Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM
TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ
Mã số: ĐH2016-TN06-01

Chủ nhiệm đề tài: ThS. NCS. Dương Thị Việt An

Thái Nguyên, 4/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM
TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ
Mã số: ĐH2016-TN06-01

Xác nhận của tổ chức chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ tên, đóng dấu)

(ký, họ tên)

ThS. NCS. Dương Thị Việt An

Thái Nguyên, 4/2018


i
DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN
VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

I. Thành viên thực hiện đề tài
TT
1
2
3

Họ và tên
ThS. Dương Thị Việt An
TS. Mai Viết Thuận
ThS. Nguyễn Thị Thanh Huyền

Đơn vị công tác
Vai trò
Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Chủ nhiệm
Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Thư ký +NCV
Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH NCV chính

II. Đơn vị phối hợp thực hiện
Tên đơn vị

Nội dung phối hợp
Viện Toán học, Viện Tư vấn, giúp đỡ, định hướng nghiên cứu
Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam
Đại học Quốc gia Tôn Hợp tác nghiên cứu, viết chung bài báo
Trung Sơn, Đài Loan
Đại học Bách Khoa
Hợp tác nghiên cứu, viết chung bài báo
Hà Nội

Đại diện
GS. TSKH. Nguyễn
Đông Yên
GS. Jen-Chih Yao
TS. Nguyễn Thị Toàn


ii

Mục lục
Danh mục ký hiệu

iv

Thông tin kết quả nghiên cứu

vi

Information on research results

viii

Mở đầu

1

Chương 1.
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Nón pháp tuyến của tập lồi . . . . . . .
1.2 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . .
1.3 Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . . .
1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao
1.6 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . .

3
3
3
3
4
4
4

. . .
. . .
. . .
. . .
hàm
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
thức
. . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Chương 2.
Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi sử dụng
điều kiện chính quy kiểu Aubin
6
2.1 Tính ổn định vi phân dưới điều kiện chính quy kiểu Aubin . . . . . . .
6

2.2 Phân tích các điều kiện chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Chương 3.
Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển
rời rạc
3.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số . . . . . . .
3.2 Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch có tham số . .
3.3 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu . . . . .
3.4 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 4.
Tính ổn định vi phân của bài toán điều
liên tục
4.1 Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục . . . . . . . . .
4.2 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển . . . .
4.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tối ưu lồi,
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

8
8
9
9

11
11

khiển tối ưu lồi,
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

12
12
14
15


iii

4.4

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

15
16


iv

Danh mục ký hiệu

R
R
∅
||x||
N (x)
int A
cl A
cl∗ A
A⊥
cone A
co A
Lp ([0, 1], Rn )
W 1,p ([0, 1], Rn )

Mn,n (R)
sup f (x)

tập các số thực
tập các số thực suy rộng
tập rỗng
chuẩn của véc tơ x
tập tất cả các lân cận của x
phần trong tôpô của tập A
bao đóng của tập A
bao đóng của tập A theo tôpô yếu∗
phần bù trực giao của tập A
nón suy rộng của tập A
bao lồi của tập A
không gian các hàm đo được Lebesgue
1

x : [0, 1] → Rn với 0 ||x(t)||p dt hữu hạn
không gian Sobolev gồm các hàm
liên tục tuyệt đối x : [0, 1] → Rn
với x˙ ∈ Lp ([0, 1], Rn )
tập các hàm từ R vào không gian
các ma trận thực tuyến tính n × n
supremum của tập {f (x) | x ∈ K}

x∈K

inf f (x)

infimum của tập {f (x) | x ∈ K}

dom f
epi f
∂ ∞ f (x)
∇ f (x)
∂x ϕ(¯
x, y¯)

miền hữu hiệu của hàm f
trên đồ thị của hàm f
dưới vi phân suy biến của hàm f tại x
đạo hàm Fréchet của hàm f tại x
dưới vi phân riêng theo biến x
của hàm ϕ tại (¯
x, y¯)
nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi
của Ω tại x¯

ánh xạ đa trị giữa hai không gian X và Y
miền xác định của F
đồ thị của F
đối đạo hàm của F tại (¯
x, y¯)

x∈K

N (¯
x; Ω)
F :X⇒Y
dom F
gph F
D∗ F (¯
x, y¯)(·)


v
Ω

x −→ x¯
M :X→Y
M ∗ : Y ∗ → X∗
ker M
rge M
l.s.c.
h.k.n

x → x¯ và x ∈ Ω
toán tử từ X vào Y

toán tử liên hợp của M
hạt nhân của M
tập ảnh của M
nửa liên tục dưới
hầu khắp nơi


vi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Đơn vị: Trường Đại học Khoa học
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu
có tham số
- Mã số: ĐH2016-TN06-01
- Chủ nhiệm: ThS. NCS. Dương Thị Việt An
- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
- Thời gian thực hiện: 05/2016 - 05/2018
2. Mục tiêu:
- Nghiên cứu các tính chất vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch toán
học lồi chứa tham số dưới ràng buộc dạng bao hàm thức.
- Áp dụng các kết quả thu được vào nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điều
khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và hệ động lực tuyến tính, cả hệ rời
rạc lẫn hệ liên tục.
- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài và cán bộ giảng dạy
Toán ứng dụng của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; phục vụ hiệu
quả cho công tác NCKH và đào tạo đại học, đào tạo sau đại học chuyên ngành Toán
ứng dụng tại Đại học Thái Nguyên.
- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với các cơ sở nghiên cứu ngoài Đại học Thái

Nguyên.
3. Tính mới, tính sáng tạo:
- Giải quyết được một số vấn đề nghiên cứu mới;
- Các kết quả thu được dưới dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối
ưu của bài toán quy hoạch lồi có tham số dưới ràng buộc bao hàm thức;
- Các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối
ưu của bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và hệ động lực
tuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn các hệ liên tục.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
a) 03 bài báo đăng trên các tạp chí Quốc tế có uy tín:
1. Duong Thi Viet An, Yao J.-C. (2016), “Further results on differential stability of
convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170,
pp. 28–42. (SCI)
2. Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete


vii

optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp. 201–217. (Scopus,
ESCI)
3. Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of
a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization,
DOI 10.1007/s00245-017-9475-4. (SCI)
b) 01 bài báo đăng trên kỷ yếu hội nghị trong nước:
4. Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite dimensional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ Trường Đại học Khoa học lần thứ
hai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, tr. 93–99.
5.2. Sản phẩm đào tạo:

- Hướng dẫn 01 KLTN Đại học đã nghiệm thu:
Đào Thị Hiều (2017), Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của hàm lồi, Khóa luận tốt
nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.
- Đề tài là một phần của Luận án tiến sĩ của chủ nhiệm đề tài:
Tên luận án: “The Optimal Value Function and Solution Map in Some Parametric Optimization Problems”, với tên Tiếng Việt tương ứng là: “Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ
nghiệm trong một số bài toán tối ưu có tham số”.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại
của kết quả nghiên cứu:
- Cung cấp tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh, và các
nghiên cứu viên chuyên ngành Toán ứng dụng.
Ngày ... tháng 4 năm 2018
Tổ chức chủ trì
(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài
(Ký, họ và tên)

ThS. NCS. Dương Thị Việt An


viii

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
- Project title: The optimal value function and solution map in some parametric optimization problems
- Code number: ĐH2016-TN06-01
- Coordinator: MSc. PhD. Student Duong Thi Viet An
- Implementing institution: TNU - University of Sciences
- Duration: from 05/2016 to 05/2018
2. Objective(s):

- Study differential stability of the optimal value function of parametric optimization
problems under inclusion constraints.
- Apply the above results to parametric optimal control problems with convex objective
functions and linear dynamical systems, either discrete or continuous, to obtain some
rules for computing the subdifferential and the singular subdifferential of the optimal
value function.
- Have some contributions to enhance the research capacity for the coordinator and lecturers teaching applied mathematics of TNU - University of Sciences; effectively serve
the research and training as well as postgraduate training in applied mathematics of
TNU.
- Expand the scientific research cooperations with research institutes outside TNU.
3. Creativeness and innovativeness:
- Resolve several research problems;
- Obtain results under minimal assumptions with maximal conclusions.
4. Research results:
- Formulas for computing the subdifferential and the singular subdifferential of the
optimal value function in parametric convex optimization problems under inclusion
constraints;
- Formulas for computing the subdifferential and the singular subdifferential of the
optimal value function of parametric optimal control problems with convex objective
functions and linear dynamical systems, either discrete or continuous.
5. Products:
5.1. Scientific publications:
a) Published 03 papers in ISI and Scopus journals:
1. Duong Thi Viet An, Yao J.-C. (2016), “Further results on differential stability of
convex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170,
pp. 28–42. (SCI)
2. Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete
optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp. 201–217. (Scopus,

ix

ESCI)
3. Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of
a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization,
DOI 10.1007/s00245-017-9475-4. (SCI)
b) Published 01 conference paper:
4. Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite dimensional vector spaces”, Proceedings of The 2nd Scientific Conference of University of
Sciences, Thai Nguyen University Publishing House, Thai Nguyen, pp. 93–99.
5.2. Training results:
- Supervised 01 undergraduate thesis:
Dao Thi Hieu (2017), Directional Derivatives and Subdifferentials of Convex Functions,
Undergraduate Thesis, Thai Nguyen University of Sciences.
- The project is a part of the coordinator’s PhD dissertation: Title of the dissertation:
“The Optimal Value Function and Solution Map in Some Parametric Optimization
Problems”.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of
research results:
- Provide the reference for bachelor, master and Ph.D students whose major is Applied
Mathematics, and for researchers.


1

Mở đầu

1. Tính cấp thiết của đề tài
Nếu bài toán quy hoạch toán học là phụ thuộc tham số, tức là các hàm ràng buộc
và hàm mục tiêu của nó phụ thuộc vào các tham số nào đó, thì giá trị tối ưu là một
hàm của tham số và ánh xạ nghiệm là một ánh xạ đa trị theo tham số của bài toán.

Nói chung thì hàm giá trị tối ưu là một hàm khá phức tạp theo tham số; nó thường
không khả vi theo tham số, dù rằng bài toán được xét là bài toán quy hoạch với các
hàm trơn theo tất cả các biến và theo tham số. Vì thế, người ta thường đặt vấn đề tìm
các công thức tính toán đạo hàm theo hướng suy rộng (đạo hàm theo hướng Dini, đạo
hàm theo hướng Dini-Hadarmard, đạo hàm suy rộng theo hướng Clarke,...) và các công
thức đánh giá dưới vi phân (dưới vi phân theo nghĩa Giải tích lồi, dưới vi phân Clarke,
dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân qua giới hạn - tức là dưới vi phân Mordukhovich,...)
của hàm giá trị tối ưu. Người ta cũng quan tâm đến các điều kiện đủ cho tính liên tục,
tính Lipschitz, và tính khả vi theo hướng của ánh xạ nghiệm.
Các nghiên cứu về tính chất khả vi của hàm giá trị tối ưu và của ánh xạ nghiệm
trong quy hoạch có tham số được xếp vào chủ đề tính ổn định vi phân của các bài
toán tối ưu. J.-P. Aubin, A. Auslender, J. F. Bonnans và A. Shapiro, P. H. Dien và
N. D. Yen, J. Gauvin và F. Dubeau, B. Gollan, R. T. Rockafellar, B. S. Mordukhovich,
N. M. Nam và N. D. Yen, L. Thibault, và rất nhiều tác giả khác, đã có những đóng
góp cho hướng nghiên cứu này.
Nghiên cứu dáng điệu bậc nhất của hàm giá trị tối ưu là một vấn đề quan trọng
trong giải tích và lý thuyết tối ưu. Bên cạnh việc nghiên cứu các tính chất vi phân bậc
nhất của hàm giá trị tối ưu trong bài toán quy hoạch toán học chứa tham số, các nhà
nghiên cứu trên thế giới cũng quan tâm đến việc nghiên cứu dáng điệu bậc nhất của
hàm giá trị tối ưu trong bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số.
Ngày nay, khi mà khoa học máy tính đã phát triển, hầu hết các bài toán trong lĩnh
vực tính toán khoa học đều được rời rạc hóa để thuận lợi cho việc tính toán. Một bài
toán được gọi là ổn định nếu như sai số của các dữ liệu đầu vào bé thì sai số trong kết
quả đầu ra không đáng kể. Trong trường hợp ngược lại, sai số của dữ liệu đầu ra sẽ
rất lớn và kết quả tính toán khác xa với kết quả mong đợi. Nghiên cứu bài toán điều
khiển tối ưu rời rạc là một đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm. Bên cạnh đó bài
toán điều khiển tối ưu liên tục cũng đóng một vai trò quan trọng và được nhiều tác
giả tập trung nghiên cứu.

2

2. Mục tiêu của đề tài
- Nghiên cứu các tính chất vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch lồi
chứa tham số dưới ràng buộc dạng bao hàm thức.
- Áp dụng các kết quả thu được vào nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điều
khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và hệ động lực tuyến tính, cả hệ rời
rạc lẫn hệ liên tục.
- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài và cán bộ giảng dạy
Toán ứng dụng của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phục vụ hiệu
quả cho công tác NCKH và đào tạo đại học, đào tạo sau đại học chuyên ngành Toán
ứng dụng tại Đại học Thái Nguyên.
- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với các cơ sở nghiên cứu ngoài Đại học Thái
Nguyên.
3. Nội dung nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu mở rộng các kết quả của D.T.V. An và N.D. Yen (2015), về tính ổn
định vi phân của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm thức trong các không
gian Banach, dưới giả thiết hàm mục tiêu là nửa liên tục dưới và ánh xạ mô tả tập
ràng buộc có đồ thị đóng.
- Nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu dưới giả thiết hàm
mục tiêu lồi, hệ động lực tuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn hệ liên tục. Bằng cách thiết lập
một kết quả trừu tượng cho dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi của hàm giá trị tối
ưu của bài toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số, chúng tôi đưa ra các công thức
tính toán dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu lồi chứa
tham số. Các kết quả thu được dưới dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa.


3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi và giải
tích hàm nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các chương sau. Đồng thời chúng tôi cũng
giới thiệu khái niệm hàm giá trị tối ưu trong bài toán quy hoạch toán học có tham số
với ràng buộc bao hàm thức và nhắc lại các kết quả đã biết về tính ổn định vi phân của
bài toán quy hoạch lồi chứa tham số.

1.1

Nón pháp tuyến của tập lồi

Cho X là không gian Banach, X ∗ là không gian đối ngẫu của X.
Định nghĩa 1.1.1. Cho C là tập con lồi khác rỗng của X, x¯ ∈ C. Nón pháp tuyến
(normal cone) của tập lồi C tại điểm x¯, ký hiệu là N (¯
x; C), và được định nghĩa bởi
∗
∗
∗
N (¯
x; C) = {x ∈ X | x , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ C}.

1.2

Dưới vi phân của hàm lồi

Xét hàm f : X → R nhận giá trị trong tập số thực suy rộng R = [−∞, +∞].
Định nghĩa 1.2.1. Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient (subgradient) của
hàm f tại x¯ ∈ X, nếu
f (x) − f (¯

x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.2. Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân
(subdifferential) của f tại x¯, ký hiệu là ∂f (¯
x), tức là
∂f (¯
x) = {x∗ ∈ X ∗ | f (x) − f (¯
x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X}.

1.3

Đối đạo hàm

Định nghĩa 1.3.1. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach.
Ánh xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đa trị lồi nếu gph F là tập lồi trong không gian
tích X × Y .


4

Định nghĩa 1.3.2. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị lồi F tại (¯
x, y¯) ∈ gph F là ánh xạ
đa trị D∗ F (¯
x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ được cho bởi công thức
D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ):={x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯
x, y¯); gph F )}, ∀y ∗ ∈ Y ∗ .
Nếu (¯
x, y¯) ∈
/ gph F thì ta quy ước rằng tập D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) là rỗng, với mọi y ∗ ∈ Y ∗ .

1.4

Hàm giá trị tối ưu

Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach, ϕ : X × Y → R
là hàm nhận giá trị trong tập số thực suy rộng. Hàm giá trị tối ưu (optimal value
function) của bài toán quy hoạch toán học có ràng buộc bao hàm thức, được cho bởi G
và ϕ, là hàm µ : X → R, với
µ(x) := inf {ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} .

(1.1)

Do quy ước inf ∅ = +∞, ta có µ(x) = +∞ khi x ∈
/ dom G.
Ứng với mỗi cặp dữ liệu {G, ϕ} ta có một bài toán tối ưu phụ thuộc tham số x sau
đây:
(Px )

min{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)}.

Các công thức tính chính xác và các đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối
ưu µ(x), sẽ được xét trong các chương sau, có liên quan chặt chẽ đến ánh xạ nghiệm
M : dom G ⇒ Y , với
M (x) := {y ∈ G(x) | µ(x) = ϕ(x, y)},

∀x ∈ dom G,

của bài toán (Px ).

1.5

Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm
thức

Mệnh đề 1.5.1. Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi và ϕ : X × Y → R là hàm lồi.
Khi đó µ(x) được định nghĩa như ở (1.1) là hàm lồi.
Mệnh đề 1.5.2. (Xem An và Yen (2015)) Nếu f : X → R là hàm lồi chính thường,
thì ∂ ∞ f (x) = N (x; dom f ).

1.6

Một số kết quả bổ trợ

Định lý 1.6.1. (Xem An và Yen (2015)) Giả sử rằng G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi
và ϕ : X × Y → R là hàm lồi chính thường. Nếu ít nhất một trong các điều kiện chính
quy sau được thỏa mãn:


5

(a) int(gph G) ∩ dom ϕ = ∅,
(b) ϕ liên tục tại một điểm (x0 , y 0 ) ∈ gph G,
khi đó với bất kì x¯ ∈ dom µ, mà µ(¯
x) = −∞, và bất kì y¯ ∈ M (¯
x) ta có
x∗ + D∗ G(¯
x, y¯)(y ∗ )

∂µ(¯

x) =
(x∗ ,y ∗ )∈∂ϕ(¯
x,¯
y)

và
∂ ∞ µ(¯
x) =

x∗ + D∗ G(¯
x, y¯)(y ∗ ) .
(x∗ ,y ∗ )∈∂ ∞ ϕ(¯
x,¯
y)


6

Chương 2

Tính ổn định vi phân của bài toán
quy hoạch lồi sử dụng điều kiện
chính quy kiểu Aubin
Trong chương này chúng tôi phát triển một số kết quả của bài báo An và Yen
(2015) về tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi có tham số. Cụ thể, dựa trên
ý tưởng của Aubin (1998), chúng tôi thu được các công thức tính toán dưới vi phân
và dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong bài toán tối ưu lồi có tham số dưới các
giả thiết:
(a1 ) Hàm mục tiêu là đóng;
(a2 ) Ánh xạ mô tả tập ràng buộc có đồ thị đóng;

(a3 ) Điều kiện chính quy kiểu Aubin được thỏa mãn.

2.1

Tính ổn định vi phân dưới điều kiện chính quy
kiểu Aubin

Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi giữa các không gian Banach, có đồ thị đóng. Cho
ϕ : X × Y → R là hàm lồi, đóng, chính thường. Xét bài toán tối ưu lồi chứa tham số:
min {ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} .

(2.1)

Sử dụng điều kiện chính quy kiểu Aubin
(0, 0) ∈ int(domϕ − gph G)

(2.2)

chúng tôi đưa ra các công thức để tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của
hàm giá trị tối ưu µ : X → R của bài toán (2.1), ở đó
µ(x) = inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)}.

(2.3)


7

Định lý 2.1.1. Nếu điều kiện chính quy (2.2) được thỏa mãn, khi đó với mọi x¯ ∈ dom µ
mà µ(¯
x) = −∞, và với mọi y¯ ∈ M (¯

x), ta có
x∗ + D∗ G(¯
x, y¯)(y ∗ ) .

∂µ(¯
x) =

(2.4)

(x∗ ,y ∗ )∈∂ϕ(¯
x,¯
y)

Định lý 2.1.2. Thêm vào giả thiết của Định lý 2.1.1, giả sử rằng tập dom ϕ là tập
đóng. Khi đó
∂ ∞ µ(¯
x) =

x∗ + D∗ G(¯
x, y¯)(y ∗ ) .

(2.5)

(x∗ ,y ∗ )∈∂ ∞ ϕ(¯
x,¯
y)

2.2

Phân tích các điều kiện chính quy

Đầu tiên, chúng tôi xây dựng một ví dụ cho thấy điều kiện chính quy kiểu
Aubin (2.2) thỏa mãn, nhưng cả hai điều kiện chính quy (a) và (b) trong Định lý 1.6.1
không thỏa mãn, trong khi đó kết luận của Định lý 2.1.1 nghiệm đúng.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng dưới một giả thiết phụ, điều kiện (a) (tương ứng, (b))
trong Định lý 1.6.1 tương đương với (2.2).
Mệnh đề 2.2.1. Nếu int(gph G) = ∅ được thỏa mãn, thì điều kiện chính quy (a) trong
Định lý 1.6.1 tương đương với điều kiện chính quy kiểu Aubin (2.2).
Mệnh đề 2.2.2. Nếu int(dom ϕ) = ∅ được thỏa mãn, khi đó điều kiện chính quy (b)
trong Định lý 1.6.1 và điều kiện (2.2) là tương đương.

2.3

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi thu được các công thức tính chính xác dưới vi phân
và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi chứa tham
số dưới các giả thiết: tính đóng của hàm mục tiêu; tính đóng của ánh xạ mô tả tập
ràng buộc; và điều kiện chính quy kiểu Aubin được thỏa mãn. Đồng thời, chúng tôi
cũng phân tích chi tiết mối quan hệ giữa điều kiện chính quy kiểu Aubin và các điều
kiện chính quy trong bài báo An và Yen (2015).


8

Chương 3

Tính ổn định vi phân của bài toán
điều khiển tối ưu lồi, rời rạc
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điều

khiển tối ưu rời rạc chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và ràng buộc tuyến tính. Bằng
cách thiết lập một kết quả trừu tượng cho dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu của
bài toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số, chúng tôi đưa ra các công thức để tính
toán/ước lượng dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu chứa
tham số.

3.1

Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số

Cho Xk , Uk , Wk , với k = 0, 1, . . . , N − 1, và XN là các không gian Banach, ở đó N
là số tự nhiên dương. Cho trước
- các tập lồi Ω0 ⊂ U0 , . . . , ΩN −1 ⊂ UN −1 , và C ⊂ X0 ;
- các toán tử tuyến tính liên tục Ak : Xk → Xk+1 , Bk : Uk → Xk+1 , Tk : Wk → Xk+1 ,
với k = 0, 1, . . . , N − 1;
- các hàm lồi hk : Xk × Uk × Wk → R, với k = 0, 1, . . . , N − 1, và hN : XN → R.
Đặt W = W0 ×W1 ×· · ·×WN −1 . Với mọi véc tơ w = (w0 , w1 , . . . , wN −1 ) ∈ W , xét bài
toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc như sau: Tìm (x, u) ở đó x = (x0 , x1 , . . . , xN ) ∈ X0 ×
X1 × · · · × XN là các véc tơ trạng thái và u = (u0 , u1 , . . . , uN −1 ) ∈ U0 × U1 × · · · × UN −1
là véc tơ điều khiển, sao cho cực tiểu hàm mục tiêu
N −1

hk (xk , uk , wk ) + hN (xN ),

(3.1)

k=0

với phương trình trạng thái xk+1 = Ak xk + Bk uk + Tk wk , k = 0, 1, . . . , N − 1, điều kiện
ban đầu x0 ∈ C, và ràng buộc điều khiển

uk ∈ Ωk ⊂ Uk , k = 0, 1, . . . , N − 1.

(3.2)


9

3.2

Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch
có tham số

Giả sử rằng X, W và Z là các không gian Banach với các không gian đối ngẫu
tương ứng X ∗ , W ∗ và Z ∗ . Cho f : W × Z → R là hàm lồi và Ω là tập con lồi của Z
với phần trong khác rỗng. Với mỗi w ∈ W , ta đặt H(w) = z ∈ Z | M z = T w , và xét
bài toán tối ưu sau:
min{f (z, w) | z ∈ H(w) ∩ Ω}.

(3.3)

Ta sẽ tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu
h(w) :=

inf

f (z, w)

(3.4)

z∈H(w)∩Ω

của bài toán (3.3). Ký hiệu S(w) là tập nghiệm của bài toán (3.3).
Định nghĩa toán tử tuyến tính Φ : W × Z → X bằng cách đặt Φ(w, z) = −T w + M z
với mọi (w, z) ∈ W × Z.
Định lý 3.2.1. Giả sử rằng Φ có ảnh đóng và ker T ∗ ⊂ ker M ∗ . Nếu hàm giá trị tối
ưu h trong (3.4) hữu hạn tại w¯ ∈ dom S và f liên tục tại (w,
¯ z¯) ∈ (W × Ω) ∩ gph H,
khi đó
w∗ + T ∗ (M ∗ )−1 (z ∗ + v ∗ )

∂h(w)
¯ =
(w∗ ,z ∗ )∈∂f (¯
z ,w)
¯

(3.5)

v ∗ ∈N (¯
z ;Ω)

và
∂ ∞ h(w)
¯ =

w∗ + T ∗ (M ∗ )−1 (z ∗ + v ∗ ) ,
(w∗ ,z ∗ )∈∂ ∞ f (¯
z ,w)
¯

(3.6)

v ∗ ∈N (¯
z ;Ω)

ở đó M ∗ )−1 (z ∗ + v ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | M ∗ x∗ = z ∗ + v ∗ }.
Định lý 3.2.2. Dưới các giả thiết của Định lý 3.2.1, giả sử thêm rằng f là khả vi
Fréchet tại (¯
z , w).
¯ Khi đó
∇w f (¯
z , w)
¯ + T ∗ (M ∗ )−1 (∇z f (¯
z , w)
¯ + v∗) .

∂h(w)
¯ =
v ∗ ∈N (¯
z ;Ω)

3.3

Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển
tối ưu

Sử dụng các ký hiệu như trong Mục 3.1, ta đặt Z = X × U , K = C × X × Ω và chú ý
rằng V (w) có thể biểu diễn như sau
V (w) =

inf
z∈G(w)∩K

f (z, w),

(3.7)


10

ở đó G(w) = z = (x, u) ∈ Z | M z = T w với M : Z → X và T : W → X
định tương ứng như sau

x0

 x1

 .
 ..
−A0 I
0 0 ... 0
0 −B0 0
0 ... 0



  xN
0
−A1 I 0 . . . 0
0 0

−B1 0 . . . 0

Mz =
..
.. .. .. ..
.. ..
..
.. .. ..
 ..
 u
.
. . . .
. .
.
. . .
.
 0

0
0
0 0 . . . −AN −1 I 0
0
0 . . . −BN −1 
 u1
 ..
 .

được xác









,








uN −1



Tw = 



T0 w0
T1 w1
..
.





.



TN −1 wN −1
Định lý 3.3.1. Giả sử rằng hk , k = 0, 1, . . . , N , là các hàm liên tục và phần trong
của Ωk , với k = 0, 1, . . . , N − 1, khác rỗng. Giả sử thêm rằng điều kiện sau đây thỏa
mãn:
(i) ker T ∗ ⊂ ker M ∗ ;
(ii) Toán tử Φ : W × Z → X được xác định bởi Φ(w, z) = −T w + M z có ảnh đóng.
∗
x0 ; C),
¯ khi đó tồn tại các véc tơ x∗0 ∈ N (¯
Nếu w˜ ∗ = (w˜0∗ , w˜1∗ , . . . , w˜N
−1 ) ∈ ∂V (w),
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
u; Ω), sao cho
x˜ = (˜
x1 , x˜2 , . . . , x˜N ) ∈ X , và u = (u0 , u1 , . . . , uN −1 ) ∈ N (¯




x˜∗N ∈ ∂hN (¯
xN ),






x˜∗ ∈ ∂xk hk (¯
xk , u¯k , w¯k ) + A∗k x˜∗k+1 , k = 1, 2, ..., N − 1,

 k
(3.8)
x∗0 ∈ −∂x0 h0 (¯
x0 , u¯0 , w¯0 ) − A∗0 x˜∗1 ,





u∗k ∈ −∂uk hk (¯
xk , u¯k , w¯k ) − Bk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, ..., N − 1,




w˜ ∗ ∈ ∂w hk (¯
xk , u¯k , w¯k ) + Tk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, ..., N − 1.
k

k
Định lý 3.3.2. Dưới các giả thiết của Định lý 3.3.1, giả sử thêm rằng các hàm hk ,
∗
∗
với k = 0, 1, . . . , N , là khả vi Fréchet. Khi đó, véc tơ w˜ ∗ = (w
˜0∗ , w˜1∗ , . . . , w˜N
−1 ) ∈ W
thuộc vào ∂V (w)
¯ nếu và chỉ nếu tồn tại x∗0 ∈ N (¯
x0 ; C), x˜∗ = (˜
x∗1 , x˜∗2 , . . . , x˜∗N ) ∈ X ∗ , và
u∗ = (u∗0 , u∗1 , . . . , u∗N −1 ) ∈ N (¯
u; Ω) sao cho

∗

xN ),
 x˜N = ∇hN (¯


∗


xk , u¯k , w¯k ) + A∗k x˜∗k+1 , k = 1, 2, . . . , N − 1,
 x˜k = ∇xk hk (¯
(3.9)
x∗0 = −∇x0 h0 (¯
x0 , u¯0 , w¯0 ) − A∗0 x˜∗1 ,




u∗k = −∇uk hk (¯
xk , u¯k , w¯k ) − Bk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, . . . , N − 1,



 ∗
w˜k = ∇wk hk (¯
xk , u¯k , w¯k ) + Tk∗ x˜∗k+1 , k = 0, 1, . . . , N − 1.
Định lý 3.3.3. Dưới các giả thiết của Định lý 3.3.1, ta có ∂ ∞ V (w)
¯ = {0W ∗ }.


11

3.4

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 3.4.1. Cho N = 1, X0 = R, X1 = R, U0 = R, W0 = R, Ω0 = [−1, +∞) và
C = (−∞, 2]. Cho A0 : X0 → X1 , B0 : U0 → X1 , T0 : W0 → X1 được xác định bởi
A0 x0 = x0 , B0 u0 = −u0 , và T0 w0 = 2w0 . Cho h0 : X0 × U0 × W0 → R và h1 : X1 → R
1
được cho tương ứng bởi h0 (x0 , u0 , w0 ) = x20 + x0 u0 + u20 + w0 , h1 (x1 ) = (x1 + 1)2 .
2
2 4 2
Ta tính được (¯
x0 , x¯1 , u¯0 ) = − , − ,
là nghiệm duy nhất của bài toán (P1 ). Do
5 5 5

x0 ; C),
¯ nếu và chỉ nếu tồn tại x∗0 ∈ N (¯
đó, theo Định lý 3.3.2, một véc tơ w0∗ ∈ ∂V (w)
∗
∗
x˜1 ∈ R, và u0 ∈ N (¯
u0 ; Ω0 ) sao cho


x1 ),
 x˜∗1 = ∇h1 (¯


 x∗ = −∇ h (¯
¯0 , w¯0 ) − A∗0 x˜∗1 ,
x0 0 x0 , u
0
(3.10)

u∗0 = −∇u0 h0 (¯
x0 , u¯0 , w¯0 ) − B0∗ x˜∗1 ,



 w∗ = ∇ h (¯
¯0 , w¯0 ) + T0∗ x˜∗1 .
w0 0 x0 , u
0
Tính toán chi tiết ta được ∂V (w)
¯ =

13
10

.

Ví dụ 3.4.2. Cho N = 2, X0 = X1 = X2 = R, U0 = U1 = R, W0 = W1 = R,
C = (−∞, 1], và Ω0 = Ω1 = R. Cho A0 : X0 → X1 , B0 : U0 → X1 , T0 : W0 → X1 ,
A1 : X1 → X2 , B1 : U1 → X2 , và T1 : W1 → X2 được xác định bởi A0 x0 = −x0 ,
B0 u0 = 0, T0 w0 = −w0 , A1 x1 = x1 , B1 u1 = −u1 , và T1 w1 = w1 . Hơn nữa, ta định
nghĩa h0 : X0 × U0 × W0 → R, h1 : X1 × U1 × W1 → R, và h2 : X2 → R bởi
1
h0 (x0 , u0 , w0 ) = (x0 + u0 )2 + w02 , h1 (x1 , u1 , w1 ) = |x1 − 1| + |w1 |, h2 (x2 ) = |x2 |.
2
Khi đó, tại tham số w¯ = (w¯0 , w¯1 ) := (0, 0), ta tìm được S(w)
¯ = {¯
z }, ở đó z¯ =
(¯
x0 , x¯1 , x¯2 , u¯0 , u¯1 ) = (−1, 1, 0, 1, 1). Vì vậy, theo Định lý 3.3.1, nếu w∗ = (w0∗ , w1∗ ) nằm
trong ∂V (w)
¯ thì ta có thể tìm được các véc tơ x∗0 ∈ N (¯
x0 ; C), x˜∗ = (˜
x∗1 , x˜∗2 ), và
u; Ω) sao cho (3.8) được thỏa mãn.
u∗ = (u∗0 , u∗1 ) ∈ N (¯
Tính toán chi tiết ta được w0∗ ∈ [−2, 2], w1∗ ∈ [−2, 2]. Vậy ∂V (w)
¯ ⊂ [−2, 2]×[−2, 2].

3.5

Kết luận

Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc được nghiên cứu
trong chương này. Cụ thể, chúng tôi thu được một đánh giá trên cho dưới vi phân của
hàm giá trị tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc, ở đó hàm mục tiêu không
khả vi (Định lý 3.3.1). Nếu hàm mục tiêu khả vi thì Định lý 3.3.2 cho ta công thức
tính chính xác cho dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu. Hơn nữa chúng tôi cũng chỉ ra
rằng dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu luôn chứa phần tử không của không
gian đối ngẫu (Định lý 3.3.3).


12

Chương 4

Tính ổn định vi phân của bài toán
điều khiển tối ưu lồi, liên tục
Gần đây, các tác giả L.Q. Thuy và N.T. Toan (2016) đã thu được các công thức
tính toán dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu không
ràng buộc với hàm mục tiêu lồi và hệ động lực tuyến tính. Trong chương này, chúng
tôi phát triển các kết quả của L.Q. Thuy và N.T. Toan (2016) cho bài toán điều khiển
tối ưu có ràng buộc. Cụ thể, dựa trên các kết quả của Chương 3 về tính ổn định vi
phân của bài toán quy hoạch lồi chứa tham số, chúng tôi thu được các công thức để
tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu. Quá trình tính
toán và các ví dụ minh họa cũng được trình bày trong chương này.

4.1

Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục

Cho W 1,p ([0, 1], Rn ), 1 ≤ p < +∞ là không gian Sobolev. Cho trước
- các hàm với giá trị là các ma trận A(t) = (aij (t))n×n , B(t) = (bij (t))n×m , và
C(t) = (cij (t))n×k ;
- các hàm g : Rn → R và L : [0, 1] × Rn × Rm × Rk → R;
- tập lồi U ⊂ Lp ([0, 1], Rm );
- cặp tham số (α, θ) ∈ Rn × Lp ([0, 1], Rk ).
Ta đặt X = W 1,p ([0, 1], Rn ), U = Lp ([0, 1], Rm ), Z = X × U, Θ = Lp ([0, 1], Rk ), W =
Rn × Θ.
Xét bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số (α, θ) sau: Tìm cặp véc tơ (x, u), ở đó
x ∈ W 1,p ([0, 1], Rn ) là véc tơ trạng thái và u ∈ Lp ([0, 1], Rm ) là véc tơ điều khiển, sao
cho hàm mục tiêu sau đạt cực tiểu
1

g(x(1)) +

L(t, x(t), u(t), θ(t))dt

(4.1)

0

với phương trình trạng thái
x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + C(t)θ(t) h.k.n. t ∈ [0, 1],

(4.2)


13

giá trị ban đầu
x(0) = α,

(4.3)

u ∈ U.

(4.4)

và ràng buộc điều khiển

Ta đã biết rằng X, U, Z, và Θ là các không gian Banach. Với mọi w = (α, θ) ∈ W ,
ký hiệu V (w) và S(w), là giá trị tối ưu và tập nghiệm của bài toán (4.1)–(4.4). Ta gọi
V : W → R là hàm giá trị tối ưu của bài toán đang xét. Nếu với mỗi w = (α, θ) ∈ W
ta đặt
1

L(t, x(t), u(t), θ(t))dt,

J(x, u, w) = g(x(1)) +

(4.5)

0

G(w) = z = (x, u) ∈ X × U | (4.2) và (4.3) được thỏa mãn ,

(4.6)

và K = X ×U, thì (4.1)–(4.4) có thể được viết dưới dạng min{J(z, w) | z ∈ G(w)∩K},
và
V (w) = inf{J(z, w) | z = (x, u) ∈ G(w) ∩ K}.

(4.7)

¯ ∈ W và (¯
Ta giả sử rằng V là hữu hạn tại w¯ = (¯
α, θ)
x, u¯) là một nghiệm tương ứng,
tức là (¯
x, u¯) ∈ S(w).
¯
Trong mục này ta cần các giả thiết sau:
(A1) Các hàm A : [0, 1] → Mn,n (R), B : [0, 1] → Mn,m (R), và C : [0, 1] → Mn,k (R), là
đo được và bị chặn cốt yếu.
(A2) Các hàm g : Rn → R và L : [0, 1]×Rn ×Rm ×Rk → R có tính chất g(·) là hàm lồi
và khả vi liên tục trên Rn , L(·, x, u, v) là đo được với mọi (x, u, v) ∈ Rn × Rm × Rk ,
L(t, ·, ·, ·) là lồi và khả vi liên tục trên Rn × Rm × Rk với hầu khắp nơi t ∈ [0, 1],và
tồn tại một hằng số c1 > 0, c2 > 0, r ≥ 0, p ≥ p1 ≥ 0, p − 1 ≥ p2 ≥ 0, và một
hàm dương w1 ∈ Lp ([0, 1], R), sao cho
|L(t, x, u, v)| ≤ c1 w1 (t) + ||x||p1 + ||u||p1 + ||v||p1 ,
max |Lx (t, x, u, v)|, |Lu (t, x, u, v)|, |Lv (t, x, u, v)|
≤ c2 ||x||p2 + ||u||p2 + ||v||p2 + r,
với mọi (t, x, u, v) ∈ [0, 1] × Rn × Rm × Rk .


14

4.2

Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển

Ta xét các toán tử tuyến tính A : X → X, B : U → X, M : X × U → X,
(.)
và T : W → X được xác định tương ứng bởi Ax := x − 0 A(τ )x(τ )dτ, Bu :=
(.)
(.)
− 0 B(τ )u(τ )dτ, M(x, u) := Ax + Bu, và T (α, θ) := α + 0 C(τ )θ(τ )dτ. Dưới giả
thiết (A1), (4.6) được viết lại như sau:
G(w) = {(x, u) ∈ X × U | M(x, u) = T (w)} .
Cho ΨA : Lq ([0, 1], Rn ) → R, ΨB : Lq ([0, 1], Rn ) → Lq ([0, 1], Rm ), ΨC : Lq ([0, 1], Rn ) →
Lq ([0, 1], Rk ), Ψ : Lq ([0, 1], Rn ) → Lq ([0, 1], Rn ) được định nghĩa bởi
1

AT (t)v(t)dt,

ΨA (v) =

ΨB (v)(t) = −B T (t)v(t) h.k.n. t ∈ [0, 1],

0
(.)

ΨC (v)(t) = C T (t)v(t) h.k.n. t ∈ [0, 1],

AT (τ )v(τ )dτ.

Ψ (v) = −
0

Ta cần thêm hai giả thiết sau
(A3) Giả sử rằng ker ΨC ⊂ ker ΨA ∩ ker ΨB ∩ Fix Ψ , ở đó Fix Ψ := {x ∈ X | Ψ (x) =
x} là tập điểm cố định của Ψ , và ker ΨA (tương ứng, ker ΨB , ker ΨC ) là hạt nhân
của ΨA (tương ứng, ΨB , ΨC ).
(A4) Toán tử Φ : W × Z → X, được cho bởi
(.)

Φ(w, z) = x −

(.)

A(τ )x(τ )dτ −
0

(.)

B(τ )v(τ )dτ − α −
0

C(τ )θ(τ )dτ
0

với mọi w = (α, θ) ∈ W và z = (x, v) ∈ Z, có ảnh đóng.
(A5) Tồn tại một hằng số c3 > 0 sao cho, với mọi v ∈ Rn , ||C T (t)v|| ≥ c3 ||v|| h.k.n. t ∈
[0, 1].
¯ int U = ∅, và
Định lý 4.2.1. Giả sử rằng hàm V trong (4.7) hữu hạn tại w¯ = (¯
α, θ),
(A1) − (A4) thỏa mãn. Hơn nữa, giả sử thêm rằng (4.1)–(4.4) có nghiệm (¯

x, u¯). Khi
∗ ∗
n
q
k
¯
đó, một (α , θ ) ∈ R × L ([0, 1], R ) nằm trong ∂ V (¯
α, θ) nếu và chỉ nếu
1

1

¯
Lx (t, x¯(t), u¯(t), θ(t))dt
−

∗

α = g (¯
x(1)) +
0

AT (t)y(t)dt,
0

¯
θ∗ (t) = −C T (t)y(t) + Lθ (t, x¯(t), u¯(t), θ(t))
h.k.n. t ∈ [0, 1],
ở đó y ∈ W 1,q ([0, 1], Rn ) là nghiệm duy nhất của hệ


y(t)
¯
˙ + AT (t)y(t) = Lx (t, x¯(t), u¯(t), θ(t))
h.k.n. t ∈ [0, 1],
y(1) = −g (¯
x(1)),
¯
sao cho u∗ ∈ Lq ([0, 1], Rm ) xác định bởi u∗ (t) = B T (t)y(t)−Lu (t, x¯(t), u¯(t), θ(t))
h.k.n. t ∈
[0, 1] thỏa mãn điều kiện u∗ ∈ N (¯
u; U).