K 1 + K 2)g
Vậy Fmin =
lúc đó
1+ K 22

Bunhia côpxki
1+ K 22
cos 1
=
tg = K 2
sin K 2

Ví dụ 9: Ngời ta quấn một sợi chỉ không giản vào một khối

trụ. Kéo trụ bằng một lực F. Tìm lực cực tiểu Fmin để trụ lăn không
trợt tại chỗ.
Xác định góc lúc đó, biết hệ số ma sát là K.
HDG:

r
Khi trụ lăn tại chỗ không trợt thì khối
F
tâm G của trụ đứng yên.

(Lúc

đó

vật

chỉ

quay,

không

G

y

r
N

x

chuyển động tịnh tiến).
u
r ur u
r uuu
r
+ Ta có F + N + P + Fms = 0

r
P

Fms

Hình vẽ 2.9
F cos + Fms = 0
Chiếu lên trục x, y:
+ Fsin N + P = 0

F = Fcos
=> ms
N = P Fsin

(1)
(2)

Mà Fms = K. N K (P - Fsin) = F cos
KP
F=

Đặt y = cos + K sin
cos + K sin
F cực tiểu khi y = yMax . Theo BĐT Bunhia côpxki
y 1+ K 2 yMax = 1+ K 2
KP
. Lúc đó 1 = cos hay tg = K
Vậy FMin =
2
1+ K
K sin
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

11


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
3. áp dụng tính chất tam thức bậc 2.
Ví dụ 10: Một con bọ dừa đậu ở đầu B của một thanh cứng
mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tờng
thẳng đứng (Hình vẽ)
- Vào thời điểm mà đầu B của thanh A
bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn
ngang với vận tốc không đổi v thì con bọ bắt
đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi

Con bọ dừa

B

u đối với thanh. Trong quá trình bò trên thanh,

con bọ đạt đợc độ cao cực đại là bao nhiêu
đối với sàn. Cho đầu A của thanh luôn tỳ lên tờng thẳng đứng.
HDG:
Xét (0 < t <

L
L
) và (t< )
u
v

Khi B di chuyển 1 đoạn S = v.t
Thì con bọ đi đợc l = u.t

r
u


h

2
2 2
Độ cao mà nó đạt: h = l. Sin = u.t L v t .
r
L
v
U 22 24 U
L t v t =
y
H=

hMax khi y = yMax
L
L
+ L4
L2
2 2
2
2
y = -v X + L X (với X = t > 0).
yMax =
tại X = 2
4v2
2v
(y là tam thức bậc 2 có a = -v2 < 0 yMax tại đỉnh Parabol).
U
UL
yMax =
Vậy độ cao cực đại con bọ dừa đạt đợc là: hMax =
L
2v

Ví dụ 11: Một ngời đứng tại điểm A trên bờ hồ. Ngời này
muốn đến B trên mặt hồ nhanh nhất. Cho các khoảng cách trên
hình vẽ, biết rằng ngời này chạy trên bờ thì vận tốc là v 1, khi bơi
có vận tốc v2 (v2< v1). Hãy xác định phơng án chuyển động của
ngời đó.
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

12

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
HDG:
Giả sử ngời đó chọn phơng án chạy trên bờ 1 đoạn AD, sau đó
bơi từ D B.
d2 + x2
S x
Thời gian ngời đó từ A B: t =
+
v1
v2
v1 d2 + x2 v2x S
t =
+
v1v2
v1
2
2
Đặt P = v1 d + x v2x (1); t =

P
+ S;
v1v2

Tmin khi Pmin.

Từ (1) P + v2x = v1 d2 + x2 (v12 v22)x2 2pv2 .x + v12d2 p2 = 0
để có nghiệm (với 0 x < S) thì ' 0

B

p2v22 + v12v22d2 v14d2 v22p2 + v12p2 0

d

v (v d v d + p ) 0 p (v v )d
2
1

2 2
2

2 2
1

2

2

2
1

2
2

2

v2d

Vậy Pmin = d v12 v22 . Khi đó x =

v v
2
1

2
2

S

A



H



D

x

Hình vẽ 2.11
+ Nếu x S thì bài toán vô nghiệm tức là không tồn tại C
chọn phơng án bơi thẳng A B.
+ Nếu x < S thì ngời đó phải đi một đoạn AD = S -

v2d
v12 v22

rồi bơi từ D đến B.
Ví dụ 12: Một ngời đứng ở độ cao h so với mặt đất ném
một hòn đá theo phơng hợp với phơng ngang một góc . Tìm để
tầm xa trên mặt đất là lớn nhất.
HDG:
+ Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ. Gốc ở mặt đất.
+ Chuyển động của vật chia làm 2 thành phần
theo Ox: x = v0t. cos
theo Oy: y = h0 + v0t . sin -

y

(1)
2

gt
2

(2)

* Khi chạm đất thì x = LMax lúc đó t =

h



L Max
0
v0 cos

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

uur
V0
x

13


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
gL
=0
Thay t vào (2) ta đợc y = h0 + L.tg 2v20 cos2
mà

1
=1+ tg2 .
2
cos
gL2

gL2 2
2 .tg L.tg + 2 h0 ữ= 0 (*); Phơng trình phải có nghiệm
2v0
2v0


với tg.

4gL2 gL2

g2L2 2gh0
h0 ữ 0 1 4 + 2 0
= L
2v20 2v20
v0
v0

v
v
L 0 v20 + 2gh. L Max = 0 v20 + 2gh Phơng trình (*) có nghiệm
g
g
2

kép.
Vậy trong =

v0
v20 + 2gh

thì tầm xa cực đại.

Ví dụ 13: Truyền cho quả cầu nhỏ m mang điện tích q 0 > 0
một vận tốc ban đầu v0 hớng thẳng đứng lên trên. Quả cầu nằm
trong điện trờng đều nằm ngang có cờng độ E. Bỏ qua sức cản
không khí. Cho g = const.
Hãy viết phơng trình qũy đạo và xác định vận tốc cực tiểu
của nó trong quá trình chuyển động.
HDG:
Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ. Gốc

tại vị trí ban đầu của vật.
u
r uuu
r
P = mg
r ur
Vật bị 2 lực tác dụng uu
Fd = qE
axt2 qE 2
+ Theo Ox:
x=
=
t
2 2m
gt2
+ Theo Oy:
y = v0t 2
* Phơng trình quỹ đạo: y = v0

(1)

r
E

y

(2)
2m mg

.x

qE qE

uur
V0

0

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

r
g
x

14


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
2

mg 2 2 2m

x +y +
(g.y v0)2 x = 0
ữ
qE
qE
ur uuu
r uur Vx = axt = 0
+ Vận tốc V = Vx + Vy
Hình vẽ 2.13

Vy = V0 gt
2
qE 2 2 2
qE 2
2
2 2
2
V = ữ .t + V0 + g t 2V0gt = ữ + g t 2V0 g.t + V02
m
m


Thấy V2 là tam thức bậc 2 ẩn t có hệ số a > 0
V2 đạt giá trị cực tiểu tại đỉnh Parabol.
2

V0qE
' m ữ
2

Vmin =
=
.
2
a qE
2
m ữ +g

Vậy vận tốc cực tiểu của vật trong quá trình chuyển động là:
V0qE
Vmin =
q2E2 + m2g2
Ví dụ 14: Cho mạch điện nh hình
vẽ R

A



C B

L
UAB = 200 2 sin 100nt (v)
104
R = 100 ; C =
(F) ; cuộn dây thuần cảm và có thể thay


đổi đợc độ tự cảm. Hãy xác định L để hiệu điện thế U L đạt cực
đại. Tính giá trị cực đại đó.
HDG:
Cảm kháng Z = L ; dung kháng ZC =

1
=100 .
C

Tổng trở: Z = R2 + (ZL ZC )2

U.ZL
U
U
U L + I.ZL =
=
=
;
Z
1
1
y
(R2 + ZC2 ). 2 2ZC . +1
Z2
ZL
U L (Max) khi ymin

y là tam thức bậc 2 có a = R2 + Z2C > 0 nên ymin tại đỉnh
Parabol.
1
Z
R2 + ZC2 2
U R2 + Z2C
= 2 C 2 L =
= (H) thì U
= 200 2(V)
LMax =
ZL R + ZC
ZC

R

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

15


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
* Mở rộng.
Nếu L = const, tụ C có điện dung thay đổi. Tìm C để U C
đạt giá trị cực đại ta làm tơng tự trên và kết quả là:

UCMax

U R2 + Z2L
R2 + Z2L
=
khi ZC =
R
ZL

4. áp dụng giá trị cực đại của Hàm số sin và Hàm số cos
Ví dụ 15: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hớng về điểm
0 với cùng vận tốc. Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc = 600. Hãy
tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình chuyển
động.
HDG:
Xét tại thời điểm t vật A ở A'; vật B ở B'.
Khoảng cách d = A'B'.
d AO Vt BO Vt BO AO
=
=

=
Có
sin
sin
sin
sin sin
d
10
=
0
sin 2cos+ .sin . Với + = 120
2
2
3.5

. dmin khisin
ữ= 1
d =

2


sin
2
dmin = 5 3(km) = 8,7(km)

A


A'

0








B'
B

Hình vẽ 2.15

Ví dụ 16: Từ độ cao h so với mặt đất. Tại A, B cách nhau một
khoảng l ngời ta ném đồng thời hai vật (vật ở A ném đứng lên trên
với vận tốc v1; vật ở B ném ngang với vận tốc v2 hớng về phía A).
Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật đó.
x

uu
r
V1
Gọi vật 1 là vật ở A; vật 2 là vật ở B; vật 3 là mặt đất.

HDG:

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý
A

uur
V2

d
B

16


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
uur r uur r
Có a13 = g; a23 = g
uur uur uur uur
a13 = a12 + a23 a23 = 0
Do đó hai vật chuyển động thẳng đều so với nhau.
+ Chọn vật ở B làm mốc thì vật ở A sẽ chuyển động
uuu
r
theo đờng Ax (theo hớng V12 ).
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uu
r

uur
Vì V13 = V12 + V23 V12 = V13 V23 = V1 + (V2)
d
l
l.v1
=
d=
.
dmin khi sin = 1
sin sin
v12 + v22 .sin
Vậy dmin =

l v1
v12 + v22

l

(điều kiện t =

v12 + v22



Ví dụ 17: Cho mạch điện nh hình vẽ
0,9
(H)
UMN = const ; L =

C thay đổi. Ra = 0 ; Rv rất lớn

2h
).
g

V1

A

L, r

Tần số dòng điện f = 50 HZ; r = 90.

Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C để

M

V2

hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau

C
1 góc
thì UC đạt giá trị cực đại.
2

M
a

HDG:

+ Mạch điện vẽ lại nh hình 2.17
Vôn kế v1 chỉ UMA ; Vôn kế v2 chỉ UMN

+ Ta có: ZL = L = 90;

uur
L,L r A
U

M

+ Giản đề véc tơ.
Z

tg1 = L =11 =
r
4
+

0

1


U MN
UC
=
sin sin(1 + )

Sáng kiến kinh nghiệm mônuuu

vật
r lý
UC

ur
U MN
a



N

Hình
uur 2.17
Ur

r
I

ur
U MN

17


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
sin


U C = U MN .

mà = 1 = .
sin(1 + )
2
4
U MN
UC =
2.sin(1 + )
Ta thấy UC cực đại khi sin (1 + ) = 1

1 + =
2

Theo bài ra thì (1 + ) =
UC đạt cực đại.
2
5. Dùng phơng pháp đạo hàm
Ví dụ 18: Cho mạch điện nh hình vẽ
UAB = 200 2 sin 100nt (v)
1
.104(F) .
R = 100 ; C =
2

A



R
L

C B

Hình vẽ 2.18

Cuộn dây thuần cảm và có L thay đổi.
Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
HDG:
+ Dung kháng:
+ Tổng trở:
U
I=
; U AM = I.ZAM =
Z
+

1
= 200
C
Z = R2 + (ZL ZC )2 ; ZAM = R 2 + Z2L
U

ZC =

Z2C 2ZC ZL
1+
R2 + Z2L

Z2C 2ZC ZL

Đặt y = 1 +
R2 + Z2L

UAM cực đại khi y = ymin.
2ZC (Z2L ZC ZL R 2)
* y' =
(R2 + Z2L )2

ZC + ZC2 + 4R2 = 241()
ZL =
2
2
2
+ y' = 0 ZL ZC ZL R = 0

2
2
Z = ZC ZC + R < 0 (loại)
C
2

Bảng biến thiên
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

18


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
ZL

0

y'
241



241
-

y

0

+

Vậy khi ZL =

ymin

tức

là

L

=

0,767(H) thì UAM cực đại.
U( 4R2 + ZC2 + ZC )

UAM(Max) =
= 482(V)
2R
Ví dụ 19: Cho mạch điện
UAB = U 2sint

A



R

C


L

M



B

R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi.
Tụ C có điện dung thay đổi, tìm C để U AM cực đại. Tính giá
trị cực đại đó.
HDG:
U

UAM = I . ZAM =

1+

Z 2ZL ZC
R2 + ZC2
2
L

Z2C 2ZL ZC
đặt y = 1+
.
R2 + ZC2

UAM cực đại khi y = ymin.
Tơng tự nh ví dụ 16. Ta tìm đợc khi ZC =

ZL + Z2L + 4R2
2

thì y = ymin và UAM cực đại.
U(ZL + Z2L + 4R2 )
2
Khi C =
UAM(Max) =
2R
(ZL + Z2L + 4R2 )
* Mở rộng: Có thể dùng PP đạo hàm để tìm U L, UC đạt giá trị
cực đại khi f thay đổi.
Ví dụ 20: Vật phẳng AB vuông góc với trục chính của một
thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 20cm. Phía sau thấu kính đặt một

màn để hứng ảnh của vật, cách thấu kính một khoảng l = 60cm.
a) Xác định vị trí đặt vật để ta thu đợc ảnh rõ nét trên
màn.
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

19


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
b) Giữ vật và màn cố định. Chứng tỏ rằng nếu di chuyển
thấu kính ta thu đợc hai vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét trên
màn. Tìm khoảng cách giữa 2 vị trí đó?
c) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa vật và ảnh trong khi di
chuyển thấu kính từ vị trí này đến vị trí còn lại mà ta thu đợc
ảnh rõ nét trên màn.
HDG:
TK
d' A 'B'
a) Sơ đồ tạo ảnh ABd

Theo bài ra d' = l = 60cm ;

d =

d'f
= 30cm
d' f

b) Vì vật và màn cố định tức là d + d' = 90cm d +
d2 - 90d + 1800 = 0

df
= 90
d f

d1 = 30cm; d2 = 60cm

Vậy có 2 vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét trên màn.
Khoảng cách giữa 2 vị trí đó là: d = d2 - d1 = 30cm
c) Khi di chuyển thấu kính từ vị trí 1 (d 1= 30cm) sang vị trí
2

(d2 = 60cm)
d2
.
Khoảng cách vật - ảnh: L = d + d' =
d 20
d(d 40)
d304060L'-0+
L '=
. L '= 0khi d= 40cm
(d 20)2

Vậy khoảng cách ngắn nhất cần tìm là Lmin

402
= 80(cm)
=
40 20

Ví dụ 21: Một Mol khí lý tởng thực hiện biến đổi theo quy
luật.
a) P = P0 - V2 Tìm nhiệt độ cực đại TMax của khí
b) T = T0 + V2

Tìm áp suất cực tiểu Pmin của khí, biết P0,

, T0 là hằng số.
HDG:
a) Ta có PV = RT T =

PV P0

= V V 3.
R R
R

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

20


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
Đạo hàm T theo V.
P 3
T' = 0 V 2 T'= 0
R R


b) Ta có:

khi V =

P0
= V0
3

2 P P0
Vậy nhiệt độ cực đại TMax = . 0
3 R 3

PV = RT P =

Đạo hàm P.
RT
P' = R - 20 P'= 0
V
V
P'
P

RT RT0
=
+ RV
V
V

khi V = V0 =

-

V0
0
Pmi

T0


+

n

Vậy áp suất cực tiểu PMin =2R .T0

C. Kết luận
Bằng thực tế giảng dạy cho đội tuyển học sinh giỏi, học sinh
khối 12 ôn thi đại học. Chúng tôi thấy các cách giải bài tập Vật lý
"Tìm giá trị cực đại, cực tiểu của đại lợng Vật lý" đợc nêu ở trên đã
phát huy đợc u điểm, đã củng cố đợc cách làm bài tập Vật lý cho
học sinh và một số giáo viên của trờng nâng cao đợc năng lực
chuyên môn của mình.
Với kiến thức cá nhân còn hạn chế, đề tài thì quá rộng nên bài
viết còn có những sai sót nhất định. Tha thiết kính mong quý
đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân tình để đề tài đợc hoàn
thiện có tác dụng hữu hiệu hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

21

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
Yên thành, ngày 10 tháng 04 năm 2008

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

22