TNNCSO PHUC

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Số Phức Nâng Cao

Trang 0


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
- Một biểu thức dạng a  bi với a, b  R, i 2  1 được gọi là một số phức.
- Đối với số phức z  a  bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
- Tập hợp số phức kí hiệu là 
2. Hai số phức bằng nhau
- Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a  c
- Công thức: a  bi  c  di  
b  d
Biểu diễn hình học của số phức.
- Điểm M  a; b  trong hệ tọa độ vuông góc Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức z  a  bi.
Môđun của số phức.
- Cho số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M  a; b  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Độ dài của

véctơ OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là z .

- Công thức z  OM  a  bi  a 2  b 2 .

3. Số phức liên hợp
- Cho số phức z  a  bi, số phức dạng z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của z.
Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia.
- Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i.
- Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i.
- Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1.z2   a  bi  .  c  di    ac  bd    ad  bc  i.
- Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, (với z2  0 ) tacó:
z1 a  bi  a  bi  c  di   ac  bd   bc  ad 


 2
 2
i.
z2 c  di  c  di  c  di 
c d2
c d2
Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 với a, b, c  R và a  0. Phương trình này có biệt thức

  b 2  4ac, nếu:
-   0 phương trình có nghiệm thực x  

b
.
2a

-   0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 

b  
.

2a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
-   0 phương trình có hai nghiệm phức x1,2 

Số Phức Nâng Cao

b  i 
.
2a

4. Acgumen của số phức z  0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi
góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgumen của z.
CHÚ Ý
Nếu  là một acgumen của z (hình dưới) thì gọi acgumen của z có dạng   k 2 , k  Z . (người ta
thường nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k 2 , k  Z ).
5. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức z  a  bi  0  a, b    . Kí hiệu r là mô đun của z và  của một acgumen của z
(hình dưới) thì dễ thấy rằng: a  r cos  , b  r sin  .
Vậy z  a  bi  0 có thể viết dưới dạng z  r  cos +i sin   .
ĐỊNH NGHĨA
Dạng z  r  cos +i sin   , trong đó r  0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0.
Dạng z  a  bi  0  a, b    , được gọi là dạng đại số của số phức z.

Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác z  r  cos +i sin   của số phức z  a  bi  0  a, b    khác 0
cho trước ta cần:
1. Tìm r : đó là mô đun của z , r  a 2  b 2 ; số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu
diễn số z trong mặt phẳng phức.
2. Tìm  : đó là một acgumen của z;  là số thực sao cho cos =

a
b
và sin   ; số  đó cũng là
r
r

số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM .
CHÚ Ý
1. Z  1 khi và chỉ khi Z  cos +i sin  ;     .
2. Khi z  0 thì z  r  0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số
thực tùy ý và vẫn viết 0  0  cos +i sin   .
3. Cần để ý đòi hỏi r  0 trong dạng lượng giác r  cos +i sin   của số phức z  0.
6. Nhân và chia số phức lượng giác
Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân
và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và
chia số phức.
ĐỊNH LÝ
Nếu z  r  cos +i sin   ; z '  r '  cos ' +i sin  '  r  0, r '  0 
Thì zz '  rr '  cos    ' +i sin    '   ;

z r
 cos    '  +i sin    '   ;  khi r  0 
z' r' 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng
acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen.
Chứng minh
zz '   r  cos +i sin     r '  cos '+i sin  '  lim
x 

 rr '  cos .cos ' sin  .sin  ' i  sin  .cos '+cos .sin '  
 rr '  cos    ' +i sin    '   .
1 1
  cos     i sin     . Theo công thức nhân số phức,
z r
z
1 r
Ta có:
 z.   cos    '  +i sin    '   .
z'
z' r'

Mặt khác, ta có

7. Công thức Moa-vrơ (Moivre)

Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với
mọi số nguyên dương n.
n

 r  cos +i sin     r n  cosn +i sin n 
Và khi r  1, ta có

 cos +i sin  

n

 cosn +i sin n

Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ.
8. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z  r  cos +i sin   , r  0 có căn bậc hai là











r  cos +i sin  và  r  cos +i sin   r  cos( + )+i sin(   )  .
2
2

2
2
2
2





File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn
A. 13

Câu 2:



5 z i

z 1

  2  i 1 . Tính mô đun của số phức   1  z  z .

B. 15

2

C. 17

Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn

D. 19

z1
  và z1  z2  2 3. Tính
z22

môđun của số phức z1.
B. z1  3.

A. z1  5.

C. z1  2.

D. z1 

5
.
2

m

Câu 3:

 2  6i 
Cho số phức z  
 , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m  1;50 để z là số
 3i 
thuần ảo?

A. 24.
Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Nếu z  1 thì

B. 26.

A. lấy mọi giá trị phức.

B. là số thuần ảo.

C. bằng 0.

D. lấy mọi giá trị thực.

Nếu z  a;  a  0  thì

B. là số thuần ảo.

C. bằng 0.

D. lấy mọi giá trị thực.

Có bao nhiêu số phức z thỏa

z 1
z i
 1 và
 1?
iz
2 z

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z 2  1; z1  z 2  3. Tính z1  z2
B. 2

C. 3

D. 4

C. i

D. i

C. 2017  1009i.

D. 1008  1009i.

2
3
2008
Tính z  i  i  i  ...  i
có kết quả:

A. 0
Câu 9:

z2 a
z

A. lấy mọi giá trị phức.

A. 1
Câu 8:

D. 50.

z 2 1
z

A. 1.
Câu 7:

C. 25.

B. 1

2
3
2017
Tính S  1009  i  2i  3i  ...  2017i .

A. S  2017  1009i.

B. 1009  2017i.

Câu 10: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức

1 1
1
 
.
z w zw

Môđun của số phức w bằng:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 1

B. 2

Câu 11: Cho số phức z thoả mãn: z 
A. 21008

Số Phức Nâng Cao

C. 2016

D. 2017

z
6  7i
. Tìm phần thực của số phức z 2017 .

1  3i
5

B. 21008

C. 2504

D. 22017

Câu 12: Cho các số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn: z1  z2 . Chọn phương án đúng:
A.

z1  z2
 0.
z1  z2

B.

z1  z2
là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 .
z1  z2

C.

z1  z2
là số thực.
z1  z2

D.

z1  z2
là số thuần ảo.
z1  z2

Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn
A.

2984

B.

u  v  10

và

2884

3u  4v  2016

C.

. Tính

M  4u  3v

2894

D.

.

24

Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn z  2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. 20

B.

20

C.

7

D. 7

Câu 14: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào sau
đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.
C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.
D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Câu 15: Cho số phức z 

m 1
 m    . Số các giá trị nguyên của m để z  i  1 là
1  m  2i  1
B. 1

A. 0

C. 4

D. Vô số

Câu 16: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn

1 1
1
 
. Mô đun

z w zw

của số phức z là:
A. 2015

B. 1

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 
A. A  1 .

B. A  1 .

C. 2017

D. 0

2z  i
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2  iz

C. A  1 .

D. A  1 .

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

3 1
3 1
 z 

.
6
6

B.

5  1  z  5  1.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.

6  1  z  6  1.

D.

Số Phức Nâng Cao

2 1
2 1
 z 
.
3
3

Câu 19: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1. Khẳng định

nào dưới đây là sai ?
A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

B. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 .

C. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 .

D. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

Câu 20: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

Câu 21: Tìm số phức z có z  1 và z  i max :
B. 1

A. 1

D. i

C. i

Câu 22: Tìm phần thực của số phức z  1  i  , n   thỏa mãn phương trình:
n

log 4  n  3  log 4  n  9   3
A. 5

B. 6

C. 7

Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z2 thỏa mãn điều kiện

D. 8

z1  z2
là số ảo. Khẳng định nào sau
z1  z2

đây đúng?
A. z1  1; z2  1

B. z1  z2

C. z1  z2

D. z1   z2

Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được
biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 .
A. 3  i .

B. 1  3i .

C. 2  3i .

D. 2  3i .

Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z  1. Tìm số phức z để 1  z  3 1  z đạt giá trị lớn nhất.
4 3
4 3
A. z    i, z    i.
5 5
5 5

C. z 

4 3
4 3
 i, z   i.
5 5
5 5

3
3
B. z   i, z  i.
5
5
3
4 3
D. z   i, z    i.
5
5 5

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn
A. 13



5 z i
z 1

  2  i 1 . Tính mô đun của số phức   1  z  z .

B. 15

2

C. 17

D. 19

Hướng dẫn giải:
Giả sử z  a  bi
5  a  bi  i 
 2  i  5a  5i  b  1  2a  2bi  2  ai  bi 2  i
a  bi  1
3a  2  b  0 a  1
 3a  2  b  i  5b  5  2b  a  1  0  

 z  1 i
3b  a  4  0 b  1

1 

  1  1  i  1  2i  1  2  3i    4  9  13
Chọn A.
Câu 2:

Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn

z1
  và z1  z2  2 3. Tính
z22

môđun của số phức z1.
A. z1  5.

B. z1  3.

D. z1 

C. z1  2.

5
.
2

Hướng dẫn giải:
Gọi z1  a  bi  z2  a  bi;  a  ; b    . Không mất tính tổng quát ta gọi b  0.
Do z1  z2  2 3  2bi  2 3  b  3.
Do z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1.z2   , mà

z1
z13

   z13  .
2
2
z2  z1 z2 

b  0
3
Ta có: z13   a  bi    a 3  3ab 2    3a 2b  b3  i    3a 2b  b3  0   2
 a 2  1.
2
3a  b

Vậy z1  a 2  b 2  2.
Chọn C.
m

Câu 3:

 2  6i 
Cho số phức z  
 , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m  1;50 để z là số
 3i 
thuần ảo?

A. 24.

B. 26.

C. 25.

D. 50.

Hướng dẫn giải:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

m

 2  6i 
m
m m
Ta có: z  
  (2i)  2 .i
 3i 
z là số thuần ảo khi và chỉ khi m  2k  1, k   (do z  0; m  * ).
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Chọn C.

Câu 4:

z 2 1
Nếu z  1 thì
z
A. lấy mọi giá trị phức.

B. là số thuần ảo.

C. bằng 0.

D. lấy mọi giá trị thực.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

z 2 1
1
z
z

 z  z
 z  2  z  z là số thuần ảo.
z
z
z .z
z

Chọn B.
Câu 5:

z2 a
Nếu z  a;  a  0  thì
z
A. lấy mọi giá trị phức.

B. là số thuần ảo.

C. bằng 0.

D. lấy mọi giá trị thực.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

z 2  a2
a
a2 z
a2 z
z z
 z  2  z  z là số thuần ảo.

z
z
z .z
z

Chọn B.
Câu 6:

Có bao nhiêu số phức z thỏa
A. 1.

B. 2.

z 1
zi
 1 và
 1?
iz
2 z
C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải:
 z 1
3

x
 i  z 1



z

1

i

z
x   y



2  z   3  3 i.
Ta có: 



2 2
 4 x  2 y  3  y  3
 z  i  1  z  i  2  z
 2  z

2
Chọn A.
Câu 7:

Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z2  1; z1  z2  3. Tính z1  z2
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi
z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

2
2
2
2
 z1  z2  1
a1  b1  a2  b2  1


2
2
z

z


3
 1 2
 a1  a2    b1  b2   3
2

2

2

Và viết cái cần tính ra z1  z 2   a1  a2    b1  b2  . Hãy quan sát cái cần tính và thấy
rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết.
Hướng dẫn giải:
Ta có: z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2   
2
2
2
2
 z1  z2  1
2
2
a1  b1  a2  b2  1

 2  a1b1  a2b2   1   a1  a2    b1  b2   1

2
2
 z1  z2  3  a1  a2    b1  b2   3
2

2

2

Vậy: z1  z2   a1  a2    b1  b2   1.
Chọn A.
Câu 8:

Tính z  i  i 2  i 3  ...  i 2008 có kết quả:
B. 1

A. 0

C. i

D. i

Hướng dẫn giải:
Ta có iz  i 2  i 3  ...  i 2008  i 2009 và z  i  i 2  i 3  ...  i 2008 .
Suy ra z  i  1  i 2009  i  i  i 2008  1  0  z  0
Chọn A.
Câu 9:

Tính S  1009  i  2i 2  3i 3  ...  2017i 2017 .
A. S  2017  1009i.

B. 1009  2017i.

C. 2017  1009i.

D. 1008  1009i.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  ...  2017i 2017

 1009   4i 4  8i8  ...  2016i 2016    i  5i 5  9i 9  ...  2017i 2017  
  2i 2  6i 6  10i10  ...  2014i 2014    3i 3  7i 7  11i11  ...  2015i 2015 
504

505

504

504

 1009    4n   i   4n  3    4n  2   i   4n  1
n 1

n 1

n 1

n 1

 1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i.
Cách khác:
Đặt
f  x   1  x  x 2  x3  ....  x 2017

f   x   1  2 x  3 x 2  ...  2017 x 2016
xf   x   x  2 x 2  3 x 3  ...  2017 x 2017 1
Mặt khác:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

x 2018  1
x 1
2017
2018
2018 x  x  1   x  1

f  x   1  x  x 2  x 3  ....  x 2017 
f  x 

2

 x  1
2018 x 2017  x  1   x 2018  1
 xf   x   x.
 2
2
 x  1

Thay x  i vào 1 và  2  ta được:
2018i 2017  i  1   i 2018  1
2018  2018i  2
S  1009  i.
 1009  i
 2017  1009i
2
2i
 i  1
Câu 10: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức

1 1
1
 
.
z w zw

Môđun của số phức w bằng:
A. 1

B. 2

C. 2016

D. 2017

Hướng dẫn giải:
2

 z  w  zw  0

1 1
1
zw
1
Từ  


0
z w zw
zw
zw
zw  z  w 
1
3
 z 2  w2  zw  0  z 2  zw  w2  w2  0
4
4
2
2
1 
3 2
1   i 3w 


  z  w    w   z  w   

2 
4
2   2 




2

2

2
 1 i 3
w   i 3w 
z

Từ  z    
  z    
 w  w=
2  2 
2 
 1 i 3

 2
 

2 
 2

Suy ra: w 

2017
 2017
1 3


4 4

Chọn D.
Câu 11: Cho số phức z thoả mãn: z 
A. 21008

z
6  7i
. Tìm phần thực của số phức z 2017 .

1  3i
5

B. 21008

C. 2504

D. 22017

Hướng dẫn giải:
Cho số phức z thoả mãn: z 

z
6  7i
. Tìm phần thực của số phức z 2013 .

1  3i
5

Gọi số phức z  a  bi (a, b  )  z  a  bi thay vào (1) ta có a  bi 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
a  bi 6  7i

1  3i
5

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

(a  bi )(1  3i ) 6  7i

 10a  10bi  a  3b  i (b  3a)  12  14i
10
5
 9a  3b  i (11b  3a)  12  14i
a  bi 

9a  3b  12
a  1


11b  3a  14
b  1

a  b  1  z  1  i  z 2017   (1+i) 4 

504

504

1  i    4 1  i   21008  21008 i

Chọn B.
Câu 12: Cho các số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn: z1  z2 . Chọn phương án đúng:
A.

z1  z2
 0.
z1  z2

B.

z1  z2
là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 .
z1  z2

C.

z1  z2
là số thực.
z1  z2

D.

z1  z2
là số thuần ảo.
z1  z2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Phương pháp tự luận:
Vì z1  z2 và z1  z2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w 

z1  z2
và z1  z2  a , ta
z1  z2

có
a2 a2

 z1  z2  z1  z 2 z1 z2 z1  z2
w
 2

 w

2
a
a
z

z
z


z
z

z
 1 2 1 2
2
1

z1 z2

Từ đó suy ra w là số thuần ảo.
Chọn D.
Phương pháp trắc nghiệm:
Số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn z1  z2 nên chọn z1  1; z2  i , suy ra

z1  z2 1  i

i
z1  z2 1  i

là số thuần ảo.
Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn
A.

2984

B.

u  v  10

3u  4v  2016

và

2884

. Tính

M  4u  3v

2894

C.

D.

.

24

Hướng dẫn giải:
2

Ta có z  z. z . Đặt N  3u  4v .





2

2





Khi đó N 2   3u  4v  3u  4v  9 u  16 v  12 uv  vu .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2



2

Số Phức Nâng Cao



Tương tự ta có M 2  16 u  9 v  12 uv  vu .



2

Do đó M 2  N 2  25 u  v

2

  5000 .

Suy ra M 2  5000  N 2  5000  2016  2984  M  2984 .
Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn z  2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. 20

B.

20

C.

7

D. 7

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đặt w  x  yi,  x, y   
w  3  2i   2  i  z  x  yi  3  2i   2  i  z
z

x  3   y  2 i
2i

2

2

2x  y  8 x  2 y 1
 2x  y  8   x  2 y 1 


i 
 
 2
5
5
5
5

 

2

2

 x 2  y 2  6 x  4 y  7  0   x  3   y  2   20

Bán kính của đường tròn là r  20
Câu 14: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào sau
đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.

C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.
D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có: z1  z2  z3  1  1  z1  z2  z3 .
Nếu 1  z1  0 thì z2  z3  0  z2   z3 .
Nếu 1  z1  0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z1  z2  z3 không trùng với góc tọa độ O.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.
  
Khi đó ta có OA  OM  OP (do P là điểm biểu diễn của số 1  z1  ) nên OAPM là hình
bình hành. Mà z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 đều nằm trên
đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA  OM  1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là
giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị.
Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2  z3 , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số
z2 , z3 thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

Vậy M '  M , A '  A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2  1, z3   z1 hoặc z3  1, z2   z1 .
Do đó A, B là mệnh đề đúng.
C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3.

2
2
2

2

i, z3  

i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng
2
2
2
2

D sai vì với z1  1, z2 

z1 z2 z3  1 .
Chọn D.
Câu 15: Cho số phức z 

m 1
 m    . Số các giá trị nguyên của m để z  i  1 là
1  m  2i  1
B. 1

A. 0

C. 4

D. Vô số

Hướng dẫn giải:
Ta có z  i 

 z i 

m  1  i 1  2mi  m  3m  1   m  1 i
m 1
i 

1  m  2i  1
1  m  2i  1
1  m  2mi

3m  1   m  1 i
1  m  2mi



3m  1   m  1 i
1  m  2mi
2

1
2

2

 3m  1   m  1 i  1  m  2mi   3m  1   m  1  1  m   4m 2
 5m 2  6m  1  0  1  m  

1
5

Vì m    Không có giá trị của m thỏa mãn.
Câu 16: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn

1 1
1
 
. Mô đun
z w zw

của số phức z là:
B. 1

A. 2015

C. 2017

D. 0

Hướng dẫn giải:
Từ

1 1
1
 
ta suy ra z 2  w 2  zw  0
z w zw
2

2
 1 i 3

w   i 3w 

  z    
  z    
 w
2  2 
2
2




Lấy mô đun hai vế ta có z  w  2017.
Chọn C.
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 
A. A  1 .

B. A  1 .

2z  i
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2  iz

C. A  1 .

D. A  1 .

Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

Chọn A.
Đặt Có a  a  bi,  a, b     a 2  b 2  1 (do z  1 )

2a   2b  1 i
4a 2   2b  1
2z  i
A


2
2  iz
2  b  ai
 2  b  a2
Ta chứng minh

Thật vậy ta có

4a 2   2b  1

2  b

2

2  b

2

2

 1.

 a2

4a 2   2b  1
a

2

2
2

2

 1  4a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1

2

Dấu “=” xảy ra khi a 2  b 2  1 .
Vậy A  1 .
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

3 1

3 1
 z 
. B.
6
6

5  1  z  5  1.

C.

6  1  z  6  1. D.

2 1
2 1
 z 
.
3
3

Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được
2

2

2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1.
2

2

2 z  z  z 2  4   z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1.

Vậy, z nhỏ nhất là

5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là

5  1, khi z  i  i 5.

Chọn B.
Câu 19: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1. Khẳng định
nào dưới đây là sai ?
A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

B. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 .

C. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 .

D. z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cách 1: Ta có: z1  z2  z3  0  z2  z3   z1

 z1  z2  z3 

3

 z13  z23  z33  3  z1 z2  z1 z3  z1  z2  z3   3z 2 z3  z2  z3 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

 z13  z23  z33  3z1 z2 z3  z13  z23  z33  3z1 z2 z3 .
 z13  z23  z33  3z1 z 2 z3  3 z1 z 2 z3  3
3

3

3

Mặt khác z1  z2  z3  1 nên z1  z2  z3  3 . Vậy phương án D sai.
Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
Câu 20: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức.

2

2

2

2

Ta có z1  z2  z3  z1  z2  z3  2 Re  z1 z 2  z2 z3  z3 z1   3  2 Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1 
(1).
2

2

2

2

z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2 Re  z1 z2 z2 z3  z2 z3 z3 z1  z3 z1 z1 z2 
2

2

2

2

2



2

2

2

2

 z1 . z2  z2 . z3  z3 . z1  2 Re z1 z2 z3  z2 z3 z1  z3 z1 z2



 3  2 Re  z1 z3  z2 z1  z3 z2   3  2 Re  z1 z2  z3 z3  z3 z1  (2).
Từ 1 và  2  suy ra z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C.
Chọn z1  z2  z3  A đúng và D sai
Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
Câu 21: Tìm số phức z có
A. 1

z 1

và

z  i max :

B. 1

D. i

C. i

Hướng dẫn giải:
Đặt z  a  bi thì z  a 2  b 2 ; z  i  a 2   b  1
Khi

2

đó

ta

có:

2

z  1  a 2  b 2  1  b  1; z  i  a 2   b  1  a 2  b 2  2b  1  2b  2  2

Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a  0; b  1; z  i.
Chọn C.
Câu 22: Tìm phần thực của số phức z  1  i  , n   thỏa mãn phương trình:
n

log 4  n  3  log 4  n  9   3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 5

B. 6

Số Phức Nâng Cao

C. 7

D. 8

Hướng dẫn giải:
Điều kiện n  3, n  
Phương trình: log 4  n  3  log 4  n  9   3  log 4  n  3 n  9   3  n  7 (so đk)
3

7
2
3
z  1  i   1  i  1  i    1  i  2i   8  8i



Vậy phần thực của số phức z là 8.
Chọn D.
Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z2 thỏa mãn điều kiện

z1  z2
là số ảo. Khẳng định nào sau
z1  z2

đây đúng?
A. z1  1; z2  1

B. z1  z2

C. z1  z2

D. z1   z2

Hướng dẫn giải:

z1  z2  z1  z2  0
Thì



z1  z2
z z z z 
là số ảo  1 2   1 2   0.
z1  z2
z1  z2  z1  z2 
z1  z2 z1  z 2

 0   z1  z2  z1  z 2    z1  z2  z1  z2   0.
z1  z2 z1  z2





 2 z1 z1  z 2 z2  0  z1 z1  z2 z 2  0  z1  z 2  0.

Chọn C.
Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được
biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 .
A. 3  i .

B. 1  3i .

C. 2  3i .

D. 2  3i .

Hướng dẫn giải:
Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R 
Gọi E 1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i
Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i
Ta có: z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x  y  2  0 .
Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i
Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z  1. Tìm số phức z để 1  z  3 1  z đạt giá trị lớn nhất.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
4 3

4 3
A. z    i, z    i.
5 5
5 5

C. z 

Số Phức Nâng Cao

3
3
B. z   i, z  i.
5
5

4 3
4 3
 i, z   i.
5 5
5 5

3
4 3
D. z   i, z    i.
5
5 5

Hướng dẫn giải:
Giả sử z  x  yi,  x, y   
Vì z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1

Khi đó:

1 z  3 1 z 


 x  1

2

 y2  3

 x  1

 x  12  1  x 2  3  x  12  1  x2

Xét hàm số f  x   2



2

 y2

 2



1 x  3 1 x





1  x  3 1  x trên đoạn  1;1 ta có:

3 
4
 1
f ' x  2 

; f ' x  0  x   5
 2 1 x 2 1 x 

 4
Ta có: f  1  6; f     2 10
 5

Vậy f max

4
3

4

x ;y

x


 4

5
5
 f     2 10  

5

 5
x   4 ; y  3
 y 2  1  x 2

5
5

4 3
4 3
Vậy z    i, z    i.
5 5
5 5

Chọn A.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1:

2
3
Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:  z  i   z  1 z  i   0

A. 3.
Câu 2:

B. 4.

2015

  z2  1

A.   5

Câu 5:

2016

Câu 7:

C.   1

D.   3

Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z 2  bz  c  0 nhận z  1  i là một
nghiệm.

B. b  2; c  2

C. b  2; c  2

D. b  1; c  1

Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z 4  mz 2  n  0 không có
nghiệm thực.
A. m2  4n  0.

 m 2  4n  0

B. m2  4n  0 hoặc m  0
.
n  0


 m2  4n  0

C. m  0
.
n  0


m 2  4 n  0

D. m2  4n  0 hoặc m  0
.
n  0


Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

 iz  1 z  3i   z  2  3i   0

Câu 6:

.

B.   2

A. b  2; c  2
Câu 4:

D. 8

Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2 z  2  0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số
phức    z1  1

Câu 3:

C. 6.

là các điểm nào sau đây?

A. A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3

B. A 1;0  ; B  3;0  ; C  2; 3

C. A  0; 2  ; B  0;1 ; C  2;3

D. A  2; 2  ; B  1;1 ; C  1;0 

Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0
có nghiệm chung là z  1  2i
A.  a, b, c   1; 2;5 

B.  a, b, c   1;2;5

C.  a, b, c    1; 2;5 

D.  a, b, c   1; 2; 5 

Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm
nghiệm và cũng nhận z  2 làm nghiệm.
A. a  4; b  6; c  4

B. a  4; b  5; c  4

C. a  3; b  4; c  2

D. a  1; b  0; c  2

4

Câu 8:

 z 1 
Phương trình 
  1 có bao nhiêu nghiệm.

 z 1 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 1 nghiệm
Câu 9:

B. 2 nghiệm

Số nghiệm phức của phương trình z 
A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

Số Phức Nâng Cao

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

25
 8  6i là?
z

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Câu 10: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4   4  m  z 2  4m  0. Tìm tất cả các
giá trị m để z1  z2  z3  z4  6.
A. m  1

B. m  2

C. m  3

D. m  1
4

 z 1 
Câu 11: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình 
  1. Tính giá trị biểu thức
 2z  i 
P   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 .

A. P  2.

B. P 

17
.
9

C. P 

16

.
9

D. P 

15
.
9

Câu 12: Tìm số thực m  a  b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình
2 z 2  2(m  1) z  (2m  1)  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2  10 .
Tìm a.
A. 1

B. 2

C. 3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 4

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1:

2
3
Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:  z  i   z  1 z  i   0

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8

Hướng dẫn giải:
 z  i
 z  i
 z  1
 z  i
 z  1

 z  i
 z  i   z 2  1 z 3  i   0   z  1   z  i

 z 3  i 3  0
 2
 z  i  5
 z  iz  1  0


2
Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6.
Chọn C.
Câu 2:

Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2 z  2  0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số
phức    z1  1

2015

A.   5

  z2  1

2016

.

B.   2

C.   1

D.   3

Hướng dẫn giải:
Phương trình z 2  2 z  2  0 có  '  1  2  1  i 2 .
z  1 i
z  1 i
Suy ra phương trình có hai nghiệm  1
hoặc  1

 z2  1  i
 z2  1  i
1007
1013
z  1 i
2015
Thay  1
vào  ta được:    i   i 2016    i 2  .i   i 2   1  i.
 z2  1  i
1002
1003
z  1 i
2016
  i 2  .i   i 2   1  i.
Thay  1
vào   i 2015   i 
 z2  1  i

Vậy   2.
Chọn B.
Câu 3:

Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z 2  bz  c  0 nhận z  1  i là một
nghiệm.
A. b  2; c  2

B. b  2; c  2

C. b  2; c  2

D. b  1; c  1

Hướng dẫn giải:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

Nếu z  1  i là nghiệm thì:

1  i 

2

b  c  0
b  2
 b 1  i   c  0  b  c   b  2  i  0  

b  2  0 c  2

Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z lam
nghiệm. Vậy nếu z  1  i là một nghiệm thì z  1  i cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét:
1  i   1  i   b  b  2

1  i 1  i   2  c

Chọn A.
Câu 4:

Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z 4  mz 2  n  0 không có
nghiệm thực.
A. m2  4n  0.

 m 2  4n  0

B. m2  4n  0 hoặc m  0
.
n  0


 m2  4n  0

C. m  0
.
n  0


m 2  4 n  0

D. m2  4n  0 hoặc m  0
.
n  0


Hướng dẫn giải:

Phương trình z 4  mz 2  n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp:
TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là m2  4n  0.
TH2: Phương trình t 4  mt 2  n  0;  t  z 2 

 m 2  4n  0
  0


có hai nghiệm âm  S  0   m  0
.
P  0
n  0



Chọn D.
Câu 5:

Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
 iz  1 z  3i  z  2  3i  0 là các điểm nào sau đây?





A. A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3

B. A 1;0  ; B  3;0  ; C  2; 3

C. A  0; 2  ; B  0;1 ; C  2;3

D. A  2; 2  ; B  1;1 ; C  1;0 

Hướng dẫn giải:
1

 z  i  i
iz  1  0
 z  i


 iz  1 z  3i  z  2  3i  0   z  3i  0   z  3i   z  3i
 z  2  3i
 z  2  3i  0
 z  2  3i








File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 .
Chọn A.
Câu 6:

Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0
có nghiệm chung là z  1  2i
A.  a, b, c   1; 2;5 

B.  a, b, c   1;2;5

C.  a, b, c    1; 2;5 

D.  a, b, c   1; 2; 5 

Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết phương trình az 2  bz  c  0 có nghiệm z  1  2i khi
 3a  b  c  0
2
a 1  2i   b 1  2i   c  0  3a  b  c   4a  2b  i  0  
 4a  2b  0

1

Tương tự phương trình cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm z  1  2i khi
2

c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i  0  c  3  4i   b  2bi  a  16  16i  0
a  b  3c  16  0

  a  b  3c  16   2  b  2c  8  i  0  
b  2c  8  0

 2

Từ 1 ,  2  suy ra  a, b, c   1; 2;5  .
Chọn A.
Câu 7:

Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm
nghiệm và cũng nhận z  2 làm nghiệm.
A. a  4; b  6; c  4

B. a  4; b  5; c  4

C. a  3; b  4; c  2

D. a  1; b  0; c  2

Hướng dẫn giải:
3

2

z  1  i là nghiệm thì 1  i   a 1  i   b 1  i   c  0

z  2 là ngiệm thì 8  4a  2b  c  0
b  c  2  0
1


Từ đó ta có hệ phương trình 2a  b  2  0
 2

4a  2b  c  8  0  3

Từ 1 suy ra c  2  b
Từ  2  suy ra b  2  2a  c  2   2  2a   4  2a
Thay vào  3  ta có: 4a  2  2  2a   4  2a  8  0  a  4
Với a  4  b  6; c  4.
Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Số Phức Nâng Cao

4

Câu 8:

 z 1 
Phương trình 
  1 có bao nhiêu nghiệm.
 z 1 

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Hướng dẫn giải:

 z  1 2

4
  1, 1
 z 1 
 z 1 


 1 
2
 z 1 
 z  1   1,  2 
 z  1 
 z 1
 z 1  1
 z  1  z 1
i  i


 z0
1  
 z  1  1  z  1   z  1  z  0

 z  1
 z 1
 z 1  i
 z  1  iz  1
z  1


 2  
 z  1  iz  1  z  1
 z  1  i
 z  1
Vậy nghiệm phương trình là: z  0; z  1; z  1
Chọn C.
Câu 9:

Số nghiệm phức của phương trình z 
A. 1 nghiệm

25
 8  6i là?
z

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Hướng dẫn giải:
Giả sử z  a  bi với; a, b  R và a, b không đồng thời bằng 0.

1
1
a  bi
Khi đó z  a  bi; 
 2
z a  bi a  b 2

Khi đó phương trình
a  a 2  b 2  25   8  a 2  b 2 
25  a  bi 
25

z
 8  6i  a  bi  2
 8  6i  
2
2
2
2
2
z
a b
b  a  b  25   6  a  b 

Lấy 1 chia  2  theo vế ta có b 

1
.
 2

3
a, thế vào 1 . Ta có a  0 hoặc a  4.
4

Với a  0  b  0 (Loại)
Với a  4  b  3. Ta có số phức z  4  3i.
Chọn B.
Câu 10: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4   4  m  z 2  4m  0. Tìm tất cả các
giá trị m để z1  z2  z3  z4  6.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. m  1

B. m  2

Số Phức Nâng Cao

C. m  3

D. m  1

Hướng dẫn giải:
 z1,2  2i
z 4   4  m  z 2  4m  0   z 2  4  z 2  m   0  
 z3,4    m
 z1;2  2i

Nếu m  0 hoặc  
nếu m  0
 z3;4  i m

6  z1  z2  z3  z4  4  2 m
Khi đó 
 m  1
m  0
6  z1  z2  z3  z4  4  2 m
Hoặc 
 m 1
m  0
Kết hợp lại m  1 thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
4

 z 1 
Câu 11: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình 
  1. Tính giá trị biểu thức
 2z  i 
P   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 .

A. P  2.

B. P 

17
.
9

C. P 

16
.
9

D. P 

15
.
9

Hướng dẫn giải:
4

4

Ta có phương trình  f  z    2 z  i    z  1  0.
Suy ra: f  z   15  z  z1  z  z2  z  z3  z  z 4  . Vì
z12  1   z1  i  z1  i   P 
4

f  i  . f  i 
1 .
225
4

4

Mà f  i   i 4   i  1  5; f  i    3i    i  1  85. Vậy từ 1  P 

17
.
9

Chọn B.
Câu 12: Tìm số thực m  a  b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình
2 z 2  2(m  1) z  (2m  1)  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2  10 .
Tìm a.
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải:
 '  m 2  6m  1  

TH1:  '  0 hay m  (;3  10)  (3  10; )
Khi đó z1  z2  10  z12  z22  2 z1 z 2  10
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24